Устойчивость трехслойных композитных оболочек с несущими слоями разной жесткости при осевом сжатии и внешнем давлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 1982

№ 4

УДК 629.76.015.4.023.2

УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНЫХ композитных ОБОЛОЧЕК С НЕСУЩИМИ СЛОЯМИ РАЗНОЙ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ И ВНЕШНЕМ

ДАВЛЕНИИ

Ю. Ф. Крашаков, А. Л. Рубина

Излагается инженерный метод расчета критических нагрузок при потере устойчивости трехслойных композитных оболочек с легким заполнителем и несущими слоями разной жесткости, применение которого позволяет определить рациональную структуру трехслойного пакета. Праведен пример расчета.

В силовых элементах летательных аппаратов эффективно используются трехслойные конструкции с сотовым или пенопластовым заполнителем и с несущими слоями из композиционных материалов. Такие материалы, изготавливаемые из однонаправленных монослоев с учетом специфики работы конструкции, могут иметь различные жесткостные характеристики, определяемые процентным содержанием монослоев разной ориентации.

Рациональное проектирование трехслойных оболочечных конструкций из композитных материалов поставило вопрос о связи между их несущей способностью и структурой трехслойного пакета.

В предлагаемой статье решается задача по определению критических нагрузок при общей потере устойчивости под действием осевой сжимающей силы и равномерного внешнего давления для трехслойных композитных оболочек с легким заполнителем, имеющих в общем случае несимметричную структуру (рис. 1). Несимметричность структуры означает наличие разных толщин и различных упругих характеристик материалов несущих слоев трехслойного пакета.

Расчеты показали, что наибольшие критические нагрузки могут получаться как при симметричной, так и при несимметричной структуре трехслойного пакета, в зависимости от соотношений между жесткостями несущих слоев и заполнителя. Для тех случаев, когда модуль сдвига заполнителя достаточно высок, наиболее рациональной оказывается симметричная структура пакета

с несущими слоями одинаковой толщины. При низком модуле сдвига заполнителя наибольшим критическим нагрузкам соответствует несимметричная структура пакета.

Вывод уравнений устойчивости основывается на общих положениях теории пологих оболочек с учетом ортотропин материала несущих слоев и поперечного сдвига заполнителя. Для смещений в трехслойной оболочке принимается закон ломаной линии по высоте пакета. Пренебрегая сжимаемостью заполнителя, считаем прогибы всех слоев одинаковыми [1]. Начальное напряженное состояние оболочки до потери устойчивости предполагается без-моментным.

За начало отсчета в системе координат х, у, г принимается срединная поверхность заполнителя; положительная координата г направлена в сторону внешней нормали к исходной поверхности

(рис. 2). Прогиб ч!) считается положительным по направлению внутренней нормали.

- Слоям трехслойной

оболочки присваивается индекс г = 1, 2, 3 соответ-

Рис. 1

Рис. 2

ственно для верхнего несущего слоя (со стороны внешней нормали), для нижнего несущего слоя (со стороны внутренней нормали; и для заполнителя. Толщины слоев обозначены через Полная толщина оболочки

И = У. <I = Л + £> 4- £3.

Вывод разрешающего уравнения. Вывод разрешающего уравнения по определению критических нагрузок основывается на решении уравнений равновесия элемента трехслойной оболочки, для получения которых используется вариационный принцип возможных перемещений Лагранжа [2]. Согласно этому принципу состоянию равновесия системы соответствуют только те перемещения, при которых потенциальная энергия деформации имеет минимальное значение, т. е. вариация ее равна нулю.

Приравнивая нулю выражения перед вариациями независимых перемещений, получим следующие пять уравнений равновесия 13, 4]:

дх

дМ

Ыу д(?х ~ТГ ~дх~

ду

дОу

д\

ду дН

д-т г й- да 0 дх- 0 ду2

: 0;

(3)

(4)

(5)

здесь уУл, Ду, С}х, Qv, Т —- внутренние нормальные, поперечные и касательное погонные усилия. УИС, Л4у, Н—погонные изгибающие и крутящий моменты, дополнительно возникающие при выпучива-

Р

НИИ оболочки; №х0 =----— погонные усилия основ-

ного напряженного состояния.

Усилия и моменты, входящие в уравнения (1)—(5), складываются из соответствующих усилий и моментов несущих слоев и заполнителя [4|:

3 3 3 3 3

^ = 1Хг. лг,=5>,|; г = У 7-, д, = Уд,,.; - Е сгУ„ (6)

1 = 1

* = 1 3

'Иг=1>,г-Л^.

/=1

му = ^му1-лгу1

1 = 1

Nу,-э-

Н-

г = 1

(7)

Поскольку число неизвестных усилий больше, чем число уравнений равновесия, переходим от усилий к перемещениям, используя физические и геометрические соотношения, связывающие усилия с относительными деформациями слоев и деформации с перемещениями вдоль координатных осей х, у и с прогибом да. Для перемещений вдоль образующей и и по окружности цилиндра V введены обозначения:

и1, VI (х, у) —■ перемещения точки срединной поверхности /-го слоя (г = 1, 2, 3), причем

~ (и, + и2); щ = -4- («1 — н2);

V* = -й- К -Г г>2); Кр = -5- - г^5).

(8)

В соответствии с принятой моделью деформирования оболочки выражения для перемещений точки, отстоящей на расстоянии г от поверхности отсчета, имеют вид:

ДЛЯ несущего слоя 1 ( 4- ^3 -С 2 < -у- ^3 + Л

дх

(9)

V = V»

и-к дто , 2г («з — 4- ^2

4 дх 1 /з 4

Г, —12 дт , 2г 1 4-

4 ду <3 ' 4

дт

дх

от

~ду~

для несущего слоя 2

*8 '

и — иа — и?^г (2

V = Х)„ — щ +

2

/з + ^2

-4-^3

2

<3 4" *2

дг<и дх ’ дт

Иу~ '

(11)

Связь между усилиями и деформациями для ортотропных несущих слоев записывается на основании обобщенного закона Гука:

Л',,-

!Ал-г

£

.г цу1 ]

йг\

(£\'£ I СДГ1) ^^5

Т1 = ]' Тху/ *=1,2.

(12)

;

Интегралы берутся в пределах изменения толщины г'-го слоя.

Для трехслойной оболочки с легким заполнителем нормальные и касательные усилия в плоскостях заполнителя, параллельных несущим слоям, пренебрежимо малы, поэтому можно считать Л/хз = Л^, з = Т3 = 0. Учитываются только касательные напряжения в плоскостях заполнителя, нормальных к несущим слоям, т. е. поперечные усилия С}хВ и <Эу3.

Параметры Ех1, Еу1, (7;, агг, модули упругости, модуль

сдвига и коэффициенты Пуассона материала г-го слоя трехслойного пакета соответственно. Для несущих слоев (г=1, 2) они определяются через паспортные характеристики монослоя согласно методике, изложенной в [5].

Деформации удлинения и сдвига каждого слоя геометрически связаны с перемещениями и, V, да и их производными посредством выражений:

диI ду! 1Ю

С -----— • С -- --I___. ._ •

м дх

— д1’> 4_ д‘н (хуI Л г “Г

ду ’

Гл'гг

У‘

диI

дг

ду Я '

дм дх ’

дУ1 , дге> дг 1 ду

Учитывая выражения для перемещений (8)—(11), подставляем найденные деформации в соотношения закона Гука (12) и, произведя интегрирование, определяем продольные и касательное усилия в каждом слое:

Ех 1 ^1

дих да* дх 1 дх

I ди„

дкр

У '[ ду ^ ду /?

I Гп 5-: сь- С я дИа 2_ _1_ ,, , в а дур чю

- 1 — /л* я [1у 2 [ ^ С/Х ' ;У2 \ ду ~д^~ т

1 — ■

ЕугЬ Г <4 дVo

1 — ?х 1 :ау 1 I <)у 1 ду Я

IV , / ^“а ,

<4 , °Н

дх * дх

^ V 2 ^2 д©3 -IX (■ ди, V

1—^2 »иу 2 . «Ь1 <?у Гх Ч \ дх ~ ~дТ/.

^3+^1 1 °1 Т*у 1 4-^. ^2 = С) | <4 J дх ду, дх п да* ду ду )'

\ С2 Тлу с/г = (7 / /*>« ди, дх г ди* ди? \

- ид £-2 \ дх ду ~~ ~ду~ /

Изгибающие и крутящий моменты несущих слоев относительно собственных срединных поверхностей представляются формулами, соответствующими пологим ортотропным оболочкам. ДЛЯ которых считается справедливой гипотеза прямых нормалей:

Ех г /?

12(1—^1^1) V дх2 ' ду2

д2 ни 1 д2 ту \

и

*

Л1„-

£у 1

д2 да , д2да

*1=-Опг

1 а;

УИ,

6 дх ду ’

д2 да , д2 да

"1~ Р-у г -^2“ I ’

‘2(1 - 2 Ь, 2) \ дх2 ду2 ,1

Р л

М = — у2 2

,2 12(1-^2.^ 2) \'ду

д2 да , д2 да

«-+^*-а5г ;

Я, = - б

- 6 Леду

Для легкого заполнителя МхЪ — Му 3 = //3 = 0. Перерезывающие силы в несущих слоях:

д

ду

я, - 4 Г,] ;

<Ъ.~*ГК= + ТГ К< г) + МН> + $ Т’! ;

%. - К , - 1 Л» ,) + ^ («Г—7 Т) ■

^ 2 ~~ ~ду~ ' уМУ ‘2+-§- 2 ) + ~^г ( -^2 Н—7:

дх

В заполнителе за счет касательных напряжений тсг3, никают поперечные усилия Qt3 и Q 3:

хуг 3 В03-

Qx з — | — J" Ga'lxzsdz — Сз х [-^ ( —Щ. 4—* "4 " "5]г)

~~21°

~т(з

d®

дх

т'>

Ч-

Qu з — i

4'-

Zyz 3 dz ■

>&y

dw

~дУ

где в3х, у — модули поперечного сдвига в плоскостях хг, уг трансверсально изотропного заполнителя.

Суммируя усилия, найденные для каждого из слоев, получим значения сил и моментов, выраженные через перемещения. При этом для жесткостей вводятся обозначения:

Е-х 1 ^1

■ Рх 1 1А.У 1 Gyiti

■в.

■ = в.

в

1 :J-y 1

у 1’

I — v-х г Н-у 2

Еч 2 *з „

1 - |*„ 2 = У 2’

12(1—^!^,)

F

Cry 1

F

x-2l2

x " 12 (1-

—r — Dx ■>; 2 (J-v 2)

12(1

■ D

У1’ 12(1 —ux 2 !'y 2)

D

v 2*

(13)

£хлг l r*y 1) ' »** vJ —f-x 2 :^y ■

Подставляя найденные суммарные усилия в уравнения равновесия (1)—(5), получим пять линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти независимых переменных на, Vа, И3, i/g, да. Решение этой системы для случая свободно опертой оболочки аппроксимируется тригонометрическими функциями:

да = AjSinbc sin т(у, иг = Ао cos^x sin Г|у, и- — А3 cos > х sin r( v, v* — Ai sin lx cos rty,

Vf, = A5sin I.X COS Tjy;

здесь A j •—■ Art — неизвестные амплитуды перемещений; ). — m-j-,

tj — n'R\ m, n — параметры волнообразования; / — длина, R — радиус срединной поверхности оболочки.

После подстановки функций (13) и их производных в уравнения равновесия, выраженные через перемещения, приходим к системе из пяти линейных однородных уравнений относительно Ах—Л;., нетривиальное решение которых находится из условия равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Найденное решение определяет связь между

внешней нагрузкой, упругими характеристиками материала и параметрами волнообразования. Критическая величина нагрузки, т. е. наименьшие значения Рид, вычисляемые для заданной оболочки, отыскивается путем минимизации по т и п правой части следующего уравнения:

Ккр

г?

’ 2ЇГ

qR2 пР

0,1

й

Л* 1

Ог2 , иу 1 , иУ 2 1 | 1 / , . ^2 Ч | *1

у1 ох, ^2+ оЛ1 О,, 1"'3+ 3 Iі 1 ія(з)

^[(т+')^'--(т + т)-17г^=] +

/>

ДГ !

+ > ■

“2" Л‘ £ і /?Гг

*-'-Г 1

—12/г

№+0-(т+ті

в

У 2

В

у і

+

о

в,,, 1-І__________ь

1 в

V 1

1-

У 2

в

У 1

VI ди )

(14)

Я

Здесь X = /итг — ; Д, = —§-2Д,+^3Д2 - Д3+^Д4; Д„= —гі, Д,+

-{- СІ3 До — (І ( Д3 + Д4 •

В свою очередь Дь Д2, Д3, Д4 — определители 3-го порядка:

Д, = аЬгх Ьс1г с(15[ ■+■ аЬьх Ьсзх сс!іх

— аЬъх Ьси ей31 — аЬи Ьсзх сй-л

аЬи Ьс5Х сй3і — аЬ31 сс!и ЬсЬ1\

Д„ = аЬ21 Ьсіх сс1:л 4- аЬъх Ьс2х ссііх + аЬи ЬсІХ сс121 —

— аЬъх Ьсп ссІ„х — Ьс21 аЬп сйъх— аЬ2Хсй41 Ьсъх\

Д3 = аЬ2Х Ьсзх ссіІХ 4- пЬзх Ьсъх сй2, 4- аЬъх Ьс2х сйзх —

— аЬъ1 Ьсях ссі

21 — Ьс21аЬзхссІГ)Х — аЬ21ссізхЬсьх;

д4 = аЬп Ьсзхссііх -(- аЬц Ьс2х ссігх 4- аЬц Ьси сс12Х

— аЬи Ьсзх сйЇХ — Ьс,х аЬлх ссіІХ

Здесь обозначено:

сіЬ2 \ сй3} Ьс$х.

где

аЬц = аі Ь} — Ь, а] (і, у = 1, 2, . а І = к \у,у , 4-а, = Х2 (1

■>Х 2

Вд- 2

Вх*

/ С>

\ В., і 1

+

5) п т. д.,

О' І 2

Вд,

02

В

В,

аъ = 'Ш (ау

О, /]

Вд і

Сі /)

в

л: 1

'X 1

ДГ I

С?2 и ВХ 1

С2 /о

яг і

■)=

Ьг — п

By 2

ВЛ1

By ]

1+ВТГ

Ь2 = Хи (|Ал-1

By 1 fiv 2

^r2

P* 2

Ьъ--

-Л'+іг1

\ Dy 1

v — у 1 / v і

:я*(1-£г)+і’(-^ 2

—- /, и ,--?—±- 11

L‘у1 я*, ^

с>“хз('-^7)

, 1 -1 1 By, -+ Byl/

, Gi^i Go t2

Syl By 1 .

/ C, , Git, \

V s,, 1 Byl }

/ 0,/, °:Л ) ;

By і

'У 1

ВX 2 _ G3x к /q і, /2

fix, '*2 svl Г"7- ta h

„2 ( Gl 11_____________^2^2 ^

I 1 Bx . ./

(?5 --------Хи I JAy j

4- G2 Sv 1 )+4 °Ї,Я R із

BX 2 G, g2^2 \ .

Bxt ‘ау- Bj 1 Bx, }’

BX 2 і *r Gj BA-, , g,/2\. 1 B.rl J '

dx

d-i

n |^1

b„

By 1

^-(9+± + Byl V + <3 ^

By,

Xn , -dз = Xn ^ ;j.x і ~r -g

A,!

By 2

Рл- 2 -T - :ax 2

У 1

^1 ^1_____^2 ^ \ .

1 Byj J

Gj ^ , G2\ e

‘ R . ' ’

°y 1 /

£

v і

Oy 1

Я,.

1;з1 2 A t,

-[£

By , У ’ j 4G3 y ^

/ ~T~ By у t, '

t-\ \ G\t\

1 + 17

£V

t3

~tT

L) + mn>(!p- + ^

,! / By , By I

/ _^3_ . 1 \_/_^3_ _|_ J^2_ I B^ г

•i LU 1 ) U ^ tj bx, J ч

{-) G-’ 1 / ^ , 11 By, _L|A + 1]

h / bx1 1 2 lr, 1 V bx, **■*> 2 U, + /, j

+ і(т) (^rl‘"+xf

It+1)+(v

\ G.2 U 1 ’ *

1 bx ,

Bx і

f, \ By 2

Bx і

1 /?

T-x4

I ^2 ~t\

J_

2

Л

By 1

'л- 2

Bx і

Рл- I

і / -5.ІЇА. 4-Л _5l£l _u ^LUi 1 / в,,

/А і A] 3 s u 1 11, 1 h I bx1 ■ ^ 2J

Bv2 \ 11 1

A ) \Bxt B.r! ‘ *2J

Безразмерный параметр Ккр в левой части уравнения (14) указывает, во сколько раз необходимо пропорционально увеличить (или уменьшить) величину действующей нагрузки Р и </, чтобы в трехслойной оболочке достигнуть уровня напряженно-деформированного состояния, при котором происходит общая потеря устойчивости.

Алгоритм для отыскания критической нагрузки в случае осевого сжатия, внешнего давления пли их совместного действия составлен на основании уравнения (14). Минимизация его правой части по т и п производится градиентным методом, разработанным для целочисленных переменных.

Пример расчета. В качестве исходных данных вводятся характеристики материала несущих слоев £,1.г, £у1.2, 1, н-*,у 1,2 мо-

дули сдвига заполнителя С3л., й3у, толщины слоев Ьх, ?2> 4. которые могут варьироваться, длина / и радиус Р оболочки. Расчет проводится для трехслойной цилиндрической оболочки при I = = 1600 мм, Р = 400 мм, ti — \2 мм. Толщины несущих слоев и Ь2 изменяются от 0 до 4 мм, но так, что сумма их остается постоянной, т. е. -г 4 —4 мм.

Рассмотрено три значения для модуля сдвига заполнителя: б3 = в3у = 03х— 100Н/мм2, 20Н,мм2, 1 Н/мм2 и три схемы армирования А, В, С несущих углепластиковых слоев, характеристики которых приведены в таблице:

Характе- \пистика Схема армирования \ Ех-10-*, Н/мм* £у-10-«, Н/мм2 О-Ю-" Н/мм* :\г !*У

Л V,1 V до — 25% 6,3 6,3 2,4 0,33 0,33

К±45 = 50%

В \/,(1 — 80% 14,0 4.0 0,38 0,05 0,0142

Кдо= 20%

С Уд = 20% 4,0 14,0 0,38 0,02 0.07

V'» = 80 %

Здесь 1/0, У90, 1/'±4о — процентное содержание соответственно продольных (0°), кольцевых (90°) и перекрестных (+45°) монослоев в несущих обшивках (слоях) оболочки.

Получены кривые, отражающие зависимость величины критической нагрузки от структуры трехслойного пакета. На рис. 3 для случая осевого сжатия и на рис. 4 для случая внешнего давления показано изменение критических сил при различных сочетаниях толщин и материалов наружного и внутреннего несущих слоев

трехслойной оболочки при модуле сдвига заполнителя б3 = = 100 Н/мм2. На рис. 5 и 6 представлены кривые изменения критических нагрузок Ркр и <7кр для сравнительно слабых заполнителей (Сд = 20 Н мм2 и С3 = 1 Н/мм2).

Как показывают результаты расчета, рациональная структура пакета (симметричная или несимметричная) зависит от соотноше-

нил между упругими характеристиками материала несущих слоев и заполнителя.

Для сравнительно высоких модулей сдвига заполнителя наибольшим критическим нагрузкам соответствует структура пакета с одинаковой толщиной несущих слоев. При более низких значениях вг такая структура оказывается наименее рациональной и в этих случаях целесообразно конструировать трехслойный пакет с несущими слоями разной толщины.

Влияние других геометрических и жесткостных параметров трехслойной композитной оболочки на ее устойчивость исследовано в работе [6] для оболочек симметричной структуры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г р и г о л ю к Э. И., Ч у л к о в П. П. К общей теории трехслойных оболочек большого прогиба. ДАН СССР, т. 150, вып. 5, 1963.

2. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., „Наука", 1977.

3. Гр иг о люк Э. И., Чу л ков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., „Машиностроение", 1973.

4. К р а ш а к о в Ю. Ф. Несвязанная задача термоупругости и устойчивость трехслойных оболочек из композиционных материалов. Труды ЦАГИ, вып. 2041, 1980.

5. КрашаковЮ. Ф., Рубина А. Л., С у х о 0 о к о в а Г. П. Проектирование цилиндрических оболочек из композиционных материалов при ограничениях по прочности и устойчивости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IX, № 1, 1978.

6. Крашаков Ю. Ф., Рубина А. Л. Расчет устойчивости трехслойных конических оболочек с ортотропными внешними слоями и жестким заполнителем при осевом сжатии и равномерном внешнем давлении. Труды ЦАГИ, вып. 1748, 1976.

Рукопись поступила 241 1982 г.