Матрицы жесткостей у пругопластических пластин при плоском напряженном состоянии Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ВЕСТНИК 1/2009

МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТЕЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПЛАСТИН ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Воронцов Г.В., Евтушенко С.И.

ЮРГТУ (НПИ)

1. Уравнения нелинейной теории деформаций при плоском напряженном состоянии

Основные обозначения:

Х = [х ! у] - вектор декартовых координат точек конечного элемента (КЭ); й (Х) = \^их (Х ) | и у (Х - вектор перемещений точек элемента;

:[&х ]

и =

и л, и л, у1 у2

и 1. и л, у3 у4

вектор переме-

1 2 3 4

щений узлов четырехугольного КЭ (рис. 1);

и - вектор обобщенных перемещений, такой что

и (х): = ш( сё) 1, (1)

где ш(Х) - матрица аппроксимирующих функций.

Здесь и далее верхний индекс * обозначает операцию транспонирования матриц. Уравнение деформаций КЭ записываем в виде

е (Х ) = [п0 + П1 (ш(Х )1&) Б ] ш(Х )1&, (2)

где введены следующие матричные операторы:

Б = diag

" 5 д '

дх ду _

д 0 дих дЫу

дх дх дх

По = 0 д ду ; П1 (ш(Х )1& ) = дих ду дЫу ду

д д ди,, 2 ^х

ду дх 2 дх ду

Перемещения точек четырехугольного КЭ аппроксимируем функциями

их (х, у) = ао + а1Х + а2 у + аз ху, и у (х, у ) = Ь0 + Ь1х + Ь2 у + Ь3 ху, коэффициенты которых определяем из условий типа (рис. 1)

(3)

•X

Рис. 1. Начальное (1, 2, 3, 4) и деформированное (1', 2', 3', 4') состояния четырехугольного плоского элемента

М*1 _ а0

их^ — ао ^ а^2 ^ а2 У 2 ^ аз х*2 У 2,

их^ — ао ^ а1Х4 ^ а2У4 ^ азХ4,

из которых следует

их =

Г1| о о 0 1 -----

— -1---- 1 ! х2 __1____ У2 ____ х2 У2

1 ! хз г 3 У3 х3 У3

, 1 Ь х4 У4 х4 У4

= [х, У; ] 1 ^х •

Аналогично определяем вектор Ь , заменяя их на . Подставляя зависимости типа (4) в уравнения (3), получаем

их (Х ) = [1 ! х\у\ хУ]\_ х' У; ] 1 а: = [ф(Х)][ х/»У; ] 1 Цх и составляем матрицу аппроксимирующих функций

[ф(Х)][х> У] ] ^ 0 _ о

В заключение п.1 приведем формулы для вычисления

Уокт = (ех "еУ)2 +е2 +е2 +15У2У » и объемной еу = 2гср =гх + еу деформаций.

[ф(х

)][ Х1^УJ ]_1

(4)

2. Уравнения деформирования упругопластических КЭ при плоском напряженном состоянии

При составлении уравнений закона деформирования принимаем следующие положения.

1. Как и в линейной теории упругости, сохраняется соосность напряжений и деформаций, причем существует единый для напряжений 5сти деформаций 5е 1К тан-

-)К

генциальный модуль Gtn (уокт), такой что

]К -вер 1 =

j -°ер

) = 2Gtn (уокт )8(еу* -Еер ) •

ций» (cross) модуль д

Ger (Уокт ) j ^ер )'

Более того, можно определить «секущий» (cross) модуль деформации, для которого имеет место соотношение

где уокт - достигнутый уровень октаэдрического сдвига (рис. 2).

4. Приведенные соотношения остаются корректными и для нелинейных задач сложного напряженного состояния. Это позволяет сформировать матрицы Есг (у0) и

Е(п (у0) жесткости упругопластического материала. Например,

"2 ;-И 0" +Ev. 3 "1 1 0"

E (у ) = G (у ) er \ i окт / er \ i окт / -1 j 2 j 0 1 1 0

0 I 0 ¡3/2 0 0 0

Рис. 2. Одна из возможных диаграмм напряжённо-деформированного состояния

материала

Это позволяет составить уравнения

У (У окт) = Есг (У окт) е (У окт)» §У (у окт) = Еп (у окт) 5е.

Напомним, что для плоского напряжённого состояния

у = colon

*xy ]> ё = eolon [ех \гу \уXy ] •

3. Матрицы жесткости плоских четырех- и трехугольных конечных элементов

Составим уравнение работы внутренних у (Х, у0) dV и внешних узловых

р = со1оп

Рх1 Рх2 Рх3 Рх4 \Ру1 Ру2 Руъ Ру4

и распределенных по площади КЭ

Ч (Х) = со1оп [Чх (Х) | Чу (Х)] нагрузок соответственно на возможных деформациях

5е (х, у0) = [П0 + П1 (ш(Х) 11) б] ш(Х)|_^ 51&

и перемещениях

5и = со1оп < 5и

их их их их 1 2 3 4

иу иу иу иу

у1 у2 у3 у4

= ш(Х )81.

Особо отметим, что для трехугольных КЭ в формулах, приведенных в п. 1, 2 и настоящем параграфе следует отбросить все элементы, отвечающие одному, например, четвертому узлу (рис. 3).

Рис. 3. Начальное (1, 2, 3) и деформированное (1', 2', 3') состояния трехугольного конечного элемента

Выражение для возможной работы записываем в виде

: = /5е (Х, у 0 ) \г {Х, У 0 )у {Х, у 0 )dV - 511 *р -

V

ш(Х) </ (ХsjdV = 0;

V

ВЕСТНИК 1/2009

х У о

у (iE, у0): = Ecr (X, у0) [п0 + Щ (ш(Х) Ü) D] _ Ü,

У О

откуда получаем уравнение

Hcr (у о) Ü - р - Q = О,

в котором cross-матрицу жесткости Hcr и вектор распределенных сил Q определяем выражениями

Hcr (уо,Ü)= i{[п0 + % (ш(Х)Ü)d]ш(Х) V

xEcr {х,у0){П0 + (ш(Х)Ü)D}_ ш(хх)dV, (1)

У о

Q = Jш(.х f q (X)dV.

V

Индексы и аргументы у0 = уокт в приведенных формулах указывают на то, что матрицу (1) необходимо определять с учетом различий в значениях Ecr (X, у0) в разных точках X = [x \ y] элемента.

Вариацию перемещений 8Ü(у0), т.е. отклонений от состояния Üo элемента, находим по уравнению

Htn 0,Ü0)5UJ-5]ß-8Q = 0,

в котором тангенциальную матрицу жесткости вычисляем по формуле (1) при

Ecr: = Etn .

Алгоритмы решения задач о расчете напряженного состояния конструкций, составленных из множества плоских КЭ, будут представлены в следующем докладе авторов.

Литература

1. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. - М., 1963.

2. Воронцов Г.В., Дыба В.П. Матрицы жесткости конечных элементов из упругопластических изотропных материалов при простом нагружении // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2005. - Спецвыпуск. - С. 72-79.

Рецензент: Заведующий кафедрой САПР ОСФ ЮРГТУ(НПИ), д.т.н., профессор Скибин Г.М.