Нелинейная деформация вращающейся на роликах вязко-упругой бесконечной цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

П. Е. Товстик, С. Б. Филиппов, Е. А. Шмойлова

НЕЛИНЕЙНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА РОЛИКАХ ВЯЗКО-УПРУГОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ*

1. Введение

Для обогащения руд используется центробежный концентратор с плавающей постелью [1]. Главной частью этой установки является вращающаяся усеченная коническая оболочка, находящаяся в контакте с внешними коническими роликами, равномерно расположенными по окружности. Минеральные зерна под действием центробежной силы осаждаются в канавки из потока смеси рудного материала и воды, который тонким слоем движется по внутренней рифленой поверхности оболочки. Деформация оболочки роликами создает условия, при которых частицы плотных минералов вытесняют из канавок частицы пустой породы.

Принимая во внимание малое значение угла при вершине конуса, заменим усеченный конус цилиндрической оболочкой, а конические ролики — цилиндрическими. Для приближенного описания деформации цилиндрической оболочки предположим, что ее перемещения зависят только от времени и окружной координаты. Это предположение выполняется для оболочки бесконечной длины, уравнения движения которой по форме совпадают с уравнениями движения кольца и отличаются от них только значением изгибной жесткости. Будем считать кольцо нерастяжимым. Таким образом, в качестве механической модели оболочки центробежного концентратора используется вращающееся на роликах нерастяжимое кольцо, изготовленное из вязко-упругого материала.

Стационарные режимы движения вращающегося на роликах кольца исследованы в работе [2] с помощью численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной работе используется метод Фурье. С его помощью удалось изучить нестационарное движение кольца, а также получить простые приближенные формулы для описания стационарных режимов.

2. Разложение решения в ряд Фурье

Введем неподвижную полярную систему координат т, у>, в которой форма оси кольца в момент времени £ задается соотношением

т = т(у,1) = т о [1 + ао(г) +ао (^,1)] , ^ [аи (1)со&к^ + Ък (1)$тк(р], (1)

к = 1

где то — радиус недеформированного кольца. Величины аи и Ък предполагаются малыми, причем аи ~ Ък. Аналогичный подход использован в работе [3] для определения частот колебаний вращающегося кольца.

Пусть то в —длина дуги упругой линии, лагранжева координата в жестко связана с точкой кольца. Тогда условие нерастяжимости

Г°^ = Уг2 + Гу = дг/д<р

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257).

© П.Е.Товстик, С.Б.Филиппов, Е.А.Шмойлова, 2005

дает

— = 1 + <71 (<£>,£), 71 (ф, = ^/(1 + ао + со)2 + а2,^ — 1 — со + во + т^а\^-

Интегрируя первое равенство (2) по переменной р, получаем

в = во(£)+р + 72(р,£), ^2 (р,г) = J <71 (р,£) ¿р, (3)

/• 2п

/ 71(р,£) ¿р = 0. (4)

о

Из второго равенства (2) и формулы (4) следует, что

.. ^

«О - (ак + ък) ■ (5)

к=1

Дифференцируя соотношение (3) по времени с учетом равенства в = ¿в/сИ = 0, находим

. . „ во + 72,4

в0 + ф + а2,1 + <72,= 0, ф =---------—------. (6)

1+71

3. Вычисление кинетической энергии

Для определения кинетической энергии Т вращающегося кольца воспользуемся формулой

2

П

г = ^/о

где Е — площадь поперечного сечения кольца, р — плотность материала. Принимая во внимание, что

V2 = уГ + V2 , уг = т,г + т^р, Юф = тр, ¿в = (1 + 7l)dр, а также формулу (1), выражение для Т запишем в виде /• 2п

°о ^ I [(<70,4 + ¿0 + <70,уф)2 + (1 + <70 + а~''2'"2 2 „/о

Из формул (1)—(5) вытекают порядковые соотношения

тзрр Г

т = --- [(<70,4 + ¿0 + <70,уф)2 + (1 + <70 + ао)2ф2](1 + <71) <^ф- (7)

2 7о

во ~ 1, 7о ~ 71 ~ 72 ~ аи, ао ~ ак.

Предположим, что при дифференцировании порядки функций не изменяются. Используя формулу (6) для р и пренебрегая величинами порядка а™, где ш > 2, получаем приближенные равенства

(7о,г + а о + 7о,ф р)2 (1+ 71) = (7о,г — во7о,ф )2,

(8)

о,ф/......... " ' - 1 ' -2

(1+ 7о + ао)2р2(1+ 71) = во(1 + 7о + ао — 7^ _/2) + 2во72,е(1 + 7о) + 72 г.

При выводе последнего равенства применялась приближенная формула

1 1

2 Л

“2 72 = 1 - 7о - ао + 7о - ao,v/2-

1 + 7i 1 + 7о + ао + а0^/2

Подставим выражения (8) в формулу (7). С учетом равенств

п2п 1 п2п п2п п2п

a0dcp = -- ао,<р df, ао dcp = a2,td<p = 0

■Jo 2 J0 Jo Jo

получим следующее приближенное выражение для кинетической энергии кольца: r3Fp [2п

Т = — J [(sg + 2s0(o'2,íO'o - <ro,t<ro,<p) + &o,t + a2,t + 0(a3k)} dtp. (9)

Величина ¿o имеет смысл угловой скорости вращения кольца. При использовании полученных формул для расчета оболочки центробежного концентратора следует учитывать, что угловая скорость вращения концентратора весьма велика. Для того, чтобы при условии ¿о ~ 1 учесть в формуле (9) все слагаемые, имеющие порядок ак, оказалось необходимым использовать нелинейное условие нерастяжимости кольца. Если в равенстве (5) отбросить нелинейные члены, то оно примет вид ао = 0. Игнорирование в рядах Фурье члена ао, как это делается, например, в работе [3], возможно лишь при малых значениях угловой скорости ¿о. В противном случае это приводит к потере существенных слагаемых в формуле для кинетической энергии.

Формула (9) сохранит порядок своей погрешности при подстановке в нее функции <72, найденной с точностью до величин O(a\). Из второго равенства (3) и второго равенства (2) следует, что

í Í 1

<72= a\dcp = ао dip + 0(а2к) = Т.(ак sinкр — b¡- cosкср) + 0(а2к). (10)

■1 к = 1

Подстановка (1) и (10) в (9) дает приближенное выражение кинетической энергии через обобщенные координаты ¿о, ак и bk:

т= TtrlFp

2s2 + 2¿o (к — —j (afcbfc — афи) + ("l + \ (®fc + ^fc)

U— 1 V / L — 1 V /

к

k=1 k=l

(11)

4. Вычисление потенциальной энергии и диссипативной функции

Выражение для потенциальной энергии П изгиба бесконечной цилиндрической оболочки имеет вид

г Г

П = — Он2 ds,

2 „/о

где Б — жесткость оболочки на изгиб, к = (йа/йв — 1)/го — изменение кривизны кольца, а — угол поворота касательной к оси кольца, причем

а = ф — аrctg(rv/r). (12)

Дифференцирование равенства (12) по переменной ф приводит к формуле

^ _ 1 _ гг,ч>ч> ~ г% йф г2 + т21р ’

из которой в силу равенства d¿ = (1 + ai)dp вытекает, что

Отбрасывая в (13) слагаемые порядка ак, получаем

— 1 — a о — ао,™™, к —

da 1 r/го * ао ао,™™

~Г~ — ------;----------- — J- — С1" 0 — <70,шш, ^ — -----------------------•

d¿ 1 — а о го

Следовательно, с точностью до величин 0(ак)

и=^Г~ f (cr°+cr°.w)2#= -1)2(«fc + &fc)- (14)

2Го ./о 2Го

к=2

Для учета потерь на внутреннее трение в кольце по модели Фойгхта найдем выражение для диссипативной функции Релея

К = ( Бк2 <1з.

2,) о

Здесь 7 — безразмерный коэффициент сопротивления, ¡ме = |Во(0)|п — угловая ско-

рость изгибных деформаций кольца в начальный момент времени, п — число роликов. Используя приближенные формулы

гоК — —оо,г — ао,р Ф — ао,^^г — ао,^^^Ф, ф — —¿о,

получаем

R = 2r ^ ](k2 — I)2 ¿fc + bfc — 2к(аф]~ — af¡bf¡)so + k2(a2¿ + b\)s\ . (15)

Г°^е k=2

2 i\2 -2 , i2 oí./л l, „ i i l„2/2, u2\-2

5. Уравнения движения

Жесткость роликов центробежного концентратора значительно больше, чем жесткость оболочки. Будем считать ролики абсолютно твердыми. Пусть контакт j-го ролика и оболочки происходит по образующей p = pj, причем линия контакта находится на расстоянии го (1 — Sj) от оси симметрии оболочки. Безразмерные величины Sj > 0 будем называть поджатиями. Предположим, что для рассматриваемого интервала времени контакт между любым роликом и оболочкой сохраняется. Тогда при наличии n роликов имеют место равенства

r(Pj )= го(1 — Sj ), j = 1 2,---,n, (16)

которые можно рассматривать как уравнения связей.

После подстановки в формулу (16) разложения (1) с учетом равенства (5), уравнения связей принимают вид

ж

fj = ^2 [ак cos kpj + bk sin kpj — к2(а1 + bk )/4] + Sj = 0, j = 1, 2,...,n. (17)

k = 1

Для описания движения кольца, вращающегося на п роликах под действием внешнего момента Ы8 будем использовать уравнения Лагранжа

(I (дТ \ дТ дН Ш _

<М \5во) дво дво дво я’

<1 Г дТ\ дТ дК Ш " д/з

Л \дак) дак дак дак ^ 3 дак ’

\ / 3=1

(I (дТ\ дТ дН д!1 ^ А

ЛЬ \дЪк) дЪк ЭЪк дЪк 3 дЪк ’

где Л^ —множители Лагранжа. Подставив в эти уравнения выражения (11), (14), (15) и (17), получим

пг°рр

пг°рр

2во — ^ ' ¿к (акЬк — акЪк)

к=1

пБ^ ^ Г

Н--------У'' кек кко{а\ + Ъ\) — акЪк + акЬк

^еГо “ ^

к = 1

, ... • Л пБ ^ д/з

ск&к ак\£оЬк -\- 2,3()Ьк} -\- &к\ак кв()Ьк) -\- єкак у з~\ >

І ШеГо го ' дак

3=1

пгоРр СкЬк + ¿к (воак + 2воЪк)

пБ~/ • пБ . д/з

Н-------Єк{Ьк + квоак) Н---------е^бд; = > >

ШеГо го ^ дЬк

3=1

где

д]у к2 а к д]у к2Ъ,

_ = сов*и-—, — = аткп--г

Введем безразмерные переменные г, ш„, $ и А3- по формулам

1 I Б

, ио —

^о ' о

и запишем систему (18) в безразмерном виде

к

т ^п ■? 9 \ I т-,? 5 А

г2 V

М8го Лз Го

2тт£> ’ ^

пБ

Мя

(18)

2в'о — с1к('а,кЬк — афк) Н---------------кко(а2к + б|) — афк + афк

к=1 к = 1

п /

ак ^кі^зфк ^вфк) бд (йд квфк') Скак ^ А^ [ СОЄ кір^

п 3=1 '

п /

сфк Лк{^з§ак ~Ь 2йоАд) єд(6д + квоак) сфк ^ А3 І єіпкр^

Шп .= . V

25,

Рад

2

(19)

где точкой обозначена производная по г.

6. Форма кольца при стационарном движении

При стационарном движении кольцо вращается с постоянной угловой скоростью ш = .«о, а а к = Ь к = 0. Рассмотрим случай ф^ = 2п(] — 1)/п, ] = 1, 2,...п, соответствующий равномерному расположению роликов на окружности. Предположим также, что

к2Ь

к

2

поджатия д^ всех роликов одинаковы. Тогда в формулах (1) а^ = Ь = 0 при г = кп, и решение принимает вид

( ) ОО 1 оо

---- = 1 + ао + 'У](акпсоёкп1р + Ъкпёткп1р), а0 = - - У^(кп)2 (а2кп + Ь2кп). (20)

го 4

к=1 к=1

Найдем первое приближение к решению, сохраняя в рядах (20) только первый член. В этом случае уравнения (19) и (17) можно записать в виде

е„(а„ — 7Ь„) = А(1 — п?ап/2), вп(Ьп + 7а„) = —Хп2Ьп/2, ап + д — п2(аП + ЬП)/4 = 0, ^пеп(аП + ЬП) = 25,

где д > 0 — поджатие роликов. Первые три уравнения (21) служат для определения неизвестных ап, Ьп и А, последнее уравнение позволяет найти безразмерный крутящий момент 5.

Рассмотрим стационарное движение кольца по инерции при отсутствии внутреннего трения. Тогда 5 = 7 = 0, и последнее уравнение (21) удовлетворяется тождественно. Из трех остальных уравнений следует, что

Ьп = 0, п2 аП — 4 ап — 4д = 0.

Квадратное уравнение для определения ап имеет корни

а^ = 2(1 - л/1 + п25)/п2 < 0, а^ = 2(1 + \Л + п26)/п2 > 0.

В дальнейшем будем рассматривать только значение ап = а^^, так как положение равновесия, соответствующее ап = ап'1, не реализуется для центробежного концентратора.

В случае ап < 0 функция г(ф) = го(1 + ао + ап совпф) достигает наибольшего значения гтах при ф = п/п. Пусть

„ _ 4(а/1 + п2<5 - 1 ~п2ё /г>гЛ

до — 0-0 — о •

п2

Величина до характеризует максимальное расстояние от срединной поверхности оболочки до оси вращения, так как гтах = г о (1 + до). В табл. 1 приведены значения до для разных значений числа роликов п и поджатия д. В первой строке дано значение до найденное путем решения нелинейной системы уравнений, для вычисления правых частей которой использовалось численное интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих стационарное движение кольца [2]. Значение до во второй строке получено по приближенной формуле (22).

Таблица 1.

п метод расчета Значения ¿о при разных 6

0.05 0.1 0.15 0.2

2 числ. прибл. 0.0437 0.0454 0.0833 0.0832 0.1191 0.1149 0.1515 0.1416

3 числ. прибл. 0.0386 0.0407 0.0673 0.0682 0.0884 0.0869 0.1035 0.0992

4 числ. прибл. 0.0336 0.0354 0.0522 0.0531 0.0613 0.0610 0.0634 0.0624

6 числ. прибл. 0.0237 0.0248 0.0264 0.0272 0.0189 0.0200 0.0049 0.0071

Результаты, приведенные в табл. 1, показывают, что точность приближенной формулы (22) ухудшается при увеличении n и S, однако следует отметить, что величина S для центробежного концентратора выбирается так, чтобы минимальная кривизна кольца была положительной. Так, например, S < 0.1 для n = 3, S < 0.05 для n = 4. С учетом этого обстоятельства формулы первого приближения

r(ifi) = ?’о(1 + о0 + а„ cosnip), а0 = -5-ап, а„ = 2(1 - \Л + п25)/п2 (23)

можно использовать для определения формы оболочки концентратора.

трех роликов.

На рис. 1 изображена форма кольца (форма сечения оболочки) для случая п = 3, д = 0.1. Кривые, построенные с помощью метода из работы [2] и по формулам (23), практически совпадают. Случаю п = 3 ив дальнейшем уделяется особое внимание, так как подавляющее большинство центробежных концентраторов имеет три ролика.

7. Кривизна кольца при стационарном движении

С точки зрения приложений представляет интерес определение кривизны кольца

da

к = —— с; 1 — сто — <JQ,ipip (24)

и особенно ее наибольшего и наименьшего значений kmax и kmin. Кривизна кольца в рабочем стационарном режиме существенно влияет на процесс замещения частиц пустой породы частицами плотных минералов. Кроме того, kmax и kmin входят в выражения для максимальных деформаций оболочки, обусловленных ее изгибом.

В первом приближении при стационарном движении кольца по инерции без сопротивления сто = an cos up, где an < 0. Подстановка этого выражения в формулу (24) дает равенства

k(p) — 1 + (u l)an cos up, kmax — 1 (u 1)an kmin — 1 + (u 1)an* (25)

Результаты, полученные по приближенной формуле (25), довольно сильно отличаются от результатов численного решения системы дифференциальных уравнений из работы [2]. Это связано с тем, что выражение (24) для кривизны содержит вторую производную величины сто, а сходимость рядов Фурье ухудшается при дифференцировании. Для уточнения формулы (25) будем удерживать в рядах (20) два первых члена. В этом случае из уравнений (17) и (19) следует, что bn — b2n — 0,

n2(an + 4a2n) — 4(an + a2n + $), 2enan(2u2a2n — 1) — e2na2n(u2an — 2), (26)

Рис. 2. Кривизна кольца при наличии трех роликов.

а формула для кривизны принимает вид

k = 1 + (n2 — 1)an cos up + (4n2 — 1)a2n cos 2np. (27)

Приближенное решение системы (26)

°2n = ,int?n , an = 2(1 — л/l + n2S)/n2 (28)

e2n(n2 an — 2)

получено в предположении, что a2n ^ an и a2n ^ 1/n2.

В таблице 2 приведены решения системы (26), найденные численно с помощью метода Ньютона, и приближенные решения, вычисленные по формуле (28) для разных значений n и S.

Таблица 2.

n метод расчета Значения ап при разных ó Значения а.2п при разных ó

0.05 0.1 0.15 0.05 0.1 0.15

2 числ. прибл. -0.0461 -0.0477 -0.0889 -0.0916 -0.1290 -0.1325 -0.00171 -0.00174 -0.00310 -0.00310 -0.00424 -0.00419

3 числ. прибл. -0.0437 -0.0454 -0.0816 -0.0841 -0.1155 -0.1184 -0.00197 -0.00197 -0.00330 -0.00318 -0.00428 -0.00404

4 числ. прибл. -0.0413 -0.0427 -0.0747 -0.0765 -0.1034 -0.1055 -0.00186 -0.00180 -0.00290 -0.00269 -0.00357 -0.00324

Результаты из таблицы 2 свидетельствуют о том, что приближенными формулами (28) можно пользоваться в достаточно широком диапазоне изменения параметров.

На рис. 2 изображены зависимости кривизны кольца к от полярного угла р для случая п = 3, 5 = 0.05. Кривая 1 получена с помощью численного метода, описанного в работе [2]. Для построения кривой 2 использованы приближенные формулы (27) и (28). Приближенное решение имеет наибольшую точность вблизи точки р = п/3, где кривизна принимает набольшее значение. Точность уменьшается с уменьшением угла р. Такое поведение приближенного решения связано с тем, что производная функции к(р), пропорциональная перерезывающей силе, имеет разрыв первого рода в точке соприкосновения кольца и ролика р = 0.

8. Влияние внутреннего трения на стационарное движение

Рассмотрим в первом приближении стационарное движение кольца под действием внешнего крутящего момента при наличии сил внутреннего трения. В этом случае

r(p) ^ ro(1 + ao + an cosпр + bn sinnp).

Рис. 3. Зависимость безразмерного момента S от поджатия Ó.

Из формул (21) вытекает, что

bn = Y(an + 2(5), n2(1 + y2)аП “ 4(1 - n2ÓY2)a,n - 4(6 - n262Y2) = 0. (29)

Для многих материалов коэффициент сопротивления y является малым, поэтому малым будет и коэффициент bn. Если y ^ 1, а число роликов n не слишком велико, то в квадратном уравнении для определения an можно пренебречь слагаемыми с множителем y2. Тогда оно будет таким же, как при отсутствии сопротивления, и для приближенного определения числа an можно воспользоваться формулой (23).

При наличии внутреннего трения максимальное расстояние от срединной поверхности оболочки до оси вращения rmax определяется по формуле

í’max = ?’о(1 + So), 6о = О0 + л/ О2 + Ъ;г.

Величина 6о увеличивается по сравнению со случаем y = 0, когда 6о = ao + \an \.

В случае y = 0 форма кольца симметрична относительно прямой, проходящей через центры кольца и ролика (см. рис. 1). При y = 0 симметрия нарушается, так как угол поворота касательной а в точке соприкосновения кольца с роликом становится не равным нулю. Из формулы (12) следует, что

а = р — arctg(-1-^) ~ р—— ~ ¡рп(ап sin mp — bn сов тр), а(0) ~ —пЪп = —nY(a,n-\-26).

Таким образом, угол а(0), который можно рассматривать как меру асимметрии, в первом приближении пропорционален коэффициенту сопротивления y.

Формулы первого приближения для кривизны кольца в случае y = 0 имеют вид

к = 1 + (n2 — 1)an cos np + (n2 — 1)bn sin np),

A'max = 1 + ('П2 ~ l)v/°n + ^ &min = 1 “ (n? ~ 1) \/«n + bn'

Принимая во внимание четвертую формулу (21), безразмерный крутящий момент S можно выразить через kmax и kmin:

S = ^7п(п- - 1)2(о2 + Ь2 ) = ^7??(fcmax - kmin)2. (30)

2 8

На рис. 3 изображена зависимость безразмерного крутящего момента S от поджатия 6 для n = 3, y = 0.15. Кривая 1 была получена в [2] с помощью численного метода. Кривая 2 построена с использованием приближенных формул (29) и (30). Погрешность приближенного решения растет с увеличением 6, однако при n = 3 практический интерес представляют лишь 6 < 0.1.

Отметим, что параметры стационарного движения кольца не зависят от его угловой скорости ш.

9. Нестационарное движение

Предположим, что ролики расположены равномерно, а поджатия всех роликов одинаковы и равны 6. В разложении решения в ряд Фурье (1) оставим только одно слагаемое с к = п. Тогда все п уравнений связи (17) совпадают и имеют вид

аи + 6 — п2(аП + &П)/4 = 0, (31)

а система (19) состоит из трех дифференциальных уравнений:

2sq — dn(anbn — апЪп) + —------- nso(a2 + Ь2) — апЪп + апЪ<

n 1 n> nun I u,nL/n

2S,

. Yen f VL2 &n

cndn - dn(s0bn + 2s0bn) + ~ ns0bn) + enan = A ( 1-^ J , (32)

Cn'bn + dn('soan + 2soan) + ——(bn + nsoan) + enbn = —A—-—.

Un 2

Введем новую неизвестную функцию в по формулам

. 2 ......... t л _ 2VT+S^

ап о ^ cos и, bn гп sin 0, гп ^ • ( )

n

Подстановка (33) в уравнение (31) дает тождество, а подстановка (33) в (32) — систему трех уравнений относительно неизвестных функций во, в и А. Исключив из этой системы А, получим следующую систему двух нелинейных дифференциальных уравнений для определения во и в:

2в0 + dnrn ( дпв---------^в sin 6» ) + ^

2 ¿2sin0) + ^

J Un

Yenf к • \ 2en

ngnrrie + 4(an + S)So

2S,

(34)

dngn'sо + c„rnо н-----------------------------------(гпв + ngns0)-тг sin в = О,

' П’-' I ' '-'¿m'-'U j q

Un n2

где gn = rn + 2n-2 cos в.

Интегрирование системы уравнений (34) проводилось численно с помощью метода Рунге—Кутта четвертого порядка. По заданным значениям числа роликов n, коэффициента сопротивления y и поджатия роликов S с помощью формул (29) и (30) определялась величина безразмерного момента S, соответствующая стационарному движению. После подстановки этого значения S в первое уравнение системы (34) исследовался процесс выхода ее решений на стационарный режим при различных начальных условиях.

Так, например, S = 0.069 при n = 3, y = 0.1 и S = 0.1. На рис. 4 для указанных значений параметров приведены графики зависимости коэффициентов аз и Ьз от времени, полученные в результате численного интегрирования системы (34) с начальными условиями so = 0, и = so = 0.86, в = —0.3, в = 0 при т = 0. Безразмерный параметр и = 0.86 соответствует рабочей скорости вращения одного из центробежных концентраторов.

При увеличении безразмерного времени т функции аз(т) и Ьз(т) стремятся к значениям аз = —0.084, Ьз = 0.0116, соответствующим стационарному движению. К постоянной величине ио = 0.815 стремится и угловая скорость вращения кольца. При другом

0,1

Рис. 4• Зависимость коэффициентов аз и Ьз от времени.

значении и(0) решение системы (34) выходит на стационарный режим с другим и0, но с теми же значениями аз = —0.084 и Ьз = 0.0116, причем выход на стационарный режим происходит тем быстрее, чем меньше и(0). Результаты численного счета, разумеется, не могут служить доказательством устойчивости стационарного движения кольца, однако они свидетельствуют о том, что устойчивость такого движения весьма вероятна.

Если при п = 3, 7 = 0.1 и 6 = 0.1 выбрать значение 5 < 0.069, то функции аз(т) и Ьз (т) приближаются к постоянным значениям, которые немного отличаются от значений аз = —0.084 и Ь3 = 0.0116, соответствующих 5 = 0.069. Так, например, Ь3 0.0114

при т ^ о в случае 5 = 0.034. После того, как значения аз и Ьз стабилизируются, угловая скорость и начинает монотонно убывать. Если взять 5 > 0.069, то после выхода аз и Ьз на стационарные значения угловая скорость монотонно возрастает. Графики зависимостей угловой скорости от безразмерного времени т для разных значений безразмерного крутящего момента 5 приведены на рис. 5.

и

0,12-

S = 0,034

0,4-

________________I________________I______________I

0 1 2 Зт

Рис. 5. Зависимость угловой скорости от времени при разных S.

Полученные результаты позволяют выработать рекомендации по выбору оптимальных параметров центробежных концентраторов.

Summary

P. E. Tovstik, S. B. Filippov, E. A. Shmoilova. Non-linear deformation of a rotating on the rolls infinite visco-elastic cylindrical shell.

The non-linear deformation of the rotating infinite visco-elastic cylindrical shell in contact with the rolls is studied. By means of expanding the solution in the Fourier series the equations descri-

bing the non-stationary motion of the shell are derived. The simple approximate formulas for the parameter of the stationary motion are obtained.

Литература

1. Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд. 2001. №3. С. 34-38.

2. Краснов А. А., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Движение кольца, вращающегося на роликах // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2002. Вып. 2. С. 86-91.

3. Полунин А. И. Математическое моделирование динамики упругого вращающегося кольца при наличии двух опор // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. №6. С. 153-158.

Статья поступила в редакцию 16 декабря 2004 г.