CC BY
4ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ СВОЙСТВ ЛИНЕЙНОСТИ В ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ1
Басан1С.Н., Басан2 А.С., Пивнев3В.В.
1 Филиал Российского государственного гидрометеорологического университета
в г. Туапсе, Россия, Туапсе,
2 Южный федеральный университет,
Россия, Ростов-на-Дону
3 Южный федеральный университет,
Россия, Ростов-на-Дону
SOME CONSEQUENCES OF THE LINEARITY PROPERTY IN THE THEORY
OF ELECTRICAL CIRCUITS
S.N. Basan1, V. V. Pivnev2, E.S. Basan3
1Russian State Hydrometeorological University, branch in Tuapse of the Krasnodar Territory,
Russia, Tuapse
2Southern Federal University, Russia, Rostov-on-Don 3 Southern Federal University, Russia, Rostov-on-Don
Аннотация. Показаны новые возможности использования принципа суперпозиции для анализа процессов в линейных электрических цепях. Описаны новые свойства линейных электрических цепей. Рассмотрено применение законов Кирхгофа к операторным коэффициентам передачи в электрических цепях с одним источником электрической энергии. Приведены некоторые следствия из теоремы наложения.
Abstract. The report is devoted to new possibilities of using the principle of superposition for the analysis of processes in linear electrical circuits. New properties of linear electric circuits are described. The application of the Kirchhoff scheme to the operator transmission coefficients in electrical circuits with one device of electrical energy is considered.
Ключевые слова: линейная электрическая цепь, линейный элементный базис, принцип суперпозиции, закон Кирхгофа.
Keywords:linear electrical circuit, linear element basis, superposition principle, Kirchhoff's law.
Линейные электрические цепи находят широкое применение во многих областях человеческой деятельности (энергетике, радиотехнике, в системах автоматического управления и регулирования, в машиностроении, приборостроении и т.п.). Научно-технический прогресс в данных сферах во многом зависит от уровня развития теоретической базы - теории линейных электрических цепей (ТЛЭЦ). В России ТЛЭЦ развивалась, начиная с 1906 г., Карлом Адольфовичем Кругом и его коллегами и в настоящее время представляет самостоятельное научное направление [1]. Математическую основу ТЛЭЦ составляет линейная алгебра. Под линейными системами понимаются любые физические системы, процессы в которых описываются совокупностью линейных уравнений. Свойство линейности позволяет обосновать справедливость ряда теорем и свойств, применение которых упрощает решение многих практически важных задач электрических цепей. К таким теоремам, прежде всего, относится теорема наложения (принцип суперпозиции).
Принцип суперпозиции является универсальным. Универсальность принципа суперпозиции заключается не только в том, что на его основе доказывается ряд теорем теории линейных электрических цепей, но и в том, что результаты, полученные при применении принципа суперпозиции в одной области знаний, остаются применимыми для других областей знаний (энергетике, радиотехнике, систем автоматического управления и др.).
Возможности применения принципа суперпозиции для исследования свойств линейных электрических цепей (далее ЛЭЦ) не исчерпаны. Целью работы является описание новых, ранее не описанных в научной публикациях свойств ЛЭЦ и демонстрация применения этих свойств в задачах исследования электромагнитных процессов в линейных электрических цепях.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:
- сформулирован принцип суперпозиции в различных областях : временной, комплексной и операторной;
Работа выполнена при финансовой поддержке Гранта Российского научного фонда (грант 16-19-00001).
- показано, что отношение любых двух частичных реакций одной линейной электрической цепи с одним источником электрической энергии не зависит от закона изменения напряжения источника.
- рассмотрен вопрос применимости законов Кирхгофа к передаточным функциям. В дальнейшем используются следующие обозначения [1]:
l/*=Jdt, (2)
■' = z ' ■ ■,
(3)
где 5 - оператор дифференцирования; 1/5 - оператор интегрирования; р - комплексная переменная.
Теорема наложения. Мгновенное значение тока (или напряжения) любой ветви сложной линейной схемы замещения электрической цепи равно алгебраической сумме частичных токов (или напряжений), вызываемых в этой ветви действием отдельных независимых источников электрической энергии, входящих в состав данной схемы замещения. Частичные токи (напряжения), совпадающие по направлению с условным положительным направлением тока (напряжения) рассматриваемой ветви входят в сумму со знаком плюс, а не совпадающие - со знаком минус [3-5].
Аналитически смысл теоремы наложения для v-й ветви можно записать во временной области следующим образом:
где ^ - частичный ток г-й ветви, вызванный в этой ветви независимым источником энергии, расположенным в А-й ветви; - коэффициент, принимающий значения +1, -1 или 0; п - количество ветвей в схеме замещения.
т-г -С*0
Под частичным током 1„ понимается ток, возникающий в ветви V при условии, что в исходной
схеме замещения оставлен лишь один независимый источник напряжения (или тока), расположенный в
к-й ветви, а напряжения (или токи) остальных независимых источников напряжения (или тока)
-Ш
полагаются равными нулю, соответственно. Если частичный ток 1„ совпадает по направлению с током Ч, то ат1к=+1, если не совпадает, то ец,й = —1. Если источник, находящийся в А-й ветви, не вызывает тока в ветви V, то Ят,к=0.
Доказательство. Рассмотрим произвольную линейную схему замещения, имеющую п ветвей и т узлов. Предполагается, что параметры элементов и способы их соединения известны. В общем случае для каждой ветви необходимо вычислить и значение силы тока и напряжение. Таким образом, общее число неизвестных величин равно 2п. Система уравнений, записанная на основании законов Кирхгофа для заданной схемы замещения, имеет вид:
:::: = -::::, (5)
,
В матричной системе уравнений (5)-(7) первое уравнение (5) соответствует уравнениям первого закона Кирхгофа. [а]-матрица узлов размерностью (т-1)*п. Второе уравнение (6) соответствует уравнениям второго закона Кирхгофа. [Ь] - матрица контуров размерностью (п-(т-1))*п а третье (7) -полюсным уравнениям элементов размерностью п*п.[и], [1] - матрицы - столбцы напряжений и токов размерности п*1.Всего в общем случае система (5)-(7) содержит 2п уравнений относительно 2п неизвестных токов и напряжений ветвей.
Уравнения (5)-(7) в общем случае могут быть записаны в следующем виде:
У -- \У .-: = ;.-..-;,
(8)
где [AF(V)]- матрица коэффициентов размерностью (2/?х2/7), включающая матрицы [а], [Ь] и [Z] из (5)-(7); [A"Cs)] столбец неизвестных величин (токов и напряжений ветвей); столбец свободных
членов, состоящий из токов и напряжений независимых источников тока и напряжения.
В соответствии с формулами Крамера для тока (напряжения) v-й ветви можно записать:
'■ = - : - : -
(9)
V—1"=" л
где i (s] - определитель матрицы коэффициентов: Д(я) = К Се) ; ¿t,Cs) - определитель матрицы коэффициентов, в котором v-й столбец заменен столбцом свободных членов:
(10)
Согласно правилам разложения определителей [5] для выражения (10) можно записать:
(11)
где - минор, получающийся вычёркиванием в определителе Д^^А-й строки и т-го
столбца.\'= 1 2п
С учетом (11) выражение (9) для ;.. может быть написано следующим образом:
(12)
Последнее выражение можно рассматривать как сумму частичных токов ветви V, вызванных действием каждого источника направленных так, как и ток г.... Если же частичные токи направлять произвольно, то для токов, которые не будут совпадать с по направлению, необходимо при суммировании изменять знак.
Дробь в выражении (12) в литературе [1,4] называют коэффициентом передачи и обозначают - :
(13)
Размерность коэффициентов передачи зависит от условий решаемой задачи. Они могут быть безразмерными величинами, а также измеряться в Омах или Сименсах. С реализацией коэффициентов передачи можно ознакомиться в [9].
Таким образом, определены все величины в выражении (4). Теорема имеет смысл для любого линейного элементного базиса. Действительно, наличие линейных связанных и управляемых элементов [1, 2], элементов высших порядков и т.п. изменяет лишь полюсные уравнения, которые остаются линейными. Следовательно, приведенные ранее рассуждения остаются справедливыми. Из теоремы наложения вытекают следующие следствия.
Следствие 1. Например, в частном случае, когда в схеме замещения электрической цепи имеется один независимый источник напряжения, т.е. А1_ (р) = (;р}, тогда
(р) = (р) ■ '■..—1 .Г"'^(р)/А(р). Заменив теперь источник Е|(р) на другой источник Е2 (р), такой, что Ел (р) = ^чСрЖ, где ^¡.(р)- линейный оператор, преобразующий Е1(р) в Е;(р) получим новое значение тока
:.- .■ =.- .■ -. ■- - .■ _ .■ .(14)
Таким образом, если напряжение источника EL (р) подвергнуть линейному преобразованию с оператором Ft (р). то вызванный новым источником частичный ток v-й ветви может быть получен применением оператора FL[p ]к частичному току v-й ветви до изменения источника EL (р) •
Следствие 2. Если источник, находящийся в ветви с номером v и вызывающий в ветви ц ток JLj'' , заменить на другой источник, напряжение которого численно равно (ток которого численно равен) производной напряжения (или тока) исходного источника, то после такой замены частичный ток в ветви |i будет равен производной тока ' .
Следствие 3. Если источник, находящийся в ветви с номером v и вызывающий в ветви ц ток Ij' заменить на другой источник, напряжение (ток) которого численно равно интегралу напряжения (или тока) исходного источника, то после такой замены частичный ток в ветви ц будет равен интегралу тока до изменения источника.
Следствие 4. Если напряжение или ток источника сместить во времени на величину +At, то все частичные токи и напряжения, вызванные этим источником, будут смещены на то же время At.
Следствие 5. Из следствия 1 непосредственно вытекает, что, если напряжение независимого источника (или ток источника) изменится в K раз, где K-вещественное число, то все частичные напряжения и токи ветвей, вызванные действием этого источника, изменятся в то же число K раз.
Следствие 6. Алгебраическая сумма операторных коэффициентов передачи по напряжению в схеме с одним источником напряжения вдоль некоторого контура равняется нулю. Правило знаков соответствует правилу знаков для напряжений во втором законе Кирхгофа.
Следствие 7. Алгебраическая сумма операторных коэффициентов передачи по току в схеме с одним источником напряжения для произвольного узла равняется нулю. Правило знаков соответствует правилу знаков для токов в первом законе Кирхгофа.
Обобщая ранее сказанное, приходим к следующим выводам.
В линейной схеме замещения с одним независимым источником электрической энергии (напряжения или тока) отношение тока (или напряжения) любой ветви к напряжению (или току) любой другой ветви этой схемы не зависит от тока или напряжения источника, а определяется параметрами элементов схемы и способом соединения этих элементов между собой.
Для коэффициентов передачи по току и напряжению в линейных схемах замещения с одним источником энергии справедливы законы Кирхгофа.
Изменение напряжения или тока источника в К раз, где К может быть как вещественным числом, так и операторным выражением, приводит к такому же изменению всех частичных токов и напряжений ветвей, вызванных соответствующим источником электрической энергии.
Библиографический список
1. Круг К.А. Основы электротехники. В 2-х томах. М., Госэнергоиздат. 1946.
2. Pivnev V.V., Basan S.N. Functionally complete elemental basis of mathematical schemes of electrical circuits // Applied Mechanics and Materials Vols. 448-453 (2014) pp. 2120-2124. Режим доступа: // http://www.scientific.net/AMM.448-453.2120.
3. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники, том первый. Энергоиздат, Ленинград. 1981. 533 с.
4. Басан С.Н. Основы теории электрических и электронных цепей. Физические основы математического моделирования электромагнитных процессов в электрических и электронных цепях. Учебник для студентов высших учебных заведений. Издание второе дополненное. г. Краснодар, Издательский дом - Юг. 2018. 256 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы. 1984.
6. M. Zhang, A. Zhang. The Superposition Principle of Linear Time-Invariant Systems. // IEEE Signal Processing Magazine (Vol. 36. Iss. 6. Nov. 2019). pp. 153-156. DOI: 10.1109/MSP.2019.2923025.
7. R. Lu, A. Lu. Applications of the Superposition Theorem to Nonlinear Resistive Circuits. // APCCAS 2006 - 2006 IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems. 4-7 Dec. Singapore. 2006. pp. 1333-1336. DOI: 10.1109/APCCAS.2006.342430.
8. Skaar D.L. Using the superposition method to formulate the state variable matrix for linear networks. // IEEE Transactions on Education (Vol. 44. Iss. 4., Nov 2001). pp. 311-314. DOI: 10.1109/13.965777.
9. Лизан И.Я, Маренич К.Н, Ковалёва И.В. и др., Теоретические основы электротехники, Учебник, Издательство: Инфра-Инженерия ISBN , 978-5-9729-0663-5, Вид издания: Учебник Уровень образования: ВО - Бакалавриат , Год издания 2021, 628 с.
References
1. Krug K.A. Osnovy elektrotekhniki. In 2 volumes. M., Gosenergoizdat. 1946.
2. Pivnev V.V., Basan S.N. Functionally complete elemental basis of mathematical schemes of electrical circuits // Applied Mechanics and Materials Vols. 448-453 (2014) pp. 2120-2124. Access mode: // http://www.scientific.net/AMM.448-453.2120.
3. Neyman L. R., Demirchyan K. S. Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki, tom pervyy. Energoizdat, Leningrad. 1981. 533 p.
4. Basan S.N. Osnovy teorii elektricheskikh i elektronnykh tsepey. Fizicheskiye osnovy matematicheskogo modelirovaniya elektromagnitnykh protsessov v elektricheskikh i elektronnykh tsepyakh. Uchebnik dlya studentov vysshikh uchebnykh zavedeniy. Second revised edition. g. Krasnodar, Publishing House - Yug. 2018. 256 p.
5. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov, Moskva, «Nauka», glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury. 1984.
6. M. Zhang, A. Zhang. The Superposition Principle of Linear Time-Invariant Systems. // IEEE Signal Processing Magazine (Vol. 36. Iss. 6. Nov. 2019). pp. 153-156. DOI: 10.1109/MSP.2019.2923025.
7. R. Lu, A. Lu. Applications of the Superposition Theorem to Nonlinear Resistive Circuits. // APCCAS 2006 - 2006 IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems. 4-7 Dec. Singapore. 2006. pp. 1333-1336. DOI: 10.1109/APCCAS.2006.342430.
8. Skaar D.L. Using the superposition method to formulate the state variable matrix for linear networks. // IEEE Transactions on Education (Vol. 44. Iss. 4., Nov 2001). pp. 311-314. DOI: 10.1109/13.965777.
9. Lizan I.YA, Marenich K.N, Kovalova I.V. i dr., Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki, Uchebnik, Publisher: Infra-Inzheneriya ISBN , 978-5-9729-0663-5, Type of publication:: Uchebnik Uroven' obrazovaniya: VO - Bakalavriat , Year of publication 2021, 628 p
