Некоторые результаты сравнения дисперсионных уравнений, полученных различными методами, с экспериментом Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА

1973

Том 206

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ,

С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Л. Ф. ЧЕРНОГАЛОВА

(Представлена научным семинаром сектора сверхвысоких частот и теории ускорителей

НИИ ЯФЭА)

Рис. 1. Разрез камеры волновда

Дисперсионные свойства диафрагмированных волноводов и других систем обычно исследуются методом частичных областей, т. е. электромагнитные поля задаются независимо в пространстве резонаторов и в пространстве взаимодействия в виде суммы пространственных гармоник. Проводя сшивание тангенциальных компонент на границе раздела областей, получают дисперсионное уравнение в виде бесконечных определителей. Однако решение такого дисперсионного уравнения очень громоздко, так как приходится решать сложное трансцендентное уравнение. Степень точности решения этого уравнения будет зависеть от числа членов, удерживаемых в бесконечной системе. Кроме того, этот метод справедлив для случая частных диафрагм. В то же время практика показывает, что число диафрагм в волноводном электронном ускорителе, приходящихся на длину волны генератора, обычно не превышает 3—4.

Учитывая обычные условия работы диафрагмированных волновод-ных ускорителей, В. В. Владимирский [1] предложил исследовать распространение электромагнитных волн в круглом волноводе на основе метода нормальных волн. Круглый диафрагмированный волновод рассматривался им как цепочка связанных цилиндрических эндовибраторов с бесконечно тонкими мембранами и малыми отверстиями для пролета пучка. Достоинство такого метода состоит в том, что дисперсионное уравнение, получаемое на его основе, представляет простое алгебраическое уравнение относительно постоянной распространения При расчете дисперсии системы здесь не нужно будет решать сложных трансцендентных уравнений. Кроме того, уже в первом приближении метод правильно учитывает особенности поля на ребрах диафрагм и позволяет получить хорошее совпадение с экспериментом, если число диафрагм на длину волны в волноводе невелико.

В связи с тем, что в ускорительной технике и технике приборов СВЧ большой интерес представляют прямоугольные диафрагмирован-

ные волноводы, в работах [2, 3] методом нормальных волн были исследованы диафрагмированные волноводы прямоугольного сечения.

В этих работах рассматривалось распространение синфазных LE-волн (для LE-волн Ех = 0) вдоль волновода прямоугольного сечения. В отличие от метода сшивания поле здесь задается сразу по всей ячейке, а затем, согласно условию Флоке, сшивается на границах ячеек:

1 Я

Z =. + —!>; +— D- + ... ~ 2 2

Компоненты LE-волн выражаются через х-компоненту магнитного вектора Герца т ячейки, которая для синфазных волн имеет вид [2, 3]:

т—» тг 00

п; - e-w . cos - х. 2 [.Ап,. sin ря (z - mD) + Вп cos ря (г - mD) ] -

п=0

•sin (2л + l)v у;

о

т = 0, ±1, ± 2; . .. — номер ячейки;

где

(2/я— 1)— D < z< (2т + 1) —D; 2 2

= л:2 — ^ — | — (2/г + I)21 — постоянная распространения,

к — — — волновое число в свободном пространстве; с

0 < ^ ^ — характеризует сдвиг фаз между колебаниями в соседних ячейках и связана с фазовой скоростью волны соотношением

кП оЮ

Уф = с-= — . (2)

6 ф

Записав граничные условия

4- оо

z j = 0 при — CXD < 2 < £у(у, г) -0 при g <у < у,

(2т- 1) — D<¿ <(2от + 1) — D (3)

2 2

и дополнив их условиями периодичности для вектора Герца П™ и его

нормальной производной — Y\m, после ряда преобразований в [2]

dz х

было получено относительно F (?¡) следующее интегральное уравнение:

■> ф , ßoD . . 6 , ß0D . * Р* ч . TT

cos- — -tg ---sin2— •ctg —— »sin — У • \ F (t¡) sin — r¡-dr¡ =

2 2 2 2 b ) b

- G(>- r¿F(-n)d% (4)

где Т7 (*/]) — вид поля, задаваемый на отверстии диафрагм. При использовании метода нормальных волн поле задается с учетом особенностей на ребрах диафрагм

с (У. т?) ~ ядро:

0 *

cos2 — -tg ----sin2 — -ctg

r , , у 2 2__2 2

G (y. -й--•

n^l Pn

•sin (2л + 1)— y-sin (2n -I- 1) — r¡. (5)

b b

Суммирование в (5) ведется по типам волн отдельной ячейки.

Приближение этого метода состоит в том, что, начиная с некоторого /г в зависимости от предлагаемой точности решения уравнения, пренебрегают зависимостью от частоты и записывают

(?J = (2« + l)-f .

b

Кроме того, полагают, что при тех условиях, которые имеются обычно в электронных волноводных ускорителях, зависимость ядра G от ф и D очень слабая и экспоненциально падает с ростом D. Это позволяет при больших п и не очень малых D положить =

= 1, где

2 2_2 2

*я К

Задавая вид поля на отверстии диафрагм и решая интегральное уравнение (4), можно получить дисперсионное уравнение с любой степенью точности.

В работе [2] уравнение (4) решалось разложением подынтегральной функции в ряд Фурье по синусам. Никаких условий на величину отношения g¡b здесь не накладывали.

В квазистатическом приближении, где пренебрегали зависимостью 3fi от частоты для п > 1, это дало уравнение вида

cos Ф = 30 D - ^ . ctg2 ^ - sin Po D. (6)

- b

Аналогично может быть получено дисперсионное уравнение во втором приближении с пренебрежением зависимости Зл от частоты, начиная с п > 2, т. е. с учетом двух типов волн

cos 6 = ах — Уа\ — а2, (7)

cosPoD + chlpjfl ipjj^ l-sln4 .sh,p |р_

2 6- sin0 с

_M.ctg.gizz^i.slnpoDf где % — , 2к sin6 £ b

а2 = cos 30Z)-ch I p, I D + 11 . 1 — sin0 S ^ ( ^ Dcog Q __

Зтг Sin6 ;

м

— -Ctg4

TZ

1 — COSn£

sin D-ch | | Z)

b2

3-2

ctg8 £-ch | | D-sin ß0 D.

В работе [3] исследовались волноводы прямоугольного сечения с малыми отверстиями щели для пролета пучка, т. е. gib 1. Поле здесь на отверстии диафрагм, в отличие от [2], задавалось в виде полинома. В результате получилось уравнение, подобное (6), если ctgx разложить по малому аргументу, что может быть при малой величине отношения gib, и ограничиться первым членом

cos 6 = cos ß0 D

b % /ßN2

— ] -Sin Po D.

(8)

По уравнениям (6), (7), (8) был проведен расчет дисперсионных кривых и сравнен с экспериментом из работы [4]. Размеры камеры брались следующие: Ь = 7,74 см, а = 7 см\ 2g = 2 см\ О = 2,5 см, I = 0,6 см.

Тип волны, который возбуждался в камере, был ЬЕи- Результаты расчета и эксперимента нанесены на рис. 2. Из рисунка видно, что экспериментальная кривая несколько смещена в коротковолновую область относительно теоретических кривых. Это смещение, очевидно, происходит за счет влияния толщины диафрагм, поскольку в теоретических расчетах толщина диафрагм не учитывалась.

Из хода кривых видно, что при

ближе всех к экспериментальной кривой (4) расположены кривая (2), рассчитанная по второму приближению метода интегральных уравнений, и кривая (3), рассчитанная по формуле (8) метода нормальных волн. Ход этих кривых, кроме того, показывает, что кривые (2) и (3) неплохо согласуются между собой. Следовательно, при малой величине отношения gib (в данном случае gib — 0,13) расчет по формуле (7) можно будет заменить более простым расчетом по формуле (8). Таким образом, из рассмотренного видно, что метод нормальных волн в его различных модификациях может быть использован для исследования дисперсионных свойств волноводов прямоугольного сечения с небольшим .числом диафрагм на длину волны в волноводе, т. е. при работе в режим', близком к я-режиму колебания.

Рис. 2. Сравнение теоретических дисперсионных кривых

с экспериментом: / — кривая, рассчитанная по формуле (6); 2 — кривая второго приближения, рассчитанная по формуле (7); 3 — кривая, рассчитанная по формуле (8); 4 — экспериментальная кривая; 5 — кривая, рассчитанная методом сшивания в нулевом приближении

ЛИТЕРАТУРА

1. В. В. Владимирский. ЖТФ, XVII, 1269, 1947.

2. Е. С. Коваленко. Теория ускоряющих устройств электронных синхротронов. Диссертация, ТГУ, Томск, 1961.

3. А. Н. Д и д е н к о. ЖТФ, XXXV, 5, 1965.

4. А. П. Ольшанский. Вопросы возбуждения резонаторной системы волно-водного циклического ускорителя. Диссертация, ТПИ, Томск. 1963.