Нелинейная задача устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с легким заполнителем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531, 539.9

нелинейная задача устойчивости трехслоинои ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЛЕГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

©2003 г. А. А.Татаринов

In the article the nonlinear problem of stability of a sandwich cylindrical shell with miscellaneous orthotropic thin carrying layers and mild filler, simply supported on backs is considered. To thin external carrying layers the hypothesis of normal straight lines is applied, and the cubic relation is applied for the description of change of displacement on width of filler.

Начало нелинейной теории трехслойных оболочек положено работой [1], из уравнений которой получено решение задачи устойчивости в [2] введением новых разрешающих функций. Уравнения в [1 - 4] получены на основе гипотезы ломаной линии, обусловившей разрыв для деформаций сдвига на границах заполнителя с несущими слоями. Нелинейные законы изменения деформаций сдвига, введенные в [5], а затем в [6], получены из условия плавного перехода прямой нормали в несущих слоях в изогнутую часть нормали, проведенной к срединной поверхности в естественном (недеформированном) состоянии, проходящей через заполнитель.

Нами получена экспериментально при изгибе трехслойной панели более близкая к истинной функция

w(r)_ (cl2 + CiC2 + C22)z-z3 *z)~ qc2(c1 + c2) ’

(і)

где С/ - расстояние от начальной поверхности заполнителя до границы с соответствующим несущим слоем (рис. 1). Прямым измерением при нагружении оболочек по поверхности до потери устойчивости нами установлено отсутствие сближения несущих слоев, т. е. несжимаемость заполнителя из стеклопластиковых и дюралюминиевых сот, пенопласта ПС-1-70.

Рассмотрим трехслойную цилиндрическую оболочку с различными несущими слоями и легким заполнителем. Опирание трехслойных оболочек как элементов реальных конструкций близко к шарнирному, реальные размеры их позволяют считать радиусы всех слоев одинаковыми.

За начальную примем поверхность, отстоящую от срединной поверхности заполнителя на расстоянии

(4)

г0 =

ВХх - В

2х

2 К+В2х)

(hx +h2),

где Ви И В,у - изгибные жесткости несущих слоев в главных направлениях; Л,- - их толщина. Эта поверхность является нейтральной при изгибе и делит толщину заполнителя на части толщиной С; и С2.

Из рис. 1 легко установить, что меридиональные перемещения любой точки несущих слоев имеют вид: м/=н(.-(г-сг-/г, / 2)юх, / = 1,2. (2)

Здесь и далее индексы координат или времени х(в,с) у перемещений и, V и означают частную производную от перемещения по соответствующим переменным.

Аналогично определяются кольцевые перемещения:

•(г-С;-h¡ /2)we, í = 1, 2.

(3)

Для определения перемещений заполнителя введем функцию смещения <р(г) (1), такую что иъ = и + 9>(г)[(и, -и2)/ 2 + (л, + 1^)м>х / 4]; и —> V; х —> в , и удовлетворяющую граничным условиям (рис. 1): <р(о) = 0; <р(с,) = 1; ф(-С2) = -1.

Из рассмотрения криволинейных трапеций (рис.1), образованных нормалью п - п до и после деформации, нетрудно установить связь между перемещениями заполнителя и срединных поверхностей несущих слоев

м| =(м1 + м2)/2+(/11-/12)н'Л./4 +

+ <р(гХ(м1 ~и2)12 + (]г1 +/¡2)^/4];

и —> у; х —>в .

Пусть иа =(щ +м2)/2; ир = (м] -и2)/2; и —> V. Тогда и1=иа±ир\ v¡=va±vp (£=1,2). (5)

Здесь и везде верхний знак относится к наружному несущему слою (/=1), нижний - к внутреннему (/=2).

Подставив выражения (5) в (2 - 4), получим перемещения в любой точке

и! =иа±ир -(2 + С,- + Л; /2^;

«з = иа +(к -¿2^/4 +

<К2)(«/з +АгК/4);

и —> V; х —> д (6)

Вследствие малой жесткости тонких несущих слоев в направлении нормали к срединной поверхности порядок величины IV больше порядков и И V. Кроме того, дифференцирование функций перемещений • оболочек увеличивает их порядок. Таким образом, деформация и перемещения в несущих слоях в нелинейной теории оболочек связаны между собой известными зависимостями:

ЄІх=иїх+М2!2’

«.в -УІв +ы/г + )2 /2;

и, =

(16)

ГДгЭ =«,?0+^ + И'лУУ0.

(7)

1 ±(С,+Л,) 2* /, х

=1 о I I /(?*& + <т*е5 те <1г;

^ ±с, о о

■ - - - - ^ С, 2п I I \

Подставив (6) в (7), для несущих слоев получим £/3 =— | . | / \TixzYLz + гз>г1'з>.г • (17)

деформации: 2 -сг о о

меридиональные Как правило, на торцах трехслойных оболочек ус-

е^=иах±ир -(г + С;+/г,,/2)н'х1+^2/2; (8) тановлены силовые шпангоуты, связывающие несу-

х щие слои, через которые и происходит нагружение

кольцевые различными силами. При расчете на устойчивость

4 = уае ±уре ~(^ + С,- + К /2)н'еа + к»/г + и>0 /2; (9) внешние силы приводят к контурным, направленным

сдвига вдоль образующей, по радиусу, к изгибающим и кру-

г _ + + _ тящим моментам.

7ыу иа0 -иРв Уах-УРх (-¡0) Спроецируем внешние силы на оси координат де-

- 2(г + С, + 1г- / 2)и>дв + и>х и>в . формируемой оболочки, а изгибающие и крутящие

Полагаем, что легкий заполнитель работает только моменты представим в виде пар сил, приложенных к

на сдвиг: несущим слоям соответственно по образующей и по

г ... . ,.г , ,,, /11Ч кольцу. Вариацию возможной работы нормальной

/3*7 ^3 г дт * * 3 3Я О * V / и

2 г у ° силы цг, распределенной по поверхности, сил и мо-

Несущие слои будем считать ортотропными. Со- ментов, приложенных к контуру, можно представить

гласно обобщенному закону Гука, напряжения во в виде

внешних слоях: Е.

ОІ =-

(иах±иРх-& + С{+К12)кхх + ™х2/2 +

*■

+ РхЬав +уРо - (г + С; + /г,- / 2>уее + ы/г + ыв 2 / 2),

Е I

(7? =—■■— +Vдfl-(г+С; +!\ 12)мвв+м>1г+щ112+

+ Ну! («а* ± «/), ~ (^ + 1 2К* + ^ / 2)) ,

Чэ±иРв+Уах±уЭх--2(г + С,+V 2^е +

В легком заполнителе нормальными напряжениями пренебрегаем;

*!* = с^зУ«з; = С)’гзУ^з. (13)

где Слгз, Суг] - соответствующие модули сдвига заполнителя. Или с учетом (6) и (11)

+(/¡1 +/12К/4)н

I 2л

8АР =|| qz8 \vcix гйв + о о

тг = С •

"іху хуі

+ ] ±ир)+^Ри,8^а ±У^) +

J \

Е ^ (ув ± у^)+ X ^ ;5 (иа ± к Р) геЮ|' .

2я

ч

0

(12)

т3к = + (/г1 + й2 К /4)

Н-УУд

Уравнения движения трехслойной цилиндриче ской оболочки получим, используя метод кинетоста тики.

Заменим контурные силы и вариации работы эквивалентными давлениями [4]. Получим

Ар =1 ¡А ~(^/ +ри^хх~{ру1 +Ек)л’ое)с1хг(1в. (18) о о

С учетом (5)

А, =| I £ (рл((иа ±ир) («а» ±и(3И)+

0 О 1=1

+ 11'« ±У/з)^а» ±^«)))+

+ Рзк3{иаиап+уауа,')+

+ (р1й1 + р2/г 2 + р3/г3 )и>„ ) ¿т/0.

Используя (8) - (13), (15), (17) - (19), получим

Э= / / Е (о „ >уХ1 :2 (з (1 + и ш ± и р,} 12 -1 / 2 + к,212)+

0 0 1^г=1

+ 0>1-»вв2^ + увв ±чрвУ/2-1/2 + н'/г + >у62/2)+

Для системы, находящейся в равновесном состоя- +(рх ц ■ + Э ц ■)/2(уу 2(уд0 ±у^е + нии, . х‘ .у‘ у,хх

5Э = 0. (14) +\уав ±урву/2 + м1г + \уд212)+

Полная энергия + 2и, (1 + „ ± и )(1 + у ±Уро)+

Э = U^+U2+U3~AF-Aj. (15)

ГГ ^00

где с// - потенциальная энергия соответствующего *

слоя; Ар,А] — работа поверхностных сил и сил инерции. + /12^хв {2 + uax±upx+v0,g ± у^0 )

Потенциальная энергия несущих слоев и слоя за- + ( ± )+ ( ± )\2 +

полнителя: ту .

+ 2^в (и^ + ± ирд ) (1 + На, ± Мд,

+

ных производных: 2

+ (Va, ± Vßx ) (l + Va0 ± Vßg )))+ ,

+ Bxi^{tox±uß*+{uox±lt(kf I2+W2llf +h4wj/320^+

+ Ву,[^ав ±vß0 +(vae ±vßeY l2+w!r+we2 nj +

+ h4wee4 /32o)+ {Bxiixxi + Byißyl) (h4wjweg2 1320 +

+ («си±мд1+(иа*±“/,х)2 /2 + w2n)x x(va ±v^ +(va iv^)212 + wlr + we2 Г2§+

+ G&h,{({uae ±uß9){[ + um±ußx)+

+ (v« ± t1 + vaö ± Vß9 )+ Wxwg J +

+ h4wxg2(wxx + wee)2 !22q}~

— w{cit — (Fxi + Fu ¡jw^ — {fу■ + i )w00)— 1 ( ( \

2 / „ w w w «x X lß*,- Kee ± v^00 + 2 w0 / r + we w00 j +

~ X \P,hi ±мД“ан ±Ußl,}+ (ya ± Vß j (Vatf ± Vß „ }))- <=1

i=l

-PihW uatt vavatt

)-(plhl + p2h2 + p2h3)wIt +

+ 2Gxz{r(uß/2 + (hl+h2)Wx/4f +

+ wx (2uß + (/г, +h2+h3 )wx ))+

+ 2Gyz(r(vß/2 + (hl+h2)We/4f +

+ wg (2vß +(hl+h2+ h3 )w0))) dx rdd , (20)

где Г- 4 н 4/13(^2+бОг02) h 5(h32-4 z02f Полная энергия оболочки есть функционал вида •

^ = i i '^ß ’wyuca'ußx,^ax'vßx'^x’

uad >ußif>vae> vßd . wß. Wxx’W00 > wx0 ) dx rdd (21)

Варьируя в уравнении (21) перемещения и выпол-

X (Bxi («a« ± up + )+

i=i

+ )[vaxe ±vßxe +Wx/r + we Wx0 )/ 2 +

+ G^A (M«00 ±Ußee + V«xS ±V/^0 + W0 WxO + W,Wee j) -- (рх\ + p2h2 + Р3Й3 )«„„ - (p^j + p2fc2 )uß„ = 0 ;

X ±.(5ЛІ tea ± И/»„ + )+

/=1

+ [BxiPxi + ßyißyi) *0 ± Vß ^ + W, / r + Wfl )/ 2 +

+ Gxyihi{uaoe ±ußeg + V„x0 ±vßx$ + wewxe + wxw00))-

- <?*з [ß*{uß+ (й, + h2)wx /4)+ 2wx)-

- (PA - P2h2 )uatt - (p{h 1 + p2h2 )uß„ = 0;

X (Bxi (va00 1 Vß00 +2w0 lr + We Wee )+

/=1

^fixiP’xi ByiPyi ) {UaxO “ Ußx0 WxWx6 )/2 +

+ GxyA [uaxö ±ußx0 +va.xK±Vßxx + Wxxw0 + wxO wx ))~

- iP\h\ + p2h2 + РъЬ )v„„ - (рЛ + p2h2 )vßtt = 0 ;

X ± (Bxi (Va0O ±Vß eo+We lr + W0Weg) +

1=1

+

ißxi^xi Byi№уі )(иал9 — u

ßri+WxO

j/2-

+ Gxyihl(uaxg ±ußxg+vaxx±vßxx + wxxwg+wxewx))-

- Gyz3 (ß * {vß + (hl + h2 К / 4)+ 2w0 )-

— (Pl*l -P2h2)vatt -(PA+P2h2)vßtt =0;

"tX r ^yi^yyyy ~>r

1 i=l

+ {Dxißxi + Öyi-Aiy,- + h^Gjyj /12) -

нив интегрирование по частям, приведем вариацион- „ ( ( V ( , \, 0 2 ,л\

Hn,vna_eri4WRnnv - ^ К I“-« ± J+ ± «ß J+ ^wxxwx IV-

- Byi (w0 (v«09 ± v/J0ö )+ (w00 -1 / 0 (vß0 ±v/j0)+

2 2 2 »

+ 3we0w0 /2 + wweg/r + we I(2r)-w/r j-

ное уравнение (14) к виду

llK(f д dF д dF dFN

JJ

о 0

/■

+

Эх dux гдв dug du

8u +

Э ар Э 9F

Эх 3vr rdd dvn dv

5v +

Э2 9F + Э2

9F

Эх2 Эи’^ r2дв2 дwgg дхгдв dwx6

д dF д dF dF

dx dwr гдв dwa dw

8 w dxrdd +

ln(

dF _ dF c -—ou+-—ov + dur dvr

d dF d 3F L dF -

+ -ТГ— --------- loW + T--------owr

(22)

dx dwr. rdO dw

хв

dwr

rd9= 0.

0

Поскольку вариации диа, ..., 5ш произвольны, множители при каждой из них в первом интеграле должны быть равны нулю. Отсюда следуют, пять дифференциальных уравнений устойчивости в част-

ІРхіИхі + В yiß у і) i}vx (var0 — vß хв )"*"

+ (va0 ± Vße )+ (weg-l/r)(uca±ußx) +

We(Ucag ±Ußxg)+WWxx/r +

+ w2 l(2r) + wxwe wxg + wee wx2/2 + W^Wg2 /2^2-

- Gxyihl (2vvx0 (uae ±uße+vm±vßx)+

+ Wx (««00 ± “ßeo + Vaxe ± Vßxg )+

+ Щ kae ± Ußxe + ± vßxx )+

' + W„W02 + WxWgWxg + WggW2)-

- Gxz3 fa * (ft, + h2) (hß x + (hi + h2 )/4w„ )/ 4 +

+ 2ußx+(hl+h2+h3)wxx)-

- Gyzi(v * (hl +h2){vß9 + (hl +h2)l4weo )/4 +

+ 2Vßg + (hi +h2+h3 )wgg )-

(23)

-Я + + Рш ) №хг + + Г*,- )*>„-

- (р,й, + р2й2 + р3А3 ) и>„ = 0 .

Второй интеграл в выражении (22) соответствует граничным условиям на краях цилиндрической оболочки; они получаются приравниванием нулю множителей при вариациях перемещений, произвольных на контуре.

Полученная система дифференциальных уравнений в частных производных (23) не имеет точного решения. Для ее преобразования с сохранением нелинейности зададим перемещения в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющих граничным условиям. При шарнирном опирании, к которому обычно приводят реальные условия соединения отсеков ракетных конструкций, примем

иа =ЕЕ/1тПС05-7-х&тпв;а->р; 1->2.

т п *

тп г>

=1,^11ътп^т—гхса?-пв^ а->р;3-»4.

т п *

(24)

Подставляя (24) в (22), и учитывая произвольность вариаций амплитуд перемещений /)тп , получаем систему из 5т*п обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка (ш* и п - число удерживаемых членов ряда):

=-язі^(к,й2+<^л(«)2)(/і™ ±/2тл)+

а / і=і

+ {{ВхіРхі + ВуіНуі )/2 + ) Ш (/Зт„ ± /4тл )-

- {Вхі^хі + Ву1Цу;) т/5т„ /(2г)) +

+ (я, - Я2 )Ся3 (</ * /2тп + ((А, + А2 )/4 + 2)ш/5тп )/2;

Лт» =-^з2±^((вя-й2 +сху1Кп1){/,тп ±/2тл)+ 1=1

([вх і№хі ВуіНуі)/ 2 + б-^А,- ) тп (/-¡тп І /а тп )~

— ІРхі^хі ВуіНуі ) тї5тп Я2г))+

+ (АТ, + К2) С«з (у * /2тп + ((А, + А2)/4 + 2) т/5тп 11);

=-Из&*Ні((вуіп2 +Схуі\Ш2Угтп ±/4тя)+ а? /=1

+ [ВхіНхі + ВуіНуі Ь\тп ± Іітп )/2+ Ву1п/Ътп ІГ +

+ (я,-Н2)Суі3[у/*/2тп +((*> + Й2 )/ 4 + 2)ії/5тп)/ 2 +

+ (в*/*** + Хл™. ± /2ш„)/ 2 + Вуія/5тп / г;

Л™ =-^зЕ±^((В>',и2 +СлуЛ«2)(/зтл ±/4»т)Н ¡=1

+ (ЛГ, + К2 ) Суг3 [у/ * /2тп + ((А, + А2 )/4 + 2)п/5т„ )/2;

12я

+ ІІ

О О

( т' п1(

ЕЕ

^¿17' +

ЛІ

Х/5тп™

^хуі^і ^ ІРхІ^ХІ Вуі[Іуі)

I

$Іп[кв)х

ТЕ? т* п

^Л+^ІВхіМхі + Ву^У

ХЕЕ/5тп4^С

;=и=1 ‘

'&х'

5Іп(^0)х

т* я £

хЕЕ/зш«-^11

у=Ц=1 г

]П

х сое1

{кв)>

Vі Vі г к Іп

ХЕЕ/5т»--|-С05| ¡=\к=1 г 1

іґ

ґ }П Л -—л:

I

со&(кв)+

т п

+ ЕЕ

;=!*=!

2 ^ + — ЛІ

^хуі^і . ІРхіНхі Вуі1іуі)

^П'Х Ьт(^0)х

х

, ]71

ЕЕ/5т«—СОЇІ

у=1Л=1 /

хвіп

8Іп(^0)

</г

■/5 им -“^0

1 = 1

4 + 4 +

+ ІРхіУ-хі + Вуі^уі + к^хуі /12) Ш 2п 2 )/.

5 тп

-у-л^Бт (пд)с]хг(1в +

^^ 2" -^5 тп Т" (/з тп — ^4 тп )|—

-™{вх^п +ву1Цу1){/Хтп ±/2тп)/(2г) +

+ С«3 И*! + Й2 ) («/атп + « 2 (Й1 + Л2 У5™ /4)/4 + + 2т/1тп + т2 (А, + А2 + Л3 )/5тп )+

+ С^з (г(А, + А2) (и/4„и +«2(/г, +А2)/5тп /4)/4 +

+ 2п/4т„ + п2 (А, + А2 + А3 )/5тп) --Ч-2Мхт2/5тп - 2Муп2¡5тпУ (25)

Здесь т=тлЦ-, п-п/г; Я1=(р1А1)'1;

Н2 = {ргк2 )ч; Я3 = (2 + р3А3(Я] + Я2)/2)-’;

= (р\\ + Р2^2 + Рз^з) ’ ^1 = (^1^1 + Рз^з ^2) ;

^2 = (РЛ + Рз^з / 2)_‘; К3 = (АГ, + К2 У1.

Полученные уравнения движения (25) могут быть использованы при исследовании напряженно-деформированного состояния и устойчивости трехслойных

ортотропных цилиндрических оболочек при динамическом и статическом нагружениях осевой сжимающей силой, внешним давлением или при комбинированном нагружении.

Для решения системы (25) нагрузка представляется в виде функции времени. Например, осевую силу при статическом нагружении можно представить в виде:

Р = с0-1, (26)

где с0 - скорость нагружения, в статических задачах она должна выбираться так, чтобы не возникал динамический эффект. При нагрузках, изменяющихся во времени, принимается известная функция.

В [4] решение представляется в виде одночленной функции с перебором чисел тип. Однако расчеты показывают, что в этом случае имеет место завышение значений амплитуд гармоник перемещений, особенно на начальном этапе выпучивания. Здесь решение (24) представляется в виде ряда с ограниченным числом членов. Сравнение численных результатов, полученных из решения, основанного на одночленной аппроксимации, и решения с удержанием даже небольшого числа членов ряда, показывает лучшую сходимость. Методом подбора установлено, что для расчета реальных конструкций достаточно ограничиться пятью удерживаемыми членами. Критические нагрузки в этом случае оказываются ниже на 2-г7 % (меньшее значение соответствует оболочкам с большим удлинением 1/г), чем при одночленной аппроксимации. Увеличение числа удерживаемых членов ряда сверх пяти приводит к неоправданному возрастанию машинного времени при изменении критических нагрузок не более чем на 1 %.

Для определения критической нагрузки используется динамический критерий устойчивости оболочки, вытекающий из критерия устойчивости Ляпунова, для чего уравнения (25) приводятся к нормальному виду задачи Коши путем введения новых переменных

Полученные уравнения могут быть решены методом Рунге-Кутта-Фальберга. Отличные от нуля начальные значения амплитуд смещений, необходимые для инициализации движения, принимаются настолько малыми, насколько позволяет ЭВМ и программное обеспечение.

Решение системы (25) даст зависимости £,=//0 (рис. 2), из которых, задавшись мерой опасного состояния оболочки, можно получить критическое время, а затем критическую нагрузку. За критическое принимается время, при котором ускорение опасной гармоники равно нулю, а скорость максимальна (точки перегиба К, на рис. 2). Это время для каждой из гармоник, т. е. для различных сочетаний чисел полуволн вдоль образующей т и чисел воли по кольцу п будет разным. За критическое принимается наименьшее. Критическая нагрузка затем определяется из (26).

Литература

1. Григолюк Э.И II Изв. АН СССР. 1958. №1. С. 6.

2. Григолюк Э.И, Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., 1973.

3. Кобелев В.Н. и др. Расчет трехслойных конструкций. М., 1984.

4. Тимофеев А. С. II Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д, 1995. С. 74-78.

5.Александров А.Я. и др. Расчет трехслойных панелей. М., 1960.

6. Устарханов О.М. Вопросы прочности трехслойных конструкций с регулярным дискретным заполнителем: Дис... д-ра техн. наук. Ростов н/Д, 2000.

Ростовский военный институт ракетных войск

18 января 2002 г.

УДК 539.3

АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕСТКИХ ПОРОМАТЕРИАЛОВ

©2003 г. Черноус Д. А., Шилько С. В.

Methods for predicting the deformation behaviour of the rigid porous materials based on the analysis of the simplified structural element obtained in the pivoted model of the material structure are suggested. The element that makes it possible to obtain the most precise estimations of the mechanic characteristics is chosen.

Пористые материалы, в частности поропласты, получили в последнее время широкое распространение в строительстве, машиностроении, производстве товаров широкого потребления. Они активно используются при протезировании опорно-двигательной и зубочелюстной систем, в частности при создании искусственного периодонта. В связи с этим актуален

подробный анализ их механических свойств. Статистический метод моментных функций, метод самосо-гласования и вариационный подход Хашина-Штрик-мана оказываются неприемлемыми для прогнозирования механических характеристик пористых материалов малой плотности[1]. Более адекватны в этом случае методы структурного моделирования [2, 3].