Некоторые вопросы обратных задач спектрального анализа для степени оператора Якоби Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ДЛЯ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРА ЯКОБИ

, В.В. Дубровский (мл.), А.Н. Типко

Используя асимптотику собственных функций оператора Якоби по Стилтьесу и теорему возмущений базиса Рисса, доказана теорема единственности восстановления финитного потенциала для степени /3 > \ оператора Якоби.

Ключевые слова: обратная задача, оператор Якоби, собственные числа, базис Рисса.

Целью этой работы является доказательство теоремы единственности восстановления потенциала по спектру для степени оператора типа Якоби,

Обозначим через Т оператор Якоби, действующий в комплексном гильбертовом пространстве функций II = Щ[^1,1].

Ту(х) = —(1 — х2)у"(х) — [/3 — а(а + /3 + 2)х]у'(х), (1)

где у, Ту Е Н, и){х) = (1 — х)а{1 + х)^ - вес, —1 < а, (3 < 1 -ограничение, связанное с интегрируемостью веса [1].

Из [2] известно, что его однократным собственным значениям Хп = п(п + а + /3 + 1) соответствуют ортонормированные в Ны собственные функции дп\

$п(х) = Ьгър^\х),

2а+<3+1Т{а + п + 1)Г(/3 + п + 1) ” п1(а + (5 + 2п + 1)Г(а + (5 + п + 1) ’

где Рпа’^ - многочлены Якоби степени п со старшим коэффициентом

Г(а + (3 + 2 п + 1) —----

2ппТ(а + [3 + п + 1),П ~ ’°°'

В.В. Дубровский

Поскольку оператор Т представим в самосопряженной форме

1

Ту = й(х) х

то оператор Т - самосопряженный [3],

Определим степень оператора Т следующим образом:

т'у = / Х'ЛЕ(Х)у = ^ А' (у, (2)

^ П=1

где (у, $п) - скалярное произведение функций у и дп в Н, Е(А) -разложение единицы оператора Т1.

1 °°

При I > - ряд сходится. Тогда по лемме из работы [4],

£

п=1

существует такая возрастающая последовательность положительных

« Г 1 оо

деиствительных чисел |ат)т=1, что

оо

ІІП1 II П(ат,Т1) ||і= Ііпі |А- - ат|-1} = 0.

(Л^-ОС (Л^-ОС '

г=1

Здесь їїIі) = (Т1 — г/„,/•.') 1 - резольвента оператора Т1 (Е - единичный оператор), || • ||і - ядерная норма. Отсюда следует, что для операторной нормы резольвенты оператора Т1 при ДеА = А^ выполняется неравенство

II Я(А,Т1) |І!< (3)

йп

где йп = пГш |А* — А^|. Очевидно, в силу теоремы Лагранжа, что

г=1,оо,гфп

йп > Сп21-\ С > 0.

Пусть — оператор умножения на вещественную, измеримую по Лебегу, финитную на интервале, существенно ограниченную по модулю функцию pj(x), j = 1,2 в Н.

Обозначим собственные числа оператора Т1 + через )/гР, п =

1, оо, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, а соответствующие им функции через иЦ\ При больших п собственные числа ^ однократны [1],

Теорема 1. Если I > - и существует целое неотрицательное число

£

т,$ такое, что для собственных чисел, операторов Т1 + Р^ выполнено равенство

= ^п \п = ГЩ, ОО,

(4)

и (рі (сов в) — Р2 (сов в) ) віп

четная отно-

71

сителъно точки в = — на отрезке [0,7г], (р^совв) ^р2(сов в))<їв =

2 іо

О, —1 < а, [3 < 1, то р\{х) = р2{х) п. в. на [—1,1].

Доказательство. Ввиду самосопряженности оператора Т1 + Р^ и равенства (4) вытекает, что

((Рі ~ Р2)и£),и(2)) = 0, п = т0, оо.

(5)

Обозначим через Е(цЦ\Т1 + Р^) - проектор Рпсса на корневое подпространство Т1 + Р^, отвечающее собственному числу оператора

Iі + Ру. Тогда, используя неравенство

\\ЕиЯ.Т‘ + Р,)-Е(Х1,Т‘)\\<1. (6)

справедливое при больших п [1], получим

Т‘ +

— I (Т> + Р,-ХЕУ1 ,9„сЦ = 0п(.т) +

а,

(Л

(7)

Си

гдеС'„ = {А| |А-А„| = ^},

а.

и)

— I (Т1 + Рі - АЕ) 1 Р^Т1 - ХЕ)-ЧпйХ.

сп

При выполнении неравенства (6) соответствующее корневое подпространство оператора Т1 + Р^ взаимно однозначно, линейно и обратно отображается на собственное подпространство оператора Т1 с помощью проекторов Рисса [5].

(?)

Функции otn допускают оценку сверху по норме пространства Я: ” 1

lla(j)ll < IIP-П (--WP-W ^ 7 = 12

при <1„ > 2\\Р^\Ж = ess sup ||pj(^)||. Отсюда следует, что функции

-1<х<1 ” ”

(рп = игРиг? — $п могут быть оценены следующим образом:

2

1Ы1 < £ IIP,II» If IIP,II»)+ n ^ <*>

j=1 / j=i ~2 - WnWoo n

Ввиду оценки (8) и результатов работы [1] для собственных функций оператора Г1 + I) в пространстве //0 = Ь2[0,тт] справедливо асимптотическое равенство

--------- / ^\2а+1 / q\ 2/3+1

2c07tm^(cos 9)иІ^ (cos в) ( sin - j ( G°S — ) =

0(1)

1 + cos 2 (NO + 7) +

n sin в

которое выполняется, если функция х sin в (а — j — 1) — гг

Pi (cos в) — Р2 (cos в) ) X

- четная относительно точки

в = — на отрезке [0,7г], (pi(cos0) ^ p2(eos0))d0 = О,

2 J о

Тригонометрическая система функций {cos 2пв}^=0 образует ортогональный базис в l.-j (0. ^ . Пусть отрезок [—1 + є, 1 — е],0<е<1

содержит носители функций рj {.г}, j = 1, 2, а Хє - характеристическая функция. Тогда система функций

{cos 2п0}™=о U {^„(eos 0)Xe(cos в) + cos 2n0(l — Xe(cos 0))}^TOo+i (9)

- полна bH0 = L2 (0, f) при выполнении неравенства

\\/!Ти(гІ\с08в)ип\с08в)Хє(с08в) — 1 +

n=mo+l

+ соз(2п0)(1 — Хе(соз0)) — со8(2пв)\\2Но < 1. (10)

Ввиду оценки (8) и I > | неравенства (10) верны при достаточно большом то. Тогда из выполнения равенства (5) и условий, что функ-

Так как функция ^(сов#) ^ р2(сов в) финитна, то ап = 0, п =

0, то- Отсюда р\{х) = ръ(х) почти всюду на отрезке [—1,1]. Теорема

В данной работе было получено обобщение результатов работы [1], в которой была доказана теорема для степени /3 = 1,

Список литературы

1. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Седов А.И., Типко А.Н. Обратная задача спектрального анализа для оператора типа Якоби с потенциалом // ДАН. 2001. Т. 381, № 3.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.:

Наука, 1974.

3. Наймарк М.А.Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,

4. Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризо-ванный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограни-

ченным // ДАН. 2000. Т. 373, № 1.

5. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999.

Магнитогорский государственный университет, [email protected]

доказана.

□

1969.