CC BY
34
УДК 539.3
DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-35-43
нелинейная теория кручения упругих цилиндров с винтовой дислокацией*
© 2015 г. А.А. Галаско, Л.М. Зубов
Галаско Артур Анатольевич - аспирант, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: arturgalasko@yandex.ru
Зубов Леонид Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: zubovl@yandex. ru
Galasko Artur Anatolievich - Post-Graduate Student, Department of Theory of Elasticity, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: arturgalasko@yandex.ru
Zubov Leonid Mikhailovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theory of Elasticity, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: zubovl@yandex.ru
Найдено точное решение задачи о больших деформациях кручения и растяжения-сжатия сплошного кругового цилиндра с прямолинейной винтовой дислокацией. Материал цилиндра изотропный и несжимаемый. Исследованы нелинейные эффекты, обусловленные наличием дислокации. Обнаружено влияние дислокации на сопротивление стержня растяжению или сжатию, а также на устойчивость при растяжении и кручении. Исследовано влияние дислокации на величину и знак эффекта Пойн-тинга при кручении. Основные результаты сформулированы в виде, допускающем экспериментальную проверку.
Ключевые слова: нелинейная теория упругости, винтовая дислокация, несжимаемые материалы, эффект Пойнтинга.
The exact solution of the problem of the large torsion and tension-compression of the solid circular cylinder with a straight screw dislocation is found. Material of the cylinder is isotropic and incompressible. Nonlinear effects due to the presence of dislocations are investigated. The impact of the dislocation on tension or compression cylinder, as well as stability under tension and torsion are investigated. The impact of the dislocation on the torsional effect of Poynting is investigated. The main results are formulated in a form admitting experimental verification.
Keywords: nonlinear elasticity, screw dislocation, incompressible materials, effect of Pointing.
Дислокации являются важным элементом структуры твердых тел. Они играют определяющую роль в таких явлениях, как пластическое течение, внутреннее трение, усталость и разрушение, рост кристаллов. Дислокационные модели позволяют описывать различные свойства современных наноструктурных материалов [1]. Прямолинейные винтовые дислокации влияют на механическое поведение нитевидных кристаллов, нанотрубок, на-ностержней и других элементов конструкций.
В рамках линейной теории упругости задача о равновесии кругового цилиндра с изолированной прямолинейной винтовой дислокацией рассматривалась в работах [2-5]. Задача линейной анизотропной теории упругости о кручении призматических упругих тел с дискретно или континуально распределенными винтовыми дислокациями решена в [6].
С точки зрения нелинейной теории упругости задача о сосредоточенной винтовой дислокации в круговом цилиндре без учета его кручения и осевого растяжения-сжатия была решена в [7], где было
показано, что строгий нелинейный подход позволяет устранить такой парадокс линейной теории упругости, как бесконечное значение погонной энергии деформации, а также коренным образом меняет порядок сингулярности напряжений и деформаций на оси дислокации.
В представленной работе исследуется нелинейная задача о прямолинейной винтовой дислокации в цилиндрическом стержне с учетом кручения и продольной деформации. При конечных деформациях [8, 9] крутильные и продольные деформации в цилиндре взаимодействуют между собой (эффект Пойнтинга). Ниже мы анализируем влияние дислокации на эффект Пойнтинга и на сопротивление стержня растяжению-сжатию и кручению. Этот анализ проводится на основе полученного точного решения нелинейных уравнений равновесия для изотропного несжимаемого материала общего вида. Также рассматривается влияние дислокации на устойчивость стержня при растягивающей нагрузке и определяется поле напряжений в цилиндре с дислокацией при кручении и растяжении-сжатии.
*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15-01-01492).
Решение задачи о кручении и растяжении-сжатии нелинейного упругого цилиндра с изолированной винтовой дислокацией
Рассмотрим сплошной круговой цилиндр радиуса a, в котором содержится изолированный дефект в виде прямолинейной винтовой дислокации. Линия дислокации совпадает с осью цилиндра. Следуя [7], поле конечных деформаций цилиндра с дислокацией будем разыскивать в виде отображения
R=R г , Ф = ф + у/г, 2=Ъф + аг. (1)
Здесь b . а . i// — постоянные; г, ф, z — цилиндрические координаты точек упругого тела в от-счетной конфигурации (лагранжевы координаты); R , Ф , Z — цилиндрические координаты текущей конфигурации (эйлеровы координаты). В (1) учтено, что образование винтовой дислокации в цилиндре сопровождается его закручиванием, а также осевой и радиальной деформацией. Постоянная /// представляет собой угол закручивания на единицу длины цилиндра; величина а — 1 есть относительное осевое удлинение; 2л\Ь\ — длина вектора Бюр-герса винтовой дислокации.
Если X, и X к s.k = 1.2.3 - декартовы координаты соответственно отсчетной и текущей конфигурации, то градиент деформации задается выражением
F = f4®it, (2)
dxs
где \к — постоянные орты декартовых координат.
Используя соотношения х^ = г cos ф , х2 = г$тф . х3 = z , Xl =i?cos<D ,Х2 =i?sin<I> , Х3 =Z и вводя единичные векторы
er =ijCos^ + i2sin^ , ея ^cosO + ^sincp, (3) = -ii Sin^ + i2 cos^, ez = i3, еф = -ij sin<J> + i2 cos<D, ez =i3 при помощи (2) найдем представление градиента деформации для отображения (1) dR ^ R ^ ar г
Ь
г
-if/Rez ®еа
-at.
(4)
На основании (4) находим меры деформации Ко-ши С = F • FT и Фингера FT • F :
C =
dR dr
5е„ +
R1
2 + — Г Г
>e, +
( ab if/R2Л
)еф + y/2R2+a2 ez
FT -F = [ —
l dr
Í p2
+
(5)
+[Щr + a^|/R^ еф®ег+ег®еф + ^т + а2 ег®ег.
Материал цилиндра будем считать изотропным и несжимаемым. В силу (4) условие несжимаемости с1с1. Г = 1 приводит к дифференциальному
уравнению для функции R=R г .
R- = -
— . (6)
dr а — Ьцг
В дальнейшем предполагается выполненным неравенство а > Ъцг . Тогда решение уравнения (6) для сплошного цилиндра 0<г <а с учетом граничного условия ^0=0 будет г
у а-Ьц/
Условие К 0 = 0 означает, что после деформации цилиндр остается сплошным, полость не образуется. При учете (7) выражения (4) и (5) принимают вид
Г= 1 ~ ~
C =
•Ja-Ьу/ г
Ь гл Vr
®ez +~F
Г
1
-у/а-Ьц/
(8)
а-Ъц/ \[/r ab
)е„ +
1
а-Ъц/ г
+ — |е.
+
а-Ьц/ г 1
(22 \ V Г 2 I Г7\ ^-+ а2 ez ®ez.
а-Ьц/
F F =
а-Ьц/
, N
Ь + ау/г r^ja - by/
а-Ьц/ J
(9)
еф®ег+ег®еф +\К + а' |ez ^ez •
Уравнение состояния несжимаемого упругого материала имеет вид [9]
т d W
Т = 2F ----F-oI , W = W С .
dC
(10)
Здесь Т — тензор напряжений Коши; Ж — удельная энергия деформации; р — давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию; I — единичный тензор. Запишем полярное разложение градиента деформации
I ^
Г = II-А = А-V , и = С2 , V = Рт-Р 2 . (11)
Здесь и и V — симметричные положительно определенные тензоры растяжения; А — собственно ортогональный тензор.
Если упругий материал изотропен, то Ж С —
изотропная тензорная функция. В этом случае два
e,<x)ez+ezQ9e, +
e
e
z
z
2
e
ez +ez
e
z
e
e
r
симметричных тензора W и коммутируют.
Отсюда вытекает соотношение
ас ш да
Предположим, что удельная энергия изотропного несжимаемого материала задана как функция первого ^ и второго /2 инвариантов тензора растяжения V, которые совпадают с инвариантами тензора и. Третий инвариант равен единице в силу условия несжимаемости. Итак,
^ = ^ 1т2V- 1тУ2 . (13)
На основании (12), (13) и формулы Гамильтона — Кэли выводим, что определяющее соотношение произвольного изотропного несжимаемого упругого материала может быть представлено в форме
dJl dJ2
(14)
V
1
1
Ja-by/
Ъ + aij/r1
г Ja - by/ Ф
1 + y/2r2 a-by/
- Ja- by/
f 2 ul
+ — + Ja-by/ ez ®e.
4 1 + y/2r2 2 b „ ,-—
A= —--+ cr+ —+ 2J«-by ,
V a-by/ г
(15)
V 1 = Ja - by/eR + —
b + ay/r2
/ >, Сф<
г^а-by/
b2
а2 + + Ja-by/
Ja-by/
l + r>2 a -by/
-Ja-by/
Ja -by/
= . ^ _+А , = ^а~-Ьу/ +—. (16) Ja-bц/ Ja-by/
В силу (14) — (16) для рассматриваемой деформации цилиндра тензор напряжений представлен в виде
Т = сгЛ<х>еЛ+сгфеф®еф + +гф2 еф <S>ez +ez ®еф +crzez ®ez,
(17)
=CJ*R R -P , &ф=аф R -P , 0"z =Crz R -P ,
*
г =т R
Здесь символом (*) отмечены компоненты тен-dW dW
dJl dJ2
dfF.. dW, зора T --V--V , которые, согласно (15),
являются известными функциями радиальной координаты к . Векторное уравнение равновесия для напряжений при отсутствии массовых сил
оТ 1 5Т ат
е„— +—еф--+е,— = 0 (18)
я дИ Я ф дФ 2 дг
вследствие (7) приводится к трем скалярным соотношениям
dC7Ä С7Я-С7Ф=0 _Ф=0 _Ф=0
Используя результаты работы [10], при помощи (9) найдем выражения тензоров V и V , а также инвариантов ^ и /2 для деформации (1):
. . (19)
сШ В. сФ дг
Из (19) вытекает, что р = р К . Нормальные
напряжения ак Я находятся в квадратурах из первого уравнения (19). После этого при помощи (17) определяется функция р К и остальные
нормальные напряжения <тф 1( , а7 Я . Касательное напряжение гф/ Я — известная функция,
определяемая на основании (14) — (16). Единственность решения 1-го уравнения (19) обеспечивается граничным условием
<хд Я0 =0 , Я0 =
Ja-by/ '
(20)
которое означает отсутствие внешней нагрузки на поверхности цилиндра. Таким образом, выражения (1) и (7) дают точное решение задачи о кручении и растяжении-сжатии кругового цилиндра с центральной винтовой дислокацией для любого изотропного несжимаемого упругого материала при конечных деформациях.
Сила и момент, действующие на концах цилиндра
Вычислим главный вектор P и главный момент М напряжений, действующих в произвольном сечении цилиндра z = const
Р = jd<D jez Ti?dR ,
о о
2ж «о
М = JdcD J +Zez xTezMR . (21)
о о
Учитывая (3) и (17), из (21) получим Р = Pez , M=Mez ,
Р = 2ж |сг2сШ ,М = 2л |г2Ф112СЦ1 . (22)
о о
Соотношения (22) показывают, что в каждом поперечном сечении цилиндра напряжения приводятся к результирующей продольной силе и результирующему крутящему моменту. Указанные величины не зависят от координаты 2 , т.е. одинаковы во всех сечениях цилиндра. Таким образом, реализация описываемой формулами (1) деформации кручения и растяжения цилиндрического
а
еФ®еф
ez+ez«9e
е® +
e
e
ez»ez
стержня конечной длины с винтовой дислокацией требует приложения к концам стержня продольной силы Р и крутящего момента М. После определения поля напряжений путем решения 1-го уравнения (19) сила и момент становятся известными функциями угла закручивания и осевого удлинения Р = Р а, у/ , М = М а, у/ . (23)
В качестве параметра в выражения функций (23) входит величина Ь , пропорциональная длине вектора Бюргерса дислокации.
Погонная энергия упругого цилиндра, вычисляемая при помощи (10), для заданной модели материала также является известной функцией переменных а и у/:
Х\ = 2ж JlVrdr = П а,у/ .
(24)
Функции Р а, у/ , М а, у/ и П а,у/ связаны между собой энергетическими соотношениями:
(25)
ду/
учета кручения и растяжения, т.е. при у/ - 0, а = 1.
В дальнейшем мы будем использовать также более общую функцию удельной энергии
Г = 2// .7,-3 ß , ß>X- .
(27)
оа
Соотношения (25) доказаны в нелинейной теории кручения упругих тел без дислокаций [11, 12], а с учётом винтовых дислокаций — в работе [13].
Поскольку инварианты деформации ^, /2 согласно (16) — известные функции координаты г, удельная энергия Ж ^ г , г также известна
как функция от г для любого заданного изотропного несжимаемого материала. Это позволяет при помощи (25) получить явные выражения функций Р а,у/ и М а, у при кручении и растяжении
сплошного кругового цилиндра с винтовой дислокацией в виде определенных интегралов для произвольного несжимаемого изотропного материала.
Если задачу о винтовой дислокации исследовать на основе линейной теории упругости, то, как хорошо известно [4, 5], погонная энергия цилиндра с сосредоточенной дислокацией оказывается бесконечной. Этот парадокс сохраняется и в нелинейной теории упругости для некоторых материалов, например, для широко распространенной модели Муни — Ривлина [7]. Вместе с тем в нелинейной теории упругости существует класс материалов, для которых винтовая дислокация в цилиндре обладает конечной погонной энергией [7]. К этому классу относится модель несжимаемого материала Бартенева — Хазановича [14], задаваемая функцией удельной энергии
W = 2(лJl-Ъ . (26)
Здесь материальная постоянная /I имеет смысл модуля сдвига. Нелинейная задача о винтовой дислокации для материала (26) была решена в [7] без
Модель несжимаемого тела с функцией упругой энергии вида II' = 2// иУ2 -3 ''' , которая близка к модели (27), была рассмотрена ранее [15]. Обе эти модели имеют ту особенность, что при < ¡3 < 1
описывают материал, обладающий физической нелинейностью при сколь угодно малых деформациях.
Влияние дислокации на диаграмму растяжения-сжатия цилиндра при отсутствии кручения
Рассмотрим явление растяжения-сжатия стержня с дислокацией при у/ = 0, т.е. при отсутствии
кручения. Для модели материала (27) согласно (25) имеем
„ "г 3 ( 1 I 2 „г- 1 Ъ2 '
4 пц\— —j= + Aa+2«Ja-\---ь— -3
о 8а yjа V а г
rdr .
Чтобы выяснить особенности поведения материала (27) при деформации, рассмотрим сначала растяжение стержня без дислокации (Ь=0). В этом случае интеграл в (28) легко вычисляется, и продольная сила выражается формулой (опущен постоянный множитель)
л^1 ( - >
Р 8 =ß\ S-2 +
-JT+s
1--
1
1+s -JT+s
(29)
Здесь S = а-1 — относительное удлинение. Можно проверить, что асимптотика функции (29) при S—>0, д > О имеет вид С = const > 0
р S =CS2l3~l [l+O 5 ]. (30)
Из выражения (30) вытекает указанное выше
ограничение Р > —, а также тот факт, что при
ft Ф1 зависимость Р 8 нелинейна при сколь угодно малых удлинениях д.
Переходя к анализу влияния дислокации на зависимость Р а , заметим, что для любого изотропного несжимаемого тела продольная сила не зависит от знака параметра дислокации b. Это означает, что влияние дислокации на диаграмму растяжения-сжатия носит нелинейный характер и не может быть обнаружено в рамках линейной теории упругости.
0
На рис. 1 представлена диаграмма растяжения-сжатия цилиндра из материала Бартенева - Хазано-вича Р = 1 для различных значений вектора Бюргер-са. В расчетах по формуле (28) принято // - 1. а = 1.
-b=0--b=0,3 ■ ■ ■ ■ b=0,5
Рис. 1. Диаграмма растяжения-сжатия стержня при отсутствии кручения для модели материала
Бартенева — Хазановича, построенная при различных значениях параметра дислокации Ь
Из рис. 1 видно, что растягивающая сила, необходимая для создания заданного удлинения, уменьшается с ростом параметра дислокации, в то время как сжимающая сила, обеспечивающая заданное сокращение длины стержня, увеличивается с ростом длины вектора Бюргерса. Другими словами, винтовая дислокация уменьшает сопротивление стержня растяжению, но увеличивает сопротивление сжатию. При отсутствии продольной силы образование винтовой дислокации в стержне приводит к увеличению его длины, если предотвращено закручивание.
Влияние дислокации на диаграмму растяжения-сжатия стержня из существенно нелинейного материала (¿> =0,51) показано на рис. 2. Здесь наличие дислокации качественно меняет характер зависимости Р а . При отсутствии дислокации 6 = 0 диаграмма растяжения стержня имеет точку максимума а = 1,0245 и падающий участок. Как известно [16—18], существование падающего участка на графике функции Р а свидетельствует о неустойчивости цилиндрической формы растягиваемого образца и образовании шейки. При наличии в
стержне винтовой дислокации диаграмма растяжения становится монотонной, т.е. не имеет неустойчивых участков. Это позволяет предположить, что создание в стержне винтовой дислокации увеличивает его устойчивость при простом растяжении.
у/ .-■ / /
У
/
/ ..
1,3 1,4 1,5
Рис. 2. Диаграмма растяжения-сжатия стержня для модели существенно нелинейного материала при различных значениях параметра дислокации Ь
Устойчивость упругого цилиндра с дислокацией при растяжении и кручении
Для исследования устойчивости упругого цилиндра при осевом растяжении и кручении можно использовать критерий выпуклости погонной энергии П как функции переменных а и у/ . Справедливость этого критерия подтверждена в работах [19, 20] путем решения задач о бифуркации равновесия цилиндра при комбинированном нагружении в рамках трехмерной нелинейной теории упругости. Применим данный критерий к анализу устойчивости цилиндра с дислокацией, полагая 8 = 0,51 , М = \ , а = 1 . Необходимое и достаточное условие выпуклости функции I [ а.;// состоит в выполнении неравенств
92П а,у/
>0
52П а,у/ 52П а, у/
да2
ду/
'д2П а,у/ 8 ад у/
>0
(31)
2
Как видно на рис. 3, область устойчивости цилиндра без винтовой дислокации при осевом растяжении и кручении симметрична. График, соответствующий параметру Ъ = 0, пересекает ось а в точке (у/ = 0 ,ос = 1,0245). Эта точка соответствует точке максимума диаграммы растяжения стержня без винтовой дислокации, представленной на рис. 2. Область устойчивости цилиндра с винтовой дислокацией несимметрична и расширяется с ростом длины вектора Бюргерса. Таким образом, предположение о том, что создание в стержне винтовой дислокации увеличивает его устойчивость при простом растяжении, подтверждается и в случае комбинированного нагружения стержня продольной силой и крутящим моментом.
■ • I .тт.—Ь-^ -1-1-1-1-1-1—
1,10 1,12 Т>4^.,,1,16 1,18 1,20
а ч"
^
/
Рис. 3. Область устойчивости стержня при осевом растяжении и кручении, построенная для различных значений параметра дислокации
Самопроизвольная деформация цилиндрического стержня, обусловленная винтовой дислокацией
Рассмотрим случай самопроизвольной деформации цилиндрического стержня, обусловленной винтовой дислокацией и происходящей без приложения внешних сил. Определение деформации сводится к нахождению кратности осевого удлинения а и угла закручивания у/ из системы уравнений Р а,у/ =0 , М а,у/ =0 . (32)
Для материала (26) функции Р и М, согласно (25), имеют вид
i , Л
Р а, ц/ = Ал/л
J Г}ГY
да
1
М а,у/ = Ал/л Г-^-J ду/
Ja-by/ 1
+ Л-3
rdr.
А
+ А-3
rdr.
(33)
у/а-Ъуг
Решаем систему нелинейных уравнений (32) методом Ньютона при нескольких значениях параметра дислокации Ъ. В расчетах принято // - 1 . а = 1 . Результаты представлены в табл. 1. Первая строчка таблицы приведена для контроля точности метода.
Таблица 1
Численные решения системы (32) при различных значениях b
b а ¥
0 1,0000 0,0000
0,1 0,9918 -0,1978
0,2 0,9658 -0,3988
0,3 0,9221 -0,5962
Из полученных данных видно, что при отсутствии продольной силы и крутящего момента образование винтовой дислокации в стержне приводит к уменьшению его длины. Другими словами, закручивание стержня, обусловленное дислокацией, сопровождается осевым укорочением. В то же время закручивание цилиндра без дислокации внешним крутящим моментом при отсутствии продольной силы сопровождается увеличением его длины. Этот факт подтверждается экспериментами Пойнтинга [8] и доказан теоретически [8, 21] для широкого класса моделей изотропных несжимаемых упругих тел, к которым принадлежит и модель Бартенева — Хазановича. Таким образом, можно сказать, что эффект Пойнтинга, обусловленный винтовой дислокацией, имеет противоположный знак по сравнению с эффектом Пойнтинга, обусловленным крутящим моментом.
Растяжение-сжатие стержня с дислокацией при отсутствии крутящего момента
Рассмотрим случай растяжения цилиндрического стержня с винтовой дислокацией продольной силой Р = 0,5 при отсутствии крутящего момента. Определение деформации сводится к нахождению кратности осевого удлинения а и угла закручивания ;// из системы уравнений
Р а,у/ =0,5, М а,у/ =0 , (34)
где Р и М имеют вид (33).
о
Решаем систему нелинейных уравнений (34) методом Ньютона при нескольких значениях параметра дислокации Ъ. В расчетах принято = 1. а = 1. Результаты представлены в табл. 2.
Из полученных данных видно, что винтовая дислокация в стержне увеличивает его сопротивление растяжению продольной силой при нулевом крутящем моменте.
Таблица 2
Численные решения системы (34) при различных значениях Ь
b а ¥
0 1,0567 -0,0001
0,1 1,0502 -0,1888
0,2 1,0283 -0,3758
0,3 0,9914 -0,5559
а-Ьу/
^а-Ьу/
ir , (35)
где Rq =-
^а -Ьу/
Рассматривая подынтегральную функцию в (35), можно заключить, что сгк г при г —> О имеет логарифмическую особенность. Далее находим егф и сгг :
сгг = 2 ц
*Ja-by/
1 + г>2 а-by/ 1
«Ja -Ьу/
+ 2<у„
- b\i/ ■
а
г2 1 „
г - - + 2а„
yja-by/
Нормальное напряжение <тф при г —> О имеет логарифмическую особенность, напряжение <тг при г —> О — особенность г-1.
Построим зависимости Р а для различных значений длины вектора Бюргерса Ь при условии, что крутящий момент М а, у/ = 0. С помощью
построенных зависимостей можно будет сделать выводы о влиянии винтовой дислокации на растяжение-сжатие стержня при отсутствии крутящего момента. Как видно на рис. 4, влияние дислокации на диаграмму растяжения-сжатия стержня при нулевом крутящем моменте качественно отличается от такового при отсутствии кручения (рис. 1). При нулевом крутящем моменте наличие дислокации увеличивает сопротивление стержня растяжению и уменьшает сопротивление стержня сжатию, в то время как при нулевом угле закручивания дислокация уменьшает сопротивление цилиндра растяжению и увеличивает его сопротивление сжатию.
Поле напряжений
Для определения поля напряжений используем
соотношения (17) и (19). Найдем составляющую
нормального напряжения <тк г из уравнения (19)
' 1 2 2 4 I-Г~ ! + >">
J г
..'' //
■ *'* / /
/ /
/ /
• ' / /
^ /
/ /
' /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
' /
/ /
f /
1 /1 1 1 / 1 / 1 1 1
0,5 0,(5 0,7 .' 0,8 Ъ$ /,0 1,1 1,2
/
f
t /
/ /
/ /
/ /
- / /
/ /
/ /
t /
/ /
l /
/ /
t /
■ b=0--b=0,3 ■■■ ■b=0,5
Рис. 4. Диаграмма растяжения-сжатия стержня при отсутствии крутящего момента М для модели материала Бартенева — Хазановича, построенная при различных значениях параметра дислокации Ь
Касательное напряжение тФУ определяем на ос-
новании (14), (16): тш = 2ц
b + ay/r2
\
. Оно ос-
гА^а - Ьу/
тается ограниченным при приближении к оси дислокации 1п11 гЛ)/ =-, .
\b\jinap
Поле напряжений представлено на рис. 5.
В данной работе с точки зрения нелинейной теории упругости исследована задача о кручении и продольной деформации сплошного кругового цилиндра с центральной прямолинейной винтовой дислокацией. Получено точное аналитическое решение этой задачи для произвольного изотропного
2
ъ
R
а
несжимаемого материала. Основные результаты сформулированы в терминах величин, доступных измерению в эксперименте: продольное удлинение, угол закручивания, осевая сила и крутящий момент. Обнаружены новые нелинейные эффекты, обусловленные дислокацией, например влияние дислокации на сопротивление цилиндра растяжению или сжатию и на устойчивость стержня при
5 Н
4-
2 -
1 -
\ -, \ \ \ '*-\ '■ \
\
\
\
\
0,05 0,10
растяжении и кручении. Установлено, что наличие винтовой дислокации может изменить знак эффекта Пойнтинга при кручении. В частности, при самопроизвольном закручивании цилиндра с дислокацией без приложения внешних сил его длина уменьшается, в то время как приложение крутящего момента к цилиндру без дислокации приводит к увеличению его длины.
7-б-5 -С 4-
з-2-
\
H ^
о
0,05
0,10
О,Ii г
0,20
0,23
0,30
-b=0,2 .....b=0,5
-b=0,2 .....b=0,5
100 -
90 -
SO -
70 -
¡50 -
30 -
40 -■
ли - \
20 - \ \
10 -
0,30
1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 0,2 -0
V". \ '
\
x
■ b=0,2 .....b=0,5 ;
■ b=0,5 i
б
а
г
в
Рис. 5. Поле напряжений при трех различных значениях параметра дислокации; а - ак ; б - сгф ; в - о2 ; г - г,
Литература
1. Gutkin M.Y., Ovid'ko I.A. Plastic Deformation in Noncrystalline Materials. N.Y., 2004. 197 p.
2. Eshelby J.D. The continuum theory of lattice defects // Solid State Physics / eds. F. Seitz, D. Turnbill. N.Y., 1956. Vol. 3. P. 79-144.
3. Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. N.Y., 1968. 780 р.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М., 1987. 248 с.
5. Teodosiu C. Elastic Models of Crystal Defects. N.Y., 1982. 112 р.
6. Guba A.V., Zubov L.M. Torsion of prismatic elastic bodies containing screw dislocations // Prikl. Mat. Mech. 2002. Vol. 66, № 2. P. 316-324.
7. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Dis-clinations in Elastic Bodies. N.Y., 1997. 205 p.
8. Truesdell C., Noll W. The Nonlinear Field Theories of Mechanics // Handbuch der Physik. N.Y., 1965. Vol. 3. P. 1-602.
9. Lurie A.I. Nonlinear Theory of Elasticity. Amsterdam, 1990. 617 p.
10. Zubov L.M., Rudev A.N. An explicit expression for elements of the polar representation of a second-rank tensor // Dok-lady Physics. 1996. Vol. 41(11). P. 544-547.
11. Zubov L.M., Bogachkova L.U. The theory of torsion of noncircular elastic cylinder under large deformations // Trans. ASME. J. of Applied Mechanics. 1995. Vol. 62. P. 373-379.
12. Zubov L.M. The non-linear Saint-Venant problem of the torsion, stretching and bending of a naturally twisted rod // Prikl. Mat. Mech. 2006. Vol. 70, № 2. P. 332-343.
13. Зубов ЛЫ, Губа А.В. Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2003. С. 212-222.
14. Бартенев r.M., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолекулярные соединения. 1960. Т. 2, № 1. С. 20-28.
15. ZubovL.M., Rudev A.N. Features of the Loss of Stability for a Non-Linearly Elastic Rectangular Beam // Prikl. Mat. Mech. 1993. Vol. 57(3). P. 65-83.
16. Spector S.J. On the Absense of Bifurcation for Elastic Bars in Uniaxial Tension // Arch. Ration. Mech Anal. 1984. Vol. 85(2). P. 171-199.
17. Zubov L.M., Rudev A.N. The Instability of a Stretched Non-Linearly Elastic Beam // Prikl. Mat. Mech. 1996. Vol. 60(5). P. 786-798.
18. Lastenko M.S., Zubov L.M. A Model of Neck Formation on a Rod under Tension // Revista Colombiana de Matematicas. 2002. Vol. 36(1). P. 49-57.
19. Zubov L.M., Sheidakov D.N. The Effect of Torsion on the Stability of an Elastic Cylinder under Tension // Prikl. Mat. Mech. 2005. Vol. 69(1). P. 53-60.
20. Zubov L.M., Sheidakov D.N. Instability of a hollow elastic cylinder under tension, torsion, and inflation. Trans. ASME // J. of Applied Mechanics. 2008. Vol. 75. Р. 6.
21. Зубов Л.M. О прямом и обратном эффектах Пойн-тинга в упругих цилиндрах // Докл. РАН. 2001. Т. 380, № 2. С. 194-196.
References
1. Gutkin M.Y., Ovid'ko I.A. Plastic Deformation in Non-ocrystalline Materials. N.Y., 2004, 197 p.
2. Eshelby J.D. The continuum theory of lattice defects. Solid State Physics. Eds. F. Seitz, D. Turnbill. N.Y., 1956, vol. 3, pp. 79-144.
3. Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. N.Y., 1968, 780 р.
4. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskayafizika. T. 7. Teoriya uprugosti [Theoretical physics. Vol. 7. Theory of elasticity]. Moscow, 1987, 248 p.
5. Teodosiu C. Elastic Models of Crystal Defects. N.Y., 1982, 112 р.
6. Guba A.V., Zubov L.M. Torsion of prismatic elastic bodies containing screw dislocations. Prikl. Mat. Mech., 2002, vol. 66, no 2, pp. 316-324.
7. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Dis-clinations in Elastic Bodies. N.Y., 1997, 205 p.
8. Truesdell C., Noll W. The Nonlinear Field Theories of Mechanics. Handbuch der Physik. N.Y., 1965, vol. 3, pp. 1-602.
9. Lurie A.I. Nonlinear Theory of Elasticity. Amsterdam, 1990, 617 p.
10. Zubov L.M., Rudev A.N. An explicit expression for elements of the polar representation of a second-rank tensor. Doklady Physics, 1996, no 41(11), pp. 544-547.
11. Zubov L.M., Bogachkova L.U. The theory of torsion of noncircular elastic cylinder under large deformations. Trans. ASME. J. of Applied Mechanics, 1995, vol. 62, pp. 373-379.
12. Zubov L.M. The nonlinear Saint-Venant problem of the torsion, stretching and bending of a naturally twisted rod. Prikl. Mat. Mech., 2006, vol. 70, no 2, pp. 332-343.
13. Zubov L.M., Guba A.V. Nelineinaya teoriya krucheniya prizmaticheskikh uprugikh tel, soderzhashchikh vintovye dislo-katsii [Nonlinear theory of torsion of prismatic elastic bodies containing screw dislocations]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. Spetsvypusk. Nelineinye problemy mekhaniki sploshnykh sred [Special Issue. Nonlinear problems of continuum mechanics], 2003, pp. 212-222.
14. Bartenev G.M., Khazanovich T.N. O zakone vysokoe-lastichnykh deformatsii setochnykh polimerov [On the law of highly elastic deformation of polymers grid]. Vysokomoleku-lyarnye soedineniya, 1960, vol. 2, no 1, pp. 20-28.
15. Zubov L.M., Rudev A.N. Features of the Loss of Stability for a Non-Linearly Elastic Rectangular Beam. Prikl. Mat. Mech., 1993, vol. 57(3), pp. 65-83.
16. Spector S.J. On the Absense of Bifurcation for Elastic Bars in Uniaxial Tension. Arch. Ration. Mech Anal., 1984, vol. 85(2), pp. 171-199.
17. Zubov L.M., Rudev A.N. The Instability of a Stretched Non-Linearly Elastic Beam. Prikl. Mat. Mech., 1996, vol. 60(5), pp. 786-798.
18. Lastenko M.S., Zubov L.M. A Model of Neck Formation on a Rod under Tension. Revista Colombiana de Matematicas, 2002, vol. 36(1), pp. 49-57.
19. Zubov L.M., Sheidakov D.N. The Effect of Torsion on the Stability of an Elastic Cylinder under Tension. Prikl. Mat. Mech, 2005, vol. 69(1), pp. 53-60.
20. Zubov L.M. Sheidakov D.N. Instability of a hollow elastic cylinder under tension, torsion, and inflation. Trans. ASME J. ofApplied Mechanics, 2008, vol. 75, p. 6.
21. Zubov L.M. O pryamom i obratnom effektakh Pointinga v uprugikh tsilindrakh [On the forward and reverse the effects of Poynting in elastic cylinders]. Dokl. RAN, 2001. vol. 380, no 2, pp. 194-196.
Поступила в редакцию_19 августа 2015 г.
