Некоторые свойства pk-нечетных целозначных многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 55-61

= МАТЕМАТИКА

У. IК 511.9

Б.Г. Федоригцев

Благовещенский государственный педагогический университет

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА /-НЕЧЕТНЫХ ЦЕЛОЗНАЧНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Аннотация. В работе изучаются некоторые свойства рк-нечетных целозначных многочленов.

Многочлен д(х) степени к называется целозначным, если д(х) - целое для любого целого х, и нечетным, если д(—х) = —д(х) для любого х. Критерием целозначности многочлена является представимость его в виде

д(х) = > . ), (1)

где (Ik ..... г/1 . г/0 - целые (см. [1]).

Многочлен д(х) будем называть целозначно-примитивным, если не найдется такого целого q, что сравнение д(х) = 0 (mod q) выполнялось бы тождественно, это равносильно условию, что в представлении (1) (ак, ■ ■ .,ai,a0) = 1.

Леммы 1 и 2 рассмотрены в [2] с доказательством, и приводятся здесь для удобства ссылок.

Лемма 1. Пусть к - натуральное, t = , д(х) - целозначный мно-

гочлен степени к. Тогда при любом натуральном I для всех целых х выполняется сравнение

Api+tg(x) = 0 (mod р1).

Лемма 2. Пусть п, к - натуральные; f(x) = ап(ж) + ... + ai(*) + ао

- целозначный многочлен с условием (ап,..., а\, ао,р) = 1, и пусть -наибольшее неотрицательное целое с условием, что сравнение Apkf(x) =

0 (mod p7k) выполняется тождественно. Тогда 7к ^ к + [^Ej] и имеют

место сравнения

а

где

п—} - о (тосі р“п^),і = 0,1,... ,11 - 1,

І

а

п-з

тах 0,7 к — к

р — 1

Далее, положим при і = 0, 1, 2,...

<Рі(х) = (

х

+ Ш

а при целом / < 0 будем полагать, что <рі(х) = 0.

Построенные таким образом многочлены являются целозначными, так как при любом натуральном і множество значений многочлена <р{ (х) совпадает с множеством значений многочлена (*).

Лемма 3. Для любого натурального г справедливы следующие равенства:

1 + 1'

(рі(х + 1)

х<рі(х) = {І + 1)<рі+і(х) + (-1)! / (Рі(х)+<Рі-і(х),

если і - нечетное;

<Рі(х) + <рі-і(х) + <рі-2(ж), если і - четное. Доказательство. По определению <рі(х) имеем

(*+[¥])(*+[¥]-!)-(*+[¥] -О

•Рі+іП (г: + 1)!

При четном і имеем [г+! ] = [|], [г+! ] — і = -

X

и поэтому

^*+1 (х)

і +

Откуда получаем

х<Рі(х) = (г + 1)(рі+і(х) +

і + 1

первое соотношение леммы при четном г. При нечетном г имеем [§] + 1, и тоща

г +

Откуда получаем, что

хірі(х) = (г + 1)ірі+і(х)

і + 1

Первое соотношение леммы при нечетном г доказано.

Далее по свойствам биномиальных коэффициентов имеем

(х + 1 + [|Л _ (х + [|] Л , (Х+Ш

<р{(х + 1)

При нечетном г [|] = [г 21 ], тоща <р{(х + 1) = <р{(х) + г(х) , а при четном

.§] = [^] + 1 • 11 ^*(ж + 1) = Рг(х) +^¿-1(^ + 1) = (Р1(х)+<Р1-1(х)+<Р1-2(х). Лемма доказана.

Лемма 4. Для любого натурального г имеют место соотношения

ш , (х) = ¿ ( ¿=0 4

X

3 = 1

где

аг,3 = V*-

+ 2

(г + 1)У + 1)

Доказательство. Из свойств биномиальных коэффициентов [3] при х > / и любом натуральном т имеем

ж + ш

т

£

¿=о

ж

(2)

Но так как обе части (2) являются многочленами от ж, то равенство выполняется тождественно. А при т = Щ оно дает первое соотношение леммы.

Второе соотношение докажем индукцией по /. При г = 1 оно тривиально. Положим что оно верно для некоторого /. Докажем, что тогда оно верно и для г +1. По определению многочленов сочетаний и предположению индукции имеем

/ X

По лемме 3 получаем

г /

ГУ* __________ <1 / Гр

*Л_’ V / 1ЛУ

х — г

1

3=1

аг,з-

1

г +

1У52[и + 1)Фз+Лх) + (-1У

3=1

3 + 1

г +

х

Л=1

)и+ 1)аг,з + '52<Рз(х) ((-^

3=1 4

¥з(х) -^з(х)] аьз \

/

з +1

г

1 * л

mi^Ki + TxrlZ (fj(x)bij + (pi(x)ait

г aid.

г + 1и

где

= jaiíj-1 + \^(-1)3 ^ + 1

При четных / и _/ по лемме 3 получаем

= —3(£>г+1-з (^2^ ^ _ 2^ ^2 _ =

= -(г + 1)^г+1-^ ^2^) = (* +

При четном г и нечетном имеем

= 3^+1-1 ^2 ~ 1) ^ 2 ) (2) :

= (г + 1)^+1-^ ^2^) = (* + !)аг+1^-При нечетном г и четном имеем

— 3<£>{+1-з (^—2 ^ ^ 2^ Уъ-э (^~2 ^ =

= (г + 1)^+1-^ ^—2 = (г + 1)Ог+1^-

При нечетных / п _/ получаем

к,э = ./'г!г + 1 —(^2^) + (* + ^

= -(г + 1)^г+1-^ ^ = (г + 1)а*+1,г

С учетом равенств = Г/г+1 ,г+ 1 и г/г.1 = «г+1,1 ИМввМ

г+1

)*~r J-

= Л ¥jai-

А—Л

Х

+ 1.JJ

ч* + -/ • !

j=l

что означает выполнимость второго соотношения леммы при г + 1. В силу полной математической индукции оно выполняется при любом натуральном /. Лемма доказана.

Целозначный многочлен /(ж) будем называть //'-нечетным, если для всех целых х выполняется сравнение /(—ж) = —/(ж) (mod pk).

Теорема 1. Пусть р - простое, кип - натуральные. Целозначный многочлен f(x) степени п является рк-нечетным тогда и только тогда, когда он представим в виде

П

f(X) = ^2(liYi-i=О

где anj..., <2i, ао - целые и a2j = 0 (mod рк) (j = 0,1,..., [|]).

Доказательство. Всякий целозначный многочлен (см. [1]) может быть представлен в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами многочленов сочетаний. А по лемме 4 многочлены сочетаний можно разложить над кольцом целых чисел по многочленам <fi(x), откуда следует, что всякий целозначный многочлен представим в виде

П

f(x) = ^2ат-

г=О

Далее ИЗ определения многочленов <fi(x) при нечетном / имеем Ifi(-x) = —(fi(x), а при / четном ipi(-x) = <fi(x) — \{х). Поэтому для многочлена

d{x) — f{x) + f{—x) сравнение g(x) = 0 (mod pk) будет выполняться тождественно тогда и только тогда, когда его коэффициенты кратны рк. Что и требовалось доказать.

п+1 р-1

Тi ;oрем А 2. Пусть п - нечетное, р ^ 3 - простое, /3 =

туральное, М С ZР,М ф 0,М П — М = 0. f(x) - рк -нечетный целозначо-примитивный многочлен степени п, принимающий по (mod pk) только три значения. Тогда к ^ /3 и справедливо равенство f(x) = \Fn(x)+pk<p(x), где А - целое, <р(х) - произвольный целозначный многочлен степени не выше п,

П

2-7тіа(х — сх.) 2-7тіа(х-\-сх.)

е Р — Є Р

а£М о=1

Доказательство. Рассмотрим функцию целочисленного аргумента

і р

_|_ г—^ г—-у / 2-7тга(х-ос) 2-7тіа(х-\-а.) \

sW = - Е Е (е 5 ■е 5 J

а£М о=1

О, если х = 0 (mod р);

g(x) = ^ 1, если х = a (mod р).п Є М:

— 1, если х = a (mod р), —а Є М.

Если х > О

_1_ ^—Л / 2ттгах _ 2ттгах \ ^

»м = о Е (е р -е р ) Е

і р ,

_|_ х—"V / 2-7ггаж 2-7ггаж \ х—> 2-к%а<у.

, , , , , , Є Р Р 0=1 А ел/

р

= - Е ((! + - і)" - (! +е_г^ - Ч") Ее_21Г1 =

Р 0=1 «ем

1 Ж / \ р Ж / \

1 ^/ Ж \ ^/ . 2жга • _ 2жга • \ ^> _ 2-п-гаа ^> ( X \

Е(,-)Е((е ' -1) (е ' -!)]Ее ' = ЕЫЬ.

„•_п \^ / Л — 1 , С 1 I А—П /

,7=0 о=1 а£М j=0

ще

1 р

1 ^> / 2жіа ■ _ 2жіа • \ ^> _ 2-п-гаа

ьі = 2^ (^е р ^(е р - Ч ; 2^ е р

Р о=1 аєм

1 х—"V , і ( х—"V / 2ттга/ 2ттга/ \ х—"V 2ттгаа

- Е(-!Г' Е (е~ -е_~) Е е“~

У /=0 4 7 о=1 аЄМ

1 х—"V . . • І /X—■>. X—■>. ( 2-кіа(І-а) 2жіа(1+а) \

- Ен' , ЕЕ(~-е ~)

Р

Г 1=0 4 7 аЄМ о=1

Ьі МЫО- (3)

1=0 ' '

2-7тг

В круговом расширении <^(е р ) поля рациональных чисел Q число г

2 7Т ^ . Г 1 \

1 — е~ является простым элементом с нормой р (см. I 1|). Кроме того,

0 — 1

2-7тіа 2тті ^> 2-7тік

ЄР — 1 = (е Р — 1) > є р

к=О

и

0—1

_ 2-7тіа _ 2-7тіа 2ттіа 2-7ті _ 2-7тіа ^—"\ 2-7тік

Є Р — 1 = —Є Р (е Р — 1) = —(е Р — 1)е Р У Є Р

к=О

а, следовательно,

(е2^ -1 у -(е-2^-1 у = [(є2? -1) ^ ^ V (і + (-іу+іе-^).

V к=0 /

Это значит, что в кольце целых алгебраических чисел поля Ч(«') рЬ)

делится, при четном ] на є', + ]. а при нечетном на єК Тогда при переходе к

нормам из С^е”) в получим, что при 3 > п число делится на р .

Предпологая, что х ^ п и переходя в равенстве (3) к сравнению по

(mod р^) получим сравнение д{х) = Fn{x) (mod р^) . В силу периодичности (лемма 1) д{х) и Fn{x) по (mod р^) это сравнение выполняется тождественно.

Предположим теперь, что к ^ ß и существует рк-нечетный целозначный многочлен f(x) степени п принимающий по (mod pk) только три значения. Тогда согласно теореме 1 /(0) = 0 (mod pk), а два других значения

по определению рк-нечетного многочлена, совпадают по абсолютной величине. Поэтому множество целых чисел разобьется на три непересекающихся подмножества М. О. L. таких, что М = — L и

/ кч ( 0, если х е О:

(mod р ) I

f(x) = < //. если х G М:

[ —¡1, если х G L.

На множестве М можно построить многочлен Fn(x), а так как к ^ ß, то f(x) = ßFn(x) (mod pk).

Если же при к > ß предположить существование рк- нечетного многочлена f(x) степени п, принимающего по (mod pk) только три значения, то по лемме 1 Apf(x) = 0 (mod pk), что приводит к противоречию лемме 2. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Ниа Loo-Keng Additiv Primzahlentheorie / Hua Loo-Keng. -Leipzig.: Feubner, 1959.

2. Митъкин Д.A. Оценка числа слагаемых в проблеме Варинга для многочленов общего вида / Д.А. Митькин // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1986. -Т.50. -С. 1015-1053.

3. Гаврилов Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике: учеб. пособие / Г.П. Гаврилов, A.A. Сапоженко. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

4. Боревич З.И. Теория чисел / З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич. -М.: Наука, 1972.

Поступило 26.11.2007