Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1:517.927.25

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА РОЛИКАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ*

М. В. Забиякин

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассматриваются малые свободные колебания вращающейся замкнутой цилиндрической оболочки конечной длины, находящейся в контакте с жесткими цилиндрическими роликами. Края оболочки либо шарнирно оперты, либо один из краев заделан, а другой свободен. Второй вариант граничных условий соответствует условиям закрепления оболочки центробежного концентратора. Используются предположения полубезмоментной теории оболочек. Формы колебаний ищутся в виде рядов Фурье по окружной координате. Для произвольного числа равномерно распределенных роликов в явном виде найдены приближенные значения первых частот колебаний. В случае шарнирного опирания краев оболочки проведено сравнение результатов, полученных по приближенной полубезмоментной теории и классической теории оболочек Кирхгоффа—Лява. Из результатов расчетов следует, что полубезмоментную теорию можно использовать для оценки первой частоты колебаний. Чем тоньше оболочка, тем большее число низших частот можно определить по приближенным формулам. Результаты работы можно использовать при расчете и проектировании центробежных концентраторов, предназначенных для обогащения руд. Библиогр. 7 назв. Ил. 1. Табл. 2.

Ключевые слова: вращаюшаяся цилиндрическая оболочка, свободные колебания, полубез-моментная теория, краевая задача.

1. Введение. Динамика вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки исследована в работах [1-3]. В работе [1] изучены стационарное и нестационарные движения оболочки. В статьях [2] и [3] найдены частоты колебаний оболочки. Колебания шарнирно опертой цилиндрической оболочки конечной длины, подкрепленной роликами, рассмотрены в работе [4].

В данной работе для вычисления частот колебаний вращающейся на роликах цилиндрической оболочки конечной длины при различных граничных условиях используется полубезмоментная теория.

2. Постановка задачи. В случае малых колебаний цилиндрической оболочки длиной Ь с нерастяжимым меридианом, вращающейся с постоянной угловой скоростью , формулы для кинетической энергии Т и потенциальной энергии П, полученные в работе [2], можно записать в виде

2п Ь

КЬр {' /*

П

где

о о

2п Ь

12 11К(Т1£1 + Беи + Мцц + М2к2 + 2Нк12 + ркП2гв2)с1^х, (2)

оо

1 - V , 1

Тх=Веъ Б = В—-е12, в=(у-ю1р)~,

2 К

'Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00253).

Рис. 1. Оболочка, подкрепленная тремя роликами.

М1 = Б(К1 + 1/к2), М2 = Б(К2 + ¡УК!), Н = Б(1 - и)к12,

В =

Е1г

Б =

ЕН3

12(1 - V2)'

Т1, $ — усилия, в — угол поворота нормали к срединной поверхности, М1, М2, Н12 — моменты, и, V, т — проекции перемещений, V — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга, Я — радиус оболочки, Н — ее толщина, х — продольная координата, < — окружная координата, р — плотность оболочки. Последнее слагаемое в выражении для П появляется благодаря учету растяжения оболочки под действием центробежных сил.

Геометрические соотношения связывают деформации с проекциями перемещений:

ди

£1 =

д 2т

дх

К1 =

дх2

1 дv т

£2= + Д = °' 1 д2т 1 дv

К2 = "й2 д^ + Д2 ' V

1 ди

д<

1 д2т

дv

Я д^р дх

К12 =

+

1 дv

(3)

Ядхд< Я дх

Рассмотрим оболочку, подкрепленную п абсолютно жесткими роликами по образующим цилиндра < = <, з = 1, 2,..., п. На рис. 1 изображена оболочка, подкрепленная тремя роликами. Условия контакта оболочки и п роликов имеют вид

■К<Рз )=0, 3 = 1, 2 ...,

(4)

3. Уравнения малых колебаний. Если заданы граничные условия шарнирного опирания и' = v = т = т" = 0 при х = 0, х = Ь, то функции и, v, т можно искать в виде

N

т = ^^(ак соя к< + Ък яш к<) ят ах,

к= 1 N

и = соя к< + вк ^п к<) соя ах,

к=1

к= 1

| — эт кср + соэ кср | эп

(5)

(6) (7)

где к —число волн по параллели, а = пт/Ь, т — число волн вдоль образующей оболочки.

п

v

Используя соотношения полубезмоментной теории [5]

dv dv du dip' дх dip'

получаем

П N / ^ b \ "

— ^^ \~fc~ ^ ^ ~k COS ^ J COS ах = ~ AfcA; sin/г^ + /Зкк cos k<p) cos ax, (9)

fc=1 ^ ' fc=i

\ akOL a bka nm

В полубезмоментной теории предполагается, что

к > 1, £i - £12, Kl < К12 < К2, T2 < S < Ti, u < v < w. (11) Используя соотношения (11), упрощаем кинетическую и потенциальную энергию:

2п L 2п L

T=~2~j J (wft ~ 2ttrwtwv) d<pdx, П=1| J R(T1e1+M2K2+pMl2re2)dV>dx.

0 0 0 0

(12)

Выражения для перемещений (5), (6), (7) подставляем в кинетическую и потенциальную энергию:

N / -2 \

Т = —т^—тг J2 ([a'fc2 + Ък - 2f2rA;[afcbfc - 6fcafc] J ) ,

fc=i v '

N N N

П = В?ВаЦ* E (A2 + Pi) + fMM E (Ф4 + b\k4) + Д^тг £ *Vfc + b2fc)f

fc=1 fc=1 fc=1

(13)

где

4 _ fe2

M ~ 12Д2-

Для описания колебаний оболочки, вращающейся на n роликах, будем использовать уравнения Лагранжа:

d (дТ\ дТ дП dfj d (дТ\ дТ dll _A dfc

Jt \dd~k) jd,Л\Ж~к) ~dh + dh~ f^ jdb~k' ( }

где Л^ — множители Лагранжа, k = 1, 2,..., N. Условия контакта (4) рассматриваются как уравнения связей:

N

fj = w(^j) = cos k<pj + bk sin k<pj) = 0, j = 1, 2,..., n. (15)

i=1

Подставив в (14) выражения (13) и (15), получим уравнения малых колебаний оболочки:

phnLR

2

phnLR

2

/2 \ • 1 П

+ = £ Ад-cos А;^-,

•• / 2 л 1 j=1 (16)

+ + = EAj-sin kVj.

j=1

4. Формулы для частот колебаний. Введем безразмерные переменные т, П и по формулам

^ ^ л 2 Л j

T = Qot> Q = Xj = ^шжЩ' a = 7iml>

где

г,

PR4' V

и запишем систему (16) в виде

a'k + bk +

(fcM)4 а4

Т

(fcM)

+ к4 + П2к2

+ к4 + п2к2

ak — 2Qkbk Xj cos k^j,

j=i n

bk + 2Qkdk =5^ Xj sin kfj.

j=i

(17)

Точкой в (17) обозначена производная по т. Уравнения (17) и (15) представляют собой систему 2N + n уравнений с 2N + n неизвестными ak,bk и Xj. Выберем N = n и предположим, что

2п(к — 1) , 1 „

(fk = -, к = I, 2 ... п,

к

т. е. ролики равномерно расположены по окружности. Тогда подстановка

ak = Ak eiwT, bk = BkeiwT, Xj = L eiwT, к = 1, 2,... N, j = 1, 2, ...n

в систему (17) дает систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ak, Bk, Lj:

n

ak Ak + Pk Bk =^2 cjk Lj, к = 1, 2,...,n, (18)

j

n

—pkAk + ak Bk = Sjk Lj, к = 1, 2,...,n, (19)

j

n

Y,(cjk Ak + Sjk Bk ) = 0, j = 1, 2,... ,n, (20)

k

где

2пjk . 2njk 2 a4 4 2

Cjk = cos-, Sjk = sin-, ak = —uj + 4 4 + /г + iz/г , pfc = —2iilkuj.

n n к a

Значения ш, для которых система уравнений (18)-(20) имеет нетривиальное решение, являются частотами колебаний.

Пусть число роликов n = 2m + 1, где m — натуральное число. Ввиду того, что

2njk 2nj(n-k) • 2njk ■ 2nj(n-k) Cjk = COS = COS -= Cj}n-k, Sjk = Sin = - Sin -L = Sj n_k,

к = 1, 2, ... ,m, Cjn = 1, Sjn = 0,

a4

уравнения (20) принимают вид

N

(Лк + Ар) + 83 к(Бк — Бр)]+ Ап = 0, 3 = 1, 2,...,п, (22)

к=1

где р = п — к. Система (22) представляет собой систему п линейных однородных алгебраических уравнений с п неизвестными Хк = Ак + Ар, хт+к = Бк — Бр, к = 1, 2,...,т и хп = Ап. Если определитель этой системы Бп не равен нулю, то она имеет только тривиальное решение и, следовательно,

Ар = —Ак, Бр = Бк, Ап = 0. (23)

Вычисления показывают, что определители Б3, Б5 и Б7 отличны от нуля, но доказать, что Бп = 0 при любом п пока не удалось.

Из к-го уравнения системы (18) вычтем ее р-е уравнение, а к-е уравнение системы (19) сложим с ее р-м уравнением. Добавим к полученным 2т уравнениям п-е уравнение системы (19). Принимая во внимание равенства (21) и (23), получим следующую систему уравнений:

(ак + ар)Ак + (вк — вр)Бк = 0, (вр — вк)Ак + (ак + ар )Бк = 0,

к = 1, 2,...,т, апБп = 0. (24)

Условие существования нетривиальных решений системы (24) дает уравнения частот

(ак + ар)2 + (вк — вр)2 =0, ап = 0, положительные корни которых определяются по формулам

^/пЦр - к)2 + 2(р^4 + к4 + ^ + р4 + П2(к2 + р2)) ± п(р - к)

°--' (25)

ш1,2

4(1 - V2)

к = 1, 2, .. ., то, сип = \Г К . . ' + п4 + П2п2.

Аналогичные преобразования при четном числе роликов п = 2т показывают, что и в этом случае частоты определяются по формулам (19), однако к = т соответствует одна частота

= + т4 + П2т2. (26)

у т

Безразмерные частоты связаны с размерными частотами шк равенствами

_ Д _ //э(1 — V2)

-IV о.

(27)

3 По М4 V Е

орости вращения

сближаются. Если П = 0, то вместо этих двух частот появляется одна кратная частота

При уменьшении угловой скорости вращения оболочки П частоты ш[к) и ш2к)

к* II.4 > ^

^^^р (28) = V-2-'

Превращение кратной частоты неподвижной оболочки ¡мк в частоты и вращающейся оболочки называют расщеплением частот [5].

5. Погрешность полубезмоментной теории при определении частот колебаний цилиндрической оболочки при О = 0. Проведем сравнение приближенных значений низших частот колебаний подкрепленной роликами шарнирно опертой цилиндрической оболочки с точными значениями, полученными в работе [4] для случая нерастяжимого меридиана. Данное сравнение проводится для определения области параметров, в которой применение полубезмоментной теории дает малую погрешность. Можно рассчитывать на то, что в этой области полубезмоментную теорию можно использовать для приближенного определения частот колебаний оболочки с граничными условиями, при которых задача не имеет точного решения.

Имея в виду приложение полученных результатов к задаче о колебаниях центробежного концентратора [6], рассмотрим оболочку с параметрами l = 2.5, h = 1/15, v = 0.3 при n = 3 и n = 6. В случае n = 3 точные значения двух первых частот равны

^з = 11.4, wii2 = 20.8.

Нижние индексы совпадают с числом волн в окружном направлении для соответствующей формы колебаний. Кратной частоте wi,2 соответствуют две формы, которые являются линейными комбинациями sin у, sin 2у и cos у, cos 2у. По формуле

+ n

4

2 =

(пМ/)4

получаем

^з = 12.8.

Относительная погрешность по сравнению с точным значением составляет 12%. Погрешность полубезмоментной теории возрастает с уменьшение числа волн по параллели. Для частоты ^,2 ошибка приближенной формулы очень велика. Приведем точные значения первых частот для п = 6:

= 11.4, = 14.8, = 24.6, = 36.1.

Найти приемлемые значения частот о>2,4 и 0*1,5 по полубезмоментной теории не удается, зато «полубезмоментная» частота ^ = 36.1 практически совпадает с точным значением этой частоты.

Таким образом, при I = 2.5 и относительной толщине оболочки Н = 1/15 использование полубезмоментной теории позволяет только оценить первую частоту и найти четвертую частоту для случая п = 6.

Отметим, что для приложений наибольший интерес представляет определение низших частот. С уменьшением толщины оболочки число волн по параллели, соответствующее низшим частотам, растет, что позволяет рассчитывать на их более точное определение с помощью полубезмоментной теории.

Действительно, для оболочки толщиной Н = 1/100 низшей частотой является ^6 = 38.7. По полубезмоментной теории получаем ^ = 39.1, и погрешность для первой частоты составляет всего 1%.

С увеличением длины оболочки точность приближенных формул улучшается. Об этом свидетельствуют результаты, приведенные в таблице 1 для случая I = 5, п = 6.

h решение ш3 Ш 2,4 <¿1,5 Lü<¡

1/15 точное 8.17 9.28 10.8 12.2 15.9 22.9 34.9 36.0

полубезм.

1/100 точное 15.7 17.7 22.9 27.5 54.8 98.4 35.1 36.2

полубезм.

В этом случае полубезмоментную теорию можно использовать для оценки значений всех низших частот, за исключением частоты 0*1,5.

6. Частоты колебаний оболочки с граничными условиями заделка и свободный край. Граничные условия заделки и свободного края соответствуют закреплению оболочки центробежного концентратора с плавающей постелью, используемого для обогащения руд [6]. Для полубезмоментной теории эти условия приобретают следующий вид:

w = w = 0, x = 0, w" = w''' = 0, x = l.

Решение ищем в виде

w(x, у, t) = w(t, y)w(x),

где

w(x) = AS(ax) + BT (ax) + CU (ax) + DV (ax),

N

w(t, у) = cos ky + bk sin ky),

k= 1

S, T,V,U — балочные функции [7], A, B,C, D — произвольные постоянные. Из граничных условий при x = l следует

C T (ax)

.(x) = CU(ax)+DV(ax), - = -Л-l, (2g)

где а — корень уравнения cos(аl) = еИ 1 (а1). Методом, изложенным в п. 3 и 4, получаем следующее уравнение частот:

(ак + а.р)2 + (вк - вр)2 =0, ап = 0,

положительные корни которых определяются по формулам

{к) _ - к)2 + + к4 + ^ +Р4 + й2{к2 +р2)) ± Q{p _ к)

;1,2 = о >

— (30)

к = 1,2,...,ш, шп = х К Л Л ' + п4 + П2п2. У и4уь4

Аналогичные преобразования при четном числе роликов п = 2т показывают, что и в этом случае частоты определяются по формулам (19), однако случаю к = т соответствует одна частота:

*(1 - 1/2)

У . . ' + то4 + П2то2. (31)

m

=

h решение ш3 Ш 2,4 <¿1,5

1/15 полубезм. 9.16 11.614 18.58 36.5

1/100 полубезм. 10.4 16.18 36 36.5

Если П = 0, то вместо частот и ^^ появляется одна кратная частота:

(к)

^fc =

fc4^4

2

В таблице 2 приведены значения частот колебаний для случая n = 6, l = 5, Q = 1, v = 0.49.

Заключение. Полубезмоментная теория дает хорошие результаты для определенного числа низших частот. С уменьшением толщины оболочки точность полубез-моментной теории повышается.

Литература

1. Товстик П. Е., Филиппов С. Б., Шмойлова Е. А. Нелинейная деформация вращающейся на роликах вязко-упругой бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 4. С. 98-109.

2. Филиппов С. Б. Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 138-145.

3. Боярская М. Л., Филиппов С. Б. Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 1. С. 21-26.

4. Боярская М. Л. Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах цилиндрической оболочки // Труды Семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды», 2010-2011. С. 71-80.

5. Товстик П. Е., Бауэр С.М., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций // СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 188 с.

8. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1975. 256 с.

6. Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд. 2001. №3. С. 34-38.

7. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

Статья поступила в редакцию 24 октября 2013 г. Сведения об авторах

Забиякин Макар Владимирович —аспирант; zabiyakin.makar@gmail.com

VIBRATIONS OF CYLINDRICAL SHELL ROTATING ON ROLLERS

Makar V. Zabiyakin

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; zabiyakin.makar@gmail.com

Small free vibrations of a rotating closed cylindrical shell of the finite length which is in a contact with rigid cylindrical rollers are considered. Shell edges are or free supported or one of edges is clamped, and another is free. The second case corresponds to conditions of fastening the shell of the centrifugal concentrator. Assumptions of semimomentless shell theory are used. Vibrations modes in the circumferential direction are represented as Fourier series. For any number of uniform distributed rollers the approximate values of the first frequencies are found in explicit form. In case of free supported shell comparison of results obtained by means of approximate semimomentless theory and the classical Kirchhoff—Love theory is performed. From results of calculations follows, that the semimomentless theory can be used for an estimation of the fundamental frequency. The the shell is more thin, the the greater number of the lowest frequencies can be defined under the apprximate formulas. Results of the paper can be used at calculation and designing of the centrifugal concentrators intended for the enrichment of ores. Refs 7. Figs 1. Tables 2.

Keywords: rotating cylindrical shell, free vibrations, semimomentless theory of shell, eigenvalue problem.

a