CC BY
23
Теоретична електротехнка та електрофiзика
УДК 621.3.01 В.М. Боев
^к 10.20998/2074-272Х.2018.4.07
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С «НЕКОРРЕКТНЫМИ» НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ И РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Викладена методика розрахунку перехiдних процеав з використанням ттегралу Дюамеля i розривних функцш. На конкретных прикладах розглянуто посл1довшсть розрахунку «некоректних» задач шляхом розв'язання диференщаль-них рiвнянь, складених за законами Крхгофа, та за допомогою штегралу Дюамеля. При цьому закони Крхгофа i пере-хiдна характеристика в iнтегралi Дюамеля записуються за допомогою одиничних розривних функцш для електрично-го кола в цтому (до i теля комутаци). Показано, що використання розривних функцш для опису кусочно-неперервних вхiдных сигналiв i перемикань в електричному кот розширюе область застосування ттегралу Дюамеля. Бiбл. 9, рис. 3. Ключовi слова: перехвдш процеси, штеграл Дюамеля, розривш функци.
Излагается методика расчета переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля и разрывных функций. На конкретных примерах излагается порядок расчета «некорректных» задач по дифференциальным уравнениям, составляемым по законам Кирхгофа, и с помощью интеграла Дюамеля. При этом законы Кирхгофа и переходная характеристика в интеграле Дюамеля записываются с помощью единичных разрывных функций для электрической цепи в целом (до и после коммутации). Показано, что применение разрывных функций для описания кусочно-непрерывных входных сигналов и переключений в электрической цепи расширяет область применимости интеграла Дюамеля. Библ. 9, рис. 3. Ключевые слова: переходные процессы, интеграл Дюамеля, разрывные функции.
Состояние вопроса и постановка задачи. В
теоретической электротехнике основными методами расчета переходных процессов в электрических цепях являются: классический, операторный, частотный (спектральный) и основанный на использовании интеграла Дюамеля [1]. Областью предпочтительного применения интеграла Дюамеля являются электрические цепи с входным сигналом произвольной формы.
В последние годы появились публикации, в которых интеграл Дюамеля применяется для расчета процесса распространения электромагнитного поля (грозовых разрядов, промышленных помех и др.) в неоднородной среде [2, 3]. При этом полевая задача представляется схемой замещения в виде длинной линии или четырехполюсника [3, 4]. Переходная характеристика, необходимая для интеграла Дюамеля, определяется по схеме замещения. В работе [5] интеграл Дюамеля используется в процессе расчета электромагнитного поля в слоистой среде. Таким образом, интеграл Дюамеля остается востребованным методом и расширение области его применимости (в данном случае на электрические цепи с «некорректными» начальными условиями, когда законы коммутации в формулировке для тока в индуктивности и напряжения на емкости неприменимы) является актуальным.
К недостаткам интеграла Дюамеля относят требование нулевых начальных условий и невозможность учета переключений, изменяющих структуру электрической цепи (схемы). Эти ограничения могут быть нивелированы с помощью использования разрывных (ступенчатых) функций для описания кусочно-непрерывных входных сигналов и изменений структуры схемы при переключениях.
Включение электрической цепи на постоянное напряжение и при нулевых начальных условиях может рассматриваться как действие входного напряжения и = 1(г)и в уже включенной цепи [1], где 1(г) -единичная функция Хевисайда (функция включения) (рис. 1). Это утверждение справедливо и для переменного входного напряжения и(г) = 1(/)щ1(/). Тогда
интеграл Дюамеля может быть представлен в виде интеграла
г
/(() = |и'(©)/г(( - ©)© , /(г) = |и'(©)к(г - ©)/©, (1)
-0
где
«' (©) = ^ I г=©=[1( М ) г =©=б )"1(0)-
+1(() ' (() г=© = фК(0) + 1(©К(©).
Тогда
г
¡(г)= |[<5(©)и1(0) + 1(©)ц (©)]((-©)© =
= м1(0)/г(г) |б(©)© + |м1(©)/г(г- ©)• 1(©)© = (2)
-г0 -г0 г
= щ (0)/г(г)+1 и[ (©)и(г - ©)©.
0
Здесь учтено фильтрующее свойство единичной функции и б - функции. © - время возникновения скачков напряжения, на которые разбивается входное напряжение щ1(г) в соответствии с физическим смыслом интеграла Дюамеля, (г - ©) - время действия каждого из скачков напряжения, И(г - ©) - переходная проводимость для каждого из скачков напряжения.
Формула (2) представляет собой одну из разновидностей интеграла Дюамеля. Формулы (1), (2) мы записали для тока. Но выходной функцией может быть напряжение (или ток) в любой ветви схемы электрической цепи и тогда переходную проводимость И(г - ©) следует заменить соответствующей переходной функцией по напряжению (или току).
Если входной сигнал щ(г) начинает действовать при г < 0, то в формулах (1), (2) нижний предел интегрирования можно отнести в бесконечность г0 = да.
© В.М. Боев
-г
0
В работах [6, 7] показано, что переходный процесс, возникающий в электрической цепи под действием сложного кусочно-непрерывного сигнала (в том числе начинающего действовать при t = ^ < 0) может быть рассчитан двумя способами:
1. Описание входного сигнала и общего вида решения одним аналитическим выражением с помощью единичных ступенчатых функций и подстановка общего вида решения в дифференциальное уравнение для искомой величины.
2. По формулам интеграла Дюамеля. При этом описание входного сигнала одним аналитическим выражением с помощью разрывных (ступенчатых) функций позволяет использовать интеграл Дюамеля и для сигналов, начинающих действовать и при t = ^ < 0.
В работах [6, 7] приведены примеры таких расчетов.
Ненулевые начальные условия имеют место в электрической цепи, когда переходной процесс возникает в результате изменения структуры цепи (подключение или отключение отдельных элементов цепи). Переходной процесс при этом также может быть рассчитан двумя рассматриваемыми способами:
1. Изменение параметров электрической цепи описывается с помощью разрывных функций и оказывается учтенным в дифференциальном уравнении для искомой величины. Входное напряжение полагаем включенным в некоторый предшествующий коммутации момент t = ^ < 0. Решение дифференциального уравнения записываем с помощью разрывных функций как состоящее из двух частей (для t < 0 и t > 0) и подставляем в дифференциальное уравнение. Если до коммутации ( = 0) процесс считать установившимся, то это и будет исходное состояние цепи с ненулевыми начальными условиями (при этом в решении для t < 0 используем только принужденную составляющую).
2. В формулах интеграла Дюамеля входное напряжение также считаем начинающим действовать в момент t = ^ < 0, что записывается с помощью разрывных функций. Переходную функцию к(() (по току или напряжению) записываем с помощью разрывных функций как состоящую из двух частей, соответствующих схемам до и после коммутации.
В работах [6, 7] приведены примеры с переключениями в схемах, изменяющими активное сопротивление Я. Вопрос о переходных процессах для общего случая, при переключениях, изменяющих индуктивность Ь и емкость С (когда законы коммутации в формулировке для тока в индуктивности и напряжения в емкости неприменимы) остается нерешенным, что и составляет предмет данной статьи.
Цель статьи - обосновать возможность расчета переходных процессов в электрической цепи с «некорректными» начальными условиями с помощью интеграла Дюамеля и разрывных функций.
Основная часть. Для описания скачкообразных изменений напряжений, токов и параметров электрической цепи будем использовать разрывные функции, записанные с помощью модуль-функции [6] (рис. 1):
- рис. 1,а: ./!(/) = 1(( - a) =1 ная функция Хевисайда;
f t - aл 1+■!
t - a
v
- единич-
- рис. 1,6: f2 (()= 1(( - a)+1(6 -1)-1 = i
t - a| t - a
\t - b\ t - b
рис. M: f,(() = l(b -1) = ifl-(-6)
a < b
- обрат-
ная функция Хевисайда.
.m m)
0 a h
6
Рис. 1
Расчет будем вести и по дифференциальным уравнениям, составленным по законам Кирхгофа, и по интегралу Дюамеля. В первом случае законы Кирхгофа составляются для электрической цепи в целом (до и после коммутации), а различие этих цепей учитывается с помощью единичных разрывных функций. Во втором случае переходная характеристика в интеграле Дюамеля записывается для цепи в целом (до и после коммутации) с помощью единичных разрывных функций.
Рассмотрим схему (рис. 2), в которой ток в индуктивности изменяется скачком.
Законы Кирхгофа для такой цепи:
dU di2
R1i1 + L1 -1 + R2i2 + L2 — = U; dt dt
di2
R2i2 + l2~— = R3i3;
dt
h = u2 + u3
1 -
t
(3)
(4)
(5)
Здесь мы учли изменение структуры параллельного участка с помощью единичных разрывных функций и законы Кирхгофа составили для цепи в целом (до и после коммутации). Из (4) находим
. = Я^. + Ь^ й^ 3 Я3 2 Я3 Л Решение будем вести относительно тока /2:
1 f t ^ 1 f i2(() = - 1 -И io(() +1 1
2
2
1 + ^
t
Л
(t).
Тогда из уравнения (5) получим:
1
2
t
'1 (( )=1
( ил
1 -И
t
\ / ( и л(
1-JJ
t
(io + 'з) + 2
( ил
1+И
и
V у
«2 Lo die ic +—ie + 20 с «3 с «3 dt
Л
( ил 1
V /V
Подставляем в уравнение (3):
( и л
1 -И
t
V у
L2 d 2'С «3 dt2
^ «2 Л 1 + — «3
« ' «1 т die
( и Л
1 -И
и
«3
+ L
+ h
«2 1 + —
«3
die
«2 1 + —
«3
1
+ —
2
( и л
1 -И
и
V у
«2ie + L2
(«1 + «2 ) + (L1 + L2 )) -И
-S« >с L2 +1
i +
с «3 -И
( и Л
1+П
dt
(-S())+
+ ¿«>L1 + L2 )i =
= U = -
2
( и л
1 -И
/
U +-
2
( и Л
1+ П
t
U.
Приравниваем множители при одинаковых разрывных функциях:
( ил
« 1
1 - -И-
t
«
3
«3 + «2 ( «,'С + -J± L, | +
, 2 л
+h, | «1 ^+l1 d ie
«
■3
2) ± 2
-и
( ил 1+ И и
-и
2
die
+ «2''С + L2-f = U , -и
:(«1 + «2)i + («1 + L2 )) = U: -и
L1L2 -2'с
«3 -и2
«3 + «2
«1 «3 + «2
-L2 + Li + L2
т? т?
«3 «3
л -'с -и
«1'с + «21С = U •
«3
Его решение:
'С ((> = 'пр + 'св = 'пр + + А2ек2 ,
где 'пр, 'св - принужденная и свободная составляющие тока соответственно.
Но до коммутации нас интересует установившийся процесс, т.е. 'пр = const:
■ ■ U«3
'пр = 'С = "
■ = '2 (С -)•
i(() = V, + 1св =-+ Ae ' у
V/ пр св «1 + «2 «1 + «2
В уравнении (8) учтем, что -1с/-и = С, т.к.
ie = 'пр = const и
«3 + «2 «3
ie = i1(e -)• Тогда
L1/1 (С -) + L2i2 (С -) = (L + L2 )i2 (С +), т.к. в наших обозначениях i(0) = ''2(0+).
Таким образом, уравнение (8) - это первый закон коммутации для потокосцеплений. Подставляем значения:
(
«2 + «3
Л
V «3
(
L + L2
U«3
«1((2 + «3 ) + «2 «3
U
- + A
(L1 + L2). R1 + «2 / 1 27
Находим постоянную А:
U («2 + «3 )l1 + «3 l2
A =
U
L1 + L2 «1 ((2 + «3 ) + «2 «3 «1 + «2 U«2 (L1«2 - L2«1)
(11)
(а + Ь2 + Я2 хЯЯ + Я1Я3 + Я2 Яз )' Такое же решение получено в [8]. Если Я3 = 0, т.е. до коммутации участок (Я2 - Ь2) был закорочен, то
^ = и М2 - Ь2 Я1)
(( + Ь2 х( + Я2 )х1 '
что совпадает с решением, приведенным в [1].
Решим эту задачу с помощью интеграла Дюамеля и получим тот же результат. Считаем, что электрическая цепь до коммутации была включена на напряжение и в момент t = -0 < 0
(6)
(7)
4 ) = 1
1 + !■
и+ис
и+и0
1Л
U .
(12)
3) SOL'с + L^• -i0 + hi, =((1 + h)'. (8)
«3 «3 -и
Равенство (6) - это дифференциальное уравнение цепи до коммутации:
Считая, что переходной процесс от включения к моменту коммутации t = 0 уже закончился, запишем переходную проводимость схемы до коммутации для тока /2 по принужденной составляющей (9):
¿0 (() =-Я-.
Я1Я2 + Я1Я3 + Я2 Я3
Переходная проводимость для схемы после коммутации, согласно (10), (11), равна:
Я2 ((1Я2 - Ь2Я1Х
h(( )
1 _
" «1 + «2 " ((1 + h2 )(( + «2 )Я1«2 + «1«3 + «2«3)
Тогда, согласно (1), получим:
( и л
'2 (( )= j «'(©') -0
( и л 1 - — и
he ((-©')+111 + H]h((-©')
}us(© + to)
( H л
1 -И t
«3
1
- + —
-•2 " • (9)
((2 + Я3 )х1 + Я2 Я3 Равенство (7) - это дифференциальное уравнение цепи после коммутации. Его решение:
«1«2 + «1«3
+ «2 «3 2 «2 (L1«2 - L2«1)
( и Л
1+ И t
«1 + «2 (( + L2 )(«1 + «2 )((«1«2 + «1«3 + «2«3 )
(и-®-ио)
х e
г = . (1С)
( LI Л 1 -
«3U
1
+ — 2
1+ И
V и
V у Л
«1 «2 + «1 «3 + «2 «3
U
+
«1 +«2
«2(«2 -h«!) e («1«2 + «1«3 + «2«3 + L2 + «2 )
1
+
2
t
х
f
X
1
1
+
+
-и
о
1
х
Z
+
t
2
t
Здесь: © ' = © + г0 - координата входного сигнала
г г
|б(© + /0)© = 1; |б(© + /0))© = /(-/0).
-г0 -г0
Здесь: нижний предел -0 меньше -0 на бесконечно малую величину (т.е. -0 = -0 - 0);
f И л
1 -И И
коммутации;
1 2
f И л
1 +-!-!■ И
1
'1 = '2 + Т
f И ^
1+И
t
v у duc
( + '4 );
'2 = c1"
dt
duc
' 4 = c2 "
dt
Подставляем токи в первое уравнение:
Rc
11
duc dt
1
- + u„ + —
2
V
1+ П
t
R,c-
duc R1
+—- u„
11-2 1 12 dt R2 c
2
t
1-П
t
1
u0 +— 0 2
f и л
1 + п
t
u .
Подставляем в дифференциальное уравнение (13)
1 f
1
2
v f
1
+ -
2
t
У
И
1
t
du0
u0 + R1c1 ~Г" dt
-ô(t )R1c1uo +
1+ , R2.
!+ R1 (c1 + c2 ^ dt
= 1 (при t < 0) - множитель при токе до
= 1 (при t > 0) - множитель при токе
+ ô(t)R1(c1 + c2 )u = U . Приравниваем множители при одинаковых разрывных функциях:
du0
: R^ —0 + u0 = U ; (14)
dt
1)
после коммутации.
Эти множители в интегрировании по © не учув-ствуют, поскольку разделяют область действия формул переходной проводимости выходного сигнала до и после коммутации.
Рассмотрим схему с емкостным накопителем энергии, когда коммутация изменяет величину емкости в цепи (рис. 3).
2) {
(
f Ил
1 --Ц
t
v У А
1 + и
t
du
: R1( + c2 ) +
dt
1+
R
R
u = U ; (15)
2 У
3) б(г): -R1c1u0 + R1(c1 + с2)и = 0. (16) Решение уравнения (14) для схемы до коммутации имеет вид:
- г -(+^0)
u0(()= U + Ae Г = U - Ue т ;
1
Так как до коммутации в некоторый момент времени г = -г0 < 0 произошло включение цепи - С1) на напряжение и, то этот переходной процесс считаем закончившимся до момента г = 0. Тогда:
(г ) = иС1 (0 -) = и.
Решение уравнения (15) для схемы после коммутации равно:
-г -г
UR
(() =-— + Ae т = 30 + Ae т
¿0
R2 + R1
Рис. 3
Исходные данные: и = 60 В, Rl = R2 = 1 кОм, С = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ. Определим
Законы Кирхгофа для схемы в целом (до и после коммутации):
R1/1 + иС = и ;
г = ( + с2 = 1,5 •Ю-3 с.
Rl + R2
Уравнение (16) - это второй закон коммутации для зарядов
С^0 (0 -) = (с + С2 )и(0 +),
то есть
С1ис1 (0 -) = (с1 + С2 )ис (0 +).
После подстановки получим равенство для определения постоянной А
т2
c1U = (c1 + c2 )
2
Отсюда:
f
A = U Тогда:
c1
Ro
R1 + R2
Л
+A
c1 + c2 R1 + R2
= 601:3 - \ ' = -10.
uc (t ) =
= U . (13)
f ЫЛ
1 -■!
60 + -
f 1,1 Л 1+l-
Ток источника:
Напряжение иС запишем как разделенную единичными разрывными функциями сумму напряжений до и после коммутации.
ис (() = 1
---1031
30 - 10е 3
--1031
/1(()=(с1 + С2)+^ = 3•Ю-2 +10-2в 3 . ш R2
Такой же результат получен в [9]. Решим эту же задачу с помощью интеграла Дюамеля. Переходная характеристика цепи для напряжения до и после коммутации имеет вид:
т =
3
2
t
t
h(t )=4
r И1 1 г и i
1-п -1 +- 1
И 2 И
R?
R + R2
r2
С + С2 + Я2
Считаем, что цепь до коммутации была включена в некоторый момент / = -/0 < 0 на напряжение (12) и этот переходной процесс закончился до момента коммутации / = 0. Тогда интеграл Дюамеля (1) буде иметь вид:
uc(()= Ju'(©')h(( - ©')d©' = J Ud(© +t0)
R2
-0
r И1 1 -— t
V У
1
+ — 2
( И1
1+JJ-t
V У
c1
R2
R1 + R2 V C1 + C2 R + R2
-((-®-tp)
x e
R2U R1 + R2
d©=-
• + U
1-
U+
R2
1+
C1 + C2 R1 + R2
Такое же решение для ис было получено выше. Если в этом решении то получим решение для
схемы (рис. 3) без К2, которое приведено в [1]:
,(()= U + U
(
c1
\
--1
,c1 + c2 Выводы.
1. Впервые обоснована возможность расчета переходных процессов в электрической цепи с «некорректными» начальными условиями с помощью интеграла Дюамеля и разрывных функций.
2. Предложенное решение задачи расчета переходных процессов в схеме электрической цепи с ненулевыми и «некорректными» начальными условиями с помощью интеграла Дюамеля, является более компактным по сравнению с известными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 536 с.
2. Kochetov S.V., Wollenberg G. Stable and Effective Full-Wave PEEC Models by Full-Spectrum Convolution Macromodeling // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. - 2007. -vol.49. - no.1. - pp. 25-34. doi: 10.1109/temc.2006.888183.
3. Конников И.А. Помехи элементарного источника электромагнитного поля в радиоэлектронном модуле // Технологии электромагнитной совместимости. - 2006. - №4. - С 18-26.
4. Elmore W.C. The Transient response of Damped Linear Networks with Particular Regard to wideband Amplifiers // Journal of Applied Physics. - 1948. - vol.19. - no.1. - pp. 55-63. doi: 10.1063/1.1697872.
5. Конников И.А. Расчет электромагнитного поля в слоистой среде // Электричество. - 2017. - №7. - С. 60-67.
6. Боев В.М. Использование разрывных функций для расчета переходных процессов и импульсных воздействий в линейных электрических цепях. 1. Переходные процессы // Электронное моделирование. - 2002. - Т.24. - №6. - С. 67-79.
7. Боев В.М. Использование разрывных функций для расчета переходных процессов и импульсных воздействий в ли-
нейных электрических цепях. 2. Импульсные воздействия // Электронное моделирование. - 2003. - Т.25. - №1. - С. 83-97.
8. Рибалко М.П., Есауленко В.О., Костенко В.1. Теоретичш основи електротехнжи. Лшшт електричш кола: Шдручник. - Донецьк: Новий свгг, 2003. - 513 с.
9. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1982. - 488 с.
REFERENCES
1. Neyman L.R., Demirchyan K.S. Teoreticheskie osnovy elek-trotekhniki. V 2-kh t. T. 1 [Theoretical bases of electrical engineering. In 2 vols. Vol. 1]. Leningrad, Energoizdat Publ., 1981, p. 536. (Rus).
2. Kochetov S.V., Wollenberg G. Stable and Effective Full-Wave PEEC Models by Full-Spectrum Convolution Macromod-eling. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2007, vol.49, no.1, pp. 25-34. doi: 10.1109/temc.2006.888183.
3. Konnikov I.A. Interference of an elementary source of an electromagnetic field in an electronic module. Technology of electromagnetic compatibility, 2006, no.4, pp.18-26. (Rus).
4. Elmore W.C. The Transient response of Damped Linear Networks with Particular Regard to wideband Amplifiers. Journal of Applied Physics, 1948, vol.19, no.1, pp. 55-63. doi: 10.1063/1.1697872.
5. Konnikov I.A. Calculation of the electromagnetic field in a layered medium. Electricity, 2017, no.7, pp. 60-67. (Rus).
6. Boev V.M. The use of discontinuous functions for the calculation of transient processes and impulse actions in linear electric circuits. 1. Transient processes. Electronic modeling, 2002, vol.24, no.6, pp. 67-79. (Rus).
7. Boev V.M. The use of discontinuous functions for the calculation of transient processes and impulse actions in linear electric circuits. 2. Impulse effects. Electronic modeling, 2003, vol.25, no.1, pp. 83-97. (Rus).
8. Rybalko M.P., Esaulenko V.O., Kostenko V.I. Teoretichni osnovi elektrotehniki. Liniyni elektrichni kola: Pidruchnik. [Theoretical foundations of electrical engineering. Linear electric circuits: Textbook]. Donetsk, Novyi Svit Publ., 2003. 513 p. (Ukr).
9. Shebes M.P. Zadachnik po teorii lineynyih elektricheskih tsepey [Tasks of problems in the theory of linear electrical circuits]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1982. 488 p. (Rus).
Поступила (received) 03.04.2018
Боев Вячеслав Михайлович, д.т.н., проф., Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», 61002, Харьков, ул. Кирпичева, 2, тел/phone +380 57 7076961
V.M. Boev
National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute», 2, Kyrpychova Str., Kharkiv, 61002, Ukraine. Calculation of transients in electrical circuits with «incorrect» initial conditions with the help of the Duhamel integral and discontinuous functions. A technique for calculating transients using the Duhamel integral and discontinuous functions is presented. On specific examples, the procedure for calculating «incorrect» problems with respect to differential equations, compiled according to Kirchhoff laws, and using the Duhamel integral is presented. In this case, the Kirchhoff law and the transition characteristic in the Duhamel integral are written using unitary discontinuous functions for the electrical circuit as a whole (before and after commutation). It is shown that the application of discontinuous functions for describing piecewise continuous input signals and switching in an electric circuit extends the domain of applicability of the Duhamel integral. References 9, figures 3.
Key words: transients, Duhamel integral, discontinuous functions.
+
c
1
T
+
x
1
1
г
x
2
2
t
t
-t
c
1
г
x
e
г
u
e
