Научная статья на тему 'Распределение значений функции Дедекинда в классах вычетов'

Распределение значений функции Дедекинда в классах вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
107
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Проблемы анализа
WOS
Scopus
ВАК
MathSciNet
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Широков Б. М., Ульянова Э. И.

В работе устанавливается критерий слабо равномерного распределения функции Дедекинда ψ(n) и приводится асимптотический ряд для распределения ее значений по классам вычетов, взаимно простых с модулем.I

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

t had beleaved the conditions of weak uniformly distribution and asimtotic row for values distribution of Dedekind function in residue classes in this paper.

Текст научной работы на тему «Распределение значений функции Дедекинда в классах вычетов»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 17, 2010

УДК 511

Б. М. Широков, Э. И. Ульянова

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ ДЕДЕКИНДА В КЛАССАХ ВЫЧЕТОВ

В работе устанавливается критерий слабо равномерного распределения функции Дедекинда ф(п) и приводится асимптотический ряд для распределения ее значений по классам вычетов, взаимно простых с модулем.

Функция Дедекинда Ф(п) мультипликативна, а на степенях простых чисел p определяется равенством:

ф(рк) = pk-1(p + 1).

Изучение слабо равномерного распределения целозначных арифметических функций берет начало с работы [1]. Далее этому вопросу были посвящены работы [2, 8] и другие. Авторы не ставили цели привести полный список работ по названной теме.

Напомним определение слабо равномерного распределения по Нар-кевичу целочисленной арифметической функции f (n). Если обозначить через |М | мощность конечного множества M, x — действительное число, то определение будет выглядеть так.

Определение 1. Функция f (n) слабо равномерно распределена в классах вычетов по модулю N, если для любых вычетов a и b, взаимно простых с N, справедлива асимптотическая формула при x ^ ж

|{n < x|f (n) = a (mod N)}| ~ |{n < x|f (n) = b (mod N)}|

при условии, что множество {n|(f (n),N) = 1} бесконечно.

Для дальнейшего нам потребуются еще следующие обозначения: G(N) — мультипликативная группа вычетов по модулю N, взаимно

© Б. М. Широков, Э. И. Ульянова, 2010

простых с модулем; для произвольной арифметической целозначной функции f (п) через Rk (f,N) будем обозначать множество тех вычетов x Є G(N), для которых существует такое простое число р, что f (pk) = x (mod N); M — наименьшее натуральное число k, для которого Rk(f,N) = 0; A(f, N) — подгруппа группы G(N), порожденная множеством Rm(f,N); va(x) — количество тех n < x, для которых ф(п) = a (mod N).

В работе [1] приводится критерий слабо равномерного распределения функции по модулю N для полиномоподобных функций, то есть функций, значения которых на степенях простых чисел являются значениями полиномов, не зависящих от выбора простого числа, на этих простых числах. Например, функция Эйлера <р(п) на pk равна значению многочлена xk-1(x — 1) при x = р. Для функции Дедекинда соответствующий многочлен равен xk-1(x + 1). Приведем критерий в виде следующего предложения.

Предложение. Мультипликативная целозначная функция f (п) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда для любого неглавного характера х(п) по модулю N, равного 1 на подгруппе A(f, N), существует такое простое число р, что

Следствие. Если А(/, N) = С(М), то функция /(п) слабо равномерно распределена по модулю N.

Для каждого характера х по модулю N обозначим

Для главного характера хо это число обозначим через ).

В работе будут доказаны две теоремы.

Теорема 1. Функция ф(п) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда либо N — нечетное число, большее 1, либо N = 2да, а € М, д > 3 и 3 — первообразный корень по модулю N.

Теорема 2. Если N удовлетворяет условиям слабо равномерного распределения функции ф(п), то для любого натурального числа п

(1)

и любого вычета a G G(N) при x ^ ж справедлива асимптотическая формула

v‘{x) = -^trnnnXx-)1-дао Е P~( ¿Х’х) + O

X

где

<p(N)(lnx)1-^(N'x) ^ n \lnx’ J \(lnx)”+1-A(N) J ’

р (, ) ^ ( )(Н^,х) - 10 ••• (Н^,х) - к) ,н

Ри{ь,х) = 2_.аь(х)------/АТ у,-----------ъ ,

ЦМ^хл

а А^) — мультипликативная арифметическая функция, определяемая равенством (д — простые числа)

X(N) = П

q — 2

Доказательство теоремы 1. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 работы [4], но ради полноты изложения коротко его воспроизведем.

Пусть N нечетно и N = qa, a G N. Тогда (ф(p),N) = 1 в том и только в том случае, когда p = x (mod N) и x = a + bq, 1 < a < q — 2,

0 < b < qa-1 — 1. Значит, M = 1 и IRi^,N)| = qa-i(q — 2). Множество Ri (ф, N) порождает группу G(N), если

qa-1(q — 2) > 2r(qa) = 2qa-1 (q — 1),

то есть при q > 3. Если N = 3a, то Ri(N) содержит число 2, являющееся первообразным корнем по модулю, и вновь порождает G(N).

Пусть N нечетно и N = q^1 • • • q^k. Сначала допустим, что qi = 3. Представим G(N) в виде прямого произведения

G(N) = G(qa) Х---Х G(qak).

Нам достаточно убедиться, что (1,..., 1, gi, 1,..., 1) G Л(ф, N) с первообразным корнем gi по модулю q“i. Для удобства записи проделаем это для i = 1, обозначая g = gi.

Заметим, что Ri = Ri(ф, N) содержит элементы (g, —1,..., —1) и ( — 1,..., —1). Если a — решение сравнения

2a = —1 (mod q^1),

(2)

то, так как ді = 3, то и (а, — 1,..., —1) Є Кі. Поэтому

(1, —1,..., —1) = (2, —1,..., —1)(а, —1,..., —1)( — 1,..., —1) Є Л(ф,М).

Теперь будем считать, что N = 3ао д^1 ••• д^. Принадлежность элементов вида (1,..., 1, ді, 1,..., 1) подгруппе Л для і > 1 доказывается так же, как выше. Нам осталось показать, что (2,1,..., 1) Є Л, так как число 2 — первообразный корень по модулю 3ао.

Пусть аі,. .. ,ак — суть решения сравнений (2) по модулям д^1, .. ., (¡00° соответственно. Тогда

Таким образом, Л(ф, N) = ) при любом нечетном N.

Пусть теперь N четно. Если 6^, то К = 0 для всех г, так как ф(р) четно для нечетных р и ф(2) = 3. Поэтому будем считать, что 3 Л N. Тогда К\(ф^) = {3} и порождает О^) лишь в том случае, когда число 3 — первообразный корень по модулю N, то есть N = 2да, д > 3 и 3 — первообразный корень.

Покажем, что слабо равномерного распределения нет, если 3 не является первообразным корнем по модулю N. Для этого воспользуемся критерием Наркевича, приведенном как предложение. Пусть х — неглавный характер по модулю N, равный 1 на подгруппе, порожденной числом 3. Если р > 2, то х(Ф(Р)) = 0 для всех ] > 1. Если р = 2, для ] > 1 получаем тот же результат. Так что левая часть равенства (1) равна либо 1, либо 3/2. Таким образом, функция ф(п) не обладает слабо равномерным распределением. Теорема доказана. □

Для доказательства теоремы 2 нам потребуется лемма, представляющая собой теорему тауберова типа.

Для комплекснозначной функции ](п) (необязательно мультипликативной) обозначим

Отсюда получаем, что

(д, 1,..., 1) = (д, —1,..., —1)(1, —1,..., —1) Є Л(ф, N).

(2, 1,..., 1) = ( — 1,а1,...,ак )(2, 2,..., 2)( — 1, —1,..., —1) Є Л.

в = а + іі,

(3)

П=1

а через Б(/,х) сумматорную функцию коэффициентов этого ряда:

в(/,х) = ^ I(п).

пКх

Далее, для некоторых действительных чисел а и Ь обозначим , Ь

аа(і) = а — М2ГЙ)’ +“;

Ща) = {в|а > шах | аа(і), — | <і < +^}.

Лемма 1. Если |/(п)| < 1 и для некоторого числа а > 0 существует такая константа сі > 0, что в ії(а)

Р (в)= 0(1пС1 (2+ |і|)), |і|> 1,

и существует такое комплексное число г и такая регулярная в ії(а) функция с условием О(а) = 0, что в этой области

р (,)=

(в - а,)г ’

то существует такая константа с, что 0 < с < 1 и

1) если г = 0, -1,..., то

Б (х) = 0(хав-с^1ПХ);

2) если г = 1, то

Б (х) = О(а) ха + 0(хав-сУ1ПХ); а

3) если г € Z, то для любого п € N

Б (хНтг-^!-: Ри-1 ) + 0

(1п х)1-2 п \ 1п х) \(1п х)п+1-Ке 2

где

Рп(і) = ± ак — — к) ік,

к=0

^ 1 ак /'ад',,,

а коэффициенты ак = —гг ----- (а).

к (ав)к \ в 1

Доказательство. Нам необходим видоизмененный вариант формулы Перрона. Для действительного числа x > 1 обозначим

2 л—

6 = S(x) = ---, сто = 1 + 6(x), T = e x, Го = {s|s = сто + it, |t < T}.

ln x

Умножим ряд (3) на xs/s и проинтегрируем его по контуру Го: v ) def 1 [ Г F( ) xS d 1 ^ f (n) i Г (x )S-i ds

J(x) = 2üJГоF(s)Tds = 2Л^— Гоn) T'

J n=1 J

Пусть £ — пока произвольное число, удовлетворяющее неравенствам

0 < £ < 1/2. Разобьем последнюю сумму на три части: Si — сумма по тем n, для которых n < (1 — £)x, S2 — (1 — £)x < n < (1 + £)x и S3 — n> (1 + £)x. Оценим сумму S2. Существует такая постоянная C, что

1 /V ( x )S ds

2ni 0 ln) s

< — f —tt (x)ao dt < C£xVïnx. (4)

- 2n J \n) VT+t2 < V '

Для оценки сумм $1 и $з нам потребуется следующее неравенство 1 [ ¿\п] Г ди

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Епо+ =.!1—том+— - (1 +5).!1то- х- (5)

В сумме $1 в каждом слагаемом добавим и вычтем интегралы по двум контурам

Г+ = {в = а + 1Т, —то < а — <го}> Г— = {в = а — %Т, —то < а — ао}-

Тогда интегралы по замкнутым контурам для каждого п будут равны ](п). Таким образом,

$1 = £ >(п) + Е ^ /г—и г+ (П) т-

п<(1— е)х П<(1 + £)х

Оценим последнюю сумму:

Et (n) ¡' „ ( x )s ds

Г-и Г+ n т

n<(1+£)x

OI Е /-сто (n)'-Jh=. ) = £? Е 1

^ - -n) sjT2 + u] \£T^n1+S

n<(1+£)x J \ n=1 ,

Применяя неравенство (5), получим:

$1 = $((1 — е)х) + О (^Тт) - (6)

В сумме $з у интегралов в каждом слагаемом замкнем контур интегрирования, добавляя интегралы по контурам

Г1 = {в = а — %Т, ао — а < +то}, Г2 = {в = а + %Т, ао — а < +то}.

В виду регулярности функций внутри контура Г1 и Го и Г2, каждое

, X , п

слагаемое равно 0. Учтем, что в этой сумме

вательно,

1п Х

= 1п — > є. Следо-

X

* = Е О Ч^(Ї)• * = ) = о(єГ£

„ „ чє7""~ \п/ \єТ ^ н'+‘

>(1+й)ж \ п=1

В силу неравенства (5), имеем:

о Г

єТ

*3 = ОІ^ І. (7)

Из оценок (4)-(7) следует

1 (х) = $(х(1 — е)) + О ^—Т^) + О(ех—тх).

Заметим, что |$(х) — $(х(1 — е))| — ех, положим е = —= и найдем

Т

такое число с, 0 < с < 1, что

$ (х) = 1 (х) + О(хв—с^). (8)

Применяя теперь к интегралу 1 (х) лемму из работы [6, с. 180] (см. также теорему Б в работе [7, с. 138]), получим утверждение леммы. □

Доказательство теоремы 2. Исходя из свойств характеров х(п) по модулю N, можем представить необходимое количество следующим образом

Мх) = £х(а) £ Х(Ф(п))- (9)

^ ' X п<х

і

Тем самым задача сводится к асимптотической оценке суммы

йе^

п<х

являющейся суммой коэффициентов ряда Дирихле

*(X, х) Е х(Ф(п)), (10)

Г м = Е (11)

П=1

К этому ряду мы намерены применить лемму 1. Для этого нужно проверить ее условия.

Прежде всего, 1х("Ф(п))1 < 1. Значит, ряд абсолютно сходится при а > 1. Поэтому, на основании теоремы Эйлера,

Г0.х) = п(і + + хШ<£ + 1) + -) -

р V р р /

Рассмотрим отдельно р-й член произведения. Просуммируем прогрессию и домножим и разделим результат на 1 + х(р + 1)р-8. Тогда р-й член примет вид

1 + х(р + 1Л Л + х(р(р +1))

Р2я + (х(р +1) - х(р))р8 - х(р(р +1)) / '

Обозначим

х(р(р + ^

Ф(«,х) = П 1 +

р „ р28 + (х(р + 1) - х(р))р8 - х(р(р +1))/'

Это произведение абсолютно и равномерно сходится при а > 1 + є для любого є > 0. Поэтому функция Ф(в, х) ограничена в каждой такой

полуплоскости, регулярна при а > — и не обращается там в 0.

Теперь сумма ряда (11) при а > 1 имеет вид

(12)

Преобразуем последнее произведение, переходя к степенному ряду для его логарифма, причем фиксируем ту ветвь логарифма, которая

действительна для действительного характера и і = 0:

1п П(і + х(р+1) = Е + Е ^їїр +1) =

_£. Л. \ р8 / р8 крк8

р^'р р,к>2

V'4 х(р +1) , < \

=2^ —8— + а(в,х)■

рр

Через а(з,х) обозначена сумма двойного ряда. Эта функция регуляр-

1

на в полуплоскости а > — и ограничена при а > 2 + є.

Обозначая через X (п) произвольный характер Дирихле по модулю N, преобразуем ряд по простым числам следующим образом:

Е ^ ^ Е х(а +1) ЕХ(а) Е ^

р 1 / аЄО(И) х р

Последний ряд по простым числам легко связать с ^-функциями Дирихле. Представляя при а > 1 функцию Ь(в, X) в виде бесконечного произведения, преобразуем его тем же путем, что и произведение в

формуле (12). Тогда найдется такая регулярная при а > — и ограниченная при а > 2 + є, є > 0, функция Ъ(в, X), что

Е Хр8г=1п Цв,Х) + Ъ(в,Х)■

Обозначим

■?( N х X) =

№)

Теперь функция Р (в, х) может быть представлена в виде

рв

р

г^^,Х ) = Е х(а +1)Х (а)-

аЄО(М)

Р(в, х) = Ф(в, х) П еа(8,х)+ь(8,х) (Ь(в, Х))^,х,х) ■

X

Как уже было сказано, функция

ф(в,х~) П

еа(8,Х)+ь(8,Х)

х

ограничена при a > — + е при любом е > 0, регулярна в полуплоскости a > — и не обращается там в 0. Следовательно, все сказанное

относится и к области 0(1). Функции L(s, X) при X = хо также регулярны и не равны 0 в 0(1) и при |t| > 1 с некоторой постоянной ci > 0 удовлетворяют условию L(s,X) = O(lnC1 (|t| +2)) (см., например, [9, глава IV]).

Последнее замечание справдливо и для функции L(s,xo)(s — 1). Заметим, что z(N,x,Xo) = ^(N,x). Обозначим

G(s,x) = *(s,x) Пea(s’x)+b(s’x)(L(s,X))z(N’x’X) (L(s,xo)(s—1)YiN’x).

X=Xo

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда

F(s x) = G(s,X)

Г[-Ь,Х (s — 1)v(N,x) ,

причем функция G(s,x) удовлетворяет условиям леммы 1. Применяя ее для каждого характера х и для краткости обозначая ^(N, х) просто через ^, получим

S(x,x') = Pn-i (ыХ,Х) + O((lnx)”+1-Reм) , (13

где

D !+ „Л _ ^ „ <,,\(^ — 1) ... (^ — k) +k

Pn(t, х) = У у ak(х) Г( )

k=0 (^)

Для главного характера хо число p(N,xo) = M.N) можно вычислить. Величина X(N) является мультипликативной функцией. Действительно, пусть N = qa q%2. Для каждого вычета х G G(N) однозначно определяется пара вычетов xi и Х2 по модулю q^1 и q2^2 соответственно таким образом, что

х = x1 (mod q^1) и х = х2 (mod q2t2).

Если х0 и хо — главные характеры по модулям q^1 и q^2 соответственно, то на G(N)

хо(х) = х0(х1)х" (х2).

Таким образом,

X(N ) = -JN) Е хо(х + 1) =

' xeG(N)

= -~f1) Е хо (х1 + 1) —qa) Е хо,(х2 + 1) = Hq?1 )KqT).

1 X1£G(qa1 ) 2 X2EG(q2a2)

Если же N = qa, то X(N) есть количество вычетов х в G(N), для которых q / (х + 1). Это вычеты х = mq + п, 0 < m < qa-1 — 1 и

1 < n < q — 2. Таких вычетов qa-1(q — 2). Таким образом,

*<n)= П ,£-^ = П#.

qa 11N 7 q| N

Теперь учитывая, что р(N,х) < X(N), подставим для каждого характера х(п) результат (13) в формулу (9) и получим утверждение теоремы. □

Resume

It had beleaved the conditions of weak uniformly distribution and asimtotic row for values distribution of Dedekind function in residue classes in this paper.

Список литературы

[1] Narckiewicz W. On distribution of values of multiplicative functions in residue classes // Acta Arithm. 1967. V. 12. No 3. P. 269-279.

[2] Narckiewicz W., Rayner F. Distribution of values of a2(n) in residue classes // Monatshefte fur Mathematik. 1982. V. 94. P. 133-141.

[3] Scourfild E. J. On divisibility of r2(n) // Glasgov Math. J. 1977. V. 18. No 1. P. 109-111.

[4] Sliva J. On distribution of values of o(n) in residue classes // Colloq. Math. 1973. V. 27. F. 2. P. 283-292.

[5] Фоменко О. М. Распределение значений мультипликативных функций по простому модулю // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 83. С. 218-224.

[6] Широков Б. М. Распределение значений арифметических в классах вычетов // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 176-186.

[7] Широков Б. М. Распределение й(п,ш) в классах вычетов // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 1995. Вып. 2. С. 136-144.

[8] Широков Б. М. Распределение значений обобщенной суммы делителей // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 1996. Вып. 3. С. 176-189.

[9] Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: shirokov@petrsu.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.