К расчету пространственных гармоник в диафрагмированных волноводах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

10П2

Том 122

К РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГАРМОНИК В ДИАФРАГМИРОВАННЫХ ВОЛНОВОДАХ

Е. С. КОВАЛЕНКО, В. С. КОВАЛЕНКО, Б. Г. ЩВД1Н

С продвижением техники СВЧ в область более коротких волн значительный интерес представляют генераторы, работающие па высших гармониках замедляющих структур.

В связи с этим представляется необходимым проведение сравнительной оценки различных методов, применяемых при расчете замедляющих систем, на примере диафрагмированного волновода прямоугольного сечения.

Наиболее распространенный метод расчета учитывает в пространстве резонаторов структуры лишь одну основную волну |1|, |2|. Этот метод дает хорошие результаты при расчете дисперсионных свойств системы, так как последние слабо зависят от задания поля на границе раздела пространства взаимодействия и резонаторов. В то же время методу, как показано в |3| для бесконечно тонких диафрагм, присущи значительные погрешности в определении амплитуд высших гармоник, а следовательно, и эффективности ламп, работающих па этих гармониках.

Остальные существующие методы [4|, [5] связаны с попытками уточнит!» характер распределения поля на ребрах диафрагм.

В настоящей работе будет проведен расчет амплитуд гармоник: диафрагмированного волновода в режиме --колебаний методом рядов Фурье и численное сравнение результатов расчета с результатами, полученными другими методами.

В

Рис. 1

Рассмотрим диафрагмированный волновод прямоугольного сечения, основные параметры которого, используемые далее, указаны на рис. 1.

В работе [6] показано, что замедленные синфазные волны в таком волноводе относятся к классу ЬЕ-волн и описываются магнитным вектором Герца

ос

тс

II,и* УЛЛ С08 — X ЫпКуУе^'-^ — а

ОС

в пространстве взаимодействия и

I ^тх ^ ^ ...... гглт** / . ... - - м \ гпс ____

Д* соя -л" сойл^ (- ------- V ) соя -------(г — I)

а \ 2 ' с/

сс .0

в пространстве резонаторов.

Здесь и В,— пока произвольные постоянные

о

ъ

Л'' К0

-- к-

—2

а-

>2—2

Ф

Сшивание полей на границе раздела y=±g приводит к бесконечной системе уравнений

... 00

-V. (1)

П СО

/ 0; 1; 2...,

где

Л",, ЪЛ(,$\пк<^с

. и)

^ - ту

•пс

8 """ - !?<' ^ 1)с1 к'' ' у

ки игл*,, а 8т-тг-

81П

та

Ч ■>;

(2)

-------------------- 81П ^-----

5- тг

Отсюда дисперсионное уравнение ЬЕ-волн запишется в виде

равенства нулю определителя систем ¡л (1)

а,

! О,

I 'пе -Ч1Р:

?'пп -1; ''пе О, Я £>.

13 дальнейшем будет рассмотрен режим --колебаний { '^О ■■■-). Это позволяет привести уравнение (2) к удобному для расчета виду

■пе

8 [2е — 1. I

------------------------ д- !

1М А •':/>' ' ;

/г,° Л 8111 мг,

2 _ 2

9 о-

п/

где

(1

9

л- Т-

(2 С 1)::

СР

(2п 1) -

'П

I) " О

Введем новые п е ре ме иные:

•V,, ( . \ух\. ■ ( -1)-' «X

. У, (•• • 1)'' X' — (— I! X'_ , „,

•отсюда

V, (- : ' (-V, у. )-

(4)

А"

( 1)'" 1 (л*,—у

о-

После подстановки (о) и (1), имеем

<- 1)4*,-.-у,,) 1)"Сх„ у„)■; (■-1)'^1а,,_(„,ьи/г-уя);-.

/7 П

(■(-V у,/)

¡г 1). // ( 1 )"(А"/г,:-Ул)-;-а-и- 1). [п : п . п »

(- 1)" Чд-л Уп) ¡' ■

Складывая и вычитая последние два равенства и используя со отношения

■еп

(« : {<• 1). : а -{Г 1), п 3-е. (п .1)

получим

3-е. <(' -;• 1,< • — ¡<» П, Я • /«?+;-1; ,

(— IV' a (е--лкп\уп\ ' (6)

« - О

(-1)»xe - ^ (--I )"{*„„■ .(í, . l)tn\(x„, (7)

де

3/2

8 V A-;t^Asin L o

Чп- -<e+\). n — - tg Л-;; • V-----_ ,--—----:

Da к*.

S-T,

d2 /\ d-o - 2¿? ;-l -(/

isin — eos-------------- • (8)

2 2 D '

8 V + ,

J-im - 7 (с+ь. « - ---- tg k{, g

Da к('

0 x n / d . \jn d

«■"tí?к Л sin sin - -

1 ' 0 2 2

02

® A'í le /х'(л; A Sin (2/7 1) ----- - sr.

I ......л,.........

..... 2

Как видно, системы (6) и (7) независимы, имеют различные коэффициенты и, следовательно, собственные значения К. Пусть К есть собственное значение системы (7), т. е. при этом К выполняется соотношение

/V - (А-<е . V, п ):' ^ 0. (9)

Тогда х'е ф 0, но определитель (6) отличен от нуля и, следовательно, уе 0. Используя (5), заключаем, что решением (7) являются волны, амплитуды гармоник которых подчинены условиям

Хе ъ; (10)

е- 0,1,2...

Непосредственной подстановкой (10) в выражения для компонент поля можно убедиться, что система (7) определяет волны с максиму мом продольного электрического поля в центрах ячеек.

Аналогично можно показать, что если системе (6) и соответствует не нулевое решение, то оно ведет к волнам, продольное электрическое поле которых в канавках в среднем равно нулю. Поэтому ниже решение проводится лишь для системы (7).

Коэффициенты системы (7) с помощью (8) представлены в виде бесконечных рядов. Очевидно, что подсчет их по этой причине несколько затруднителен и прежде всего найдем приближенные, но достаточно точные для ряда практических случаев выражения для .коэффициентов в замкнутой аналитической форме.

Используя очевидное равенство

% d [sr. . % d : sr. 1 i (% - 3„ )d (% \ ■ ) d

sin'----------' - sin- ...... cos ——----------(— 1) cos - - - -

2 2 2 I 2 2

и принимая во внимание, что

К " ^ i------ ; ttf к* h - /',

d

можно сумму в правой части уравнения (8) записать в виде

с i \ ■ - .....- - --.-, -.,..... COS •- ----'

o'w _ Г \ 2

Г d~ !\ d-^ ( -\)ss*d с()ц í;v >„) d

S'rr , , -S- Г" , 9

j- m ¡y" ~~ " ' 7»""" d- 1 [ d- I

Проведя суммирование в (11), получим для '¡en o.en--i V и в i л ра ж е н и я в 11д а:

8 i %d % d .

~;т> — -....... - - sin - sin ' A

(2// 1 )J (2 с 1) 2 2

l).n !■

{2 e 1 1) . %d }nd

-.................- sin - — ' "

(n e)(n -e 2

Sin - sin { W).

v. / \ _ 0 (lj / }n d \ 2~ 2 - : _ Mír 3„ d .....n ct(j % d

2 Ц?«а\ ^ j -ctu;

\ 2 - I 3„ d 3„ d

' ! 1 l 2- / ' \ 2 - / % d 3 nd ] 2

-и

%d

. /7/7

где

sur „ J r , G ,

S _ 2 Id sjn, i.,,/ .'/, d

-:s (2// M )a />- 2

2u- | a7

D '

D-d

(13)

О (х) — логарифмическая производная гамма-функции Г (д-). Формулы (12) и (13) дают достаточно точные выражения для коэффициентов системы, если только высота диафрагм не очень мала. Хотя последнее всегда выполняется для медленных волн в режиме -к-колебаний, при желании можно было бы провести дальнейшее

уточнение, удерживая члены, пропорциональные 1,

\ к* 1

Мы не будем этого делать, так как при тех значениях параметров, для которых система будет решена, ошибки от пренебрежения поправками ничтожны.

Для решения системы (8) введем относительные амплитуды гармоник

-V, • (14)

Л*0

Далее из первого уравнения (8) выразим Л как функцию Хп и размеров волновода, остальные уравнения дают неоднородную систему относительно гармоник.

Как было показано в [3|, для О (1 полученная система относится к типу вполне регулярных систем. Если Ъ\(1 не равно 1, но близко к 1, то из аналитичности коэффициентов следует, что регулярность или вполне регулярность сохраняется. Она может нарушиться лишь для малых (/-¡О. Таким образом, если ¿¡й не очень мало, система (8) будет относиться к типу регулярных и для решения ее может быть применен метод редукции.

Решение (8) производилось в восьмом приближении, т. е. полагалось Хп 0 при п: -9. Это эквивалентно расчету с учетом первых 18 гармоник, 9 прямых и 9 обратных. Результаты расчета гармоник для

различных приведены на рис. 2. Точность расчета тля ----- 1

и

может быть оценена строго и составляет 2 : 3 °0 для первых гармоник,

(I

увеличиваясь до 15% для восьмой .гармоники. При —— < 1 точность несколько хуже, однако можно ожидать, что все же точность расчс-

1'ис. 2. Гие. 3.

та первых пяти гармоник не выходит за 10 : \о%. Строгая оценка точности здесь затруднительна, но точность в 10% вполне достаточна для всех практических случаев. Значения Хп, полученные решением бесконечной системы (8), далее будем называть истинными значениями гармоник.

Знание величины Л позволяет определить волновое число /г в режиме * - колебаний. Результаты расчета его очень мало зависят от d\D, что иллюстрируется рис. 3.

В соответствии с целью настоящей работы вычислим амплитуды гармоник в приближении заданного поля на границе раздела у g. Здесь используется ряд вариантов, причем, как уже отмечалось, чаще всего используют приближение, учитывающее одну гармонику в резонаторах. При этом

О О z--t

v ■ const f< 2 </ d 1 t. • 05)

0 d : t <fz< " I)

< cos -\ (I

Аппроксимация вида (15) дает относительные амплитуды гармоник в виде

% d sin о"" о

х\ ir. do)

sin - d

Эту формулу можно получить непосредственно из бесконечной системы (7), если в (7) пренебречь всеми членами, кроме тех, которые пропорциональны Л.

Более точная аппроксимация, предложенная Уолкиншоу [4], а также Чу и Хансеном [5| для круглого волновода, учитывает особенность поля на ребрах диафрагм

Е

0:

COS.....- л*

а

О

const t)(: d t

О:

/<Г d í...

d í<z I)

(17

Согласно этой аппроксимации при г t и z d t поле Ez обращается в бесконечность с показателем 1/2. Гармоники, отвечающие (17), даются выражением

;v d

\ 2

Xd

(

{\7а)

Однако степень обращения полей в бесконечность дейтвительно равна 1 2 лишь для бесконечно-тонких диафрагм. Для диафрагм с / • 0 степень обращения в бесконечность меньше и равна 1/3. Это непосредственно следует из решения статической задачи о поле вблизи угла в тг/2. Поэтому следует ожидать, что более точная аппроксимация будет

- сопя! , . . , ,

/• . СО8 — А- ■ ----------------------------•.t< г с1 !.

а 1(2 - й /)|

0: Л+Ь<г<р

с амплитудами гармоник

Л*"1 (- 1

С 4

2 / / 3.. V-

М \\ %

(19

Функции У -в (х) табулированы (7), так что расчет по последней формуле не представляет труда.

Хп

Ю 0.8 0.6 ол 02

О

V

лл

п

1.0 0.8 0.6 ОЛ 0.2 0 -0.2

>

V _2 Л

3

и 6

Риг, 4.

О 2

п

Рис. 5.

Результаты расчета представлены на рис. 3, 4, 5. Кривая 1 всегда представляет истинные значения гармоник. Кривая 2 —аппроксимация Уолкиншоу, кривая 3—аппроксимация (18) и кривая 4 отвечает (15).

Как следует из этих графиков и при < 1, ошибки, к которым ведет пользование простейшей аппроксимацией (15), довольно

й (I

велики, хотя они и сглаживаются, когда уменьшается. При™- ^

^=0,9 расхождение для первой гармоники в 1,6 раза, для второй гармоники результаты разнятся уже более чем в 2 раза, далее разница еще больше. При — = 0,7 разница для первой гармоники очень

велико, так как (16) дает результат, близкий к нулю. Вторые гармоники для этого случая отличаются в 1,5 раза. Приближение, которое дается аппроксимацией Уолкиншоу, значительно лучше. Еще лучшей

йьлчстся аппроксимация (18). Особенно хорошо это видно из рис. 4 а

для - 0,9. Расхождение между истинными значениями и кривой 3

для первых четырех гармоник всего несколько процентов.

Качественно ход всех кривых одинаков. При ( 0 кривые монотонно убывают, при ( Ф 0 они приобретают колебательный характер.

I г - ^ .

Наиоолыиее значение пеовых гармоник осуществляется пои — 1,

О

поэтому в приборах, работающих на высших гармониках, следует по возможности уменьшать толщину диафрагм. Значение 0,9 допустимо при работе на гармониках вплоть до третьей, однако --- 0,7 снижает амплитуду первой гармоники вдвое и, следовательно, сопротивление связи в 4 раза. Такое значение -у уже недопустимо мало.

Итак, в результате прямого решения бесконечной системы уравнений диафрагмированного вол но-Хл иода произведена оценка точности

приближенных методов, используемых для расчета дисперсии и амплитуд гармоник. Основной вывод, к которому мы пришли, состоит в том, что обычно используемое приближение, состоящее в учете лишь одной основной волны в резонаторах, непригодно для расчета работы приборов на высших гармониках. Сопротивление связи при таком приближении может разниться в несколько раз С другой стороны, это приближение дает довольно точные результат!.! для расчета дисперсионных свойств волновода. Приближение, получаемое с помощью пробной функции Уолкин-шоу (17), дает хорошие результаты лишь для бесконечно тонких диаф-

(.0 0,8 0.6 ом 0.2 О -0,2 -О,и

!

\\Д \ / 3

\\\у /

1

2 А

Рис. 6.

в

водов с (ф0 предложена пробная функция (18), относящаяся к типу Уолкиншоу, но более точно учитывающая особенности полей на ребрах диафрагм. Эта функция обеспечивает значительную точность, по крайней мере для первых номеров гармоник.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебании и ноля электронами потоками. ГИТТЛ, Москва, стр. 192, 1953.

2. М. Ф. Стел ьмах. О взаимодействии электронного потока с поле?* простран-с;ченных гармоник. Радиотехника и электротехника, т. 2. 4, 470, 1957.

3. Е. С. К о в а л е н к о и В. С. Коваленко. К теории диафрагмированного голновода прямоугольного сечения. Изв. вузов МВО СССР, Радиотехника, № 1,

г.

-1. W. W a I ki n s h a w. The proc. of the Phys. Sue,,. V. 61, 3, > 345. p. 246. 1948. ."j. \i. L. С h u, W. W. H a n s e n. Journal of Applied Physics'. V. 18. № 11. p. 996, I 947.

E. С. Коваленко, В. И. Ш и м а н с к и й. Синфазные волны в диафрагмированном волноводе прямоугольного сечения. Изв. вузов МВО СССР, Радиотехника,

2, 1960.

7. В а т с о п. Теория бесселевых функций, т. П. ИИЛ., 1949.