Нелинейные искажения выходного тока диффузионного преобразователя Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейные искажения выходного тока диффузионного

преобразователя

Д.А. Терентьев (tyev@mail.ru)

Центр Молекулярной Электроники Московского Физико-Технического Института (Государственного Университета)

ВВЕДЕНИЕ

Исследованию влияния гидродинамического потока электролита на выходной ток диффузионного преобразователя посвящено большое количество работ [1—8]. Однако в большинстве случаев решить аналитически трехмерные уравнения, описывающие явление, не удается, а успешное применение приближенных модельных представлений имеет место только для ограниченного класса простых систем. Одной из таких задач, изучение которой наталкивается на серьезные математические трудности, является описание процесса нестационарной диффузии ионов электролита в диэлектрическом канале, на внутренней поверхности которого расположена электродная система. Причем особый интерес представляет ситуация, когда расстояния между электродами сравнимы с их размерами. Следует отметить, что в рамках модели Ларкама [1], одним из основных предположений

которой является отсутствие зависимости скорости потока жидкости от координат, частотная

-1/2

характеристика выходного тока при <с ^ да имеет вид с , что противоречит экспериментальным результатам, согласно которым ток снижается как ю-. В работе [2] численными методами исследовалась ситуация, когда течение жидкости имеет параболический профиль. В результате расчетов были получены согласующиеся с опытными данными амплитудно-частотные характеристики выходного тока, однако в работе [2] не было достигнуто четкого понимания физических причин наблюдаемой экспериментально зависимости.

В работах [9-10] было получено аналитическое решение задачи, учитывающее пространственную зависимость скорости потока жидкости. Исследования, выполненные в работах [9-10] в предположении, что значения скорости гидродинамического потока достаточно малы, вследствие чего переменная часть концентрации много меньше постоянной, позволили установить, что отношение переменной составляющей выходного тока к амплитуде разности давления на концах канала Р в при частотах ниже диффузионной = э/12 слабо зависит от частоты, в области между и гидродинамической частотой юн = V/12 начинает снижается как с 1, а в области частот много выше юн пропорционально

со'312 (здесь Э - коэффициент диффузии, I - характерный размер электродного узла, н -кинематический коэффициент вязкости электролита). Таким образом, в рамках данного приближения при заданной частоте внешнего сигнала переменная составляющая выходного тока строго пропорциональна приложенной разности давлений. Полученные в результате расчетов амплитудно-частотные характеристики диффузионного тока полностью согласуются с экспериментальными результатами в области частот от 0.01 Гц до 250 Гц и при уровне внешнего сигнала до 1 мм/с. Однако при экстраполяции полученной зависимости в область до 10 мм/с возникает существенное противоречие с опытными данными, согласно которым при значениях внешнего сигнала больше 1 мм/с в выходном токе диффузионного преобразователя появляются вторая и третья гармоники, амплитуда первой гармоники

перестает быть прямо пропорциональной входному сигналу, и появляется зависимость постоянной составляющей выходного тока от уровня внешнего сигнала, что противоречит результатам работ [9-10].

Таким образом, экспериментальные данные свидетельствуют, что в области значений внешнего сигнала более 1 мм/с система выходит из линейной области, и мы вынуждены выйти за пределы упрощенной линейной модели [9-10], чтобы теоретически описать поведение диффузионного преобразователя.

В настоящей работе рассмотрен процесс нестационарной конвективной диффузии ионов электролита в плоском (щелевом) канале в области амплитуд внешнего сигнала от 1 мм/с до 10 мм/с. Устройство и принципы работы рассматриваемого диффузионного преобразователя изложены в [10]. Получены аналитические выражения для величины выходного тока в виде ряда гармоник, ограниченного первыми тремя членами, пригодные для исследования передаточной функции при частотах вплоть до 250 Гц и значениях внешнего сигнала до 10 мм/с.

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Уравнение, описывающее процесс нестационарной конвективной диффузии, в общем случае имеет вид: дс

--Б Ас = УУс, (1)

дг

где с - концентрация ионов, V - скорость течения жидкости относительно стенок канала.

Пусть скорость V изменяется со временем по синусоидальному закону с частотой с и направлена вдоль оси х :

V = Vx(с, 2)гш + V*(с,2Уш. (2)

Точное решение задачи о пульсирующем ламинарном движении вязкой жидкости в щелевом канале в рамках постановки [11] дает следующее выражение для комплексной амплитуды скорости течения:

\ ^ ^ иа - Л иг

V* (с, г ) = Р---

< - 2Нрс ш /а, (3)

и = ф с/V

где р - плотность электролита, 2Н - длина канала, 2а - ширина канала, причем

V* (-с, г) = V* (с, г). (4)

Представим с(х, г, г) в виде суммы по степеням в1М :

с(х, г) = £;_ ^ (х, г)пс . (5)

Из (2), (5) получим:

тс (х г)- ВАсп (х г )= -Ух(с, г )У хс„-1(х г)- У(с, г )У *сп+1(х г). (6)

Будем искать с(х, г, г) методом последовательных приближений по степеням внешнего возмущения Р:

Сп (х, г ) = х;=0 Р^,; (х, г). (7)

Из (6) и (7) получаем:

с; (х, г)-БАСп,; (х, г ) = - Ух^,^ (х, г)-^^ Ух^,^ (х, г). (8)

Также из (6) следует, что сп (х, 2 ) = Ор|п|), т.е.

спт (х, 2) = 0, если т < \п\. (9)

Мы ограничиваемся приближением

спт (х, 2) = 0 при т," > 3, (10)

однако предложенный в настоящей работе метод пригоден и для рассмотрения нелинейных поправок более высокого порядка.

В качестве граничных условий к (1) выбраны те же соотношения, что и в работах [910]:

^0 = п0О, (11)

"Г—--= ~гА---= еквТ , (12)

I I с0^Гк

<1(7 у <1(7 у

I спЛгА =| спЛ°К =| спта°А =| сп,тЛ°К = 0, п ^ 1, (13)

где е0 - заряд электрона, п0- равновесная концентрация активных носителей заряда в отсутствие течения жидкости в канале, О - полный объем канала, и0 - постоянная разность потенциалов между электродами, г А и г К - поверхности соответственно анодов и катодов. Из симметрии граничных условий следует, что

сп,т (,-2)= сп,т (, 2). (14)

а также что с0 инвариантно относительно знака Р . Поэтому:

с0,1 = с0,3 = (15)

Из (15) и (8-10) по индукции следует, что

с1,2 = с2,3 = с2,3 = с-1,2 = 0 . (16)

Таким образом, из (8) и (15), (16) получаем следующую систему, описывающую коэффициенты сп т (х, 2) в рамках приближения (10):

- ЭАс^ (х, 2 )= 0

<с1,1 (х 2)- ЭАс1,1(x, 2) = - Ух <'2) V хс0,0(x, 2)

2? сс2,2 (x, 2)- ЭАс2,2 (x, 2) = - ^ ^' 2) Vхс1,1 (x, 2)

<3 (х, 2)-ЭАс,з (х, 2)=-Vх^,2 (х, 2)-^^ VxC2,2 (х, 2) . (17)

0<с0,2 (х, 2)- ЭАс0 2 (х, 2) = -Vхс-1,1 (х, 2)- VЛл (х, 2)

V * (< 2)

- 1сс-ц (x, 2)- ЭАс-1,1 ( 2) =--х < ' Vхс0,0 (x, 2)

3/<с3,3 ( 2)- ЭАсз з (x, 2) = - Ух (< 2) хс2,2 (x, 2)

Выходные характеристики преобразователя - полные токи I,е) (() через ei -ые

электроды (г^) (ei = 1,4), которые связаны с распределением концентрации с(х, г, г) следующими соотношениями:

1 (О(г )= | Ах г

^ . (18)

Ах. г ) = -е„ и ^^

дг

Определенная таким образом функция _/(х, г) при (х, а)еаА ,(к равна нормальной составляющей плотности электрического тока, а вне электродов обращается в нуль: А(х, г )= 0, (х, а )е (а (к .

Обозначим символами I(e¡), 1 n(ei ) , 1п,;(е,) и А (х), А (х) , Л,; (х) компоненты ^ (г) и г), связанные соответственно с с(х, г), сп (х, г) и сп; (х, г) соотношениями, аналогичными (18). В силу условия сохранения заряда

^ =10(е) = ^¡=11 o,;(ei) = 0. (19)

Стандартная процедура вычисления выходного тока диффузионного преобразователя предполагает решение системы (17) с последующей подстановкой найденной концентрации в (18). В рассматриваемом существенно неодномерном случае такая программа не может быть проведена в полном объеме. Основные сложности при попытке точного аналитического решения системы (17) возникают вследствие зависимости концентрации с от двух координат г и г, а также сложного вида выражения для скорости (3). Для подобных систем в работах [9-10] был разработан математический метод интегрирования уравнения нестационарной диффузии. В [9-10] для решения задачи применяется вариационная методика, в качестве функционала, экстремальные значения которого соответствуют решению системы уравнений (17), используется выражение для полного тока через электроды. Это дает возможность сразу вычислить интересующий нас выходной ток, как функцию частоты внешнего сигнала. Развитый в работе [9-10] подход дает возможность без применения сложных расчетов получить выражения, которые позволяют понять физику процесса. Универсальность и удобство предложенного метода позволяют использовать его для изучения частотной характеристики диффузионного преобразователя не только в линейном случае, когда мы, фактически, ограничиваемся нахождением значений токов /0 0(е) и /11(е), но и в нелинейной

области, для решения системы (8).

Поскольку мы ограничиваемся областью х е [- Н, Н ], то дальнейшее решение удобно провести при помощи преобразования Фурье по координате х. Будем обозначать фурье-образы функций тем же символом, что и оригиналы, но со шляпкой и как функции от переменной к :

/ (х, г )=Ц(к, г)

1 Н , (20) / (к, г ) = ^ 1 Не-^/ (х, г )х

где

q = кл/Н . Тогда из (8) получим:

ЯпСп,„ (к, г)-%М = -^^,„-1 (к, г)-(к, г), (21)

дг Ри Ри

Электронный журнал «Исследовано в России» где

п2 2 , ¡с Яп = q + п— .

п Б

Для простоты предположим, что плотности тока на всех электродах не зависят от координаты х:

$(х)

йх

= 0.

(х,а )

Тогда компоненты ]п; (х) можно представить в виде

Л,; (х )= Хе

In,;(ei)Y(ei) (х)

где

Г(е)(х ) =

о

е о

[1, (х, а)

|0, (х, а

'(О

о - площадь одного электрода. Из (18), (20), (23) следует:

Хе =1 /п,;(е1)У(е1) (к)

дСп,; (к, г)

дг

- е0 Бо

А. СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАИ

Для начала найдем С0 0 (к, г). Из (17), (14) и (21) имеем:

^0,0 (к, г = 0.

С0,0 ((,-г )= С0,0 ((, г ) Отсюда следует, что выражение для С0 0 (к, г) имеет вид

С0,0 (к, г) = в0(к)ё(яo, г^

где

g (^0, г )= ^А0 г. Значение В0 (к) находим из (24-26) и (11):

1 Х1=1 /0,0(е1)Г(е1) (к)

В0 (к ) =

- е0 Бо п0, к = 0

Л0 sh А0а

к ф 0

Таким образом, из (25-27) и (20) имеем:

£

(х, г) = п0 + =110,0(е )0,0(ei) (х, г)

(х,г) =-1-е- Ь)(к)

10,0(0

- е0 Бо кф0 Хп а

g

( г )

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

Теперь, чтобы найти интересующие нас токи /0 0(е), подставим выражение (28) в граничные условия (11), (12) и (19):

г=а

С

0,0

по а + £4=11 о,о(е) Г ^ о,о(е) ^

=11 о,о(е) а

)Ыи (1)

= ееоио! квТ

1649 http://zhumaLape.re1am.ru/artic1es/2QQ4/151.pdf

По° + £4=11 о,о(е) Г ^о.о(е,)аСт(2)

ПоСТ + £е,=11 о,о(е) 1Т(2) ^о,о(е)^(2) = ПоСТ+£е,=17о,о(е,) £(з) ^о,о(е,) ^ + £4=1 7о.о(е,) Г ^о,о(е)= + £4 =1 /о,о(е,) £ ) ^о,о(е,)

поа +

(29)

Е4

е=11 о,о(е,) = о

Таким образом, решив линейную систему уравнений (29), мы получим интересующие нас постоянные токи 1о о(е ).

Б. ПЕРВАЯ ГАРМОНИКА /1

1(е )

Из (17) и (21) следует:

Лси(к, 2)--д22-= дсо,о(к, 2) •

д2 Ри

Подставим в (3о) найденное выражение для Со о (к, 2):

Л2Сц (к, 2 ад (к )8 (До, 2 ).

02 Ри

Отсюда, с учетом условия (14), получаем:

.1,1 (к, 2 ) = В, (к ) (, 2 )+ Во (к ^

Д, q, 2

ю

(

где g

ее, е

п п-1 .

q,2

Юп Юп-1

е2 g еп еп-1 Юп 'Юп-1 '

g (... ,-2 )= g (..

дg ( .Д, q,2)

д2

g (ео, 2 )=сьео

,ео, q,2

- решение системы

д2gЮ Ю^^Л, q, 2'

Ю Юп-1 Ю

д22

• = -/ q-

V (ю, 2) „ [е- е

РБ

Юп-1

= о

Выражение для g

еп еп-1 е

п п-1

е q, 2

,ео,q,2

Юп Юп-1

СО,

(зо)

(31)

может быть найдено рекуррентным образом,

'1 у

однако оно здесь не приводится по причине своей громоздкости.

% (...,ео, q, 2)

По аналогии с выводом (27), пользуясь тем, что выражение для В1 (к):

1 £4=А1(еА)(к)

д2

= о, из (31) находим

В (к ) =

-еоБа Д зЬ Да

Отсюда, пользуясь очевидным равенством

г=а

2

2=а

Электронный журнал «Исследовано в России» g (.Д, q, г ) = 0 при к =0,

получаем:

ЯЛ,1(е) (х,г ) =

1

Х

-е0БокЛ shЛа

^(к) Лг)

g

^Р1,1 (х г ) = —т^ Х

Щх

Е.=110,0(еА) (к)

- е0Бо кФ0

Л0 sh Л0 а

Л

с

Л0, q, г

с1,1(х,г ) = ЯР1,1(х,г) + Хе = /1,1(е) Ял,1(0(х,г)

Теперь, чтобы найти токи /11(е), подставим выражение (32) в граничные условия (13):

( ^1,1°) +Х4 =1 /1,1(е) (, ^(О й0е ) = 0, ех = 1, 4.

(33)

Таким образом, из решения системы (32-33) находятся /1

1,1(е) •

(32)

В. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ

Аналогично, учитывая, что g (...,#0, q, г ) = 0 при к =0, из (17) найдем с22 и I

2,2 2,2(ei) *

£

12,2(0

(х-г ) = -10 Х

- е0Бо к=-х

ГМ (к)

Л2 sh Л2 а

g

Л г )

Х,=110,0(еА) (к) Л Л

ЯР2,2 (х, г) =

= — I'

- е0Бо кФ0

( Яр 2,2 йо( ех ) + Х4=112,2(е) ( 2,2(^)(е„ ) = 0, ех = 1, 4

Л0 sh Л0 а

^ , ,л0

с с

Л0, q,г 1 + -

Х:=1 ^КеА)(к) Гл. ^

Je¡ =1 1,1(еУ (е

Л sh Л а

g ",Л1,q,г

с

С2,2 (х, г) = ЯР2,2 (х, г)+ Хе =112,2(ei)2,2(0 (х, г)

(34)

а также с3 3 и 13 3(е):

е

е

Л

I з,з(е)

(Х 2 ) =

£

ЛР3,3 (х' 2)

—!—£<

- еоБа ыо

- еоБа к=-

^(к) "Д, 2)

Д эЬ Д3 а

g\

£ 1 о,о(е,)Г(е,) (к) е=1_

До эЬ До а

(

д д2 Д

До, q, 2

ю ю ю

£ Ilп1(el)fiel) (к )

+ ■

Д эЬ Да

Д3 Д

32

юю

,Д, q, 2

£ 12,2(е Ае.) (к) ^

+

Д2 эЬ Д2 а

, Д2, q, 2

ю

(35)

13,3(е.) йа{е,. ) = ° ех = ^ 4

[ ЛР3,3<^а(е ) +£4 ,13 3(е ) [ Л

С3,3 (х, 2) = ЛР3,3 (х, 2)+ £4 =113,3(е,)3,3(е,) (х(е,) , а)

Получаемые при помощи (4) выражения для с-11, со 2, с13 и I-11(е ), Iо 2(е ), 113(е ) имеют

аналогичный вид и здесь не приводятся по причине их громоздкости.

Таким образом, получены рекуррентные формулы, позволяющие методом последовательных приближений вычислить значения нелинейных добавок произвольного порядка к выходному току пространственно ограниченного диффузионного преобразователя в условиях конвективной диффузии в рамках приближения (22).

II. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ АНАЛИЗ

В общем случае для вычисления I

п,т(е.)

необходимо использование численных

методов. На рис. 1 представлены результаты расчетов токов ^ реального преобразователя

со следующими параметрами электродной системы: 2Н =1о см, а =5о мкм, к =12о мкм, < =5о мкм (здесь к - расстояние между соседними электродами, < - толщина электрода).

1§/п,т, А/Па

-2

Рис.1.

1§/,Гц

1

е

е=1

е=1

Частотная зависимость токов 1п ;(1):

1 - /0,0(1) . 2 - /1,1(1) . 3 - 12,2(1) . 4 - /0,2(1) . 5 - 13,3(1) . 6 - /1,3(1) .

Полученные в результате расчетов значения первой гармоники тока /11(е) • Р

совпадают с результатами работ [9-10].

Как видно из представленных результатов, характерные значения амплитуды разности давления на концах канала Р, равно как и значения амплитуд внешнего сигнала, при которых диффузионный преобразователь переходит в нелинейную область, зависят от частоты внешнего воздействия. Анализ результатов расчетов показывает, что при значениях частот от 0.1 Гц до 50 Гц область нелинейных искажений начинается при амплитуде внешнего сигнала порядка 1 мм/с, что совпадает с экспериментальными данными. Обращает на себя внимание тот факт, что в области частот выше диффузионной 102(е)>> 122(е) и

/1,3(е, )>>13,3(0 .

Таким образом, полученные выражения (28-29), (32-35) решают задачу вычисления передаточной функции диффузионного преобразователя и ее нелинейных искажений в области частот от 0.01. Гц до 250 Гц и при уровне внешнего сигнала до 10 мм/с, а также содержат в себе как частный случай результаты работ [9-10]. Согласие полученных теоретических результатов с экспериментом позволяет сделать вывод об адекватности предложенной модели и оправдывает использование развитой методики расчета для проектирования диффузионных преобразователей с наперед заданными амплитудно-частотными и динамическими характеристиками.

Список литературы:

1. Larcam C.W. Theoretical analysis of the solution solion polarised cathode acoustic linear transduser. // The Journal of the Acoustic Society of America, 1965, vol. 37, № 4, p. 664-678.

2. Бабанин А.В., Козлов В.А., Петькин Н.В. Нестационарная диффузия в электрохимической ячейке с периодической структурой электродов. // Электрохимия, 1990, том 26, вып. 5, с. 601606.

3. Введение в молекулярную электронику. / Под ред. Лидоренко Н.С. М.: Энергоатомиздат, 1984, 320 с.

4. Козлов В.А., Коршак А.Н., Петькин Н.В. Теория диффузионного преобразователя сверхмалых расходов электролита. // Электрохимия, 1991, том 27, вып. 1, с. 20-24.

5. Графов Б.М. О влиянии периодически изменяющегося во времени гидродинамического потока на предельный диффузионный поток. // Электрохимия, 1968, том 4, с. 542-545.

6. Боровков В.С., Графов Б.М., Новиков А.А. и др. Электрохимические преобразователи первичной информации. М., Машиностроение, 1969.

7. Клименков Е.Я., Графов Б.М., Левич В.Г., Стрижевский И.В. О предельном токе электрода, занимающего внутреннюю поверхность канала. // Электрохимия, 1969, том 5, с. 202-206.

8. Мартемьянов С.А., Воротынцев М. А., Графов Б.М. Конвективная диффузия около близко расположенных планарных электродов. // Электрохимия, 1979, том 15, с. 1256-1259.

9. Козлов В.А., Терентьев Д.А. Исследование частотных характеристик пространственно ограниченной электрохимической ячейки в условиях конвективной диффузии. // Электрохимия, 2002, том 38, вып. 9, с. 1104-1112.

10. Козлов В.А., Терентьев Д.А. Передаточная функция диффузионного преобразователя при частотах выше гидродинамической. // Электрохимия, 2003, том 39, вып. 4, с. 443-449.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1957. С. 482-486.