Полуобратный метод в нелинейной статике микрополярных материалов и тел с распределенными дислокациями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 427-428

УДК 539.3

ПОЛУОБРАТНЫЙ МЕТОД В НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИКЕ МИКРОПОЛЯРНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ТЕЛ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ДИСЛОКАЦИЯМИ

© 2011 г. А.А. Зеленина

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

a.zelenina@gmail.com

Поступила в редакцию 16.06.2011

В рамках модели микрополярной среды (континуума Коссера), т.е. среды с моментными напряжениями и вращательным взаимодействием частиц, найдены семейства конечных деформаций, на которых система уравнений равновесия сводится к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Построены первые интегралы этих уравнений. Рассмотрены задачи изгиба и кручения призматических упругих тел с непрерывно распределенными дислокациями в условиях больших деформаций. Представлен ряд точных решений задач о больших деформациях микрополярных тел и тел с распределенными дислокациями.

Ключевые слова: микрополярная среда, моментные напряжения, большие деформации, распределенные дислокации.

В рамках континуума Коссера найдены семейства конечных деформаций, на которых система уравнений равновесия сводится к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Такими деформациями, называемыми одномерными, можно описать раздувание, растяжение и кручение полого кругового цилиндра, цилиндрический изгиб прямоугольной плиты, образование винтовой дислокации и клиновой дисклинации в полом цилиндре, выворачивание сферического купола и другие виды деформаций. Построение семейств одномерных конечных деформаций осуществляется при помощи специальной новой формы уравнений равновесия для силовых и момент-ных напряжений, в которой используется аппарат двухточечных тензорных полей. Построены первые интегралы системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих изгиб, растяжение и кручение микрополярного анизотропного слоя. С использованием первых интегралов найдено явное точное решение задачи о больших деформациях чистого изгиба упругой плиты в классе изотропных несжимаемых микрополярных материалов. Модель микрополярной среды применяется для описания композитов, полимеров, наноструктурных и магнитных материалов, а также для учета таких элементов микроструктуры твердых тел, как микронеоднородность и пористость.

Другим распространенным элементом мик-

роструктуры твердых тел являются дислокации, которые в значительной степени определяют пластические и прочностные свойства материалов и конструкций. Представлены и исследованы нелинейные задачи Сен-Венана о кручении и изгибе призматических тел с непрерывно распределенными дислокациями. Тензор плотности дислокаций предполагается не зависящим от координаты, отсчитываемой по оси стержня. Рассмотрены поля распределенных винтовых дислокаций, оси которых могут иметь произвольное направление, а также некоторые типы распределенных краевых дислокаций. При помощи специальной подстановки в нелинейных трехмерных уравнениях равновесия и уравнениях несовместности удалось свести задачу к двухмерной нелинейной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения стержня. Особенность задач о равновесии тел с распределенными дислокациями состоит в том, что поле перемещений не существует. Несмотря на это, развитая теория кручения содержит такие понятия, как угол закручивания и осевое удлинение стержня, и позволяет определить напряженное состояние призматического тела при заданных плотностях дислокаций и внешних нагрузках — крутящего момента и продольной силы. Установлено, что при определенной зависимости тензора плотности дислокаций от координат призматический стержень закручивается без всякого сопротивления, т. е. при нулевых напряжениях. В случае кругового

цилиндра из несжимаемого изотропного материала найдено точное решение нелинейной задачи кручения при наличии распределенных дислокаций.

Решена также нелинейная задача Сен-Ве-нана о пространственном и чистом изгибе призматического тела с распределенными дислокациями. При определенных допущениях о тензоре плотности дислокаций с помощью полу-обратного метода осуществлено сведение исходной трехмерной задачи к двухмерной задаче на сечении бруса. Определены силы и момен-

ты, которые необходимо прикладывать к торцам стержня для реализации рассматриваемой деформации. Указаны вариационные формулировки нелинейных задач на сечении с использованием функций напряжений. В случае плоской задачи для прямоугольного бруса найдено точное решение задачи о сильном изгибе при наличии распределенных краевых дислокаций.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-01-00459, и в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры России» на 2009— 2013 годы.

SEMI-INVERSE METHOD IN NONLINEAR STATIC OF MICROPOLAR MATERIALS AND DISTRIBUTED DISLOCATIONS BODIES

A.A. Zelenina

In the framework of a model of a micropolar medium (Cosserat continuum), which is a medium with couple stress and rotational interaction of particles, finite deformations families are found. For these families, the sysTem of equilibrium equations is reduced to the system of nonlinear ordinary differential equations. F irst integrals of the equations are constructed. The problems of bending and torsion of prismatic elastic bodies with continuously distributed dislocations under large deformations are considered. A number of exact solutions of micropolar bodies with large deformations and bodies with distributed dislocations is represented.

Keywords: micropolar medium, couple stress, large deformations, distributed dislocations.