CC BY
30
I. ЕЛЕКТРОТЕХН1КА
УДК [621.3.011+621.3.013]::519.6
Тиховод С. М.
Д-р техн. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, Украина
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРАНСФОРМАТОРАХ НА ОСНОВЕ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВА
Моделирование переходных процессов в трансформаторах в настоящее время выполняют путем составления и решения уравнений состояния для магнитоэлектрических схем замещения. Эти процессы могут быть весьма продолжительными, что приводит к значительному времени расчета при использовании современных программных средств. Цель данной работы — разработка более быстродействующего метода расчета переходных электромагнитных процессов в трансформаторах, использующего полиномиальную аппроксимацию решения, а также разработка удобной для практики схемной модели метода. На основе аппроксимации решения уравнений состояния полиномами Чебышёва разработан метод расчета переходных процессов в магнитоэлектрических цепях. Предложена схемная интерпретация разработанного метода. Показано, что в специальной схеме замещения справедливы законы Кирхгофа для изображений токов и магнитных потоков в виде векторов, содержащих значения коэффициентов разложения этих величин по полиномам Чебышёва. Данный метод позволяет заменить операции с мгновенными значениями токов операциями с постоянными токами в предложенной схеме замещения, в результате чего интегро-дифференциальные уравнения состояния заменяются алгебраическим уравнениям. При расчете предложенным методом переходного процесса в трехфазном трансформаторе процессорное время сокращается более чем в два раза по сравнению с расчетами известными методами. Предложенный метод особенно удобен для расчета переходных процессов в магнитоэлектрических цепях, так как позволяет использовать источники напряжения, управляемые производной тока, а также позволяет легко вычислять интегралы решений.
Ключевые слова: полиномы Чебышёва, переходные процессы, схемная интерпретация, магнитоэлектрические цепи.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
При коммутациях в электротехнических системах происходят переходные электромагнитные процессы, приводящие к броскам тока. Эти броски представляют опасность для оборудования, а также влияют на надежность релейной защиты. Переходные процессы в трансформаторах могут быть весьма продолжительными, что приводит к значительному времени расчета. Реальные исследуемые цепи могут содержать несколько сотен элементов, что при расчетах приводит к большим системам дифференциальных уравнений состояния. В настоящее время для решения таких систем широко применяются многошаговые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Однако большой размер системы уравнений приводит к увеличению времени и снижению точности моделирования при использовании известных численных методов. Поэтому модификация методов численного решения интегро-дифференциаль-ных уравнений, приводящая к сокращению времени расчета, а также наглядная схемная интерпретация этих методов является актуальной задачей.
Цель данной работы - разработка более быстродействующего метода расчета переходных электромагнитных процессов в трансформаторах, использующего полиномиальную аппроксимацию решения, а также разработка удобной для практики схемной модели метода.
ИЗЛОЖЕНИЕ МАТЕРИАЛА
Рассмотрим одноконтурную цепь переменного тока, содержащую резистивный (Я), индуктивный (Ь) и емкостный (С) элементы, включенные последовательно. Пусть до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения иС(Г0). При подключении в момент г = г0источника переменной ЭДС е(Г) в цепи происходит переходный процесс, который описывается линейным интег-ро-дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
а
сИ 1 ' Ь—+Яг + с |¿(ГС + иС (Г0) = е(г)
(1)
Поставим условие, чтобы уравнение, составленное по закону напряжений Кирхгофа, соблюдалось точно в заданном ряде N узловых временных точек го,Ч,..г N_1 для некоторой функции, которая аппроксимирует зависимость тока от времени. В других точках закон Кирхгофа соблюдается с некоторой погрешностью. Это условие соответствуют основам известных методов коллокаций.
Рядом исследователей [1-3] для решения дифференциальных уравнений предлагается использование полиномов Чебышёва, которые обладают важным свойством равномерности погрешности аппроксимации искомых функций этими полиномами. Представляется рациональным для аппроксимации решения интегро-дифферен-
©Тиховод С. М., 2015
циальных уравнении, получаемых непосредственно на основании законов Кирхгофа, использование полиномов Чебышёва.
Полиномы Чебышёва 1-го рода определяются на отрезке [-1, 1] как:
Тп(х) = со8(п агссо8(х)). (2)
Вычисляются они рекурсиеИ:
Тп-1(х) + Тп+1(х) = 2х Тп (х) , (3)
причем Т0(х) = 1, Т1(х) = х.
Как известно [4], полиномы Чебышёва 1-го рода ортогональны на сегменте [-1, 1] с весовоИ функцией
к(х) = 1/>Д-х2 , следовательно, некоторую функцию
/(х), имеющую на отрезке [-1, 1] непрерывные производные, можно разложить по полиномам Чебышёва.
Для интерполяции на произвольном конечном
о т р,.,, г е \а, Ь] нужно сделать замену переменной:
^ а + Ь Ь - а г , п г =-+-х ^ х е [-1,1].
(4)
Решение уравнения (1), как функцию от времени, в интервале времени г е [а, Ь] аппроксимируем полиномами Чебышёва 1-го рода:
¡(г)» р(г) = соТо(г) + ^(г) + ^(г) + -^-1^-1«, (5) где, согласно (4),
т т ! а + Ь ь - а Тк(г) = Ткх).
Коэффициенты ск перед полиномами Чебышёва пока считаем неопределенными. Определение функции ¡(г) заключается в определении значений коэффициентов ск (к=0...Ы-1).
Для аппроксимирующего полинома (5) зададим условие метода коллокаций: в N точках г интервала изменения аргумента решение точно совпадает с полиномом:
¡(гт) = р(гт) для т = 0, 1, 2, ...N-1.
(6)
При работе с полиномами Чебышёва в качестве аргумента удобнее использовать не время г, а переменную х, изменяющуюся в интервале [-1, 1]. При необходимости переход к реальному времени г будем выполнять по формуле (4).
Если условие (5) записать для каждой временной точки г (т = 0, 1, 2, ...N-1), что соответствует точкам х
т ' / ^ ^ т
переменной х на интервале [-1, 1], то получим систему N линейных алгебраических уравнений:
с0Т0(х0) + с1Т1 (х0) + с2Т2(х0) + (х0) ='Ы = ¡0 с0Т0(х1) + с1Т1 (х1) + с2Т2(х1) +'" (х1) = ¡(х1)
c0T0(xN-1) + с1Т1 (xN-1) + с2Т2(х^-1) +"' -сЛТ-1ТЛГ-1 (xN-1) = )
. (7)
Если учесть, что Т0 (г) = 1, то из первого уравнения системы (7) можно получить:
¡0 = со + С1Т1 (хо ) + С2Т2 (хо) + — CN-{Ты-1 (хо ) , (8) откуда
со = ¡о -[сД(хо) + С2Т2(хо) + — CN-{Ты-1(хо)] .(9)
Вычтем из всех уравнений системы (7) первое уравнение и получим сокращенную систему, которая в матричной форме имеет вид:
Т1(х1) - Т1(хо) Т2(х1) - ТгЫ ■■■ - TN-l(X0)
Т1(х2) - Т1(х0) Т2(х2) - Т2(хо) ■■■ TN-1(X2) - TN-1(X0)
^Ю^-О Т1(х0) T2(XN-1) Т2(х0) TN-1(XN-1) TN-1(xо\
или
УС = I - /„ ,
с1 ¡(х1) - ¡0
С 2 = ¡(х2) - ¡0
_CN-1 ¡О^-О - ¡0 _
(10)
где С = [с; с2 с№1]т - вектор значений коэффициентов в выражении (5) без коэффициента с0; I = [¡(г1) ¡(г,)... ¡(г^Т - вектор значений тока в опорных точках 1, 2, ...N-1.
Производные полиномов Чебышёва 1-го рода вычисляются рекурсией через полиномы Чебышёва 2-го рода и/х) [5]:
Тп+1(х) = (п + 1)^п (х), (11)
и0(х) = 1, и1(х) = 2х , ип-1(х) + ип+1(х) = 2хип(х). (12) Одним из эффективных способов выражения производной функции через полиномы Чебышёва является дифференцирование полинома, полученного путем разложения функции по полиномам Чебышёва [4]. Продифференцируем выражение (5):
&
Лг
& Лх
Лх Лг
> \с{Т{(х) + с2Т2(х) + ■ ■ ■ CN-Т^Сх)]- - , (13)
где т = Ь-а.
Если уравнение (13) записать для каждой точки х, х,... х , то получим систему линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид:
(14)
" ¡1 " " 1 Т2 (х1) • • TN (х1) " с1
¡2 = 1 П(х2) ■ • TN (х2) с2
-1 _ _ 1 Т2 (XN-1) • CN-1_
или
I' = БС,
(15)
где Б - матрица системы линейных уравнений (14), I' = [¡'(х) 1'(.х1 '(хм_)] - вектор значений производных тока по переменной х для точек с номером т=1, 2,... N-1.
Для вычисления интеграла используем квадратурную схему Кленшоу-Куртиса, описанную в работе [1]. Проинтегрируем выражение (5) от х0 до хт:
хт хт
1 (хт ) = I Р(х)Сх = | (СоТо(х) + С1Т1(х) + х0 х0
+ С2Т2(х) + СЫ_{ТЫ_\(хУ)сСх (16)
Интегралы полиномов Чебышёва определяются формулами [1]:
|То (х)сх = Т](х) + С; (х)сх = — Т2 (х) + С;
1Тк(х)Сх = "2
Тк+1(х) Тк _1(х)
к+1 к_1
сСх+С, к > 1.
(17)
Преобразуем выражение (16), используя формулы (17), (9), а также то, что Т0(х) = 1, Т1(х) = х, получим:
хт Г1 1
1(хт ) = | Р(х)Сх = 5 т'0 + 1 -[[2(хт ) _ Т2 (х0)] Т1(х0)5 т к + ^ х0
Тк + 1(хт ) _ Тк + 1(х0) Тк _1( хт ) _ Тк _1(х0)
2(к +1) 2(к _1) TN (хт ) _ TN (х0 ) _ TN_2(хт ) _ TN_2(х0)
2N 2(N _ 2)
5т,1С1 + ^т,2С2 + ■-■ + ^т,кСк + ■-■ + 5т, N _1СN _1 + 5 тг0
_ Тк (х0 )5т |Ск + -
TN _1(х0)5 т Г^ _1 =
(18)
где 5т = хт _ х0 .
Рассмотрев выражение (18) при изменении номера т от 1 до N-1, получим систему уравнений, которая в матричной форме имеет вид:
J = 8 С + Д- 1п
(19)
где I - вектор интегралов (18) для значений т=1, 2,..., N-1;
д=[ 52 - 5^Г;
(20)
Запишем интегро-дифференциальное уравнение (1) для ряда точек при изменении номера т= 1, 2,..., N-1. Получим систему уравнений, которая в матричной форме имеет вид:
Ы + Я1 + BJ + иС0 = е,
(21)
где В=1/С, е - вектор значений ЭДС источника в точках 1, 2, ..., N-1 временного сегмента; иС0 - значение напряжения на конденсаторе в точке 1„.
Если подставить в выражение (21) векторы I (10), I' (15), I (19), то получим выражение второго закона Кирхгофа для изображения С:
(ЬБ + ЯУ + В8)С = е _ иС0
■ Яг0 _ ВДг0.
(22)
Решением уравнения (22) определяется вектор С коэффициентов полиномиальной аппроксимации. Тогда при известном начальном значении тока г0 можно определить значения тока во всех произвольных точках временного сегмента т согласно (5), (9):
г (г) * ¿0 + С1 (Т (г) _ Т (Г0)) + с2 (Т2 (г) _ Т _ Т2(Г0)) + ••• СМ_1(Г) _ Тм_1 (Г0)). (23)
Если в цепи имеется только одна ветвь, то согласно (22) приходится решать систему из N-1 уравнений. Однако в результате решения определяются значения не в одной временной точке, как в традиционных численных методах, а сразу в N-1 точке. Для сложных цепей матрица соответствующей системы уравнений весьма разрежена и применение методов решения уравнений с разреженными матрицами позволяет существенно сократить время расчета.
Схемная интерпретация метода численного расчета переходных процессов в электрических цепях. Уравне -ние (22) можно интерпретировать следующим образом. Пусть в исходной ветви Я-Ь-С- е протекает ток ¿(г). Исходной ветви соответствует ветвь замещения (рис. 1), в которой протекает изображение С, тока ¿(г). Изображение С - это вектор коэффициентов разложения тока ¿(г) по полиномам Чебышева. При этом в ветви замещения резистивный элемент имеет сопротивление ЯУ и последовательно с ним навстречу току включается источник постоянной ЭДС величиной Я10 (см. рис.1). Индуктивный элемент имеет сопротивление ЬБ, а емкостный элемент - сопротивление В8 и последовательно с ним навстречу току включается источник постоянной ЭДС величиной ВД10+иСд.
Докажем, что в узлах схемы замещения для изображений С соблюдается и первый закон Кирхгофа. Для этого воспользуемся уравнением (10). В любом узле электрической цепи для токов ветвей, сходящихся к узлу, в любой момент времени а, следовательно, во всех временных узловых точках выполняется закон токов Кирхгофа:
ь ь
X (I* _ ¿0к) = Х У • Ск = 0,
к=1 к=1
(24)
где ь - количество ветвей, сходящихся к узлу, к - текущий номер ветви.
Г©"
К V —
О-
В Б
1-0
В Л ¡п+иса
-е-
Рисунок 1 - Схема замещения одноконтурной Я-Ь-С- е цепи
+
Если уравнение (24) умножить на матрицу, обратную матрице V, то получим:
b
S Ck = 0.
k=1
(25)
Из изложенного материала сделаем выводы. Реальному току ¡(г) соответствует векторное изображение С в схеме замещения, показанной на рис. 1. Все изображения С токов в схеме замещения удовлетворяют законам Кирхгофа, если она составляется по правилам:
- источник ЭДС заменяется векторным источником е, содержащим значения ЭДС в N-1 опорной точке;
- резистивный элемент имеет изображение сопротивления НУ и последовательно с ним навстречу току включается дополнительный источник ЭДС Н ¡0;
- индуктивный элемент имеет изображение сопротивления ЬБ;
- емкостный элемент имеет изображение сопротивления 58 и последовательно с ним навстречу току включается дополнительный источник ЭДС В*А*/0+ иС0.
Следовательно, при известных начальных значениях токов ветвей ¡0к и напряжений на конденсаторах иС0к в точке гд сегмента [а, Ь], система уравнений, составленная по законам Кирхгофа для изображений Ск токов для всех узлов без одного и для всех главных контуров, имеет единственное решение. В результате решения системы линейных алгебраических уравнений, составленных по законам Кирхгофа для изображений токов, получаем вектор С, состоящий из подвекторов Ск, содержащих значения коэффициентов разложения функций токов ¡к(г) по полиномам Чебышёва для всех ветвей. Зная коэффициенты разложения тока ¡к(г) по полиномам Чебышёва и значение ¡к0 для ветви к, мы можем получить значения тока 1к во всех узловых точках в интервале времени [а, Ь]:
+¡0 . (26)
Также, согласно (23), можно получить значение тока во всех произвольных точках любого из N-1 отрезков в сегменте времени [г0, г№1]. Напряжение на конденсаторе в момент времени г вычисляется по формуле:
1 \
UC (t) = с J l(t )dt+uc (to),
(27)
где интеграл выражается формулой (18).
Оценка погрешности и ее минимизация. Если положения опорных точек в сегменте [-1, 1] выбирать не равномерно, а в нулях полиномов Чебышёва
TN (хк ) = 0:
Xk = - cos
2k +1 _ 2 N '
k=0, 1, ... N-1,
(28)
то погрешность интерполяции можно существенно снизить. В этом случае плотность опорных точек сгущается на краях сегмента. Полином, полученный по системе
опорных точек, расположенных в нулях полиномов Че-бышёва, близок к минимаксному, который минимизирует максимальное отклонение от аппроксимируемой функции [4].
Оценим погрешность Н интерполяции временной функции тока, производной и интеграла тока по времени. Погрешность Н аппроксимации полиномом р(г) степени N некоторой функции /(г), имеющей ограниченные непрерывные производные до степени N на участке [а, Ь], при условии, что в N различной точке полином совпадает с функцией/(г), определяется выражением [6]:
R = f (t ) - p(t ) =
f( N )(0®(t )
N !
где Z e [a,b],
®(t ) = (t - to)(t - ^-(t - tN ).
(29)
(30)
Если положения опорных точек выбирать в нулях полиномов Чебышёва, то полином (30) имеет вид:
^(г) = (Ь - а) - 21-2[^Ь^+Г) . Чебышёвская норма данного полинома равна:
(31)
IK (t )|| = (b - a Г • 21
■2 N
Тогда погрешность R аппроксимации полиномами Чебышёва можно оценить как:
R <
MN (b - a )N • 21
N!
(32)
где MN = шах| /(N )(С).
Формула (32) показывает, что погрешность аппроксимации функции полиномами Чебышёва, при условии выбора положения опорных точек в нулях полиномов Чебышёва, в 21-ш раз меньше, чем при равномерном расположении опорных точек.
Оценим погрешность интерполяции производной тока по времени. Поскольку ¡(г) = р(г)+Н(г), то
Г (г) = р(г) + Н (г). (33)
Согласно (29), (31) имеем:
R'(t) = (b - a) • 21-2nMNtNf 2t - (b + a) ï .
N !
b-a
(34)
Учитывая, что \TN+1 (х)| < ( +1)2, то оценка погрешности производной имеет вид:
2
Н' (г )| <(Ь - а)) - . (35)
Оценим теперь погрешность интерполяции интеграла тока по времени. Проинтегрируем выражение
¡(г) = р(г)+Н(г):
0
J i(t ) = J p(t )dt + J R(t )dt
Согласно (29), (31):
jR(t)dt =(b - a) • 21-2nMn f- i 2t - (b + a)
N !
"J ^
N I"
b - a
(36)
С учетом того, что интеграл полинома Чебышёва имеет свойство (17), преобразуем выражение (36), и, принимая во внимание, что полиномы Чебышева по модулю меньше единицы, получим следующую оценку погрешности аппроксимации интеграла:
J R(t )dt
<(b - a)N • 21-2nMN v ' N !
1 1 - + -
N +1 N -1
. (37)
Оценка (37) показывает, что погрешность аппроксимации интеграла функции тока значительно меньше, чем погрешность аппроксимации самой функции тока.
В формулы оценки погрешности (32), (35) и (37) входит множитель тN = (Ь _ а)N, поэтому от размера временного сегмента в значительной мере зависит погрешность. На больших интервалах изменения независимой переменной г >>т весь интервал моделирования следует разбить на несколько сегментов, а уравнение (22) следует решать на каждом сегменте методом циклической прогонки, увеличивая каждый раз, текущее время на значение т.
Во все формулы оценки погрешности (32), (35) и (37) также входит множитель, равный значению ^ой производной решения. Это значение заранее неизвестно, но может быть оценено с помощью правила Рунге. Это правило заключается в том, что выполняется расчет с некоторым размером сегмента т, а затем выполняется расчет с уменьшенным вдвое значением т при одном и том же значении N. Численный эксперимент дает расхождение значений расчетов Д. Это расхождение равно разности погрешностей, главная из которых - погрешность аппроксимации производной. Согласно (35) получим разность максимальных погрешностей, откуда:
^ >(t)
а)
M
N :
( (1 -(1/2)N
A.N!
• 21-2N ( N-
1)2
(38)
Оценить значение погрешности производной можно и другим способом. Согласно (15), производная решения находится как функция разложения по N полиномам Чебышёва. Поскольку свойством полиномов Чебышёва является то, что при отбрасывании последнего члена разложения другие коэффициенты разложения не изменяются, значение (N+1)-ro члена разложения производной может характеризовать погрешность аппроксимации производной решения.
Пример расчета переходных электромагнитных процессов на основе магнитоэлектрических схем замещения. Магнитоэлектрические схемы замещения (МЭСЗ) электромагнитных устройств - это схемы, объединяющие электрические и магнитные цепи этих устройств, с учетом взаимодействия друг с другом. Взаимодействие электрической и магнитной цепей обычно учитывается с помощью источников напряжения, управляемых током (магнитным потоком) или производной тока (магнитного потока). Известны различные виды МЭСЗ [7]. На рис. 2 рассмотрен участок магнитопровода с установленной катушкой и его представление магнитоэлектрической схемой замещения. В данном случае рассмотрена МЭСЗ магнитной ветви, в которой протекает не магнитный поток, а так называемый «магнитный ток » iM- производная магнитного потока.
В схеме замещения на рис. 2 использовано диффе-
ренциальное магнитное сопротивление
/ = dB
Rd =-
t
, где
Сн - дифференциальная магнитная проницаемость, £, 8 - длина и площадь поперечного сечения магнитной ветви.
Предложенный метод формального построения схем замещения может быть использован для расчета переходных процессов в магнитоэлектрических цепях электромагнитных устройств. В качестве модельной задачи рассмотрим переходный процесс подключения трехфазного трансформатора (рис. 3) к источнику синусоидального напряжения.
№ , т
Rd
^ i = dO/rl
Urn
О
Рисунок 2 - Представление участка магнитопровода с катушкой МЭСЗ: а) - магнитная ветвь с катушкой; магнитоэлектрическая схема замещения, использующая «магнитный ток ».
t
о
о
о
t
t
о
t
В соответствии с правилами представления электрических и магнитных цепей и учета их взаимодействия составим схему замещения трехфазного трансформатора для векторных изображений переменных (рис. 4). Магнитная цепь на схеме замещения имеет такую же топологию, как и магнитная система. В ветвях схемы замещения протекают изображения токов, присутствующих в исходной цепи, а все элементы заменяются соответствующими изображениями, причем каждому рези-стивному элементу соответствует дополнительный источник ЭДС, задающий начальные условия на временном сегменте.
В ветвях 6, 7, 9 протекают магнитные токи стержней, а в ветвях 5, 8, 10 - магнитные токи вне магнитной системы.
Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа для МЭСЗ (рис. 4) трехфазного трансформатора для изображений электрических и магнитных токов имеет следующий вид:
С1 + С2 + С3 - С4 = 0;
Рисунок 3 - Общий вид конструкции трехфазного трехстержневого трансформатора, включенного в электрическую схему.
(ЦБ + Я+ ^СбУ + Д4С4V = е^ - Я, ¡01 - N¿6 - ДЛи; (ЦБ + ЯУ)С2 + ^С7 V + ^У = ев - Д ?02 - N^7 - ^
(ЦБ + ЯУ)Сз + ^С9У + Я^У = ес - Я, Л03 - N,¡9 - Я4/04;
аду - ЯЙ6С6У + ^СВ + ^СПБ = К« ¡06 - Я, ¡03; КабС6У - N1^ - ^СПБ + К^С^ + ^С2Б + N2СиБ - К„ 7С7 V = - Я
- NlC2D - + Я,7С4У - Я8С8У = -Ят4 ¡04 + К^ ¡3;
ЯСУ + Я, 7С4У + Я, 7С7 V + N2C2D + ^С2Б = -Я, 7 ¡07 + Я, 6 06 8 08
- N СБ - N С Б + Я С V - Я С V = - Я Л + Я Л •
С5 + Сб - С15 = 0;
С11 + С12 + С13 - С14 = 0;
(ЦБ + ВДСц + N2C6V + Я14С14V = -Я3 ¡011 - N¿6 - Я14/014;
ЦБ + ЯзV)Cl2 + N2С7 V + Я^С^ = -Я3 ¡012 - N2/07 - Я14/014;
(+ ЯзV)Clз + N2C9V + Я14С14V = -Я3 ¡013 - N,¡9 - Я^;
С + С + С - С = 015 7 8 16
С + С + С = 0
16 9 10
¿15 '015
+ Яа6 ¡06 + Яd7¡0
(39)
Система линейных алгебраических уравнений (39) имеет единственное решение - векторы Ск (к=0.Ы-1), содержащие значения коэффициентов разложения функций токов ¡ (0 по полиномам Чебышёва для всех ветвей. Зная для любой ветви коэффициенты Ск, значение ¡0 в начальной точке /0, мы можем согласно (26) получить значение тока во всех узловых точках в интервале времени [а, Ь]. Значения магнитного потока магнитной ветви во всех узловых точках можно вычислить по формуле:
Ф = Ф 0 + (8 • Сф+ ¡0А)-т/2
(40)
где Ф0, ¡0 - значения магнитного потока и магнитного тока в точке /0; Сф - вектор коэффициентов разложения магнитного тока по полиномам.
Для проверки адекватности предложенного метода составлена компьютерная программа Тг3_У08_С в системе МаИаЪ.
Вычисления производятся в следующей последовательности:
1. Выполняется ввод исходных данных, задается количество узлов N на сегменте (4<Ы<10), количество сегментов N на всем исследуемом временном интервале, а также длину одного сегмента т.
N2 С6
Рисунок 4 - Магнитоэлектрическая схема замещения трехфазного трансформатора для изображений электрических и магнитных токов: а) - первичная обмотка с источником, б) - магнитная цепь, в) - вторичная обмотка с нагрузкой.
2. Согласно (28) задаются положения опорных точек хк на отрезке [-1, 1]. Затем вычисляются временные границы сегмента: а = —т (хд + 1)/2; Ь = а + т.
3. Согласно формулам (10), (14), (18), (20) вычисляются матрицы V, Б, 8, Д.
4. Вычисляются значения вектора ЭДС во всех точках сегмента.
5. Составляется матрица Z системы уравнений (39). Матрица Z содержит значения магнитных сопротивлений Я6, ЯД, Я9, ЯД5, ЯД6, которые зависят от магнитных потоков этих ветвей. Поэтому на каждом временном сегменте в опорных точках выполняется расчет значений магнитных потоков (40) ветвей, содержащих ферромагнитные сердечники, и, согласно динамической кривой намагничивания, выполняется расчет дифференциальных магнитных сопротивлений Я6, Я7, Я9 ЯД5, ЯМ6,. Поскольку кривая намагничивания нелинейная, то расчет магнитных сопротивлений выполняется в итерационном цикле.
6. Выполняется итерационный цикл, в котором при каждом изменении параметра цикла выполняется следующее:
- вычисляется вектор правых частей Р системы (39);
- решается система алгебраических уравнений и определяется для всех токов вектор полиномиальных коэффициентов С;
- выделяются подвекторы С. полиномиальных коэффициентов для каждого тока;
- вычисляются магнитные потоки ветвей 3 и 6, используя формулу (40), в которой Фд - значение магнитного потока в конце предыдущего временного сегмента;
- согласно кривой намагничивания стали по значениям магнитных потоков вычисляются магнитные сопротивления ветвей 6, 7, 9, 15 и 16;
- с учетом измененных значений магнитных сопротивлений ветвей корректируется матрица Z и вектор правых частей Р системы (39);
- итерационный цикл заканчивается, если значения магнитных сопротивлений смежных итерационных циклов не превышают заданной погрешности.
7. После выхода из итерационного цикла выполняется следующее:
- вычисляются конечные значения токов данного сегмента, которые являются начальными значениями для следующего сегмента;
- выполняется переход на п. 5 и следующий временной сегмент.
На рис. 5 и рис. 6 представлены расчетные осциллограммы тока и магнитной индукции в стержне, полученные в результате расчета по программе Тт3_У08_С, с которой можно познакомиться на сайте [8]. Там же дана инструкция по пользованию этой программой. Как видно, переходные процессы в трансформаторе весьма продолжительны.
В программе Тт3_УБ8_С расчет выполнялся с использованием постоянного размера временного сегмента т. В профессиональных программных комплексах, использующих предложенный метод, можно рекомендовать автоматический выбор т по какому-нибудь критерию, например по количеству циклов итерации на каждом временном сегменте.
Для сравнительной оценки разработанного метода в системе МаИаЪ разработан ряд программ решения рассмотренной модельной задачи различными методами.
Одним из эффективных методов численного интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений, которые, как правило, описывают реальные магнитоэлектрические цепи, является метод Гира. При использовании модифицированного метода переменных состояния и численного метода Гира разработана программа Тт1_3.ш. С этой программой можно познакомиться на сайте [8].
Сегодня «де факто» в расчетах электромагнитных процессов в электрических цепях лидерами являются
"1 1 1 [ 1 1 1 \
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 4, э
а)
Рисунок 5 - Расчетная осциллограмма: ток г'/г): а) - начало, б) - продолжение процесса
0
-100
-120
-140
программы EMTP/ATP, разработанные Г. Доммелем [9]. В этих программах используется метод узловых потенциалов для автоматического составления уравнений состояния и метод трапеций второго порядка точности для численного решения дифференциальных уравнений. Сравнение времени расчета задачи в разных системах моделирования некорректно, так как Matlab является весьма медленным интерпретатором. Так как в этой статье сравниваются не компьютерные программы, а методы расчета, то для модельной задачи на основе метода Доммеля разработана программа Tr3_Dom.m и выполнен расчет. Метод узловых потенциалов данной задачи рассматривает всего пять узлов, но система узловых уравнений должна быть дополнена уравнениями вычисления токов и магнитных потоков, которые управляют управляемыми источниками ЭДС. В результате система уравнений имеет такой же порядок, как и система уравнений задачи, решенной методом Гира. Нелинейные магнитные сопротивления вычислялись на каждом шаге интегрирования в итерационном цикле.
Результаты расчета при одинаковой заданной погрешности по программе Tr3_VDS_C не имеют видимых различий от результатов, полученных расчетом с использованием численного метода Гира, а также методом Дом-меля, то есть различие составляет десятые доли процента. С помощью операторов tic/toc оценивалось процессорное время расчета. Сравнение процессорного времени расчета модельной задачи предложенным методом и методами Гира и Доммеля показало следующее. Метод Доммеля при решении модельной задачи показал сокращение процессорного времени около 10% по сравнению с методом Гира. Предложенный метод показал сокращение процессорного времени более чем на 200% по сравнению с методом Доммеля. Это можно объяснить следующими соображениями:
- в предложенном методе для решения интегро-дифференциальных уравнений использованы полиномы Чебышёва, которые имеют малую погрешность аппроксимации функций решения этими полиномами;
- за каждый цикл выполнялся расчет не одного, а группы N-1 шагов интегрирования;
- во многих программных комплексах, специализированных для расчета переходных процессов в электрических цепях, каждый элемент электрической цепи
Рисунок 6 - Расчетная осциллограмма: магнитная индукция
рассматривается как отдельная ветвь. Предложенный метод интерпретирует как одну ветвь три элемента, включенных последовательно: резистивный, индуктивный и емкостный;
- сокращение системы уравнений достигается также за счет того, что уравнения численного метода заложены в схему замещения для изображений.
ВЫВОДЫ
Предложенный метод расчета переходных процессов в электрических цепях позволяет заменить операции с мгновенными значениями токов операциями с постоянными токами в предложенной схеме замещения, в результате чего интегро-дифференциальные уравнения состояния заменяются алгебраическим уравнениям. При решении модельной задачи предложенным методом процессорное время расчета существенно сокращается по сравнению с известными методами. Предложенный метод особенно удобен для расчета переходных процессов в магнитоэлектрических цепях, так как позволяет использовать источники напряжения, управляемые производной тока, а также позволяет легко вычислять интегралы решений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев Н. И. Применение полиномов Чебышева в численном анализе. / Н. И. Васильев, Ю. А. Клоков, А. Я. Шкерстена. - Рига.: Зинатне. - 1984. - 240 с.
2. Татевян С. К. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва. / С. К. Татевян , Н. А. Сорокин, С. Ф. Залеткин Вычислительные методы и программирование.- 2002." Т.3, с. 52-81.
3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский . - М.: Наука, ГРФМЛ, 1983 . - 384 с.
4. Ильина В. А. Численные методы для физиков-теоре-тиков.1. / В. А. Ильина, П. К. Силаев. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. -2003. -132 с.
5. Данилов Ю. А. Многочлены Чебышева / Ю. А. Данилов. - Минск.: Вышэйшая школа, 1984 . - 157 с.
6. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: Наука, 1987 . - 630 с.
7. Тиховод С. М. Модификация магнитоэлектричес-
t, s
б)
в стержне фазы «А»: а) - начало, б) - продолжение процесса
ного процесса в трехфазном трансформаторе.-[Электронный ресурс] . - режим доступа: http:// www.electricity.zp.ua/
Dommel Hermann W. EMTP theory book / Hermann W. Dommel. - British Columbia.: Microtran Power System Analysis Corporation Vancouver, 1996. - 631 p.
Статья поступила в редакцию 23.10.2015
Тиховод С. М.
Д-р техн. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, Украина
РОЗРАХУНОК ПЕРЕХ1ДНИХ ПРОЦЕС1В В ТРАНСФОРМАТОРАХ НА ОСНОВ1 МАГН1ТОЕЛЕКТ-РИЧНИХ ЗАСТУПНИХ СХЕМ З ИСПОЛЬЗОВАНИЕЬ ПОЛ1НОМ1В ЧЕБЫШЕВА
Моделювання uepexiönux процеЫв в трансформаторах нит виконують шляхом складання iрозв 'язкуpis^nb стану для магнтоелектричних заступних схем. Ц процеси можуть бути дуже тривалими, що призводить до значного часу розрахунку при використанн сучасних програмних засобiв. Мета ща роботи — розробка бтьше швидкодЮчого методу розрахунку пеpехiднuх електромагнтних процеЫв в трансформаторах, що використо-вуе полiномiальну апроксимацЮ розв 'язку, а також розробка зручног для практики схемног моделi методу. На основi апроксимаци розв'язку piвнянь стану полтомами Чебишева розроблений метод розрахунку пеpехiднuх процеЫв в магнтоелектричних колах. Запропонована схемна ттерпретащя розробленого методу. Показано, що в спещальнш заступнш схемi спpаведлuвi закони Кирхгофа для зображень стpумiв i магнтних потоюв у вuглядi вектоpiв, що мiстять значення коефiцiентiв розкладання цих величин по полтомах Чебишева. Цей метод дозволяв замтити операци з миттевими значеннями стpумiв операщями з постшними струмами в запропонованш заступнш схемi, вна^док чого iнтегpо-дuффеpенцiйнi piвняння стану замтюються алгебраг-чними piвнянням. При розрахунку запропонованим методом пеpехiдного процесу в трифазному трансформа-тоpi процесорний час скорочуеться бтьш тж в два рази в поpiвняннi з розрахунками вiдомu.мu методами. Запропонований метод особливо зручний для розрахунку пеpехiднuх процеЫв в магнтоелектричних колах, оск-тьки дозволяв використати джерела напруги, що керован похiдною струму, а також дозволяв легко обчислю-вати ттеграли розв 'язку.
Ключов1 слова: полтоми Чебишева, пеpехiднi процеси, схемна модель, магнiтоелектpuчнi кола.
ких схем замещения электромагнитных устройств для анализа переходных процессов / С. М. Тиховод / / Электричество. - 2014. - №2. - С. 53-60. 8. Помощь студентам-электрикам. Научные разработ- 9. ки, программы. Программы для расчета переход-
Tykhovod S. M.
Doctor of science, Assoc. Prof., Zaporozhye national technical university, Ukraine
CALCULATION OF TRANSIENTS IN TRANSFORMER ON THE BASIS OF MAGNETO ELECTRICAL EQUIVALENT SCHEMES WITH THE USE OF TCHEBYSHEV'S POLYNOMIALS
Transient modeling in transformers is presently executed by formation and solution of the state equations for the magneto-electrical equivalent schemes. These processes can be very long, that results in a considerable time of calculation at the modern software use. The aim of the given work is the development of more fast-acting method of calculation of electromagnetic transients in transformers, using solution approximation by polynomials, and also development of comfortable scheme model of method for putting into practice. On the basis of solution approximation of the state equations by the Tchebyshev's polynomials the method of transients calculation in magneto-electrical equivalent schemes is worked out. Scheme interpretation of the developed method is offered. It is shown that in the special equivalent scheme the Kirchhoff's laws are fairfor the images of currents and magnetic fluxes as vectors, containing the values of coefficients of decomposition of these values by the Tchebyshev's polynomials. This method allows to replace operations with the instantaneous values of currents by operations with direct currents in offered equivalent .scheme. As a result the integro-differential state equations are submitted by algebraic equations. The calculation with the offered method of transient in a three-phase transformer processor allows to reduce time more than twice as compared to calculations with the help of the well-known methods. The given method is especially comfortable for the transient's calculation in magneto-electrical circuits, since it allows to use voltage sources controlled by the current derivative as well as easily evaluate the integrals of solution.
Key 'words: Tchebyshev's polynomials, transients, scheme interpretation, magneto-electrical circuits.
REFERENCES
1. Vasilev N. I., Klokov Yu. A., Shkerstena A. Ya. Primenenie polinomov Chebyisheva v chislennom analize. Riga, Zinatne, 1984, 240 s.
2. Tatevyan S. K., Sorokin N. A., Zaletkin S. F. Chislennoe integrirovanie obyiknovennyih differentsialnyih uravneniy s ispolzovaniem ryadov ChebyishYova. Vyichislitelnyie metodyi i programmirovanie, 2002.
3. Pashkovskiy S. Vyichislitelnyie primeneniya mnogochlenov i ryadov Chebyisheva. Nauka, GRFML, 1983, 384 s.
4. Ilina V A., Silaev P. K.. Chislennyie metodyi dlya fizikov-teoretikov.1. Moskva-Izhevsk: Institut kompyuternyih issledovaniy, 2003, 132 s.
5. Danilov Yu. A. Mnogochlenyi Chebyisheva. Minsk.: Vyisheyshaya shko-la, 1984, 157 s.
6. Bahvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Chislennyie metodyi. Moscow, Nauka, 1987, 630 s.
7. Tihovod S. M. Modifikatsiya magnitoelektricheskih shem zamescheniya elektromagnitnyih ustroystv dlya analiza perehodnyih protsessov. Elektriche-stvo, 2014, No 2, S. 53-60.
8. Pomosch studentam-elektrikam. Nauchnyie razrabotki, programmyi. Programmyi dlya rascheta perehodnogo protsessa v trehfaznom transformatore. http:// www.electricity.zp.ua/
9. Dommel Hermann W. EMTP theory book / Hermann W. Dommel. - British Columbia.: Microtran Power System Analysis Corporation Vancouver, 1996, 631 p.
