К вопросу о спинорных духах в общей теории относительности Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2004. № 4. С. 19-21. © Омский государственный университет

УДК 530.12:531.51

К ВОПРОСУ О СПИНОРНЫХ ДУХАХ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Е.В. Палешева

Омский государственный университет, кафедра кибернетики 644077, Омск, пр. Мира, 55а1

Получена 28 июня 2004 г-

In this article we present some results about ghost spinors.

Рассмотрим2 уравнение Дирака [1—3], записанное с помощью тетрадного формализма:

ihrfxj ¿0 = тсф.

(1)

Если А.0'1 определяют компоненты тетрады векторов [4], то гамма-матрицы связаны следующими соотношениями с матрицами Дирака:

7fc = Afa)7(

(2)

при этом мы используем стандартное представление гамма-матриц Дирака [5]:

7

(0)

" I 0 (а)

0 -I , 7 =

0

-On

(7а

о

где аа — матрицы Паули.

Кроме этого, является ковариантной

производной спинора ф и определяется следующим выражением:

дф

ЪФ ГНФ,

в котором компоненты спинорной связности Г^ вычисляются по формуле

г -I

k - A9ml dxk

s)

(3)

где Tlrk — символы Кристоффеля [4].

Тензор энергии-импульса спинорного поля определяется выражением [1—3]

j JI с

Tik = -¡- (Ф+ЪХ7кФ ~ Х7кФ+ъФ+ + Ф + 1кЧгФ ~ ЧгФ + 1кФ) ,

(4)

1 e-mail: palesheva@univer.omsk.su

2Латинские индексы будут пробегать значения 0,1, 2, 3 , а греческие — 1, 2, 3 .

при ЭТОМ

Ъ = 9 иЛ

(5)

а спинор 0+ называется дираковски-сопряженным и определяется выражением ф+ = ф*у1-0-1, где ф* — эрмитово-сопряженный спинор.

Спинорнымп духами принято называть решения уравнения Дирака (1), для которых тензор энергии-импульса (4) всюду равен нулю, а плотность тока

j к = с0+7' ф

(6)

тождественно не равна нулю. Такие решения в случае безмассовых полей были получены в работах [6—15]. При этом массивные спинорные духи были получены в [16,17]. В [17-20] были проведены некоторые исследования решений уравнения Дирака с представленными свойствами, а также были доказаны некоторые теоремы, позволяющие упростить задачу нахождения подобных решений. В данной статье мы приведем дополнительные исследования, касающиеся спинорных духов.

Для начала представим теорему, доказанную в [18].

Теорема 1. Если решение уравнения Дирака является спинорным духом, то справедливо равенство

ф+ф = '0*7(°)'0 = 0.

Теперь мы можем сформулировать новое утверждение.

Теорема 2. Если решение уравнения Дирака является спинорным духом, то справедливо равенство

Ф+1кЧкФ = о.

Доказательство. Помножив уравнение Дирака (1) на дираковски-сопряженный спинор ¡/>+

20

E.B. Палешева

и применяя затем теорему 1, получим завершение доказательства.

Несмотря на очевидность утверждений, представленных теоремами 1 и 2, соответствующие результаты являются довольно важными. Они позволяют отбросить целый класс решений уравнения Дирака, не вычисляя тензора энергии-импульса, если мы хотим найти решения, соответствующие спинорным духам. Так, например, спи-норным духом не будет решение уравнения Дирака, имеющее вид

ф

Ф1 0 0 о

Представим некоторые положения.

Замечание 1. Если ввести 4-вектор з^ = = сф+гу^ф, то несложно убедиться в том, что для дираковского тока (6) будет справедливо соотношение:

и наоборот

3k = tfi)3{i) 3{к)=Х\к)3*.

Тогда если один из векторов отличен от нуля, то и другой не равен нулю тождественно. Поэтому для того, чтобы доказать, что jk ^ 0, в принципе достаточно проверить, равен ли нулю 4-вектор . Следует также добавить, что в пространстве-времени специальной теории относительности справедливо соотношение j к = .

Стоит также обратить внимание на следующее.

Замечание 2. Нулевая компонента дираковского тока (6) определяется соотношением j° = Апри этом компоненты векторов тетрады находят из условия

91к = А{о)Л kb)Vab. (7)

Таким образом, получается, что на 16 величин А^ имеется 10 связей, представленных системой (7). Откуда следует, что существует шесть степеней свободы в выборе компонент векторов тетрады. Если теперь, учитывая стандартный выбор метрического тензора rqab в виде rqab = = diag{l, —1, —1, —1}, мы распишем (ОО)-урав нение системы (7), то, используя три степени свободы, мы можем положить

А° =v^ö, А? n = 0.

Тогда из (0а )-уравнений однозначно определятся

компоненты :

При этом на оставшиеся 9 величин А"^ мы будем иметь три степени свободы. Таким образом, мы можем выбрать тетраду векторов так, чтобы выполнялось равенство = л/д^ 3^ • А так как = сф*ф, то и з° = су/д™ф*4>.

Кроме этого, следует добавить еще один важный момент, который мы используем при доказательстве теоремы, приведенной ниже.

Замечание 3. В общей теории относительности всегда можно выбрать сопутствующую систему координат, т. е. такую, что доа = 0, а доо = 1 [4]. В такой системе координат, учитывая замечание 2, мы получим выполнение равенства = = сф*ф.

Теперь мы можем доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть решение уравнения Дирака определяется условием

ЧкФ = 9к(х)Ф,

выполненным для любого к. Причем -

некоторые функции, а решение ф удовлетворяет условию ф*Ф 0. Тогда ф будет спинорным духом в том и только в том случае, когда ди{~х.) будут вещественными функциями. При этом функции дк(х-) должны удовлетворять условию дк(*)зк = 0.

Доказательство. Сначала покажем, что если ф*Ф =/= 0, то и плотность тока не равна нулю. Во-первых, используя замечание 1, можно убедиться, что, в случае выполнения неравенства ф*ф ф^ 0, дираковский ток (6) не может быть всюду равен нулю. С другой стороны, ввиду замечания 2, мы можем таким образом выбрать тетраду векторов, что нулевая компонента дираковского тока будет пропорциональна ф*4' ■ Но более того, ввиду замечания 3, может быть всегда выбрана такая система координат, что = сф*ф . Поэтому дираковский ток не равен нулю тождественно.

Теперь покажем, что тензор энергии-импульса в условиях теоремы будет равен нулю. Для начала, используя соотношения -у*0)^0) =Е, а также = —, где Е —единичная матрица, заметим следующее:

дф+ дхк дф+ дхк

-■Г7(0)7(0)(Г7Г7(0) = 0+rfc = Vfc (Ф+) ■

Л« _ 9 Л<0) - '

Учитывая условие теоремы \/кф = дк{^)ф, получим:

V,A4'+) =дк*(*)Ф+-

Спинорные духи в общей теории относительности

21

Тогда имеем

Ф+ЪЧк'Ф - Чк (Ф+) ъФ =

= (9к(х) - 9к*(х))Ф+ъФ = 0.

Равенство нулю тензора энергии-импульса спи-норного поля будет выполнено в том случае, если будет справедливо данное соотношение, которое выполняется для любых г и к только в том случае, когда функция (^(х) вещественна. Так как с0+7г0 = Уи;Зк и поэтому не может равняться нулю для любых г.

Заметим, что в нашем случае равенство нулю свертки ди,{х)] к следует из теоремы 2. Точнее говоря,

дк{х)зк = сдк(х)ф+^кф = сф+^кукф = 0.

Таким образом, теорема доказана.

Следует отметить, что в [18] была доказана теорема, в которой предполагалось, что волновая функция спинорных духов удовлетворяет условиям только что доказанной теоремы 3. Но эта же теорема говорит еще и о том, что решения уравнения Дирака, не являющиеся спинорными духами, не могут иметь представленный вид.

[12] Griffiths J.В. Gravitational radiation and neutrinos // Commun. Math. Phys. 1972. V. 28. P. 295.

[13] Krori K.D., Chaudhury Т., Bhattacharjee R. Some exact solutions of Einstein-Dirac-Maxwell fields and massive neutrino // Phys. Rev. D. 1982. V. 25. P. 1492.

[14] Madore J. On the neutrino in general relativity // Lett. Nuovo Cimento. 1972. V. 5. P. 48.

[15] Pechenick K.R., Cohen J.A'I. New exact solution to the Einstein-Dirac equations // Phys. Rev. D. 1979. V. 19. P. 1635.

[16] Палешева E.B. Спинорные духи, теневые электроны и Мультиверс Дойча // Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8. С. 66.

[17] Палешева. Е.В. Вклад спинорных духов в интерференцию квантовых частиц // Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 9. С. 142.

[18] Палешева. Е.В. Некоторые следствия разложения Гордона // Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10. С. 124.

[19] Palesheva Е. V. The Guts-Deutsch Multiverse and interference of quantum particles // Abstracts of 11th International (Russian) Conference. Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation. Tomsk State Pedagogical Univ. Press, 2002. P. 91.

[20] Palesheva E. V. Interference of quantum particles and the Guts-Deutsch Multiverse // Gravitation and Cosmology. 2003. V. 9. P. 63.

[1] Гололобова А.С., Кречет В.Г., Лапчинский В.Г. Динамика спинорной материи в ОТО // Теория относительности и гравитация / Под ред. В.И. Ро-дичева и др. М.: Наука, 1976, С. 133.

[2] Brill D.R., Wheeller J.A. Interaction of Neutrinos and Gravitational Fields // Rev. Mod. Phys. 1957. V. 29. P. 465.

[3] Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение. М.: Август-Принт, 2001.

[4] ,Ландау Л.Д., .Лившиц Е.М. Теория поля. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[5] Боголюбов П.П., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1973.

[6] Гуц А.К. Новое решение уравнений Эйнштейна-Дирака // Изв. вузов. Физика. 1979. № 8. С. 91.

[7] Chimento L.P., Pensa F.G. Exact Bianchi type-(I,V) solutions of the Einstein equations with scalar and spinor fields // Phys. Rev. D. 1990. V. 42. P. 1098.

[8] Collinson C.D., Morris P.B. jj J. Phys. A. 1973. V. 6. P. 915.

[9] Davis T.M., Ray J.R. Ghost neutrinos in general relativity 11 Phys. Rev. D. 1974. V. 9. P. 331.

[10] Davis T.M., Ray J.R. Ghost neutrinos in plane-symmetric spacetimes // J. Math. Phys. 1975. V. 16. P. 75.

[11] Davis T.M., Ray J.R. Neutrinos in cylindrically-symmetric spacetimes // J. Math. Phys. 1975. V. 16. P. 80.