Некоторые следствия разложения Гордона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2002, вып. 10, с. 124-129

УДК 530.12:531.51

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ГОРДОНА

We use a new view to the our reality which is presented by Guts-Deutsch multiverse. In this article we consider some conclusions of the Gordon decomposition of Dirac current.

Введение

В этой работе исследуются некоторые вопросы, связанные с предположением [1] тождественности спинорных духов и соответствующих теневых частиц Дойча [2]. Предполагается, что наша реальность является мультиверсом Гуца-Дойча [2,3]. В работе [4] исследовались вопросы, связанные с интерференцией квантовых частиц. В результате представляется интересным изучение тока теневых частиц. Данный интерес вызван тем, что появилось новое объяснение появления интерференционной картины в известных экспериментах квантовой механики [2]. Дойч считает, что реальный электрон отталкивается теневыми электронами, которые не фиксируются никакими приборами, поскольку являются частицами в параллельных вселенных, а в нашей вселенной ведут себя как теневые частицы. Математическая модель мультиверса Гуца-Дойча представлена в работе [3]. Поэтому возникает проблема изучения теневых частиц и соответственно спинорных духов.

1. Разложение Гордона

Рассмотрим уравнение Дирака

Е.В. Палешева

rfc ф

спиновая связность Г& находится по формуле:

s

mr

где

s

mr

1

2

m r r m

(Y Y - Y Y ) •

r

© 2002 Е.В. Палешева

E-mail: m82palesheva@math.omsu.omskreg.ru Омский госуниверситет

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

125

Кроме этого учитываем, что здесь АФ

„,к \k li)

Y = A(i)Y ,

Ф)

(1)

\(i) 1-й вектор тетрады, а yvv - четырёхрядные матрицы Дирака, для

которых имеется следующее представление, записанное с помощью двухрядных матриц Паули:

Y

(0)

I 0 0 -I

Y

(«)

0

Оa

Оa 0

0 1 ' 0 —i 10 ,1 = 1 0

О1 = 1 0 ,О2 = i0 ,О3 = 0 —1 0 1

При этом тензор энергии-импульса спинорного поля задается выражением ihc

т 1 rr''7Y dx

Тг

ik

(0)Yi ( dxk_ Гк ф) _ ( fyд (0)+ф’іХ0)Гк) Yi^+

Y(0) + ф’Y(0)Г^ Yкф! • (2)

дф Г „Л / дф*Y(0)

dxi

+ф*Д(0)Дк ( дХі - ^ -

Для двух решений уравнения Дирака фі(х) и ф2(х) известно разложение Гордона [5, с. 45]:

сф’ y (0)Y(k)Фl

ih

2m

,*Y (0) дФі _ дф* y (0) ,■

ф2Y Я „к Я „„к Y фі

+ dXm [^Фі],

дхк дхк

где огк = | [дг ,Дк]• Как известно, дираковский ток определяется выражением:

j(к) = сА(к)ф’д (0)дгф.

Если теперь воспользуемся формулой (1), то исходное выражение для дираков-ского тока принимает вид:

jW = сА<к)ф*д(0)А;„) Y (т)ф.

Учитывая свойство векторов тетрады А(к)А(т) = У и производя суммирование,

получаем, что

j(к) = сф’д (0)д(к)ф.

Если теперь мы положим фі = ф2, то получаем разложение для дираковского тока

j

(к)

ih

2m

ф’д(0)111 _ дф!д(0)ф'

+ dXm [ф*y(0)ок‘ф] • (3)

дхк дхк

Первое слагаемое является релятивистским аналогом тока переноса, определяемого выражением

j = 2m [фуф‘ _ ф’уф] ■

здесь д - решение уравнения Шредингера, а второе слагаемое в выражении (3) соответствует спиновому току [5]. Таким образом, несложно заметить, что ди-раковский ток не пропорционален импульсу в силу наличия второго слагаемого. Поэтому появляется задача изучения тока переноса спинорных духов. Мы покажем, что в ряде случаев соответствующий ток равен нулю, хотя дираковский ток не зануляется. К сожалению, пока не удалось доказать соответствующее утверждение в общем случае.

126

Е.В. Палешева. Некоторые следствия разложения Гордона

2. Токи теневых частиц

Теневые частицы, являющиеся решениями уравнения Дирака, характеризуются наличием ненулевого дираковского тока при нулевом тензоре энергии-импульса. В общем случае для спинорных полей несложно получить следующий результат [6], если взять свертку тензора энергии-импульса (2) и принять во внимание уравнение Дирака:

Ti = mc2ф*Y(0')ф■ (4)

При этом потребуется также и сопряженное уравнение Дирака:

ih ^+ ф+Гк) Yk = -тсф+,

где принято стандартное обозначение для дираковски-сопряженного спинора ф+ = ф*у(0). В случае решений уравнения Дирака, описывающих теневые частицы, мы имеем, что соответствующий тензор энергии-импульса тождественно равен нулю. Следовательно, и его свертка также будет равна нулю. Тогда из формулы (4) получаем следующее.

Предложение 1. Если решение уравнения Дирака является спинорным духом, то справедливо равенство

ф+ф = ф* у (0)ф = 0.

В дальнейшем мы будем рассматривать пространство-время Минковского, поэтому в нашем случае уk = Y(k), а спиновая связность Гк зануляется.

Ранее была доказана следующая теорема [4]:

Теорема 1. Пусть ф = и ■ G(x) - решение уравнения Дирака и геометрия пространства-времени определяется метрикой Минковского. При этом предполагается, что ф*ф = 0, а

G(x) = f (x) + i ■ 9(x),

где f (x) и g(x) - гладкие вещественные функции, кроме того,

и

и0

Ui

и2

U3

где V i Ui Є R. В рассмотренных условиях ф является спинорным духом g(x) = а ■ f (x), где а = const Є R. ■

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

127

Поэтому в условиях теоремы 1 решение уравнения Дирака, представляемое в виде ф = u^G(x), будет спинорным духом, если только функция G(x) является вещественной. Для описанных волновых функций мы можем сформулировать утверждение о токе переноса, который определяется следующим выражением:

jp

ih

2m

ф*7

(0) дф _ дф

dxk dxk

Y(0) ф

(5)

Теорема 2. Если решение уравнения Дирака ф, являющееся спинорным духом, удовлетворяет одному из следующих условий:

1) ф = и • f (x), где x = (x0,x1,x2,x3), при этом f (x) является вещественной функцией, а биспинор и имеет комплексные компоненты,

2) Vk dxk = gkфф, где gk(x) комплексные функции, тогда ток переноса в разложении Гордона дираковского тока (3) зануляется всюду.

Доказательство. Учитывая формулу (5), получаем, что достаточно доказать справедливость следующего равенства:

ф* у(0)

дф

dxk

дф*

dxk

Y (0)ф

0.

(6)

Рассмотрим первый случай, т.е. полагаем, что теневая частица определяется как ф = и • f (x). Тогда после подстановки соответствующего решения уравнения Дирака в формулу (6) мы получаем:

u*Y(0)u ( f

f _ f

dxk dxk

f

0.

Таким образом, в рассмотренном случае соответствующий ток переноса зану-ляется.

Пусть теперь выполнено второе условие, т.е.

V k dxk = gk(;г)ф.

Тогда левая часть равенства (6) принимает вид 3:

д^ф+ф _ gkфф+ф,

в общем случае, например для реальных частиц, данное выражение не зану-ляется. Но для теневых частиц, в силу предложения 1, оба слагаемых равны нулю, что и завершает доказательство теоремы. ■

Итак, в рассмотренных случаях токи переноса теневых частиц зануляются. Посмотрим, какие следствия мы можем получить из полученных данных. Рассмотрим два решения уравнения Дирака ф1 и ф2. В случае, когда соответствующие частицы взаимодействуют, для вычисления тока результирующей волны мы должны положить ф = фі + ф2. Естественно, что как дираковский ток,

1 Здесь принято обозначение g(x) для комплексно сопряженной функции.

128

Е.В. Палешева. Некоторые следствия разложения Гордона

так и ток переноса распадаются на сумму, содержащую слагаемые, отвечающие свободным частицам, и дополнительное слагаемое, вызванное наличием взаимодействия. В случае, когда одно из решений уравнения Дирака описывает теневую частицу, например ф2, мы получаем следующий результат.

Пусть ток переноса jp соответствует волновой функции фі, тогда для тока переноса результирующей волны получаем:

jP = jp + jp + j 12p,

где в нашем случае j|p = 0, а третье слагаемое определяется взаимодействием полей, при этом

j 12p

ih

2m

,*Y/ (0) дФ -

dxk dxk

фі*7(0^nk - -7ГТY (0)ф2 + ф2*І

* (0) дфі - дФ*

dxk dxk

Y(0) Фі

(7)

и, вообще говоря, соответствующее выражение не равно нулю. Таким образом, несмотря на нулевой ток переноса одной из частиц и в силу того, что выражение

(7) не зануляется, мы получаем формулу jpp = j1p. Но никаких противоречий в данном случае возникнуть не может, поскольку полный (дираковский) ток как для реальной, так и для теневой частицы не равен нулю тождественно. Взаимодействие в данном случае осуществляется за счет спинового тока.

3. Корпускулярно-волновой дуализм

Как известно, квантовая механика базируется как на корпускулярных, так и на волновых свойствах квантовых частиц. Если теперь мы описываем нашу реальность как мультиверс, то соответствующий дуализм может быть объяснен следующим образом.

Во-первых, отметим, что квадрат модуля амплитуды вероятности теневой частицы, являющейся собственной к некоторой реальной частице, равен квадрату модуля амплитуды вероятности соответствующей реальной частицы.

Теперь определим волну как совокупность, состоящую из одной реальной частицы и множества собственных теневых частиц. Тогда в силу того, что теневые частицы не фиксируются никакими приборами, в любой момент времени мы сможем зафиксировать только одну частицу, реальную. Таким образом, мы придем к заключению о наличии корпускулярных свойств у рассматриваемой нами совокупности. Но как было показано ранее [2], например, такое волновое свойство квантовых частиц, как интерференция, может объясняться существованием теневых частиц. Причем, на наш взгляд, соответствующее объяснение Дойча [2], дополненное результатами [1,3,4], выглядит более естественным.

Таким образом, мы получаем, что корпускулярные свойства являются проявлением того, что наша совокупность (волна) содержит всего одну реальную частицу, а наличие собственных теневых частиц приводит к наблюдаемым волновым свойствам.

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

129

Заключение

Как было показано выше, следствием теоремы 2 является то, что ток переноса реальной частицы изменяется после взаимодействия последней с теневой, хотя для теневых частиц соответствующий ток нулевой, откуда мы находим подтверждение предположения Дойча о влиянии собственных теневых частиц на реальные частицы. При этом равенство нулю тока переноса для спинорных духов говорит еще раз о том, что о существовании соответствующих волн можно говорить лишь в силу того, что мы наблюдаем их влияние на реальную вселенную, поскольку мы не можем зафиксировать частицу, находящуюся в данном состоянии.

В работе [1] спинорные духи были найдены для плоского пространства-времени, но соответствующие решения уравнения Дирака ранее были найдены и для других пространств [7-10]. Поэтому мы можем утверждать, что существование теневых частиц не является привилегией пространства-времени Минковского.

ЛИТЕРАТУРА

1. Палешева Е. В. Спинорные духи, теневые электроны и Мультиверс Дойча. // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ.

2001. Вып.8. С.66-75. gr-qc/0108017

2. Дойч Д. Структура реальности. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

3. Гуц А.К. Теоретико-топосная модель мультиверса Дойча. // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ. 2001. Вып.8. С.76-90. physics/0203071. gr-qc/0210072.

4. Палешева Е. В. Вклад спинорных духов в интерференцию квантовых частиц // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ.

2002. Вып.9. С.142-157. quant-ph/0207083.

5. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Т.1. Релятивистская квантовая механика. М.: Наука, 1978.

6. Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применения. М.: «Август-Принт», 2001.

7. Davis T.M., Ray J.R. Ghost neutrinos in plane-symmetric spacetimes. // J. Math. Phys. 1975. V.16. №1. P.75-79.

8. Davis T.M., Ray J.R. Neutrinos in cyllindrically-symmetric spacetimes // J. Math. Phys. 1975. V.16. №1. P.80-81.

9. Гуц А.К. Новое решение уравнений Эйнштейна-Дирака // Известия вузов. Физика. 1979. №8. с.91-95.

10. Pechenick K.R., Cohen J.M. New exact solution to the Einstein-Dirac equations // Phys. Rev., D 19, №6. P.1635-1640. 1979.