Некоторые вопросы изложения основных формул теории поверхностного интегрирования в вузах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ

Н.Н. МИТЮШКИНА, ассистент кафедры «Высшая математика» Орловского государственного технического университета Тел. 89051692808; ivanfesenko@rambler.rumailto:ivanfesenko%40rambler.ru

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ИЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ВУЗАХ

Статья посвящена важному методическому вопросу, касающемуся изложения основных формул теории поверхностного интегрирования, а именно формул Грина и Гаусса—Остроградского. Проводится анализ различных недочетов в изложении теорем о справедливости формул Грина и Гаусса—Остроградского, приводимых в ряде классических и современных учебников по курсу математического анализа для вузов, и предлагается также собственный метод доказательства этих теорем.

Ключевые слова: обучение математике в вузе, теория поверхностных интегралов, формула Грина, формула Гаусса—Остроградского, трёхмерное пространство.

Начиная с девятнадцатого столетия и до настоящего времени каждый достаточно полный курс высшей математики содержит в себе элементы теории криволинейных и поверхностных интегралов. Это связано с широким применением векторного анализа как в практических расчётах, так и в научных исследованиях, касающихся не только математики, но и механики, физики и других естественных наук. Действительно, классические теоремы Гаусса—Остроградского, Грина и Стокса были сформулированы в девятнадцатом веке.

Различные вопросы, касающиеся криволинейных и поверхностных интегралов, рассматриваются в каждом учебнике по математическому анализу и во многих методических пособиях по высшей математике для студентов вузов, изданных за последние десятилетия. Среди них можно выделить учебники по математическому анализу В.А. Зорича, Л.И. Камынина, С.М. Никольского, Г.И. Архипова, В.А. Садовничего и В.Н. Чубарикова и другие. Форма изложения данной темы всё более совершенствуется, однако методологические проблемы до сих пор до конца не исчерпаны. На некоторые из них мы и обратим внимание в данной статье.

К основным формулам теории поверхностного интегрирования относятся упомянутые выше формулы Грина, Стокса и Гаусса—Остроградского. Данные формулы входят не только в программу курса математического анализа математических специальностей, но и в программу курса высшей математики технических специальностей вузов. И каждый достаточно полный учебник, касающийся теории интегрирования по поверхностям, содержит в себе доказательства этих формул. Однако обратим внимание на некоторые аспекты, возникающие при доказательствах.

Здесь следует заметить, что в математике нет таких понятий, как «строгие» или «нестрогие» доказательства теорем. Если теорема доказана, то она доказана полностью, без всяких «допущений». Л.Д. Кудрявцев в своей книге «Современная математика и её преподавание» отмечает, что «логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют собой метод математики, без них математика немыслима» [3]. Поэтому, учитывая требования современной математики, основные понятия и теоремы требуют чётких формулировок

__________ и строгих доказательств.

© Н.Н. Митюшкина

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

1>сш

Обратимся теперь к доказательствам формул Грина и Гаусса—Остроградского.

Схема доказательства формулы Грина во всех существующих изложениях предполагает использование параметризации границы дD области й путём представления нижней и верхней её частей в виде графиков некоторых функций у = f1(x) и у = ^(х). Но при этом практически всегда необходимые требования проверки кусочной гладкости данных функций опускаются [2, 4-7]. Только в учебнике Г.И. Архипова, В.А. Садовничего и В.Н. Чуба-рикова отмечается необходимость учёта данного обстоятельства [1, с. 559].

Аналогично дело обстоит с доказательством формулы Гаусса—Остроградского. Схема доказательства данной теоремы в основных чертах соответствует схеме доказательства формулы Грина. Здесь снова возникает вопрос о возможности использования представления части кусочно-гладкой границы выпуклого тела й в качестве графика некоторой кусочно-гладкой функции двух переменных. О возможности такого представления опять же упоминается в книге [1], но соответствующее рассуждение не проводится. Другие же учебники данного важнейшего вопроса вообще не касаются [2, 4-7].

Следует отметить, что названные выше проблемы можно снять, доказав утверждение о том, что всякая касательная к границе выпуклого плоского множества является для него опорной прямой.

Перейдём к доказательству этого свойства. Сформулируем его в виде следующей теоремы.

Теорема. Пусть й — некоторое открытое множество пространства Rn, где п > 2. И пусть множество L является плоскостью максимальной размерности п-1, то есть гиперплоскостью,причём L касается границы дй множества й в некоторой точке М €дй. Тогда плоскость L является опорной по отношению к й, то есть L и й не имеют общих точек.

Доказательство. Предположим противное. Это значит, что L содержит внутреннюю точку множества й. Обозначим эту точку через В.

В пространстве Rn выберем новую декартову систему координат. В качестве начала возьмём

точку А. В качестве направляющего вектора в\ координатной оси возьмём единичный вектор,

задающий направление АВ, а в качестве направляющего вектора е2 второй координатной оси

возьмём вектор п, соответствующий нормали гиперплоскости L в точке А, обращенный в сторону, внешнюю по отношению к телу й.

Рассмотрим плоскость Р размерности два, проходящую через эти векторы. Плоскость Р пересекает множество й по некоторой фигуре Q, которая

является выпуклой. Векторы , е2 задают на

плоскости Р декартову систему координат. В данной системе точка А имеет координаты (0, 0), а точка В — координаты Ц, 0), где t > 0 - некоторое фиксированное число. Пересечение гиперплоскости L с плоскостью Р представляет собой прямую, проходящую через начало координат на плоскости Р, которая в этой точке касается границы дО множества О. И эта прямая одновременно является осью абсцисс в рассматриваемой декартовой системе координат.

С другой стороны, точка с координатами ^, 0) является внутренней точкой множества О на плоскости Р. Это значит, что существует точка Ц, а) такая, что а > 0 и (^ а) е Q. Далее ввиду того, что ось абсцисс касается границы д О в начале координат (0, 0), заключаем, что проекция множества О на ось абсцисс содержит отрезок Eвида [-8, ^, где 8 — некоторая константа. Поскольку множество О является выпуклым, то всякая вертикальная прямая x = c при c е Eпересекает множество О по некоторому вертикальному отрезку, который, вообще говоря, для некоторых c может вырождаться в одну точку. Тем не менее верхняя точка этого отрезка задаёт некоторую функцию у = ^х), график которой лежит на границе дО множества Q.

Заметим, что в точке x = 0 этот график имеет касательную. Это значит, что функция ^х) в точке

x = 0 имеет производную / /(0). А так как угловой коэффициент касательной, являющейся одновременно осью абсцисс, равен нулю, то / г(0) =0.

С другой стороны, согласно определению производной имеем

/-(0) = Вт /м-Ла)=Нт Лхьдо)=1!т т,

х ^хо X — X о х X х^0 X

так как х0 = 0 и /(0) = 0.

Но в силу выпуклости множества О хорда, соединяющая точку (0, 0) и точку (^ а) е О, целиком входит во множество О. Поэтому график функции Дх) на отрезке Е расположен выше этой хорды.

Отсюда следует, что для функции ^х) на отрезке Е при х > 0 выполняется неравенство

/(х) > а

X /

Устремляя в этом неравенстве аргумент к нулю, приходим к следующему неравенству:

ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ

, = 11т Ш > а > 0

X ^0

X

Нотаккак

0 = / '(0) = Иш

^0 X

то мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное выше предположение о том, что В — внутренняя точка множества й, неверно. Следовательно, плоскость L не содержит внутренних точек множества й, то есть плоскость L является опорной. Тем самым теорема доказана.

Утверждение об опорных свойствах касательной плоскости является, вообще говоря, геометрически очевидным. Однако прямого упоминания о нём и тем более доказательства не удаётся отыскать ни в учебниках по математическому анализу, ни в специальных монографиях как по оптимальному управлению, так и функциональному анализу. Несмотря на вспомогательный характер данной теоремы, она является оригинальной и позволяют считать устранёнными дополнительные допущения, возникающие при доказательстве формулы Грина и формулы Гаусса—Остроградского.

Чтобы это показать, приведём «полные», то есть без всяких допущений, доказательства формул Грина и Гаусса—Остроградского.

Формула Грина. Пусть й является непустым выпуклым ограниченным множеством на плоскости Оху, имеющим кусочно-гладкую границу дй. Обозначим через ш линейную дифференциальную

форму ш= Рек + (0$у , коэффициенты которой Р = Р (х, у) и О = О (х, у) непрерывны на границе дй и имеют непрерывные частные производные внутри множества й. Тогда имеет место равенство

| ш= | Pdx + Qdy = Ц (Q'x — Ру )dxdy = | dф.

дВ дБ В В

Доказательство. Докажем только равенство

| Pdx = —ЦРу dxdy.

дВ В

Равенство |Qdy = (QXdxdy доказывается

дВ В

аналогично.

Пусть отрезок [а, Ь] является проекцией области й на ось Ох. Через точки (а, 0) и (Ь, 0) проведём вертикальные прямые х = а и х = Ь. В силу выпуклости множества й граница его разбивается

на четыре участка: отрезки 1.^ и L3, лежащие на прямых х = а и х = Ь (каждый из них может состоять только из одной точки), и кривые 1.2 и L4, лежащие в полосе между этими кривыми.

На кривых 1.^ и L3 величина хпостоянна, х = а и х = Ь, тогда на каждой из них dx = 0, поэтому выполняются равенства

А ^3

В силу выпуклости множества й всякая прямая х=х0 при х0 е (а, Ь) пересекает каждую из кривых

1.2 и 1.4 строго в одной точке, которые обозначим соответственно ф1(х0) и ф2(х0). То есть кривая L2 является графиком функции у = ф1(х0) , а кривая L4 — графиком функции у = ф2(х0).

Можно показать, что из кусочной гладкости кривой дй и выпуклости множества й следует кусочная гладкость функций ф1(х) и ф2(х). Действительно, если в точке А = (х, у) е 1.2 или А = (х, у) е L4 кривая дй является гладкой, то существует невырожденная гладкая параметризация х = ОД, у = д(^ её куска, заданная на некотором отрезке Е = [^; у. При этом прообраз t точки А при данной параметризации является внутренней точкой отрезка Е. Условие невырожденности данной параметризации равносильно выполнению неравенства

(/V))2 + (яV))2 > 0.

Вектор г ) = (/'(/) я'(0) в этом случае является направляющим вектором касательной к кривой дй в данной точке. Но так как множество й является выпуклым, то по предыдущей теореме всякая касательная прямая к его границе является опорной прямой по отношению к й, то есть она не пересекает внутренность множества й. Отсюда следует, что данная касательная не является вертикальной прямой. Это значит, что /'(/) Ф 0.

Тогда по теореме о неявной функции уравнение х = ^) можно разрешить относительно аргумента t, выразив его как функцию от переменной х вида

* = / 1( X) = Ь( X), причём Ь'(X)--

1

/\Ь (X))

Подставляя это значение в равенство у = д(^, получим гладкую параметризацию куска кривой дй вида

У = Я(Ь(X)) = ф1(X), если А е 1.2 и

У = Я (Ь (X)) = ф 2 (X), если А е 14.

Эта параметризация позволяет рассматривать

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

1>сш

кривые 1.2 и 1.4 как кусочно-гладкие ориентированные кривые и выражать значение криволинейного интеграла через обычный интеграл Римана. Таким

образом, получим равенства

ь ь

IР у) Р ф] )) , Р( У) Р( Ч № )а .

ь2 а ^4 а

Отсюда имеем

ь

| Р( X, у )dx = | Р (X, ф1( X)) — Р (X, ф 2( X ))dx = Н

Ь2 иХ4 а

Поскольку функция Ру (X, у) непрерывна на й, по теореме Ньютона—Лейбница имеем

ф2( X )

Р(X,ф1(X)) — Р(X,ф2 (X)) = — IP'ydy.

ф1( x)

Следовательно,

Ь ф 2( x)

Н = —|dx |Руф = —||Pydxdy.

а ф1( X) В

По условию дй = 1.^ + 1.2 + L3 + 1.4 , тогда в силу аддитивности интеграла второго рода

| РСх = | РСх + | РСх + | РСх + | РСх.

дВ Ц Ь1 Ц Ь4

А так как |РСх = _[РСх=0 и |р(х, у)ск = -ЦРуСхСу,

Ц Ц Ц в

справедлива формула |Рёх = -ДР'уСхЛу. Теорема

дв

в

доказана.

Теперь приведём полное доказательство формулы Гаусса—Остроградского.

Формула Гаусса—Остроградского.

Пусть в некоторой окрестности выпуклой ограниченной области й в пространстве R3 задана дифференциальная форма

ш= Pdy л dz + Qdz л dx + Rdx а Ф .

Далее пусть граница дй этой области является кусочно-гладкой ориентированной поверхностью, причём в точках её гладкости данная поверхность является дважды гладкой. Кроме того, пусть ориентация границы дй определяет её как внешнюю сторону области й. Тогда выполняется равенство

I =| РСу л СЪ + Qdz л Сх + ЯСх а Су = |ю=| Сю =

до до в

=1СР л Су л Съ + dQ л Съ л Сх + СЯ л Сх л Су =

о

■Ш (Р + ^у + Я'ъ )Сх л Су л Съ = р: + Qy + Яъ) СхфСъ.

Последний интеграл в этом равенстве следует рассматривать как обычный тройной интеграл Римана по области й пространства R3.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, рассмотрим важный частный случай ориентации двумерной поверхности, задаваемой как совокупность точек трёхмерного пространства R3, удовлетворяющих уравнению

2 = ^х, у),

где функция Дх, у) предполагается гладкой.

С геометрической точки зрения в этой поверхности можно выделить верхнюю и нижнюю стороны, причём исходная параметризация, задающая эту поверхность, выделяет строго одну из них. Нам необходимо разобраться, какую конкретно сторону она выделяет.

Заметим, что этой параметризации, как и всякой другой, отвечает свой вектор п, определённый нами ранее. Если окажется, что проекция вектора п на ось аппликат 02 положительна, то это будет соответствовать выделению верхней стороны поверхности, а если проекция отрицательна, то это даёт нижнюю сторону поверхности. Другими словами, требуется определить знак скалярного произведения а = (п, к), где k = (0, 0, 1) является направляющим вектором оси 02. Найдём явный вид для выражения а. Согласно общему определению имеем

п =

[ К, К]

11[ К, Г]||

Отображение г (и, V) в нашем случае записывается в виде

X = и,

<у = V

. Z = Л (X, у) = /( и, V). Следовательно,

Г = Г = (1,0, /X),

К = Гу = (0,1, Л')

і ] к

1 0 л'х

0 1 Гу

= -Ґх і - Ґуї + к = (-Л, - ЛУ,1).

Отсюда

- Л

- л:

Л1 + (лу )2 + л' )2 ’ Л2+(лу )2+л )2 ’ 7( л:)2 + (Л’у)1 + л')1

Тогда

о

о

ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ

fcSCjg

а = (Я, к)

2+(/; )2+(Л)2

> 0

I3 = = Ц (F, Я) ds,

для любой функции Дх, у). Это значит, что параметризация 2 = ^х, у) всегда задаёт верхнюю сторону поверхности.

Учитывая это обстоятельство, перейдём к доказательству формулы Гаусса—Остроградского.

Доказательство.

Ограничимся случаем, когда форма ш имеет вид

ш= Rdx л dy.

Ясно, что общий случай легко сводится к рассматриваемому.

Множество й будем также называть телом.

Спроектируем тело й на плоскость Оху и обозначим её проекцию через й0. Поскольку область й предполагалась выпуклой, то множество й0 также будет выпуклым, причём в каждую его точку проектируется множество точек из й, представляющих собой либо отрезок ортогональный плоскости Оху, либо одну точку. При этом совокупность нижних точек всех отрезков образует нижнюю часть границы дй множества й. Её мы обозначим через Бг Соответственно поверхность, образованную верхними точками отрезка, обозначим через Э2. В случае, когда отрезок вырождается в точку, мы будем считать, что поверхности 31 и Э2 имеют общую точку.

При таком рассмотрении остаётся неохваченной ещё одна часть поверхности дй, которая образована указанными выше отрезками, целиком лежащими на дй. Совокупность таких точек обозначим через З3 и будем называть боковой поверхностью тела й.

При доказательстве теоремы мы сначала ограничимся случаем, когда боковая поверхность 33 является кусочно-гладкой поверхностью. Схема нашего доказательства включает в себя также использование параметризаций гладких кусков поверхностей 31 и Э2 вида 2 = ^х, у).

В соответствии с произведённым разбиением границы дй на части 37, Э2и 33 исходный интеграл I от формы ш будет представлен как сумма трёх интегралов

I =|ю+|ю+|ю= I1 +1

Si

2 +13

S 2

Рассмотрим сначала величину 13. Проще всего интеграл 13 находится с помощью записи интеграла первого рода. По формуле, указанной нами ранее, имеем

S3 S3

где

F = (P, Q, R) = (0,0, R), n = (cosa, cos р, cos y) = (cos a, cos в, 0),

поскольку cos Y = (Я, к) = 0, так как боковая поверхность составлена из отрезков, параллельных оси Oz. Следовательно,

(F, Я) = 0 • cos a + 0 • cos в + R • 0 = 0, то есть

I3 = JJ (F, n)ds = 0.

S3

Сумму интегралов 11 + 12 будем рассматривать одновременно. Выделим отдельные куски гладкой поверхности, образующие в своей совокупности поверхности 31 и Э2. Всё множество й0 будет представлено в виде объединения конечного количества открытых подмножеств й01 ,...,й0к причём внутренняя точка каждого подмножества будет проекцией точки гладкости, соответствующих кусков как для нижней поверхности Б1, так и для верхней поверхности Э2. Кроме того, множество й0 будет содержать точки проекций границ указанных кусков.

Далее обратим внимание на тот факт, что для всех точек множества й поверхности 31 и Э2 задают две функции — f1(x, у) и f2(x, у), определяемые из условия принадлежности точек (х, у, 2) и (х, у, 22) этим поверхностям при условии, что 21 = f1 (х, у), 22 = f2 (х, у). Тем самым задаётся параметризация заданных поверхностей.

Остаётся показать, что указанные параметризации являются гладкими для всех внутренних точек каждого из множеств й01,...,й0к.

На самом деле гладкость указанных параметризаций является следствием выпуклости тела й. Данный вопрос, однако, требует отдельного рассмотрения.

Возникающая здесь ситуация аналогична той, которая имеет место в доказательстве формулы Грина при задании параметризации верхней и нижней частей границы области как графика кусочногладкой функции от аргумента х. Воспользуемся той же схемой рассуждения. Рассмотрим точку М = (х, у, 2), лежащую, для определённости, на поверхности 31 и являющуюся её точкой гладкости.

Можно считать, что существует невырожденная гладкая параметризация куска поверхности Б1,

i

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

содержащая данную точку M. Запишем эту параметризацию в виде

X = фх(и, V), У _ ф2(«, V), Z _ фз(u, V).

Нам требуется выразить из этих условий переменные u, v как гладкие функции аргументов х, у. Для этого достаточно применить теорему о системе неявных функций, в условия которой входит требование отличия от нуля якобиана

J _ Э(X, У) _

d(u, v) Уи y'v

Заметим, что ввиду гладкости отображения р в точке A поверхности S1 можно провести касательную плоскость. Вектор n нормали к этой поверхности имеет вид

n _ i cos а + j cos P+ k cos 7,

причём

cosY_^=, Г2 _ A2 + B2 + C2,

/ / / /

z X X У

.............................._ J,

yv ZV ZV XV XV yv

то есть

J

cos Y_—j=

Vr

Если J=0, то (n, k) _ 0. А так как вектор k ортогонален к плоскости Оху, то касательная плоскость к поверхности S1 в точке M будет ортогональна к плоскости Оху. А так как точка M проектируется во внутреннюю точку множества D0, то эта касательная плоскость будет пересекать внутренность тела D. Однако в силу выпуклости тела D касательная плоскость к его границе должна быть опорной, то есть тело по отношению к данной плоскости лежит в одном из полупространств, на которые эта плоскость рассекает пространство R3, и не может проходить через внутренние точки тела D. Отсюда следует, что J Ф 0. Но тогда из теоремы о неявной функции следует существование функций f1 и f2 таких,

что и _ g! (х, y), v _ g2 (x, y), причём якобиан

A_ /u z'u , в _ / zu x'u , С _ xu yu

v z v zv xv v xv

d(gb g2) _ 1 д (x, у) J

при X = ф,(и, V), у = ф2(и, V).

Подставляя указанные значения и, V в равенство 2 = ф3(и, V), мы для точек поверхности 31 получаем представление

2 = фз(g\(U, v), g2(U, v)) = /,(х, у).

Указанные параметризации являются гладкими. С их помощью могут быть найдены значения 11 и 12 по поверхностям 31 и 32 соответственно. Надо только учитывать, что обе параметризации соответствуют верхней стороне поверхности, в то время как интегрирование в случае поверхности 31 ведётся по нижней стороне, а в случае поверхности 32 — по её верхней стороне.

Отсюда следует, что при вычислении интеграла 11 с помощью параметризации z = f1(x, у) путём сведения его к двойному интегралу Римана знак его надо изменить на противоположный, в то время как при вычислении 12 этого делать не следует.

В соответствии с этим приходим к следующим равенствам:

I, = |Яйх л йу = - ц ж х

, у, /,( X, у)) йхйу

5 А,

12 = |Жйх л йу = Ц ж ( х, у, /,( х, у))йхйу 52 А

Далее имеем

I = I, +12 +1 з =

= Цж(х, у, /2 (х, у))йхйу - Цж(х, у, / (х, у))йхйу =

D

D

ф2(x, у)

Ц dxdу J

ф(x, у)

D

дR(x, у, z) dz

D

dR (x, у, z) dz

dxdуdz.

Тем самым теорема о справедливости формулы Гаусса—Остроградского полностью доказана.

Таким образом, используя теорему об опорном свойстве касательной плоскости, можно изложить доказательства формул Грина и Гаусса— Остроградского логически строго и полно, без всяких «допущений».

ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ

fcSCjg

Библиографический список

1. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов [Текст] / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; под ред. В.А. Садовничего. - 4-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004. - 640 с. (Высшее образование: Современный учебник). - 640 с.

2. Зорич В.А. Математический анализ [Текст]. Часть II. Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Изд-во МЦНМО, 1998. —

XIV+794 с. Библ. - 55 назв. Илл. - 41. - 412 с.

3. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание [Текст] / С предисловием П.С. Александрова: Учебное пособие для вузов.— 2-е изд., доп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 176 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах) [Текст]: Учебник для студентов университетов и втузов. — М.: Высшая школа, 1981, т. II. — 584 с., ил.

5. Никольский С.М. Курс математического анализа [Текст]. Т. II. — М.: Наука, 1990.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст]. Том III. Издание третье, стереотипное. — М.: Гос. издательство физ.-мат. лит., 1963. - 654 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа [Текст]. Т. II. — М.: Физматгиз, 1962.

N. N. MITYUSHKINA

SOME ASPECTS OF TEACHING OF BASIC FORMULAS OF THE SUPERFICIAL INTEGRATION THEORY

IN THE HIGH SCHOOL

The article is devoted to the important methodical question concerning a statement of basic formulas of the theory of superficial integration, namely Green’s and Gauss-Ostrogradski formulas. The analysis of various defects in a statement of theorems of the formulas validity, brought in a number of classical and contemporary mathematical analysis textbooks for high school is carried out, and new method for the proof of these theorems is offered also.

Key words: Training to mathematics in high school, the theory of superficial integrals, Green’s formula, Gauss-Ostrogradski formula, three-dimensional space.