CC BY
13
УДК 534.1:517.927.25 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 2 МБС 74К25
Решение уравнений свободных колебаний вращающейся на роликах цилиндрической оболочки методом Фурье*
С. Б. Филиппов
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Филиппов С. Б. Решение уравнений свободных колебаний вращающейся на роликах цилиндрической оболочки методом Фурье // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 2. С. 321-333. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.212
Рассматриваются малые свободные колебания бесконечной круговой цилиндрической оболочки, вращающейся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью. Оболочка подкреплена п абсолютно жесткими цилиндрическими роликами, равномерно расположенными по окружности. Подкрепленная роликами оболочка является моделью центробежного концентратора с плавающей постелью, предназначенного для обогащения руд.
Решение системы линейных дифференциальных уравнений колебаний ищется в виде отрезка ряда Фурье по окружной координате, содержащего N членов. Для приближенного определения частот и форм колебаний получена система 2N — п линейных однородных алгебраических уравнений с 2N — п неизвестными. Частоты , к = 1, 2,... , 2N — п, являются положительными корнями алгебраического уравнения В(ш2) = 0 степени 2N — п, где В — определитель этой системы. Показано, что система 2N — п уравнений эквивалентна нескольким независимым системам с меньшим числом неизвестных. Вследствие этого определитель В порядка 2N—п можно представить в виде произведения определителей меньшего порядка. В частности, при N = п частоты являются корнями алгебраических уравнений не выше второй степени и находятся в явном виде. Разработаны алгоритмы определения частот для случая N > п. С увеличением N возрастает число найденных частот и происходит уточнение частот, полученных при N = п. Однако для N > п частоты колебаний в большинстве случаев не удается найти в явном виде.
Ключевые слова: вращающаяся цилиндрическая оболочка, свободные колебания, ряды Фурье, система линейных алгебраических уравнений.
1. Введение. Основной частью центробежного концентратора с плавающей постелью (ЦКПП), используемого для обогащения руд, является эластичный улавливающий конус, который представляет собой быстро вращающуюся усеченную коническую оболочку [1]. Оболочка находится в контакте с внешними коническими роликами, равномерно расположенными по окружности. Ввиду того, что угол при вершине конуса является малым, в качестве простейшей механической модели оболочки ЦКПП можно использовать вращающуюся цилиндрическую оболочку, нахо-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №16-01-00580).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018
Оболочка, подкрепленная тремя роликами.
дящуюся в контакте с абсолютно жесткими цилиндрическими роликами. На рисунке изображена цилиндрическая оболочка, подкрепленная тремя роликами.
В работах [2] и [3] была исследована динамика вращающихся на роликах бесконечных цилиндрических оболочек. Уравнения колебаний бесконечной оболочки отличаются от уравнений колебаний кольца только значениями некоторых коэффициентов. Колебания вращающего кольца, опирающегося на две жесткие опоры, рассматривались в работах [4] и [5], однако полученные в этих работах уравнения годятся лишь для малых значений угловой скорости вращения кольца.
В статьях [6] и [7] изучались колебания находящихся в контакте с роликами цилиндрических оболочек конечной длины. В [6] рассматривалась шарнирно опертая оболочка, в [7] при решении задачи с граничными условиями, соответствующими закреплению оболочки центробежного концентратора, использовалась полубезмо-ментная теория оболочек.
В работах [2-7] решения уравнений динамики были представлены в виде отрезков рядов Фурье по окружной координате, причем в работах [2, 3, 6] и [7] предполагалось, что число слагаемых N в этих отрезках совпадает с числом роликов п. Привлекательность случая N = п состоит в том, что для него частоты и формы колебаний находятся в явном виде.
В данной работе разработан алгоритм определения частот колебаний в случае N > п. С увеличением N возрастает число найденных частот и происходит уточнение частот, полученных для меньших значений N.
2. Уравнения колебаний бесконечной цилиндрической оболочки.
Рассмотрим малые свободные колебаний бесконечной цилиндрической оболочки с нерастяжимой параллелью, вращающейся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью 0.г. Формулы для кинетической энергии Т и потенциальной энергии П такой оболочки имеют вид [3]
Т = ^г0р!г
,-0п
[г0- 2Иг(иги + гги) + и°. + ¿р,
(1)
где
П = П1 + По
ди!
Ж'
П1
ди др
Ю Г0п
Пз
в
-roph.il
Ю
/ в2 ¿р,
,/0
ЕЬ3
12(1-г/2)'
(2)
го — радиус оболочки, Н — ее толщина, р — плотность материала, и и г — проекции перемещений на нормаль и касательную, £ — время, р — окружная координата, Е —
V
X
0
2
п
и
ги
г
и
V
V
V
модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, П1 — потенциальная энергии изгиба. Слагаемое П2 учитывает окружное растягивающее усилие, возникающее за счет действия центробежных сил.
Подставив приближенные выражения для функций w и v
w(ip, t) = ^^ [ak(t) cos kp + bk(t) sin kip], v(cp, t) = ^^ k<y ^ 1 k<y ^
k= 1 k=1
в формулы (1) и (2), получим
sin kip Н--cos kip
к к
T
nr3 hp
N f W N f w
2Q¡ + 2Qr { к ~ ^ J (akbk ~ dkbk) + £ h + + b¡)
k=1 ^ ' k=1 ^ '
(3)
(4)
N
n
П = - !) + roph^Aik2 - 1 )(a| + 61)}, (5)
k=2
где точкой обозначена производная по переменной Ь.
Пусть оболочка подкреплена п равномерно расположенными абсолютно жесткими роликами, причем контакт ]-го ролика и оболочки происходит по образующей цилиндра Р3 = 2п]/п, ] = 1, 2,..., п. Тогда можем записать
N
i(ipj , t) = ^^[ak(t) cos kipj + bk (t) sin kipj ] = 0, j = 1, 2,...,n. (6)
к= 1
Рассматривая ак и Ьк как обобщенные координаты, а условия (6) как уравнения связей, запишем уравнения Лагранжа
(I (дТ\ дТ <9П " ди>(<рэ,г)
<М \дак) дак дак ^ 3 дак
3 = 1
d (дТ\ дТ dw(ipj,t)
__21
dt \дЪк) дЬк ' дЬк дЬк
где Л3 — множители Лагранжа, к = 1, 2,..., N.
Подстановка в эти уравнения выражений (4) и (5) дает уравнения малых колебаний, которые после перехода к безразмерным переменным
Л3 го 2 _ Б
т = Q0t, П = тг1, А,- = ,
По' ° kD ' 0 r^ph принимают вид [3]
n
ckak - 2Qdkbk + ек[вк +ü2]ak = ^ Xj cos kpj,
j= 1
n
ckbk + 2üdkak + ek[ek + П2]bk = Xj sin kpj,
j=1
к = 1, 2,...,N.
(7)
2
Здесь
Ск
1 +
dk
ек
к2- 1.
(8)
Точкой в (7) обозначена производная по т. После подстановки
ак = Ак ег'
Ьк = Вкек
в уравнения (6) и (7) получим систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ак, В к, Ьо-:
N
к=1
0,
1, 2,...,п,
акАк + вкВк = ^ , к = 1, 2,..., Ж,
(9)
(10)
—вк Ак + «кВк = 22 ^кЬ, к = 1, 2
3=1
(11)
где
2пзк . 2пзк
с,- й = соэ-, в,- й = йш-,
пп
«к = ек(ек + ^2) - ^2Ск, вк = -2гШк^.
(12) (13)
Выразим с помощью уравнений (9) п неизвестных Ак, Вк через остальные 2Ж—п неизвестных А;, В; и подставим найденные выражения в уравнения (10), (11). Получим систему 2Ж уравнений с 2Ж неизвестными Ьо-, А;, В;. Исключение из этой системы уравнений п множителей Лагранжа Ьо- приводит к системе 2Ж—п линейных однородных алгебраических уравнений с 2Ж — п неизвестными А;, В;. Приравнивание нулю определителя Б(^2) последней системы дает алгебраическое уравнение, корни которого .., являются квадратами безразмерных частот коле-
баний. Размерные частоты шго связаны с безразмерными частотами ^ равенствами шгз = , 3 = 1, 2,..., 2Ж — п.
Свойства коэффициентов е^к и во,к таковы, что система уравнений (9)—(11) распадается на ряд независимых систем. Вследствие этого определитель Б порядка 2Ж — п можно представить в виде произведения определителей меньшего порядка.
3. Метод определения частот колебаний для трех роликов. Рассмотрим случай п = 3. Три ролика имеет ЦКПП-120. Коэффициенты с^ и Sjtk для п = 3 приведены в табл. 1, где с = —1/2, в = а/3/2.
Таблица 1. Коэффициенты для п = 3
Ао = Ьо е
0
о
3
3 с3,2 С3,3 «3,2 «3,3
1 с с 1 — 8 0
2 с с 1 — 8 0
3 1 1 1 0 0 0
Используя вытекающие из формул (12) равенства со,к+„ = со,к, во,к+п = в0',к, табл. 1 можно расширить, добавив в нее произвольное число столбцов. Если N = 3, то из уравнений связей (9)
сА1 + сА2 + Аз + вВ1 — вВ2 =0, сА1 + сА2 + Аз — вВ1 + вВ2 = 0, А1 + А2 + Аз = 0,
вытекают равенства
А1 = —А2, Аз = 0, В1 = В2, а уравнения (10) и (11) принимают вид
«1А1 + в1В1 = еЬ1 + еЬ2 + Ьз, —в1А1 + «1В1 = вЬ1 — вЬ2, (14)
«2 А2 + в2В2 = еЬ1 + СЬ2 + Ьз, —в2А2 + «2В2 = — вЬ + вЬ2, (15)
«зАз + взВ2 = Ь1 + Ь2 + Ьз, —взАз + «зВз = 0. (16)
Вычитая из первого уравнения (14) первое уравнение (15) и складывая второе уравнение (14) со вторым уравнением (15), получаем
«1А1 — «2 А2 + в1В1 — в2В2 =0, —в1А1 — в2А2 + «1В1 + «2В2 = 0. (17)
Поставляя в уравнения (17) А1 = — А2, В1 = В2, приходим к системе двух уравнений с неизвестными А2, В2:
— («1 + «2)А2 + (в1 — в2)В2 =0, (в1 — в2)А2 + («1 + «2)В2 = 0. (18) Еще одно уравнение
«зВз = 0 (19)
получается после подстановки Аз = 0 во второе уравнение (16). Уравнения (18) и (19) имеют нетривиальные решения, если
(«1 + «2 )2 + (в1 — в2)2 =0, «з =0. (20)
Относительно о2 первое уравнение (20) является квадратным, а второе — линейным. В работах [2] и [3] приведены значения частот 01, 02 и оз, являющихся корнями уравнений (20).
Рассмотрим теперь случай N = 4. Используя табл. 1 с дополнительными столбцами для со,4, во,4 и уравнения связей (9), получаем
А1 = —А2 — А4, Аз = 0, В1 = В2 — В4. (21)
К системе уравнений (14)—(16) добавятся еще два уравнения
«4А4 + в4В4 = еЬ1 + еЬ2 + Ьз, —в4А4 + «4В4 = вЬ1 — вЬ2. (22)
Вычтем первое из уравнений (22) из первого уравнения (15), а второе сложим со вторым уравнением (15). Вместе с (17) полученные два уравнения образуют систему четырех уравнений, которая после постановки в (17) выражений (21) для А1 и В1 превращается в систему уравнений с четырьмя неизвестными А2, В2, А4 и В4:
— («1 + «2 )А2 — «1А4 + (в1 — в2)В2 — в1В4 = 0, (в1 — в2)А2 + в1А4 + («1 + «2)В2 — «1В4 = 0,
«2А2 — «4А4 + в2В2 — в4В4 = 0, ( 3)
—в2А2 — в4 А4 + «2В2 + «4В4 = 0.
Уравнение Б4(о2) = 0, где Б —определитель системы (23), имеет четвертую степень относительно о2. Решив его, мы найдем четыре частоты. Еще одна частота является корнем уравнения «з = 0.
В случае О = 0 имеем Б = («1«2 + «1«4 + «2«4)2 =0. С учетом формул (13) и (8) уравнение Б4 = 0 принимает вид
13ш2 \( 17ш2 \ 2 ( 5ш2 \ 4 у хо~у ~~ ~у = ^
Продолжим увеличивать число N и возьмем N = 5. Тогда следствием уравнений связей (9) являются равенства
А = -А - ^4 - А5, Аз = 0, В1 = В2 - В4 + В5, (25)
а к системе восьми уравнений (10), (11) для случая N = 4 добавится два следующих уравнения:
«бАБ + вбВб = еЬ1 + сЬ2 + Ьз, -вьАъ + а5В5 = -вЬ + в^. (26)
Подставив в (17) выражения (25) для А1 и В1, добавив к двум полученным уравнениям два последних уравнения (23) и два уравнения, полученных исключением множителей Лагранжа из (22) и (26), получим систему шести уравнений с неизвестными А2, В2, А4, В4, А5 и В5:
-(а.1 + «2)А2 - «1А4 - «1АБ + (в1 - в2)В2 - в1 В4 + в1 ВБ = 0,
(в1 - в2)А2 + в^4 + в1 АБ + («1 + «2)В2 - «1В4 + «1ВБ, ( )
«2А2 - «4А4 + 1З2В2 - в4В4 = 0, -в2А2 - в4В4 + «2В2 + «4В4 = 0, ( ) «4А4 - «БАБ + в4В4 - ввВв = 0, в4А4 - в5А5 + 0.4В4 + «БВБ = 0.
Семь частот определяются из уравнений Бб =0, аз = 0, где Бб —определитель системы (27).
В случае N = 6 в формулах (25) равенство Аз = 0 следует заменить равенством Аз + Аб = 0. Объединив уравнения (16) с двумя дополнительными уравнениями, получим систему
аз Аз + взВз = ¿1 + ¿2 + Ьз, -взАз + азВз = 0, аб Аб + вбВб = ¿1 + ¿2 + Ьз, -вбАб + абВб = 0.
Вычтем из первого уравнения третье уравнение и в полученное уравнение, а также во второе уравнение поставим Аз = - Аб. Оставив без изменения четвертое уравнение, придем к системе трех уравнений
-(аз + аб)Аб + вз Вз - вб Вб = 0, взАб + азВз = 0, -вбАб + аб Вб = 0 (28) с определителем
Бз = -азаб(аз + аб) - азв| - абвз.
При N = 6 шесть частот находятся из уравнения Бб = 0, а еще три — из уравнения -Бз = аз аб(аз + аб) + азв| + абвз = 0.
Для невращающейся оболочки имеем О = 0, вк = 0, и последнее уравнение эквивалентно трем уравнениям: аз =0, аб = 0, аз + аб = 0. Первые два из этих уравнений дают точные значения частот, которым соответствуют формы колебаний с тремя и шестью волнами в окружном направлении. Такие же частоты и формы имеет неподвижная цилиндрическая оболочка при отсутствии роликов.
При дальнейшем возрастании N число уравнений и неизвестных в системе (27) увеличивается на 2, потом еще на 2. Затем (при N = 9) увеличивается на 2 число уравнений и неизвестных в системе (28) и т. д.
Если N = 3к + N0, к = 1, 2,..., N0 = 0,1, 2, то частоты определяются из двух алгебраических уравнений порядка 2(2к — 1 + N0) и 2к — 1.
4. Метод определения частот колебаний для нечетного числа роликов.
Рассмотрим случай п = 7, от которого нетрудно перейти к случаю произвольного нечетного числа роликов. В табл. 2, где ск = еов(2кп/7), = вт(2кп/7), к = 1, 2, 3, приведены коэффициенты е^ и для п = 7.
Таблица 2. Коэффициенты для п = 7
3 с3,2 с.3,4 сз,б сл,6 с3,г «3,1 «3,2 «3,3 «3,4 «3,6 «3,6 «3,7
1 С1 С2 сз сз С2 С1 1 «1 «2 «3 -«з -«2 -«1 0
2 С2 СЗ С1 С1 сз С2 1 «2 -«з -«1 «1 «3 -«2 0
3 сз С1 С2 С2 С1 Сз 1 «3 -«1 «2 -«2 «1 -«з 0
4 сз С1 С2 С2 С1 сз 1 -«з «1 -«2 «2 -«1 «3 0
5 С2 сз С1 С1 сз С2 1 -«2 «3 «1 -«1 -«з «2 0
6 С1 С2 сз сз С2 С1 1 -«1 -«2 -«з «3 «2 «1 0
Пусть N = 7. Принимая во внимание значения коэффициентов из табл. 2, запишем уравнения связей (9) в следующем виде:
С1Х1 + С2Ж2 + С3Ж3 + Й1Ж4 + Й2Ж5 + взЖб + Х7 = 0, С2Х1 + С3Ж2 + С1Ж3 + Й2Ж4 — Й3Ж5 — Й1Ж6 + Х7 = 0, С3Ж1 + С1Х2 + С2Ж3 + Й3Ж4 — Й1Ж5 + Й2Ж6 + Х7 = 0,
С3Ж1 + С1Х2 + С2Ж3 — Й3Ж4 + Й1Ж5 — Й2Ж6 + Х7 = 0, (29)
С2Х1 + С3Ж2 + С1Ж3 — Й2Ж4 + Й3Ж5 + Й1Ж6 + Х7 = 0, С1Х1 + С2Х2 + С3Ж3 — Й1Ж4 — Й2Ж5 — Й3Ж6 + Х7 = 0. Х1 + Х2 + Х3 + Х7 = 0.
Здесь
Х1 = ¿1 + ¿6, Х2 = ¿2 + ¿5, Х3 = А3 + А4, Х4 = В1 — В6, Х5 = В2 — В5, Х6 = В3 — В4, Х7 = А7.
Сложив первое уравнение (29) с шестым, второе с пятым и третье с четвертым, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений
С1Х1 + С2Ж2 + С3Ж3 + Х7 = 0, С2Ж1 + С3Ж2 + С1Ж3 + Х7 = 0, (30)
С3Ж1 + С1Ж2 + С2Ж3 + Х7 = 0, Х1 + Х2 + Х3 + Х7 = 0. ( )
Определитель этой системы не равен нулю, поэтому она имеет только тривиальное решение х = х = X = Ж7 = 0, и
¿1 = — ¿6, ¿2 = —¿5, А3 = —¿4, ¿7 = 0. (31)
Подстановка первых трех уравнений (30) в первые три уравнения (29) дает систему
в1Ж4 + в2^5 + в3Ж6 = 0, в2^4 — в3Ж5 — в1Ж6 = 0, «3X4 — в1Ж5 + в2^6 = 0
с отличным от нуля определителем. Следовательно, Ж4 = х = Х6 = 0, и
В = В6, В = В5, В3 = В4. (32)
Значения коэффициентов из табл. 2 показывают, что для к = 1, 2, 3 правые части уравнений (10) с номером к совпадают с правыми частями уравнений с номером I = 7 - к, а правые части соответствующих уравнений (11) отличаются только знаком. Для исключения множителей Лагранжа вычтем из к-х уравнений (10) 1-е, а к-е и 1-е уравнения (11) сложим. Получим три системы уравнений, которые отличаются от уравнений (17) только индексами:
акАк - а;А; + вкВк - в; В; = 0, -вкАк - в;А; + акВк + а; В; =0, к =1, 2, 3. (33)
Принимая во внимание формулы (31) и (32), подставим Ак = -А; и Вк — В; в уравнения (33), которые после этого превратятся в уравнения с двумя неизвестными типа (18):
-(ак + аг)А; + (вк - в;)В; = 0, (вк - в;) А; + (ак + а;)В; = 0, к = 1, 2, 3. (34)
Относительно ш2 первые три уравнения (36) являются квадратными, а четвертое — линейным. Таким образом, в случае п = 7, N = 7 число частот, которые можно найти, равно пш = 2 • 3 + 1 = 7 = 2N - п.
Если взять N = 8, то в системе (29) изменятся только выражения для х и Х4, которые примут вид х = А1 + Аб + А8, Ж4 = В1 - Вб + В8. Ввиду того, что по-прежнему х = Ж4 = 0, мы получаем, что
Системы (10) и (11) будут содержать по восемь уравнений, причем правая часть 8-го уравнения (11) совпадет с правой частью 6-го уравнения, а правые части 8-го и 6-го уравнений (12) будут отличаться только знаком. Добавив к первым двум уравнениям (33) два уравнения
абАб - авАв + вбВб - ввВв = 0, -вбАб - ввАв + абВб + авВв = 0,
полученных исключением множителей Лагранжа из 6-го и 8-го уравнений (10) и (11), и поставим в них выражения (37). Составленная таким способом система уравнений
-(а1 + аб)Аб - а1Ав + (в1 - вб)Вб - в^в = 0, (в1 - вб)Аб + в1Ав + (а1 + аб)Вб - а^в = 0,
абАб - авАв + вбВб - ввВв = 0, (38)
-вбАб - ввАв + абВб + авВв = 0
отличается от системы (23) только значениями индексов. Равенство нулю определителя системы (38) дает уравнение для определения четырех частот. Остальные пять частот являются корнями двух квадратных (ак + а;)2 + (вк - в;)2 =0, к = 2, 3, и одного линейного уравнений а7 = 0, полученных для N = 7.
(35)
(36)
А1 = - Аб - Ав, В1 = Вб - Вв.
(37)
При N = 9 имеем x2 = A2 + A5 + Ag, x5 = B2 — B5 + Bg, и вторая система (34) с неизвестными As и Bs превращается в систему четырех уравнений с неизвестными A5, Ag, B5 и Bg, аналогичную системе (38). В случае N =10 последняя система (34) заменяется системой с четырьмя неизвестными A4, A10, B4 и Bio, а иш = 4 • 3+1 = 13 = 2N — n.
Дальнейшее увеличение N приводит к появлению систем с шестью неизвестными. При N = 11 вместо системы с неизвестными A4, Ai0, B4 и Bi0 появляется система с неизвестными A4, A10, A11, B4, Bio и Bii, которая может быть получена из системы (27) заменой индексов 2 ^ 4, 4 ^ 10, 5 ^ 11. В случае N =13 имеется три системы вида (27) и одно уравнение a7B7 = 0. Это уравнение при N =14 превращается в систему трех уравнений, к которой приводит замена индексов 3 ^ 7, 6 ^ 14 в системе (28).
Если N = Kn, n = 2ni + 1, K = 1, 2,..., ni = 1, 2,..., то имеется ni независимых систем с 4K—2 неизвестными типа (27) и одна система с 2K — 1 неизвестной типа (28). Частоты являются корнями ni алгебраических уравнений порядка 4K — 2 и одного уравнения порядка 2K—1. Общее число неизвестных (4K—2)ni + (2K—1) = (2K—1)n равно числу частот nw = 2N — n, которые можно найти при данном N.
При добавлении к N = Kn числа N0 < n количество неизвестных в системах типа (27) увеличивается на 2No. При N0 < ni число неизвестных в каждой такой системе увеличивается не более чем на 2, а при N0 > ni —не более чем на 4. Число неизвестных в системе типа (28) не меняется. Общее число неизвестных равно (2K — 1)n + 2N0 = nw.
5. Метод определения частот колебаний для четного числа роликов.
В качестве примера рассмотрим случай п = 6. Шесть роликов имеет ЦКПП-300. Коэффициенты Cjtk и Sjtk для п = 6 содержатся в табл. 3, где с = 1/2, s = л/3/2.
Таблица 3. Коэффициенты для n = 6
3 CJ,2 CJ,3 CJ,4 CJ,6 CJ,6 Sj,! «3,2 «3,3 «3,4 «3,6 «3,6
1 с с -1 с с 1 S S 0 — s —s 0
2 с с 1 с с 1 S — S 0 s —s 0
3 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0
4 с с 1 с с 1 — S S 0 — s s 0
5 с с -1 с с 1 — S — S 0 s s 0
6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
Пусть N = 6. Учитывая значения коэффициентов из табл. 3, представим уравнения связей (9) в следующем виде:
СХ1 + СХ2 — жз + вЖ4 + вЖ5 + же =0, СХ1 + СХ2 + жз + вЖ4 — вЖ5 + же = 0,
-Х1 + Ж2 — жз + Ж6 =0, (39)
СЖ1 + СЖ2 + жз — вЖ4 + вЖ5 + Ж6 =0, СЖ1 + СЖ2 — жз — вЖ4 — вЖ5 + Ж6 =0,
Ж1 + ж2 + жз + жб = 0,
где
ж1 = А1 + А5, ж2 = А2 + А4, жз = Аз, ж4 = В — В5, ж5 = В — В4, жб = Аб.
Сложив 1-е уравнение (39) с 5-м, а 2-е с 4-м, получим уравнения
сж1 + сж2 — жз + жб =0, сж1 + сж2 + жз + жб = 0, Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 2 329
которые вместе с 3-м и 6-м уравнениями (39) образуют систему, имеющую только нулевое решение. Ввиду того, что вх4 + вх5 = вх4 — вх5 = 0, система (39) имеет единственное решение ха =0, к = 1, 2,..., 6. Следовательно,
¿1 = —¿5, ¿2 = —¿4, ¿3 = 0, В1 = В5, В2 = В4, ¿6 = 0. (40)
Для к = 1, 2 правые части уравнений (10) с номером к совпадают с правыми частями уравнений с номером I = 6 — к, а правые части соответствующих уравнений (11) отличаются только знаком. После исключения из этих уравнений множителей Лагранжа получим две системы уравнений
акЛк — агД + вкВк — в; В; = 0, — Д^ — АЛ + «кВк + «;В; = 0, к = 1, 2, (41)
аналогичных системам (17) и (33). Принимая во внимание формулы (40), подставим ¿к = —¿; и В к = В; в уравнения (41), которые после этого превратятся в уравнения с двумя неизвестными типа (18), (34):
— («к + аМг + (вк — в;)В; =0, (вк — вМ; + (ак + а;)В; = 0, к = 1, 2. (42) Еще два уравнения
а3В3 = 0, а6В6 (43)
получаются после подстановки ¿3 =0 и ¿6 = 0 в 3-е и 6-е уравнения (11).
Из условий существования нетривиальных решений уравнений (42) и (43) следуют уравнения
(ак + а;)2 + (вк — в;)2 =0, I = 6 — к, к =1, 2, а3 = 0, «6 = 0. (44)
Относительно первые два уравнения (44) являются квадратными, а два последних — линейными. Число частот, которые можно найти при п = N = 6, равно пш = 2 • 2 + 2 = 6.
При увеличении N уравнения частот выводятся так же, как при нечетных п. В случае N = 7 имеем равенства х1 = ¿1 + ¿5 + ¿7 = 0, х4 = В1 — В5 + В7. Исключив множители Лагранжа из 1-го, 5-го и 7-го уравнений (11), (12) и используя равенства ¿1 = —¿5 — ¿7, В1 = В5 — В7, получаем систему уравнений вида (38) с неизвестными ¿5, ¿7, В5, В7. Равенство нулю определителя этой системы дает уравнение для определения четырех частот. Еще четыре частоты находятся из трех последних уравнений (44). При N = 8 аналогичным способом выводится система четырех уравнений с неизвестными ¿4, ¿8, В4 и В8, а уравнения (43) не изменяются. Дальнейшее увеличение N приводит к замене уравнения «3В3 = 0 системой трех уравнений вида (28) с неизвестными ¿9, В3, В9. При N =10 появляется система с шестью неизвестными вида (27), при N =11 таких систем становится две, при N =12 уравнение «6В6 = 0 превращается в систему уравнений вида (28) и т.д.
При N = (К + 1)(п1 + 1), п = 2(п1 + 1), К =1, 2,..., п1 = 1, 2,..., имеется П1 независимых систем с 2К неизвестными типа (27) и две системы типа (28). При нечетных К обе системы типа (28) содержат по К неизвестных, и частоты являются корнями п1 алгебраических уравнений порядка 2К и двух уравнений порядка К. При четных К одна система является системой с К + 1 неизвестной, а вторая — с К — 1 неизвестной. Частоты находятся путем решения п1 уравнений порядка 2К и уравнений порядка К + 1 и К — 1.В обоих случаях общее число частот пш =
2Кп1 + 2К = кп = 2N — п. Если N = (К + 1)(п1 + 1) + N(5, 0 < N < п1, то число неизвестных в N0 системах типа (27) увеличивается на 2 по сравнением со случаем N = (К + 1)(п1 + 1), и пш = 2Кп1 + 2К + 2^ = 2N — п.
6. Пример расчета. В табл. 4 представлены значения безразмерных частот колебаний для оболочки, подкрепленной тремя роликами (п = 3).
Таблица 4- Частоты колебаний для п = 3
п Метод Ш1 Ш2 шз Ш 4 Шб
Фурье, N = 3 1.66 1.66 7.59 - -
0 Фурье, N = 4 1.65 1.65 7.59 11.2 11.2
Фурье, N = 5 1.65 1.65 7.59 10.7 10.7
Прогонка 1.64 1.64 7.59 10.5 10.5
Фурье, N = 3 1.52 2.44 8.05 - -
1 Фурье, N = 4 1.51 2.39 8.05 10.0 13.4
Фурье, N = 5 1.50 2.37 8.05 9.86 11.9
Прогонка 1.50 2.36 7.91 9.78 11.5
Верхняя часть таблицы соответствует неподвижной оболочке, для которой П = 0. В нижней части таблицы даны значения частот оболочки вращающейся с угловой скоростью равной средней угловой скорости вращения ЦКПП-120. При этом безразмерная угловая скорость П = 1.
Кратные частоты невращающейся оболочки 01 = 02 и 04 = 05 при П > 0 расщепляются на две разные частоты, разность между которыми увеличивается с увеличением угловой скорости вращения оболочки П. Процесс расщепления кратных частот для гладких оболочек описан в работах [9] и [10]. Зависимость от П первых трех частот оболочки, подкрепленной тремя роликами, представлена в работе [2].
В случае N = 3 величины частот 01, 02 и 03 найдены по явным формулам, приведенным в работе [3]. При П = 0 величина 03 = 7.59, в отличие от 01 = 02, является точным значением частоты.
Для N = 4 при П = 0 кратные частоты 01 = 02 и 04 = 05 являются корнями биквадратного уравнения (24), а при П = 1 частоты 01, 02, 04 и 05 находятся путем численного решения уравнения Д^^2) = 0, где Д — определитель системы (23).
В случае N = 5 безразмерные частоты определяются из уравнений Д = 0 и «3 = 0, где Д —определитель системы (27). Для сравнения с приближенными результатами, полученными методом Фурье, в табл. 4 приведены результаты численных расчетов методом ортогональной прогонки [3]. Сравнение показывает, что погрешность приближенных формул для вычисления первых пяти частот не превосходит 3.5%.
7. Заключение. Приближенные значения частот колебаний вращающейся на п роликах цилиндрической оболочки являются корнями алгебраического уравнения порядка 2N — п относительно 02, где N — число удерживаемых членов ряда Фурье. В рассмотренном ранее случае N = п это уравнение при п = 2п1 + 1 распадается на п1 квадратных уравнений и одно линейное уравнение, а при п = 2п1 + 2 — на п1 квадратных уравнений и два линейных уравнения. Установлено, что при N > п число этих уравнений не изменяется, а порядок одного из них возрастает на 2 при каждом увеличении N на единицу. В частности, если N = п = 6, то частоты являются корнями двух квадратных и двух линейных уравнений, а при п = 6 и N =12 частоты можно найти путем численного решения двух уравнений шестого порядка и двух кубических уравнений.
Наибольший интерес для приложений представляет определение низших частот, так как именно на этих частотах обычно возникают наиболее опасные резонан-сы. Для бесконечной оболочки низшим частотам соответствуют формы колебаний с небольшим числом волн по параллели, поэтому число слагаемых N = n позволяет найти эти частоты в явном виде и с достаточной точностью.
Иначе обстоит дело в случае тонких оболочек конечной длины. Для них низшим частотам соответствуют формы с большим числом волн по параллели [8]. Чтобы найти эти формы и соответствующие им низшие частоты колебаний, необходимо выбирать достаточно большое число N членов отрезка ряда Фурье. Тогда при небольшом числе роликов n будет выполняться неравенство N > n. Разработанный в данной работе алгоритм вычисления частот может быть использован и для исследования колебаний оболочек конечной длины, что позволит найти их низшие частоты колебаний.
Литература
1. Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд. 2001. N 3. С. 34—38.
2. Филиппов С. Б. Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 138—145.
3. Боярская М. Л., Филиппов С. Б. Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 1. C. 31—37.
4. Полунин А. И. Математическое моделирование динамики упругого вращающегося кольца при наличии двух опор // Изв. АН. Механика твердого тела. 1999. N 6. С. 153—158.
5. Полунин А. И. Математическое моделирование динамики вращающегося на опорах кольца при действии сил резания // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки. 2013. N 1. C. 39-49.
6. Боярская М. Л. Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах цилиндрической оболочки // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011. C. 71-80.
7. Забиякин М. В. Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 2. С. 237-244.
8. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.
9. Смирнов А. Л., Товстик П.Е. Качественное исследование динамики вращающихся оболочек вращения // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С. 280290.
10. Smirnov A. Free vibrations of the rotating shells of revolution // Journal of applied mechanics. 1989. Vol. 56, N 2. P. 423-429.
Статья поступила в редакцию 15 июля 2017 г.; рекомендована в печать 21 сентября 2017 г. Контактная информация:
Филиппов Сергей Борисович — д-р физ.-мат. наук, проф.; [email protected]
Using the Fourier series for analysis of free vibrations of a cylindrical shell rotating on rollers
S. B. Filippov
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Filippov S. B. Using the Fourier series for analysis of free vibrations of a cylindrical shell rotating on rollers. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 2, pp. 321-333. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.212
Small free vibrations of an infinite cylindrical shell rotating on n rollers are considered. The shell is the model of a centrifugal concentrator intended for enrichment of ores. Displacements of the shell are searched as N-terms approximation of Fourier series on the circumference coordinate. The system of 2N linear differential equations for the factors of Fourier series is deduced. The solutions of these equations must satisfy the n equations of constraints. The system of 2N — n linear algebraic equations for calculating vibration mode shapes is obtained. Vibration frequencies uk, k = 1, 2,. .. , 2N — n are the roots of equation D(u>2) = 0, where D is determinant of this system. The system of the 2N — n equations is equivalent to several independent systems with smaller that 2N — n number of unknowns. Hence the determinant D of the order 2N — n can be represented in the form of a product of determinants of the smaller order. In some cases, in particular in case N = n, frequencies are roots of the algebraic equations not above the second degree and can be found in explicit form.
Keywords: rotating cylindrical shell, free vibrations, Fourier series, linear algebraic equations.
References
1. Krasnov A. A., "Dynamics of a centrifugal concentrating cone with compulsorily deformable elastic wall", Obogashchenie rud (3), 34—38 (2001) [in Russian].
2. Filippov S. B. "Vibration frequencies and mode shapes of an infinite cylindrical shell rotating on rollers", Vestnik St. Petersburg Univ. Series 1, issue 2, 138—145 (2006) [in Russian].
3. Boyarskaya M.L., Filippov S.B., "Small free vibrations of an infinite cylindrical shell rotating on rollers", Vestnik St. Petersburg Univ. Series 1, issue 1, 31—37 (2011) [in Russian].
4. Polunin A. I., "Mathematical modeling of dynamics of an elastic rotating ring on two supports", Izvestiya AN, Mekhanika tverdogo tela (6), 153—158 (1999) [in Russian].
5. Polunin A. I., "Mathematical modeling of dynamics of a ring rotating on support at action of cutting forces", Vestnik MGTU im. N. Baumana, Series Estestvennye nauki (1), 39—49 (2013) [in Russian].
6. Boyarskaya M. L., "Vibration frequencies and mode shapes of a cylindrical shell rotating on rollers", Trudy seminara "Compyuternye metody v mechanike sploshnoy sredy", 71—80 (St. Petersburg Univ. Press, St. Petersburg, 2011) [in Russian].
7. Zabiyakin M.V., "Vibrations of a cylindrical shell rotating on rollers", Vestnik St. Petersburg Univ. Series 1, issue 2, 237-244 (2014) [in Russian].
8. Goldenveyezer A. L., Lidskiy V. B., Tovstik P. E., Free vibrations of thin elastic shells (Nauka Publ., Moscow, 1979, 384p.) [in Russian].
9. Smirnov A. L., Tovstik P. E., "Qualitative research of dynamics of the rotating shells of revolution", Sovremennye problemy mekhaniki i aviatsii, 280-290 (Mashinostroenie Publ., Moscow, 1982) [in Russian].
10. Smirnov A., "Free vibrations of the rotating shells of revolution", Journal of applied mechanics 56(2), 423-429 (1989).
Author's information:
Sergei B. Filippov — [email protected]
