Теоретико-топосная модель мультиверса Дойча Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2001, вып. 8, с. 76-90

УДК 530.12:531.51

ТЕОРЕТИКО-ТОПОСНАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИВЕРСА ДОЙЧА

А.К. Гуц

The Deutsch multiverse is collection of parallel universes. In this article a formal theory of the Deutsch multiverse and a topos-theoretic model of multiverse are given. For this the Lawvere-Kock Synthetic Differential Geometry and models for smooth infinitesimal analysis are used.

Введение

В книге Дэвида Дойча [1] излагается эскиз структуры физической реальности, которая представляет собой совокупность взаимодействующих параллельных вселенных, называемой мулътиверсом, правильное описание которого, как считает Дойч, возможно лишь в рамках квантовой теории.

Наша цель - оставаясь в рамках математического аппарата 4-мерной общей теории относительности, описывающей Вселенную как конкретное 4-мерное ло-ренцево многообразие (Д4, (Д), называемое пространством-временем, предоставить возможность учитывать наличие параллельных, т.е. других вселенных, являющихся самыми различными 4-мерными пеевдоримановыми многообразиями, за счет любого необходимого произвольного увеличения размерности особого Гиперпроетранетва, объемлющего вес вселенные. Более того, Гиперпро-етранетв должно быть сколь угодно много; геометрия, топология, размерность Гиперпроетранетв должны быть сколь угодно различными, чтобы всегда можно было найти бесчисленное число вселенных, сколь угодно подобных нашей, и одновременно должно существовать сколь угодно много вселенных, совершенно непохожих на мир, в котором мы живем.

Структура физической реальности должна учитывать прихоть мыслящего существа видеть ее во всевозможных мыслимых формах, располагая при этом весьма скудным исследовательским инструментарием, основой которого должны быть теория относительности и квантовая механика.

Следут особо подчеркнуть, что мы не намерены переходить к многомерным теориям типа Калуцы-Клейна, Нет, ни в коем случае. Подчеркиваем, что основой теории мультивереа должна быть 4-мерная метрика у 1!.

© 2001 А.К. Гуц

E-mail: guts@univer.omsk.su

Омский государственный университет

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 01-01-00303 - теоретическая часть).

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

77

Нетрудно понять, что поставленная нами цель требует иного взгляда на общую теорию отноеительноети, поскольку мы собираемся совместить несовместимые вещи. Тем не менее, выход находится при обращении к интуиционистскому взгляду на риманову геометрию. Отказываясь от закона исключенного третьего, можно построить теорию, включающую как классический вариант общей теории отноеительноети, так и множество других ее многомерных обобщений,

1. Формальная теория мультиверса

Теорию мультиверса следует строить как формальную теорию Т, максимально похожую на общую теорию относительности, т,е, как теорию одной 4-мерной вселенной, а параллельные вселенные должны появиться при построении моделей формальной теории.

Основой формальной теории Т может послужить так называемая Синтетическая дифференциальная геометрия (СДГ) Ловера-Кока [2], Как известно, из-за того, что принимаемая СДГ аксиома Кока-Ловера несовместима с законом исключенного третьего, нельзя построить модель этой теории в категории теории множеств Кантора Set,

Отказ от закона исключенного третьего приводит нас к интуиционистской логике, которой мы должны придерживаться при развитии теории мультиверса, опираясь на СДГ, Место теоретико-множественных моделей формальной теории мультиверса должны занять теоретико-топоеные модели. Последние хотя и обладают, в общем случае, внутренней интуиционистской логикой, развиваются в рамках двузначной классической логики. Это позволяет математику иметь дело с привычными объектами, правда, в рамках очень сложных конструкций, каковыми являются топоеы.

Основным для СДГ Кока-Ловера является замена поля действительных чисел IH на коммутативное кольцо R. В идеале хотелось бы, чтобы оно удовлетворяло следующим аксиомам 1:

(Al) (R, +, •, 0,1) - коммутативное кольцо.

(А2) R локальное кольцо, т.е.

0 = 1 => ±

3у (х • у = 1)3у (1 — х) ■ у = 1.

(АЗ) (R, <) - действительное упорядоченное локальное кольцо, т.е. < - транзитивное отношение, совместимое с кольцевой структурой в том смысле, что

(a) 0 < 1, (0 < х & 0 < у => 0 < х + у Ik 0 < х ■ у),

(b) 3у(х ■ у = 1) -^=> (0 < х V х < 0),

(c) 0 < х => 3у(х = у2) (евклидовость).

1Мы приводим только часть аксиом. Другие аксиомы см. в (7, Гл.УП].

78

А.К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

(А4) < - предпорядок, совместимый с кольцевой структурой, т.е. рефлексивное и транзитивное отношение, и

(a) 0 < 1, (0 < ж к. О < у => 0 < ж + у к. О < ж • у), 0 < ж2,

(b) (ж — нильпотент, т.е. ж” = 0) => 0 < ж.

(А5) < и < - совместимы, т.е.

(a) ж < у => ж < у,

(b) ж < у & у < ж => А.

(А6) (Аксиома Кока-Ловера). Для любого

У(/ е RD)3l(a, b)eRx Ride D(f(d) = a + b-d), где D = {ж e R : ж2 = 0}.

Как показано в (2], аксиома (А6) несовместима с законом исключенного третьего.

(А7) (Аксиома интеграла).

V/ е i#'1]3!y е i#'1](y(0) = 0 & Уж е [0,1] (9'(ж) = /(ж)),

где [0,1] = {ж €Е R : 0 < ж & ж < 1} и у'(ж) - это единственное b такое, что Vd 6 D(g(x + d) = у(ж) + b • d).

Используется символическая запись

1

$(я) = J f{t)dt.

о

1

(А8) ix € [0,1] 0 < /(ж) => 0 < J f(x)dx.

о

1

(А8') Уж е [0,1] 0 < /(ж) => 0 < J f(x)dx.

о

(А9) (Существование обратной функции).

V/ е RR Уж € Д (/'(ж) — обратимо =>

=> 3 открытые U,V(x е U & /(ж) G 7 f\u : U —> К — биекция)).

(А10) N с R, т.е. Уж € Ж Зу е Д(ж = у).

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

79

(All) R - архимедово, т.е. Ух € R 3n €Е N(x < п). (А12) (Аксиомы Пеано).

О е N

Ух G R {х G N У х -Ь 1 G N)

Ух е R (х е IV & х + 1 = 0 => ±).

Кольцо /i’ дополнительно к обычным действительным числам из IH располагает элементами, называемыми инфинитезималами и входящими в «множества»

I) = {,1 е /.’ : б'1 = 0[.I),, = {,1 е /.’ : dk+l = 0},

A = {xeR: f(x) = 0, fe mg},

где т9щ - идеал функций, имеющих нулевой росток в 0 2, причем

D С £>2 с ... С Dk С ... С Л.

В рамках изложенной аксиоматики можно построить [3,4] риманову геометрию для 4-мерных (формальных) многообразий (Д4,ф4^), являющуюся основой для эйнштейновской теории гравитации.

Мы постулируем, что мультиверс - это 4-мерное пространство-время, описываемое с помощью СДГ, т.е. является формальным лоренцевым многообразием (R4,(/^), для которого выполняются уравнения Эйнштейна, представленные в традиционном виде:

«S’- -2Л) = (1)

Решением этих уравнений будет 4-метрика у'1!.

На формальном уровне физические следствия таких предположений не так заметны, как математические. Поэтому необходимо обратиться к моделям формальной теории. Наиболее исследованными являются так называемые хорошо

W ор

адаптированные модели вида Set , содержащие как полную подкатегорию категорию гладких многообразий Л4.

2. Гладкие топосные модели мультиверса

Пусть II. - это дуальная категория для категории конечно порожденных С°°-колец. Она называется категорией локусов [7]. Объектами категории IL являются все те же конечно порожденные ( 'х-ко.зьна. а морфизмами - обращенные морфизмы категории конечно порожденных С^-колец, Принято во избежание путаницы объекты (локусы) категории II. обозначать как £А, где А - ( ' х-ко. п>но. Следовательно, II .-.морфизм £А —>• £В - это ( 'х-гомоморфизм В —>• А.

2Иначе говоря, исчезающих в некоторой окрестности точки 0.

80

А.К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

Конечно порожденное С'°°-кольцо £А изоморфно кольцу вида С°°(Шп)/1 (для некоторого натурально числа п и некоторого конечно порожденного идеала I).

Категория SetJL°P является топосом. Мы рассмотрим топос SetJL°P как модель формальной теории мультиверса. Важно отметить, что модель Set,IL"P обладает патологическими свойствами: многие из аксиом (А1)-(А12) не выполняются в Set1" Р, Например, оказывается, что гладкая прямая /7. будучи коммутативным кольцом с единицей 1, не является при этом даже локальным кольцом, т,е, нарушается аксиома (А2). Более того, /7 не обладает свойством архимедовости (аксиома (All)),

Можно рассматривать в качестве моделей топоеы F.Q н 3 и многие другие [7, Appendix 2], Для них выполнены все аксиомы (А1)-(А12) (см, [7, с,300]), Однако работа с топосом Set1^ позволяет быстрее ознакомиться с излагаемой теорией мультиверса, не усложняя изложение математическими конструкциями.

На языке Дойча переход к конкретной модели формальной теории - это порождение виртуальной реальности 3, Физическая реальность, воспринимаемая нами и названнная Дойчем мультиверсом 4, также является виртуальной реальностью, созданной нашим мозгом [1, с, 140], Более того, «виртуальная реальность, основанная на неправильных законах, и есть наш единственный источник получения знаний! ,,, А поскольку наши концепции и теории (будь они врожденные или приобретенные) никогда не совершенны, все наши передачи на самом деле неточны. То есть, они дают нам ощущение среды, которая значительно отличается от среды, в которой мы действительно находимся» [1, с, 140],

Модель мультиверса - это генератор виртуальной реальности, который обладает определенным репертуаром сред, которые он создает и в которые мы погружаемся. Поясним, как это происходит.

При интерпретации i : Set1"^ |= Т формальной теории Т мультиверса в топосе Set1"01* объектам теории, например кольцу R, степени Rr и т.д., ставятся в соответствие объекты топоса, т.е, функторы Г = i(R), FF = i(RR) и т.д. Отображениям, например R —>• R, R —>• RR, - морфизмы топоса Set1"Р, т.е, естественные преобразования функторов - F —>• F, F —>• F1'.

Наконец, при интерпретации языка формальной теории мультиверса необходимо приписать элементам кольца R «элементы» функторов F Е Set,IL"P. Иначе говоря, нужно проинтерпретировать отношение г Е R. Это сделать не так просто потому, что функтор F определен на категории локусов IL; его переменной (аргументом) является произвольный локус £А, а значением множество F\IA) G Set, Выход из затруднения заключается в определении обобщенных элементов х Eia F функтора F.

Обобщенным элементом х Eia F, или элементом х функтора F в стадии 1А, называется элемент х Е FijА).

3Это предположение автор услышал от А.А.Звягинцева.

4Multiverse - много (multi-) вселенных (universe); причем universe - одна (uni) вселенная. Другой не мыслили, и это отразилось в языке.

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

81

Теперь можно сопоставить элементу г е R обобщенный элемент г (г) 6м Д, Но, как видим, таких элементов столько сколько локусов. При переходе к модели Set происходит «размножение» элемента г. Он начинает существовать в бесконечном числе вариантов {г(г) : г(г) F,£A е IL},

Важно отметить, что поскольку 4-метрика g№ - это элемент объекта Пи '11 . то «интуиционистская» 4-метрика начинает существовать в бесконечном числе классических вариантов i(g)№ i(RR xR ), Обозначим каждый такой вари-

ант как г(д)(4)(£4).

Для упрощения изложения будем далее иметь дело е объектами модели Set1"0,?, ДруГИМИ с |оиаЛШ- будем писать д^(£А) вместо i(g)^(£A).

Нетрудно понять, что каждый вариант дW (£А) классической 4-метрики удовлетворяет «своему» уравнению Эйнштейна [4]

яЙДа) - ДД14)[Я<‘>(М) - 2А(£А)] = ДДдЦ. (2)

Причем не исключено, что физические константы G, с также могут меняться от варианта к варианту.

1 = M=^C”(IR0) M=^C00(IR1)/I

M=^c“(IR2)/i

Рис. 1. Физическая (виртуальная) реальность R4 как сумма многомерных гиперпространств (сред), расслоенных на параллельные 4-мерные вселенные, соответствующих различному

«вычислению» реальности.

Прежде чем пойти дальше, укажем на существование вложения Ионеды (Yoneda)

у. 1L -э Set1"0*1, у(£А) = Нот^(-,£А).

Примем, что кольцо R интерпретируется как функтор у(£С00(Ш)), т.е.г(Д) = у(£С00(Ш)). Будем далее писать £А вместо у(£А) и опустим символ i. Тогда имеем

Д(-) = £С°°(Ш)(-) = Нот^(-,£С°°(Ш)).

Аналогично

Rr4xr4(£A) = Homi(£A,RR4xR4) = Нотъ(£А х (Д4 х Д4),R) =

= Нотл,(£С°°(К™)/1 х £С°°(К4) х £С°°(Ш4), £С°°(Ш)) =

82

А.К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

= Hom^oV{lC°°{IR),C'00(Rm)/J®00 С^ДВ4) ®оо С^ДВ4)) =

= Ногп^‘>р(С0°(Ш), С°°(Шт+8)/(I, {0})) = ffomiL(IC'oo(Bm+8)/(J,{0}),IC'oo(B)),

где £А = £С°° (В™)//. 0^ - символ копроизведения С'°°-колец, и при вычислении использованы формулы

С00(В") 0ОО ССДВД = С°°{ЯГ+к),

£А -> £С1В £В х £А->£С'

Отсюда следует, что при £А = £С°°(В™)

д^(£А) = [д бм дя4хя4] = ^ Д°, ...,х3, a)dxldxk, о = (о1,,,,, о™) е В™,

Дополним метрику д^Д0,...,х3,а) до (4+т)-метрики в пространстве В4+™

д^(х°, ...,х3, a)dxtdxk — da12 — ... — do™2. (3)

Получаем (4 + т)-мерную геометрию.

Символически процедуру получения многомерных вариантов геометрии, порождаемых интуиционистской 4-геометрией дW; можно представить в виде формальной суммы

Д = с0 Ц4> е, Я*1*® +С1 ■ [9>4* л^^®...

4------v------' 4--------»v-------'

4-мерная геометрия 5-мерная геометрия

... + Cn-4-[P(4) ^соо(Н-)

V У

1 V 1

n-мерная геометрия

где коэффициенты ст берутся из поля комплексных чисел.

Поскольку стадий несчетное число, то вместо суммы следует писать интеграл

Я<4) = jv[lAWA)\gW R#**]. (4)

IL

Используем обозначения квантовой механики 5 *:

9“' |9“'). [9,4) RR'xR'] |9“'(M)>.

Тогда (4) перепишется в виде

|Д>} = J V[£A]c(£A) |я(4) (ЛА)). (5)

IL

5Дираковские обозначения: |Р) = ф(£)) = ф(£); в данном случае ф(£) - это дА (предста-

витель состояния |Р)), а |Р) - это |ДД [5; с.111-112].

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

83

Таким образом, формальная 4-геометрия Кока-Ловера {R4, gесть сумма бесконечного числа классических многомерных пеевдоримановых геометрий (гиперпространств), которые расслаиваются посредством фиксации a = an на 4мерные параллельные вселенные. Геометрические свойства параллельных вселенных могут, как показано в [9,10], существенно различаться даже в рамках одной стадии £А. О природе, смысле коэффициентов с(£А) поговорим ниже в §5,

Здесь как раз уместно вспомнить о средах виртуальноей реальности, которые должны возникать при обращении к модели мультивереа, в данном случае к модели Set1"? являющейся генератором виртуальной реальности. Нетрудно понять, что обобщенные элементы \д^(£А)) - это метрики конкретной среды (=гиперпроетранетво) с «номером» £А. Другими словами, обращение к изучению любого объекта теории в стадии £А есть не что иное, как переход к одной

ж ор

из сред, входящих в репертуар генератора виртуальной реальности Set

3. Космология Дойча-Гёделя

В качестве примера мультивереа рассмотрим космологическое решение Гёделя [6]:

/1 0 еэ °\ ( -1 0 2< 'г' °\

(4) 2 9гк = а 0 ех1 -1 0 0 е2х1 /2 0 0 0(4,)“ = 4 сг to (D 1 о н -1 0 0 ^2e-&1 0 0

U 0 0 -1/ V о 0 0 -1/

Эта метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна (1) с тензором энергии-импульса пылевой материи

I /7, — С pUjUkj

при условии, что

сг

87tG 2 Р'>

с2

1

2с?

АтхСр

с2

(7)

Если теперь положить

Oi = ОСд "Т С?, Л = Ло Т А, р = рд Т Q, (8)

где <1. Л. р (г I) инфинитезималы, и подставить в (7), то имеем

1 _ 1 _ 2d _ 8тtG

(a0 + d)2 о| Од с2 Р° ^ Р ’

, , 1 2d , АкСрд AkGq

2Л0 + 2А =---^ + Л0 + А =---------^-------

«О щ с1 с2

Предположим, что ад, Ло, рд связаны соотношениями (7), Тогда из предыдущих равенств находим связь между инфинитезиамалами

47tG 47tGoo

А =----— Q, О =---------Q.

С1 с1

84

А.К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

При интерпретации в гладком топоее Set1" Р инфинитезимал g Е D в стадии £А = ( ' х (IH'")// представляется классом гладких функций вида g(a)mod I. где [Да)]2 е I [7, с,77],

Рассмотрим состояние мультиверса Гёделя, точнее, мультиверса Донча-Гёделя в стадии £А = К 'х (IH )/{ч1) 6, Очевидно, что можно взять инфинитезимал вида g(a) = о2. Мультивере в этой стадии является 5-мерным гиперпроетран-етвом, слои которого, задаваемые уравнением о = оо, - параллельные вселенные (среды) П4(£А) с метрикой g^/£A) = д^\х,а), заданной формулами (6) е учетом (8), Плотность материи р = р0 + д(а) начнет расти от классического значения рп ~ 2 • К) ;!| г/см3 до +оо при а -д ±оо. Начинает неограниченно расти до ^оо и космологическая постоянная. Вес это говорит о том, что параллельные вселенные могут иметь физические свойства, совершенно отличные от свойств нашей Вселенной,

В стадии £А = £С°° (К)/(о2) д(а) = а и р = р0 + д(а) —>• ^оо при о —>• ^оо, т.е. становится физически неинтерпретируемой, поскольку не ясно, что представляет собой «экзотическая» материя е отрицательной плотностью.

Наконец, в стадии 1 = £С°°(Ж)/(а) вес д(а) = d(a) = А (о) = 0, т.е, имеем дело е классической вселенной Гёделя,

4. Квантовые свойства геометрии параллельных вселенных

В излагаемой теории мультиверса естественным образом переносятся идеи квантовой геометродинамики Уилера, Так, формула для амплитуды вероятности перехода от 3-геометрии д® физического пространства к 3-геометрии h® принимает вид «двойного» интеграла Фейнмана по траекториям, которыми являются различные 4-геометрии ДД

(£(3W3)) = J щщ

h^(£A)

J V[g^{£A)}eis^tA)\

JL д(3)(£А)

где

S[g(4)(£A)]= кт(£А) J sj^ det |\gA)(£A)| |Д(4){£A)cfxdma

jp^4+m

- действие в пространстве (IR4+m,д^(£А)).

Как видим, в действительности интеграл Фейнмана по траекториям д№ -это бесконечное число интегралов по (4 + т)-мерным траекториям д^/£А) вида (3).

Повторяя вычисления Уилера, можно оценить квантовые флутуации 4-метрики Д4) -У Д4^ + ЛДД не вносящие искажение в интерференционную картину, задаваемую интегралами по траекториям,

6Через обозначается идеал кольца С'0О(Ип), порожденный функциями Д,Д €

C'0O(IRn), т.е. имеющий вид У)*=1 9ifi-, гДе <?ъ ■■■■,9k € C'0O(IRn) - произвольные гладкие функции.

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

85

При предположении, что при флуктуациях det ||ц^(А4)|| ~ 1, получаем для искомых флуктуаций в (4 + т)-мерной области е размерами L4 х L™

- планковекая длина и принято, что кт(£А) ~ с3/(hGTm), где Т [ем] - величина, характеризующая «размеры» дополнительных измерений.

Из (9) вытекает, что при L ~ /АД ~ / все флуктуации A//! 1!(7.4) ~ 1, т,е, становятся существенными. Геометрия и топология «пенятся» на уровне микромира.

Как показано в [13,14], флуктуации могут иметь место и на макроскопических расстояниях или отрезках времени. Это возможно за счет высших измерений, которые появляются за счет рассмотрения мультивереа в различных стадиях £А, т,е, различных состояний (сред) R4(£A) мультивереа,

5. Электроны-двойники

Дойч предположил, что параллельная вселенная образуется за счет теневых элементарных частиц, сопровождающих каждую реальную частицу. Реальные частицы «мы можем увидеть или обнаружить е помощью приборов, тогда как вторые (теневые - А,Г.) - неосязаемы (невидимы): их можно обнаружить только косвенно через их воздействие на видимые» частицы [1, е,48], «Между реальными и теневыми фотонами не существует особой разницы: каждый фотон осязаем в одной Вселенной и не осязаем во всех пара, полных Вселенных»,

Уравнение Дирака в СДГ

в пространстве-времени Минковского, т,е, в мультиверее Дойча-Минковекого М4 е метрикой, записанной в виде

т

(9)

где

_ гпсф = о

охк

(10)

ds2 = dx°2 — dxl2 — dx22 — dx32

(11)

имеет, например, следующее решение

/ 1 \

ф{х)

1

1

тс 2

eh

x2+g(x3+x°)+i0-f(x3+x°)

(12)

1 /

86

А. К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

которое при в-ф(х3 + х°) = const являтея спинорным духом 7, т.е. имеет нулевой тензор-энергии импульса поля ф(х)

Ъ

ihc

ik

^ ф*7(0)7(i)

дф дф*

дф дф*

дхк дхк

1(0)1(г)Ф + ^*T(0)7(fe)^- - Д~б{Щ1{к)Ф \ ■ (13)

Спинорный дух, как видим, описываемый спинорым полем ф, является призрачным, поскольку не обладает ни энергией, ни импульсом. Уместно вспомнить замечание Эйнштейна на соотношение электромагнитного поля и световых квантов (фотонов), «Эйнштейн считал, что поле «прокладывает путь» световым квантам. Эти поля определяют вероятность найти в системе квант, который переносит вдоль заданного пути энергию и импульс. Сами же поля, поскольку они призрачны, не обладают ни энергией, ни импульсом» [15, с.71-72].

Поскольку духи как спинорное поле не имеют энергии и импульса, то они не могут, фиксироваться приборами. Они неосязаемы. Именно поэтому Е.В.Пале-шева предложила [16] отождествлять спинорные духи е теневыми частицами Дойча,

Решению ф можно сопоставить 8 дираковекий kct-вектор |Ф), представленный в виде суммы 9

|Ф) = J Х>[М]о(М)|Ф(М)). (14)

IL

Естественно трактовать ф = Ф). Тогда ф*ф = (Ф|Ф) - плотность вероятности электрона и

ф*фб4:х

<Ф|Ф)с14я: = 1.

(15)

Полагая, что

Поэтому

к4

R4

(Ф| = J V[£B]a*(£B)(V(£B)\.

IL

1= / (Ф ф)г/'.г = / d4x / V[£B] / V[£А]а*(£В)а(£А)(Ф(£В)\Ф(£А))

R4

Н4

IL

V[£B]a*{£B) f V[£A\a(£A) ( f с14т(Ф(1В)|Ф(М)) ]

IL

IL

Ш.4

V[£B]a*{£B) J V[£A]a(£A)S(£B - £A) = J V[£B]a*(£B)a(£B),

IL IL IL

7Данное решение найдено Е.В.Палешевой.

8См. примечание 5.

9 Приводимая формула и придаваемый ей в этой статье смысл имеет прямое отношение к эвереттовской трактовке квантовой механики [8].

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

87

где положили (как логическое продолжение равенства (15), что

т(Ф(ЕВ)|Ф(М)) = 6(£В - £А),

и4

J V[£B]f(£B)5(£B - £А) = f(£A).

TL

Следовательно,

J V[£A]a* (£A)a(£A) = 1.

IL

и вполне разумно допустить, что a*(£А)а(£А) - это квадрат модуля амплитуды вероятности стадии £А, характеризующий вероятность наблюдения электрона в стадии £А мультивереа Л /

Такой вывод позволяет трактовать с*(£А)с(£А), где с(£А) - комплексные коэффициенты в разложении (5) 4-метрики мультивереа (R4,g^), как вероятность (точнее, квадрат модуля амплитуды вероятности) того, что мультивере находится в состоянии \д^{£А)) 10,

Пусть в выражении для спинорного поля (12) число в = 1 — е, где г инфи-нитезимал, т.е. с G А = {х G R|/(ai) = 0, / G гп9 *щ}, тщ идеал функций, имеющих нулевой росток в О,

Если 6 G А, то е в стадии (( 'х (IH" )// задается функцией :(а). а G IH" такой, что для для любой ф G гп9щ Ф{е{а)) £ I [7, с.77].

Имеем

оо 1

ф(е(а)) = ф(е(0)) + ^ —Оа(ф о е)(0)оа = z' al

|а| = 1

°° 1 / а \

= Щ(0)) + Е ^ а°■ (16)

|а| = 1 ' \|/3|=1 /

где а, ф - мультииндексы и /\ некоторые полиномы,

В стадии 7(7°°(К") ф(е(а)) G / = {0} для любой ф G тп9щ. Поэтому из (16)

следует, что прежде всего ф(е(0)) = 0, и, следовательно, :(()) = 0, Кроме этого

Е о’фшдмо)) = о.

141=1

Но для любой ф G гп9щ 0) = 0, Поэтому с (о) произвольная функция,

удовлетворяющая условию е(0) = 0,

10Метрика - это гравитационное поле, определяющее геометрию и в определенной мере то-

пологию пространства-времени. Поэтому естественно отождествлять состояние (среду) муль-

тиверса \R4(£A)) в стадии IЛ (см., например, рис.1) с состоянием 4-метрики |д^(£А)).

А.К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

Возвращаясь к полю (12), примем, что 9(a) = 1 — е, где

е(0) = 0, е(а) > 0 при а Ф 0, и е = 1 при ||о|| > г0,

а / некоторая не равная тождественно нулю функция. Тогда в стадии £А = £С°°(К") имеем

0 при ||о|| > Го,

> 0 при ||о|| < Го-

Следовательно, в стадии £А = К ' х (IH") поле ф не является спинорным духом в нашей Вселенной (о = 0) и во вселенных с ||о|| < /ц. но - дух в параллельных вселенных, для которых :(а} > г0. Можно взять число /ц столь малым, что вселенные, «помеченные» параметром о с ||о|| < Го, в силу квантового вспенивания топологии и геометрии, должны рассматриваться как одна вселенная (гд - «толщина» вселенной). Это означает, что поле ф - это реальная частица в нашей Вселенной и теневые частицы-двойники во всех других вселенных.

Если же взять 9 е Ж так, что

0(a) > 0 при ||о — «о 11 < го и в (а) = 0 при ||о|| > гд,

где Оо 0 и Го < ||Оо||, то поле ф в стадии £С°°(Шп) не является спинорным духом во вселенной о = оо, имеющей «толщину» г0, и является духом, т.е. теневой частицей-близнецом, во всех других вселенных, включая нашу Вселенную (о = 0),

При этом в стадии 1 = 1(7°° (К0) = £С°°{Ш)/(а1) 9 • f(x3 + х°) mod {о1} =

/(х‘А + х°). Это означает, что мы имеем дело с обычной частицей, несущей энергию и импульс.

в (а) = 1 — е(а)

6. Фотонные духи и фотоны-двойники

Как известно, плоская монохроматическая электромагнитная волна описывается волновым уравнением

1 ЗА

с dt

и имеет, например, следующий вид

ДА

А = А0ег^-ш{).

Електрическая и магнитная напряженности волны равны

Ё = г|&|А, Й = г[кхА]. (17)

Для тензора энергии-импульса волны имеем

Wc2 ■ -

_ о ,tu

Т ~ ГЬ /и у

U11

Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 8.

89

где

- плотность энергии волны.

Из приведенных формул видно, что если сделать подстановку А —>• dA, где <1 (г I). IO получим

Ё -Д еЖ => E(IC'°°(IR)/(o2)) Ф 0 при „ ф 0.

тогда как W —>• d2W = 0 и, следовательно, 7д. = 0, т.е. имеем фотонный дух во всех вселенных мультивереа, наблюдаемый в виде электромагнитной волны, не несущей ни энергии, ни импульса во всех мирах, кроме мира с о = 0, где ее просто нет.

Рассмотрим теперь число 0 е R. Пусть в стадии Ю°°(Шп)/1 оно задается классом функций 0(a) mod J, где

0(a) = e-fe|a|2 - 1, k > 0. (18)

Пусть электромагнитное поле

Ё = id\k\A, Н = п9[к х А], А ф 0

получается из (17) подстановкой А —>• 0А,

Тогда

ЩЮ°°(К)/(02)) ф 0, но

Тгз = ^£-к^(£С°°(В)/Ш2)) mod (02) = 0. иг

Иначе говоря, в стадии (среде) £С°°(IR)/(d2) во всех вселенных наблюдаюся фотоны-двойники, не несущие ни энергии, ни импульса, т.е, являющиеся фотонными духами,

7. Виртуальные реальности как топосные модели формального мультивереа

Поскольку «множество действительных чисел» R в Set1" Р не обладает многими привычными свойствами обычных действительных чисел из IH. то, пребывая в средах этого генератора виртуальной реальности, мы должны были наблюдать неожиданные или непривычные факты и явления. Некоторые из них были описаны в данной статье,

Топос Set1" ”, как уже говорилось, не единственная допустимая модель для формальной теории Т. Обращение к другим моделям, другим генераторам виртуальной реальности приведет нас к знакомству с другими возможными реальностями, но трудно сказать, какая из них ближе к той, которая носит название окружающая пас физическая, реальность.

90

А. К. Гун. Теоретико-тоиосиая модель мультиверса. Дошча

Литература

1. Дойч Д. Структура реальности. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

2. Kock A. Synthetic Differential Geometry. Cambridge Univ. Press, 1981.

3. Guts A.K., Grinkevich E.B. Toposes in General Theory of Relativity. - Los Alamos E-print paper: gr-qc/9610073 (1996). - http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9610073

4. Гуц А.К. Интуиционистская теория пространства-времени // Международная геометрическая школа-семинар памяти И.В.Ефимова. Тезисы докладов. Абрау-Дюрсо. 27 сентября - 4 октября 1996 года.- Ростов-на Дону,1996.- С.87-88.

5. Дирак И. Принципы, квантовой механики. М.: Наука, 1979.

6. Godel К. An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein’s Field Equations of Gravitation // Rev. Mod. Phvs. 1949. V.21, No.3. P.447-450.

7. Moerdijk I., Reyes G.E. Models for Smooth Infenitesimal Analysis. Springer-Verlag, 1991.

8. Квантовая механика Эверетта // Сайт в Интернет http://www.univer.omsk.su/ Omsk / Sci/Everett.

9. Guts A.К., Zvyagintsev A.A. Interpretation of intuitionistic solution of the vacuum Einstein equations in smooth topos. - Los Alamos E-print Paper: gr-qc/0001076 (2000).

10. Гуц А.К., Звягинцев А.А. Решение почтивакуумных уравнений Эйнштейна в синтетической дифференциальной геометрии Кока-Ловера // Математические структуры и моделирование. 2000. Вып.6. С.115-127.

11. Гуц А.К., Звягинцев А.А. Интуиционистская логика и сигнатура пространства-времени // Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. - Новосибирск: Ин-т дискрет, мат-ки и информатики, 2000. С.38-39.

12. Гуц А.К. Многозначная логика и многовариантный мир // Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. -Новосибирск: Ин-т дискрет, мат-ки и информатики, 2000. С.36-37.

13. Guts А.К. Interaction of the Past of parallel universes. - Los Alamos E-print Paper: phvsics/9910037 (1999).

14. Гуц А.К. Модели многовариантной истории // Математические структуры и моделирование. 1999. Вып.4. С.5-14.

15. Белокуров В.В., Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. Квантовая телепортация - обыкновенное чудо. Ижевск: RhC Dynamics, 2000.

16. Palesheva E.V. Ghost spinors, shadow electrons and the Deutsch Multiverse. - Los Alamos E-print paper: gr-qc/0108017 (2001).