CC BY
12
механическими параметрами. Деформированные состояния таких сред оказываются неоднородными, их исследование связано с решением краевых задач для уравнений с переменными коэффициентами, и разбиение волнового состояния на прямые и обратные волны в рамках линейной теории дифференциальных уравнений не происходит естественным образом, как в случае однородной среды.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Маслов Н. М. О характере волновых процессов в тонких оболочках // Тр. XVIII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, 29 сент. - 4 окт. 1997 г. Саратов, 1997. Т. 1.С. 81 -86.
2. Салий И. II., Салий С. А., Перельмутер Г. И. Новые решения для матричных параметров нерегулярной линии передачи, Радиотехника и электроника. М., 1985. I. XXX, ШЛИ. С" 1303 — 1312.
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1966.
4. Завадский В. Ю Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М., 1972.
УДК 533.6.0116:532.529 А. А. Матутин, Г. П. Шиндяпин
К ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕФРАКЦИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
Последние годы характеризуются интенсивным развитием теории взаимодействия ударных волн (УВ) в двухфазных газожидкостных средах (ГЖС). Проблема состоит в том, что скорость распространение малых возмущений (со) в газожидкостных (пузырьковых) средах, может быть на порядок меньше, чем в газе, и на два порядка меньше, чем в чистой жидкости. Вследствие этого ударные волны в ГЖС возникают при сравнительно меньших скоростях звука, чем в газе или чистой жидкости. Интерес к задачам рефракции УВ обусловлен необходимостью исследования широкого класса актуальных задач, возникающих в приложениях, к которым относятся взаимодействия УВ с поверхностью океана, гидравлический удар, подводный взрыв, возникновение цунами и др.; а также сложностью и противоречивостью исследуемых явлений [1, 2].
1. При падении УВ АК (ВЯ) (рис. 1) относительной интенсивности А р/р0Сд (Д р — перепад давления, р0, с0 - плотность и скорость звука в покоящейся газожидкостной среде), под углом а к вертикали на свободную поверхность КА, разделяющую газовую и газожидкостную пузырьковую смеси с относительными массовыми газосодержаниями у', у' (у = тп /т, ) со стороны более плотной среды, возникают картины нерегулярной, регулярной и регулярной с ударной волной (замыкающей зону разрежения) рефракции (рис. 1, а, Ь, с), характеризуемые фронтами па-
дающей АК, отраженной АС (ВС), преломленной АО УВ и областью разрежения АММ.
Используется локально равновесная термодинамическая модель
ГЖС [1], позволяющая для общего случая уравнений состояния жидкой и газообразной фаз Р] = /(р) > р = ЯрпТ (индекс I соответствует жидкости, II - газу) записать уравнения термодинамического и калорического состояния смеси, а также формулы для адиабатической скорости звука с в виде
Ар)
= суТ , с = -
а +1
a-bp
d
_Р_ Р
Р а = (1 + у)6, Ь = . (1)
уR
4Р АР)
2. При исследовании рефракции УВ на свободной поверхности, разделяющей газожидкостные среды (рис. 1, Ь), кроме локальных условий, в точке взаимодействия А, на фронтах падающей АЯ, преломленной АО и отраженной АС волн, а также на свободной поверхности АК используется пространственное решение для волны разрежения АМЫ [1, 3]. При падении УВ относительно малой интенсивности (/>10 = (р] -р0)/Росо «0> характерных для ГЖС пузырькового типа (0 < у < 10 4), течение во всей области возмущения с точностью до 1'1 можно считать безвихревым, а следовательно, потенциальным. Вводя потенциал скорости РУ =УФ и переходя к безразмерным переменным
Cnt
11 =
cnt'
Р-Р о
В,
= Р ,
о
Р-Ро Ро
(2)
- Н,
■ = /п . В0 = СоРо .
можно свести систему уравнений динамики газожидкостной среды с уравнением состояния (1) к уравнению для потенциала /(i;, г|) [1,3]. Решение для центрированной волны разрежения AMN этого уравнения в переменных Е,л = г cos 9, r¡ - r\A = г sin 9 имеет вид {F0 ,с - const)
— = apsin 9sina(6 + с) + Pcos9cosa(8 + с) + t,A,
= -aPcos8sina(9 + c) + psin8cosa(9 + c) + r|
A '
(3)
(О)
Г <3> ! 5----— \ А У
V"
Р <х\ (1) (О) 'С* с
а = л/ОКо-!)/ ?о > Р = 1) ; О = 1 + (1 - Л0)[2Р0 - + )].
Для случая рефракции в средах с существенно различающимися значениями скоростей звука Сд (у + ), Со(у~) расчеты параметров регулярной (рис. 2) рефракции е20 , со, ру, , 8 при известных рю или
е,„ = (р, а, у\ у ; р0,Т0
выявили ряд закономерностей процесса
[1,3]:
• границу области существования регулярной рефракции типа А (пе-
ри/шди П 11и|ЛЛ ^лирпий рифргт-ции);
• границу типа В, соответствующую условию со = 0;
• границу типа С, соответствующую верхнему предельному значению у", при котором исчезает область разрежения.
Расчеты показывают, что относительная интенсивность преломленной волны £30 весьма мала (£2о=Езо = = 10 " -ПО-3) и возрастает с ростом газосодержания у до некоторого предельного значения.
3. Для случая рефракции в средах с близкими значениями Сд (у+), со(У~)> возникающего, например, на поверхности океана, разделяющей воздушную среду с с„(у+) и водовоздушную ГЖС с с~(у ) асимптотический анализ приводит к неожиданным результатам относительной интенсивности q* преломленной УВ. Эта интенсивность может быть сравнима с интенсивностью падающей УВ при газосодержаниях у' а Ю-6, для относительно слабых УВ, характеризуемых малым параметром £ = /.0(у)е|0 (0< ¿0(у)<1.0 ; 8 « 1).
Вводя асимптотическое разложение для области больших градиентов (области короткой волны) [1]
£, = 1 + &А\ л =ё'/2У; Л0/с0/ = 1 + Ёб, л
Сп
Рие. 2
8 = х + [/2г Р-Ро
Ро
- Р
-•По" '
= 6-^
с0 Я,
р-р о
о
Росо
-р р(1) - ■'10' >
: ^Р10 ~~ А)е10 '
получим решение (3) для волны разрежения в виде
ц = -1/2г2 +5,4, v = l/3z3-[íY + d, z = (X - X Á)/Y, (5)
а условие на свободной поверхности, характеризующее скорость движения точки А вдоль оси ОХ (N - скорость фронта ударной волны; е* =(Л-Ро)' Ро > е~ =(/»,-#,)/#,) в виде
/cosa = N+ /coso , N±=\ + ~LqS±. (6)
Записывая решение (5) на переднем (АВ,) и заднем (АВк) фронтах разрежения
ц,=1, РГ =fgp,/е1'2; (3,v=/gp4/6,/2, v2=^+cdv, o>v = /gm/s"2,
получим при =(av2+1)/2, av=tga/Él/2, ¿ = ctv2-l/3(av'2-1)3/2 условия
2 2 v +
£0 q
^¿-д*)]'2^ , К=у[2{хл-д + ). (7)
Условие (6) в обозначениях (4) примет вид
+ , су=(со-с0+)/(с0-е). (8)
V ) £0
Исключая из (7) и (8) со'2, получим окончательно
2су=ЛШ^)ГЦ2-(9) 1-* J ¿0
Расчеты согласно (7) - (9) параметров рефракции у*, со (рис. 3) при известных а, уе,0 выявили ряд закономерностей:
• границу области существования регулярной рефракции, типа А;
• границу Е, соответствующую переходу от регулярной рефракции, к регулярной с образованием ударной волны, замыкающей зону разрежения;
• границу типа О, на которой при у = у' скорости звука в покоящихся средах с~ , с* совпадают (с~ = с *) и С\ = 0;
• границу в, на которой значение относительной интенсивности преломленной волны соответствует максимальному <7* =1.
Расчеты показывают, что интенсивность преломленной волны ц' = е,0 /вш сравнима с интенсивностью падающей волны и возрастает как при росте газосодержания среды у", так и при увеличении угла наклона падающей волны а.
Рис. 3
В случае (рис. 3) близких значений скоростей звука Cg(y+), Cq(у") (с,,- 0(1)) в отличие от случая с существенно различающимися скоростями звука (рис. 2) интенсивность возмущений в области, занятой газом, сравнима с интенсивностью возмущений в области ГЖС и в процессе рефракции значительная часть энергии передается из газожидкостной среды в газовую.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шинднпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997, 104 с.
2. Кедринскии В. К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 435 с.
3. Шиндяпин Г. П., Маркушии А. Г. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде с образованием волны разрежения // Аэродинамика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 12 (15). С. 24 - 32.
УДК 517.958:536.2
Ю. Н. Нагар
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
РАЗДЕЛА В ЗАДАЧЕ ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим процесс термического расщепления предварительно окисленного графита (ОГ), проходящий между двумя нагреваемыми пластинами пресс-формы. Ограничимся одномерным случаем, когда координата х отсчитывается по толщине слоя. Пусть первоначальная толщина слоя ОГ равна , расстояние между пластинами - Ь.
