CC BY
4
УДК 539.3
X. А. Ву, Р. А. Сафонов
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КОНСТРУКЦИИ ИЗ ТОНКИХ ПЛАСТИН И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
Поступила в редакцию 30.05.2018 г.
В статье проводилось решение задачи изгиба для композиции, состоящей из цилиндрической оболочки и пластины. Поверхность задавалась непрерывной функцией, построенной с помощью функции Хевисай-да. Уравнения выводятся на основе вариационных методов из основных уравнений теории пластин и оболочек. В ходе решения задачи были получены сингулярные коэффициенты таких уравнений для композиции, состоящей из цилиндрической оболочки и пластины.
В пределах классических гипотез Кирхгофа Лява рассмотрим композицию из пологой цилиндрической оболочки и пластины, гладко сопряженных между собой и отнесенных к криволинейным координатам, как это указано на рис. 1.
Рис. 1. Исследуемая композиция цилиндр-пластина
Для рассматриваемой композиции определим вектор положения любой точки срединной поверхности рассматриваемой конструкции в следующем виде:
. СП^Й —^
^(Й,ф) = Я((1 - СП80) + [(1 - - (1 - СП8Й)]И(Й - 01))+
втЙ
п
+ ЩвтЙ + [1 - зтЙ]И(0 - 01))&, 01 = -. (1)
Уравнение гладкой срединной поверхности конструкции (1) позволяет рассматривать композицию как пологую оболочку переменной кривизны ki5 которая в силу выбора функции 1(в, ф) является кусочно-непрерывной функцией [1].
На основании обобщенного вектора положения любой точки срединной поверхности композиции из оболочек вращения методами теории поверхностей определяются обобщенные параметры Ламе и главные кривизны,
^/Cii = R(sinв + - sinв] И(в - 0i));
sin в 1 (2)
VG2 =0; ki = - -; k2 = 0.
Проверка выполнения условий Кодацци Гаусса приведена в работе [2], что позволяет использовать известные формулы теории оболочек. Под гладким сопряжением в данном контексте понимаем случай равенства нулю коэффициентов и их первых производных при функции Хе-висайда, в точках где они определены, но ограничены.
На основании вышеизложенного функция Лагранжа указанной кон-
в
щине полем температуры, с учетом гипотез Франца-Неймана и осевой симметрии оболочечной конструкции запишется в виде
I =2 J JJ ^ eijV GiiG22(1 + — )(1 + — )da1da2dz. (3)
Уравнения равновесия несвязной термоупругости получим из дифференциального вариационого принципа Лагранжа. Вычисляя частные вариации 6(u)I £(w)I с учетом осевой симметрии конструкции и приравнивая их к нулю, получим систему двух неоднородных дифференциальных уравнений относительно перемещений и и w:
аВ
^12^,11 + bi2W,ii + aiiu,i + biiw,i + awu + bw w = dii(aBo),i + '
a24w,iiii + a23w,iii + a22w,ii + a2iw,i + a2ow + b2u,ii + b2iu,i + b2ou = 7 7 л 7 f n\ 7 f n\ £ aBi aBi aBi
= d + d2oaBo + d2i(aBo),i + d22(aBo),ii + /20—r~ + /21 тг + /22^77.
h hi h 11
(4)
Коэффициенты в случае композиции «цилиндр-пластина» зависят от параметров Ламе и главных кривизн. Рассмотрим следующие алгебра-
ические и дифференциальные комбинации этих величин, используемые для нахождения коэффициентов в формуле (4) :
G11 sin2 в
G22 R(sin3 в + [1 - sin3 в]Н(в - в1)'
ГОп sin2e
0,1 =
G22 ,1 R(sin3 в + [1 - sin3 в]Н(в - в1)
3sin4 в](1 - Н(в - в1)) _ -R(sin6 в + [1 - sin6 в]Н(в - в1)'
(\/G22),1 = ^2,1 = 0' k2 =
2 1 - Н(в - в1)
R2
(
vG2 sin6 в
y/G3! R3(sin9 в + [1 - sin9 в]Н(в - в1)'
VGÜ _ 2 sin8 в cos в(Н(в - в1) - 3 sin9 в) _ ^/Щ),1 = R3(sin9 в + [1 - sin9 в]Н(в - в1))'
(
v/G22(Gu),k _ (1 - Н (в - в1))[—вг1т121в - 12 sin19 в cos2 в
( Gf1 ),1 = sin^^^ +
8sin19в cos в + 2зт19в- 10вт16всозв
+
sin24в +[1 - sin24в]H(в - в1)
G22\J(G11), 1 sin4 в COs в
сЦ k1 = R^n6 в + [1 - sin6 в]Н(в - в1)
Таким образом, были изучены основные уравнения осесимметричной термоупругости из оболочек вращения с термочувствительной толщиной в компонентах поля перемещений, полученные при помощи вариационного метода, и на примере композиции из двух элементов цилиндр _ пластина определены сингулярные коэффициенты в уравнениях
теплопроводности и термоупругости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Композиции из пологих цилиндрических оболочек и пластин со скачкообразно изменяющейся толщиной в двух направлениях/ Сарат. политехи, ин-т, Саратов, 1984 г. 4 с. Деп. в ВИНИТИ 24.10.84, № 6881-84.
2. Мылъцина O.A. Термоупругсоть геометрически нерегулярных пластин и оболочек под действием быстроиеременных температурных и силовых воздействий. Саратов. : Изд-во Сарат. ун-та, 2017. 198 с.
УДК 519.6,532
Ю. А. Блинков, И. А. Панкратов, К. Р. Симонова
РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ШАРА С ПОМОЩЬЮ СТАНДАРТНЫХ РЕШАТЕЛЕЙ OpenFOAM
Поступила в редакцию 29.05.2018 г.
1. Постановка задачи
Задача обтекания неподвижного твердого тела формулируется в рамках модели вязкой несжимаемой жидкости. Такой процесс описывается нестационарной системой уравнений Навье-Стокса. В настоящей работе в отличие от [1, 2] для расчёта параметров течения вязкой несжимаемой жидкости применен пакет OpenFOAM, в котором реализован метод конечных объёмов.
Необходимо произвести численное моделирование обтекания шара потоком вязкой несжимаемой жидкости для разных чисел Рейнольдса методом конечных объёмов. Полученные коэффициенты лобового сопротивления шара нужно сравнить с экспериментальными значениями. Заметим, что ранее с помощью пакета OpenFOAM в работе [3] было проведено математическое моделирование одномерных течений несжимаемой жидкости. Установлено, что результаты численных экспериментов согласуются с известными точными решениями для течений Куэтта и Пуазейля.
В качестве расчетной области был выбран прямоугольный параллелепипед, длины ребер которого равны 1 м, 0.6 м и 0.4 м соответственно. Центр шара, диаметр которого равен 1.5 см, располагается в начале системы координат и совмещается с центром параллелепипеда.
Фоновая сетка (домен), состоящая из 50 х 31 х 21 ячеек создается с помощью утилиты blockMesh. Для построения более мелкой сетки в области, окружающей обтекаемое тело, была использована утилита
