Нелинейная рефракция ударной волны с образованием ударной волны, замыкабщей зону разрежения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:

1. Граничные условия на контурах ¿0 и I, выполняются достаточно

точно.

2. Прогиб достигает максимального значения на загруженном контуре Ь0, что соответствует физической постановке задачи.

3. Максимальным оказался изгибающий момент Мг на контуре отверстия.

4. Результаты, приведённые в табл. 1, не противоречат результатам, приведённым в табл. 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., 1957. 463 с.

2. Меглинский В. В. Некоторые задачи изгиба тонких анизотропных плит // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. Саратов, 1967. Вып. 3. С. 97- 127.

3. Коппина В. И., Томиловский С. В. Изгиб анизотропной эллиптической плиты с отверстием // Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 1997. Вып. 13. С. 36-41

УДК 533.6.0116:532.529

А. А. Матутин

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕФРАКЦИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ УДАРНОЙ ВОЛНЫ, ЗАМЫКАЮЩЕЙ ЗОНУ РАЗРЕЖЕНИЯ

\А У

м д И

При взаимодействии плоской (падающей) ударной волны (УВ) ВК

интенсивности е = Рю под углом а со свободной поверхностью ОВ, которая разделяет две газожидкостные среды (Г'ЖС) с давлением р0 и массовыми газосодержаниями у+ и у", возможны следующие виды взаимодействия: регулярное, нерегулярное и с образованием ударной волны, замыкающей зону разрежения (рис. 1) [1]. Последний пред-

Рис. 1

ставляет наибольший интерес, так как является наименее изученным на данный момент.

Асимптотический анализ задачи [2] позволяет выделить во всей области возмущения ОВАБО три области: I -- небольших градиентов параметров, II - больших градиентов вблизи точки А, III - нелинейная область, примыкающая к линии слабого разрыва.

Для нахождения решения в области 11 используем асимптотику коротких волн для продольной V и поперечной ц компонент скорости:

2(ц-5)Ц5+У,+Ц = 0 , , ц = (1)

Условия на фронтах УВ имеют вид (ц, - параметры перед фронтом УВ)

8, =,/25-((1-цО. (ц-ц,)6у+(у-у|) = 0. (2)

Дифференцируя (2) и учитывая (1), получим уравнение фронта (55'2 - 25 + 2ц,)5" - (5 + ц5- Зц,5)5'2 + (Зц,, + у,5)5' + 2(ц5 +1)5 + у1у -

-(2ц6 + 1)ц,=0.

На участке СО ц, =0, V, =0 , на участке ОА ц,, V, соответствуют центрированной волне разряжения АВО; = ц, (б(7,)у), V, = У|(5(>'),у). Фронт АБ — линия слабого разрыва: 5 = 1, р. = [Л], = 1.

На свободной поверхности ОВ У = 0, ц = 0. Эти условия физически соответствуют относительно малому изменению давления в верхней области и малому углу излома свободной поверхности.

Условия сращивания решения на границе с областями I и 111 имеют соответственно вид

1 , У-ау 1 , К + ау . ^ ...

ц =—arctg—==----ап^—1=-, о —> —<ю , — ее < г < 0; (3)

л л/-25 я V- 25

, = 1 + 4(_L_)2(1-L «'(»-IX^aV)^ ^^ (4)

п Y+a V 2

Для решения краевой задачи (1) —(4) применяется метод последовательных приближений, который сводит исходную краевую задачу для уравнений коротких волн с неизвестной границей (фронт CDA) к серии краевых задач с фиксированной границей. Процесс начинается с задания начального поля ц(5, Y) и начального положения фронта У В.

При решении задач применяют разностный метод [3], использующий формулы центральных разностей второго порядка точности

+ -2ци +H,,y_i)-Д,(Ц/+1,У -Ц,_,./) = 0. (5)

Значения искомой функции в приграничных узлах к фронту CDA берутся по формуле квадратичной интерполяции, учитывающей значение в двух внутренних узлах и на фронте (|!*):

IX1J = , , . . + ,J . ,.Ч ~ / ■ . ->,4 ■ (6)

(d + h)(d + 2h) (d + h) (t/ + 2Ä)

Другие граничные условия (3), (4) примут соответственно вид

1 Y: - av 1 Y: + av (i, ■ =—arctg-~=---arctg-^y=^ ;

/250 t V2Sö 2

7t

К2

%\н + av)2

Дифференциальное уравнение фронта и условия на нём имеют вид

(58? -28;+2ци)5}-[5 + -3(ц15),+

+ [3(ц1у),.у.+(у18),.;]5'у + 2(

Мч'+l.y ~ И/-1.У

+ 1)5:

-(2

Hi+lJ M-i-1,7

+ + (V,у)и = о, Hj. = 25j - b'j - ц,.

(7)

(5))

На линии слабого разрыва получим

5,.=1,цу=1. (8)

Задачу (5) — (8) решаем методом секущих (/"— левая часть уравнений

М-/,

f(uw uw uW и(к) uw ) (к+1) _ (к) JWj-ij '^i+ij '"/.у '^/j-i

f (..(к) № w w w ч /ц, , VM-J-Ij- »M-,+1 j 'V-ij-1 >М-/.У+1 /

(9)

Таким образом, решение краевой задачи для внутренних узлов состоит в применении алгоритма (9) совместно с условиями для граничных узлов (6).

Начальное приближение - для поля давления строится по методу прямых ( У = О, У = -Я,(Я»1)).

Y2 (ЗЯ + Y) Ya (ЗЯ + Ya )Y{2Hz + 3HY + Y2)

2Я

2Я3(2Я2 + ЗЯУ< +rj)

Ц- +

+ У(2Я2+3ЯУ + У2) Г^-Г). (10,

УА(2Н + ЗНГА+У2) \ К (-Н)

Функция ц0 = Ц0(5) вычисляется при подстановке (10) в (1) на прямой У = УА (при удовлетворении условий в точке Л (8 = 1, К,) и точке Е (8 = -оо, У,))

Но = "(Ил -И*)"' • (11)

Ударный фронт CDA замыкает область разряжения DBA, в которой давление падает от Ц]=1 до ц,=0. Определим граничные условия на фронте CDA. В точке С (вырождения УВ) имеем 5С = О, Yc = О, = 0 .

Так как фронт CDA в точке А вырождается в линию слабого разрыва, то для него в этой точке имеем условия

8^=1, Ya=-C+, 8'а =0, С+ = .

Здесь С* соответствует углу наклона передней характеристики волны разряжения. Фронт CDA удовлетворяет уравнению (2), а функции (а, и Vj принимают значения: на CD ц, = 0, V] = 0 ; на DA при 5 = 5{У)

5-5

v,=-(

1,5-5

Вл з

¿)2+-(5-2

1

8ß)-ir2+5 1

в>

У --(5-8в)У + — Y1 -bBY + d.

Y 4 ' 12

Значение S в точке В находится для фронта BR согласно (2)

5fl=^(av2+l).

В итоге рассчитано: начальное поле давления, начальное положение фронта, поле давления при решении первой краевой задачи методом итераций для av = 2,147. Для достижения установленной точности (е = 0,005) потребовалось 12 итераций.

На рис. 2 изображены: ударный фронт CDA, линия слабого разрыва AN и линии равных давлений в расчётной области.

_ -2.0 у- к.

Проведённый вычислительный эксперимент показал, что в потоке за волной разряжения формируется «висячая» УВ. Впервые указанный эффект возникает при av = 2,098. Протяженность УВ возрастает при возрастании параметра av (av >2,098).

Распределение линий равного давления (ц и v - параметры скорости) за фронтом УВ характеризует область больших градиентов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шиндяпин Г. П. Об особенности «сверхзвукового» взаимодействия слабых ударных волн и задача преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности // Аэродинамика. Саратов, 1974. Вып. 3 (6).

2. Шиндяпин Г. П., Ковалев А. Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Саратов, 1990. 4.2.

3. Шиндяпин Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жёсткой стенки в идеальном газе // ВМ и МФ. 1980. № 1.

УДК 517.958:536.2 В. Ю. Михайлов, В. Ю. Ольшанский, A.B. Серебряков

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА МЕТОДОМ

ВЫПРЯМЛЕНИЯ ФРОНТОВ ДЛЯ РАСЧЁТА ПРОЦЕССА ТЕРМИЧЕСКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА

Рассматривается модель процесса термического расщепления предварительного окисленного графита. Процесс состоит из нескольких стадий, которые различаются по условиям нагрева, расширения и наличию фаз окисленного графита (ОГ) и терморасщеплённого графита (ТРГ).

Рассмотрим тонкий слой окисленного графита, который находится между пластинами и подвергается нагреву через нижнее основание. Между верхним основанием слоя и верхней пластиной оставлен воздушный зазор. Это необходимо для свободного расширения графита, так как при термическом расщеплении (вспенивании) объём графита значительно увеличивается.

В рамках данной статьи ограничимся рассмотрением стадии, на которой возле нижнего основания идёт процесс термического расщепления графита до момента его касания с верхней пластиной.

Введём неподвижную систему отсчёта Ох и подвижную систему О'х , располагая О' на свободной поверхности графита х = ф(г) и положив х' = х- ф(г).

Обозначим х = £(/) - координата границы фаз ОГ и ТРГ" в неподвижной системе отсчёта. Пусть к = const, к > 1 - относительное изменение объёма графита при термическом расщеплении. Тогда имеет место ра-