CC BY
83
УДК 621.928.3:534.1
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 2
С. Б. Филиппов
ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА РОЛИКАХ БЕСКОНЕЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ*
1. Введение
Главной частью центробежного концентратора с плавающей постелью (ЦКПП), используемого для обогащения руд, является вращающаяся усеченная коническая оболочка [1]. Оболочка находится в контакте с внешними коническими роликами, равномерно расположенными по окружности. Ввиду того, что угол при вершине конуса является малым, в качестве простейшей механической модели оболочки ЦКПП выбрана вращающаяся цилиндрическая оболочка бесконечной длины, находящаяся в контакте с абсолютно жесткими цилиндрическими роликами. Уравнения колебаний такой оболочки отличаются от уравнений колебаний вращающегося на роликах кольца только значениями некоторых коэффициентов.
Колебания вращающегося кольца, опирающегося на две жесткие опоры, рассматривались в работах [2], [3], однако полученные в них уравнения годятся лишь для малых значений угловой скорости вращения кольца. В данной работе используются более точные уравнения из работы [4], с помощью которых найдена зависимость частот колебаний от угловой скорости в более широком диапазоне ее изменения. Это позволяет проанализировать колебания оболочки ЦКПП, вращающейся с большой угловой скоростью.
2. Формулы для кинетической и потенциальной энергий
Введем неподвижную полярную систему координат г, у, в которой форма оси кольца в момент времени £ задается соотношением
где го — радиус недеформированного кольца, N — число учитываемых слагаемых ряда Фурье. Искомые функции ак и Ьк предполагаются малыми, причем ак ~ Ьк. Аналогичный подход использован в работах [2], [3] для определения частот колебаний кольца, вращающегося на двух опорах.
Из условия нерастяжимости кольца (см. [4]) следует, что
Для определения кинетической энергии Т кольца, вращающегося с постоянной угловой скоростью , воспользуемся формулой
N
(1)
к=1
(2)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257). © С. Б. Филиппов, 2006
*
где F — площадь поперечного сечения кольца, р — плотность материала, s = s'/ro — безразмерная лагранжева координата, жестко связанная с точкой кольца, s' — длина дуги упругой линии,
v2 = v2r + v2, Vr = r,t + r,vp, vv = rip, r,t = dr/dt, r,v = dr / dp. (4)
Для бесконечной цилиндрической оболочки F = h, где h — толщина оболочки.
Подстановка (4) в (3) с учетом (1) и (2) дает приближенное выражение кинетической энергии через обобщенные координаты ak и Ь^'.
7г rlFp 2
N ( х\ N ( х\ 2П2г + 2Пг^21к--\ (акЪк - акЬк) + ^ [ 1 + J (а\ + Ь\
Ъ—Л V / £>—1 V /
l2r + 2ttr V А; - - (акЪк - акЬк) + V 1 + — (¿| + Ъ2к)
к,
k=i 4 7 k=i
(5)
Выражение для кинетической энергии, приведенное в работе [2], содержит дополнительные слагаемые, пропорциональные ОГ2(о?к + б|). Появление этих слагаемых связано с тем, что в [2], в отличие от [4], не учитывались все члены второго порядка малости, пропорциональные ак, Ьк и акЪк. Так, например, в [2] вместо условия нерастяжимости (2) использовалось более простое условие ао = 0. Результаты работы [2] можно использовать при малых угловых скоростях, когда дополнительные слагаемые не играют существенной роли. При больших угловых скоростях вращения оболочки необходимо подставлять в уравнения колебаний более точное выражение (5) для кинетической энергии.
Потенциальная энергия кольца П складывается из энергии изгиба Пд и энергии растяжения П^ под действием центробежных сил. Энергия изгиба определяется по формуле
ТТ Г0° Г 2 Л = —— / к йа,
2 -)о
где Б = Е.1 — жесткость кольца на изгиб, Е — модуль Юнга, . — момент инерции поперечного сечения, к = (¿а/3,8 — 1)/го —изменение кривизны кольца, а — угол поворота касательной к оси кольца, причем
а = <р — arctg(rv/r). (6)
Для бесконечной цилиндрической оболочки Б = ЕЬ3/[12(1 — V2)], где V — коэффициент Пуассона.
С помощью дифференцирования равенства (6) в работе [4] получена приближенная формула
П Г п N
= ^ / (а + а, йр = ^ У>2 - 1)2(а| + Ь\). (7)
Энергию растяжения
/ «f - — - i) yu,k -r uk)
0 Jo 0 k=2
Щ = + (8)
к=2
необходимо учитывать при больших угловых скоростях вращения оболочки. Принимая во внимание формулы (7) и (8), получаем
N
п = Пп + Пп = УШк2 " 1) + - 1)(а| + Ь2)}. (9)
2r0
0 k=2
3. Уравнения колебаний
Пусть контакт j-го ролика и оболочки происходит по образующей цилиндра р = р,, причем для рассматриваемого интервала времени контакт между любым роликом и оболочкой сохраняется. Тогда при наличии n роликов имеют место равенства
r(Pj )= ro, j = 1, 2,...,n, (10)
которые можно рассматривать как уравнения связей.
После подстановки в формулу (10) разложения (1) с учетом равенства (2) и отбрасывания членов второго порядка малости уравнения связей принимают вид
N
fj = ^2(ak cos кр, + bk sin кр,) = 0, j = 1, 2,...,n. (11)
k=i
Для описания колебаний кольца, вращающегося на n роликах, будем использовать уравнения Лагранжа:
d ( дТ\ дТ ап dfj
dt \дак ) дак дак ^-f 0 дак ' / j=i
d fdT\ дТ дП П х dfj
+ _ - VA ^ + яь, - Z^b
j=i
dt\dbkJ dbk ' dbk ^ 3 dbk
где Л у —множители Лагранжа, к = 1, 2,...,Ы. Подставив в эти уравнения выражения (5), (9) и (10), получим уравнения малых колебаний кольца:
скак - 2Qrdkbk + ek[ekQl + ü2r]ak = —coskipj,
j= nro PF Л,
nrO pF
(12)
где
Cfcbfc + 2 ürdkák + ек[ек&1 + ü2r]bk = ^ —^'— siiikcp
j=i 0 p
1 1 2 2 D
Cfc = l + ^-, dk = к --, ek = к — 1, =
Введем безразмерные переменные т, О и X, по формулам
г = Q0t, = 7—, А
0
Пг , _ Ад-гр О,' тг£>
и запишем систему (12) в виде
n
ckdk - 20dkbk + ek [ek + О2( = ^ X, cos кр,-
j
j=1
ckbk + 2Шкik + ek[ek + О2]Ьк = ^ X, sin кр,
j=1
к = 1, 2,...,N.
Точкой в (13) обозначена производная по т.
Уравнения (13) и (11) представляют собой систему 2N + п уравнений с 2Ж + п неизвестными ак, Ък и Л^. Подстановка в эту систему
ак = Акв^, Ък = Бк в1ш1, \з = Ц в™, к = 1, 2,...^ з = 1, 2,...п
дает систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ак, Б к, Ьз, которая имеет нетривиальное решение, если
ЯМ=0, (14)
где О(ш) —определитель этой системы. Корни уравнения (14) являются частотами колебаний.
4. Случай п = 3
Найдем частоты колебаний нерастяжимого кольца, подкрепленного тремя равномерно расположенными по окружности роликами. В этом случае можно считать, что
2П
^ = ¿=1,2,3.
Случай п = 3 представляет наибольший интерес для приложений, так как именно три ролика имеются в используемых на практике центробежных концентраторах.
Положим N = 3. В дальнейшем будет показано, что сохранение в рядах Фурье трех первых членов дает достаточную высокую точность при вычислении низших частот колебаний.
В рассматриваемой задаче уравнения (11) и (13) принимают вид
а\ + а2 + а3 = О, а1/2 + а2/2 = а3 + (Ь1-Ь2)^3/2, (15)
ах!2 + Я2/2 = а3 + (Ь2 - Ьх)уД/2
и
2ал = Лх - А2/2 - Аз/2, 2ЪХ = (Л2 - А3)^3/2, 5а2/4 - 3ПЪ2 + 3(3 + П2)а2 = Л1 - А2/2 - Л3/2, 5Ь2/4 + ЗПа2 + 3(3 + П2)Ъ2 = (Аз - А2)^3/2, (16)
10а3/9 - 160Ъ3/3 + 8(8 + П2)а3 = А1 + Л2 + Л3, 10Ъ3 / 9 + 16Па3/3 + 8(8 + П2)Ъ3 = 0. Из равенств (15) следует, что
а1 = -а2, аз = 0, Ъ1 = Ъ2. (17)
Исключая Л3 из уравнений (16), с помощью формул (17) получаем
13а2/4 - 3ПЪ2 + 3(3 + П2)а2 = 0,
13Ъ2/4 + 3Па2 + 3(3 + П2)Ъ2 =0, (18)
10Ъ3/9 + 8(8 + П2)Ъ3 =0.
Подстановка в уравнения (18) решений в виде а2 = А2вгшЬ, Ъ2 = Б2вгшЬ, Ъ3 = Б3вшг приводит к системе линейных алгебраических уравнений
[3(3 + П2) - 13^2/4]А2 - 3Ш^Б2 = 0, 3гП^А2 + [3(3 + П2) - 13^2/4]Б2 = 0, -10^2Б3/9 + 8(8 + П2)Б3 = 0.
Из условия существования нетривиальных решений этой системы находим частоты
колебаний: _
2(^/3(39 + 16^2)т 30) /8 +О2 ^1,2 =-^-, = 6у—-—. (19)
Полученные безразмерные частоты Uk связаны с размерными частотами urk равенствами urk = ОоUk, к = 1, 2, 3.
5. Частоты колебаний невращающегося кольца
Рассмотрим сначала случай О = 0, т. е. колебания невращающегося кольца, подкрепленного тремя равномерно расположенными роликами. Тогда формулы (19) принимают вид
uji=uj2 = 6/л/13, с^з = 24/л/10. (20)
Кратной частоте U\ соответствует линейная комбинация четной wi(ф) = cos ф — cos 2ф и нечетной w2 (ф) = sin ф + sin2p форм колебаний, а частоте и3 — форма колебаний w3 (ф) = sin3p. На рис. 1 изображены перемещения оси кольца, возникающие при колебаниях по этим трем формам.
Рис. 1. Формы колебаний кольца при наличии трех роликов.
Сравним частоты (20) с частотами колебаний неподкрепленного кольца
üüx =üü2 = б/л/5, = CJ4 = 24/Vio, (21)
которым соответствуют линейные комбинации функций sin 2^, cos2p и sin3p, cos3p. На первый взгляд кажется странным, что первая частота колебаний подкрепленного кольца меньше первой частоты колебаний свободного кольца, так как при наложении связей частоты не уменьшаются. Дело в том, что свободное кольцо, в отличие от подкрепленного, имеет нулевую частоту, которой соответствует линейная комбинация sin р и coscp, описывающая смещение кольца как жесткого целого. Наложение связей (10) приводит к увеличению нулевой частоты до значения = б/л/Тз. Частота подкрепленного кольца из совпадает с частотой колебаний свободного кольца, но не является кратной.
6. Численный метод
Оценить точность формул (20) можно путем сравнения приближенных аналитических результатов с результатами расчета частот численным методом. Система дифференциальных уравнений для определения частот и форм колебаний нерастяжимого кольца, имеет вид
T' + Q + ropFu2v = 0, Q' - T + ropFu2rw = 0, roQ = M', roM = D6', ro6 = v - w', v' + w = 0,
где штрихом обозначена производная по переменной у, Т — растягивающее усилие, Q — перерезывающая сила, М — изгибающий момент, V, w — проекции перемещений оси кольца, — частота колебаний. Перейдем к безразмерным переменным
vw го М г^ г2 Т иг
2/1 = —, У2 = —, Уз = У4 = —р—, 2/5 =-рр, У б =-рГ' ш=сГ
г0 г0 О О О ^о
и запишем систему уравнений в виде
yi = —У2, У2 = У1 — V3, Уз = V4, у4 = У5, У5 = -^2У2 + У6, yé = -^2У1 - У5.
(22)
Для свободного кольца функции yk(y) являются 2п-периодическими. Подстановка в систему (22) yi = cos my, где m — натуральное число, позволяет определить y2 = m sin my, уз = (1 — m2)cos my и т. д., а также найти частоты колебаний свободного кольца:
, „ m(m2 — 1) .
m2 - 1
Точно такое же значение частоты получается после подстановки в систему (22) yi = sin my. Формулы (21) вытекают из равенства (23).
Наличие роликов накладывает ограничения на перемещения и усилия в кольце. Эти ограничения для абсолютно жестких роликов выражаются равенствами
У+ = УУ+ = У- =0, У+ = У-, г = 3, 4, 6, (24)
где у+ и y- обозначают пределы функции yi справа и слева от точек соприкосновения кольца и роликов с координатами y = yj.
В общем случае решение краевой задачи (22), (24) может быть получено с помощью численных методов, однако в случае равномерного расположения роликов для некоторых частот и форм колебаний имеются явные аналитические выражения. Если
2П
fj = —U ~ 1), 3 = 1, 2, .. ., гг, n
то для m = kn, k = 1, 2,... функции yi = cos my, y2 = m sin my, . . .удовлетворяют системе (22) и условиям (24), а соответствующие частоты определяются по формуле
(23). Так, например, в случае n = 3 значение частоты ^з =
24/аДО ( см. формулы (20))
является ее точным значением.
В таблице 1 для случая n = 3 приведены значения безразмерных частот колебаний, найденные по формулам (20) и с помощью численного решения краевой задачи (22),
(24) методом прогонки.
Таблица 1
Метод расчета ш i шз
аналитический 1.664 7.589
численный 1.638 7.592
Сравнение точного значения частоты с численным результатом показывает, что погрешность численного метода меньше, чем 0.1%. Относительная погрешность приближенного значения частоты по сравнению с ее численным значением составляет
около 2%. Это говорит о том, что значение N = 3 обеспечивает достаточно высокую точность при приближенном вычислении первой частоты.
7. Влияние вращения кольца на частоты его колебаний
На рис. 2 сплошными линиями изображены найденные по формулам (19) зависимости частот колебаний кольца , , и из, от угловой скорости его вращения О.
Рис. 2. Зависимость частот колебаний кольца от Q.
Первая кратная частота невращающегося кольца при О > 0 расщепляется на две разные частоты и , разность между которыми увеличивается с увеличением угловой скорости. Возрастание частоты из по мере роста угловой скорости происходит благодаря увеличению растягивающего усилия в кольце.
Пунктирные линии соответствуют значениям частот, найденным без учета растягивающего усилия. Безразмерные угловые скорости вращения центробежных концентраторов лежат вблизи середины рассматриваемого интервала изменения О, где расстояние между пунктирными и сплошными линиями не является малым, поэтому при расчете частот колебаний центробежных концентраторов не следует пренебрегать влиянием растягивающих усилий.
8. Заключение
Результаты данной работы нацелены, главным образом, на определение частот колебаний центробежных концентраторов, поэтому некоторые вопросы теоретического характера в работе не рассмотрены. Представляет интерес
1) определение решений системы уравнений (11), (13) при конкретных значениях n и N, отличных от 3, а также исследование решений этой системы при произвольных значениях n;
2) разработка численного алгоритма расчета частот в случае 0 = 0 и сравнение полученных численных результатов с аналитическими;
3) исследование влияния на частоты колебаний начальных усилий и перемещений, возникающих при поджатии оболочки роликами.
Summary
S. B. Filippov. Frequencies and mode shapes of a rotating on the rolls infinite cylindrical shell.
The small free vibrations of the rotating infinite cylindrical shell in contact with the rolls are studied. By means of expanding the solution in the Fourier series the simple approximate formulas for the vibration frequencies and mode shapes are obtained.
Литература
1. Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд. 2001, №3. С. 34-38.
2. Полунин А. И. Математическое моделирование динамики упругого вращающегося кольца при наличии двух опор // Изв. АН, Механика твердого тела. 1999, №6. С. 153-158.
3. Полунин А. И. Определение собственных частот колебаний вращающегося кольца с опорами при учете растяжимости средней линии // Изв. АН, Механика твердого тела. 2001, №2. С. 193-198.
4. Товстик П. Е., Филиппов С. Б., Шмойлова Е. А. Нелинейная деформация вращающейся на роликах вязко-упругой бесконечной цилиндрической оболочки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 4. С. 98-109.
Статья поступила в редакцию
