CC BY
7
Научная статья
УДК 517.925+515.162.323
ББК 22.161.6
У 95
DOI: 10.53598/2410-3225-2022-1-296-31-45
Некоторые применения теории индексов в качественной теории автономных полиномиальных дифференциальных систем
на плоскости (часть II)
(Рецензирована)
Адам Дамирович Ушхо
Адыгейский государственный университет, Майкоп, Россия, uschho76@mail.ru
Аннотация. Рассмотрены индексы состояний равновесия кубической дифференциальной системы на плоскости. Дано новое доказательство известной теоремы Берлинского о числе состояний равновесия второй группы квадратичной системы. Приведены примеры конкретных систем.
Ключевые слова: полиномиальные дифференциальные системы, индекс Пуанкаре, преобразование Пуанкаре, сфера Пуанкаре, состояние равновесия, прямые изоклины
Original Research Paper
Some applications of index theory in qualitative theory of autonomous polynomial differential systems on the plane (Part II)
Adam D. Ushkho
Adyghe State University, Maikop, Russia, uschho76@mail.ru
Abstract. Indices of equilibrium states of cubic dfferential system on the plane are considered. The paper presents a new proof of the well-known Berlinski's theorem on the number of equilibrium states of the second group of the quadratic system. Examples of specific systems are given.
Keywords: polynomial differential systems, Poincare index, Poincare transformation, Poincare sphere, equilibrium state, straight isoclines
Работа является окончанием статьи, опубликованной в данном журнале в 2021 году. Порядок нумерации теорем, формул и примеров сохранен [1].
Теорема 20. Если индекс состояния равновесия O(0,0) системы (27) равен 1, то оно является либо топологическим узлом, либо фокусом, либо центром, либо состоянием равновесия, к которому примыкают два эллиптических и два гиперболических сектора.
Доказательство. В силу теорем 18 и 19 к состоянию равновесия O либо примыкают два эллиптических сектора, либо их вовсе нет. По условию J (O) = 1, поэто-
e — h
му из формулы Бендиксона J = 1 н—-— следует, что числа эллиптических и гипер-
Окончание. № 4 (291) 2021.
болических секторов в достаточно малой окрестности точки 0(0,0) равны. Если отсутствуют эллиптические секторы в окрестности 0(0,0), то отсутствуют и гиперболические секторы. Следовательно, О (0,0) - состояние равновесия типа узел, фокус или центр.
Пример 4. Четыре прямые у = ±4х, у = ±2х состоят из траекторий системы
dx , „ ч2 f 41 - = (y - Зх) I y + - x
dy , Je 2 113 17 2
i=(y - x) f 64x - Txy+T y
(28)
Легко проверить, что вдоль всех траекторий, примыкающих к состоянию равновесия О(0,0), изображающая точка удаляется от О с возрастанием I. Поэтому О (0,0) - неустойчивый сложный узел (см. рис. 8).
Рис. 8. Состояние равновесия O (0,0) системы (28) есть сложный
неустойчивый узел
Fig. 8. The equilibrium state O (0,0) of system (28) is complex
unstable node
Пример 5. Начало координат для системы
dx
dt dy_ dt
= (y - 2x)(32x2 - xy + 3y2), = (y - Зх)(50x2 + 43xy + 20y2)
(29)
является неустойчивым топологическим узлом, через который проходит единственная инвариантная прямая у = 5х (см. рис. 9).
Рис. 9. Точка 0(0,0) - неустойчивый топологический узел системы (29) Fig. 9. Point O (0,0) is unstable topological node of system (29)
Пример 6. Две прямые y = 4x и y = x состоят из траекторий системы
dx
— = (y — 2 x )(40 x2 — 21xy + 3 y2), dt
^ = (y — 3x)(16 x2 — 8 xy + 3 y2). dt
(30)
В окрестности точки О (0,0) расположены два эллиптических и два гиперболических сектора (см. рис. 10).
Рис. 10. К состоянию равновесия O(0,0) системы (30) примыкают два эллиптических и два гиперболических сектора Fig. 10. and two hyperbolic sectors are adjacent to the equilibrium state O (0,0) of system (30)
Пример 7. Начало координат О (0,0) системы с1х 1
— = -(у--х )(42470х2 +12548ху + 4050у2),
Ж 2
Жу = (у - 5х)2(1627у + 324х)
Ж
является неустойчивым фокусом (рис. 11).
Рис. 11. Состояние равновесия O (0,0) системы (31) является сложным
неустойчивым фокусом Fig. 11. The equilibrium state O (0,0) of system (31) is complex unstable focus
Пример 8. Начало координат O (0,0) системы
dx = (y - x)(2x2 + xy + 4y2), dt
dy = (y - 2 x )(8 x2 + xy + y2) dt
является центром (рис. 12).
(31)
(32)
Рис. 12. Точка O(0,0) - центр системы (32) Fig. 12. Point O (0,0) is the center of system (32)
Теорема 21. Если индекс начала координат 0(0,0) системы (27) равен -1, то к нему примыкают четыре гиперболических сектора и не примыкает ни один эллиптический сектор.
Доказательство. По условию У (О) = -1, поэтому с учетом формулы Бендик-е — И
сона У = 1Л—2— получаем равенство И — е = 4 . В силу однородности многочленов
Р3(х,у) и @3(х,у) в системе (27) числа И и е - четные. Случай е = 4, И = 10 автоматически исключается согласно работе [2]. Таким образом, возможны предположения: а) е = 2, И = 6; б) е = 0, И = 4.
Покажем, что случай а) не реализуется. Предположим, что каноническая окрестность точки О (0,0) содержит шесть гиперболических секторов и два эллиптических сектора. Такое предположение по необходимости допускает существование четырех инвариантных прямых системы (27), пересекающихся в начале координат. Подходящим невырожденным линейным преобразованием всегда можно совместить две инвариантные прямые с осями координат так, чтобы две остальные инвариантные прямые принадлежали первому и третьему квадрантам. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что х = 0, у = 0, у = кх х, у = к2х , где 0 < к1 < к2 - инвариантные прямые
системы (27). С учетом ранее упомянутой нами леммы 3 [3, с. 351] между двумя эллиптическими секторами расположены три гиперболических сектора. Для определенности полагаем, что эллиптический сектор расположен между прямыми у = к2 х и х = 0 (см. рис. 13).
Рис. 13. Эллиптический сектор заключен между инвариантными прямыми
y = к2 x и x = 0
Fig. 13. The elliptic sector is enclosed between invariant lines y = к2 x and x = 0
Из рисунка 13 видно, что система (27) имеет четыре прямые изоклины бесконечности, проходящие через точку 0(0,0) . Но это невозможно, так как изоклина бесконечности может распадаться не более чем на три прямые. При любом другом расположении эллиптического сектора мы придем к противоречию, заключающемуся в том, что изоклина бесконечности P3( x, y) = 0 или изоклина нуля Q3( x, y) = 0 распадается не более чем на три прямые.
Таким образом, если 3 (О) = -1, то каноническая окрестность сложного состояния равновесия О(0, 0) содержит четыре гиперболических сектора и не содержит ни одного эллиптического сектора.
Пример 9. Прямые у = ±х, у = 2х являются инвариантными для системы
dx = y(6x2 - 4xy + y2), dt
& = x(4x2 - 4xy + 3y2).
(33)
Окрестность начала координат О (0,0) состоит из четырех гиперболических секторов и двух параболических (узловых) секторов (рис. 14).
Рис. 14. Окрестность начала координат O (0,0) системы (33) состоит из двух
параболических (узловых) и четырех гиперболических секторов Fig. 14. The vicinity of the origin of coordinates O (0,0) of system (33) consists of two parabolic (nodal) and four hyperbolic sectors
Теорема 22 (А.Н. Берлинского) [4]. Число состояний равновесия второй группы системы (3) не превосходит двух.
Состояние равновесия M (x0, y0) типа «фокус» или «центр» системы (1) называется состоянием равновесия второй группы, если выполняется одно из условий:
Р'А.x0, y0) + Qy (x0, y0) = 0 Р'А.x0, y0)Qy (x0, y0) - Ру(x0 , y0)QA.x0, y0) > 0 > (34)
К(x0. y0) + Qy(x0.y0) = 0 P(x0.y0)Qy(x0. y0) - Ру(x0.y0)Q!(x0.y0) = 0 . (35)
Условие (34) ((35)) соответствует случаю чисто мнимых корней характеристического уравнения (двух нулевых корней характеристического уравнения) состояния равновесия M(x0,y0) . Согласно [5] для системы (3) могут иметь место только состояния равновесия второй группы с условием (34).
Приступим к доказательству теоремы.
Допустим, что система (3) имеет три состояния равновесия второй группы
A, B, C . Тогда для каждого из них выполняется (34), а значит, все состояния равновесия A, B, C простые. Квадратичная система (3) не может иметь три состояния равновесия на одной прямой, поэтому непременно выполняется условие:
Ргх(x,y) + Q'2y(x,y) - 0. (36)
В силу (36) состояния равновесия A,B,C могут быть только центрами. Согласно [4, 6] любая прямая, проходящая через два состояния равновесия системы (3), является ее изоклиной.
Таким образом, прямые AB,BC,AC - изоклины системы (3). Посредством подходящего линейного невырожденного преобразования [2] переведем прямые AB и AC в изоклины бесконечности и нуля соответственно. Не сужая общности, рассмотрим систему
dx
— = (ax + by)( cx + dy +1), dt (37)
— = (rx + sy)(nx + ky +1). „dt
Предполагаем, что начало координат предварительно перенесено в точку A . По теореме 9 сумма индексов всех бесконечно удаленных состояний равновесия системы (3) удовлетворяет условию -1 < Е < 3 .
Учитывая, что по условию теоремы в ограниченной части фазовой плоскости три состояния равновесия, каждое из которых имеет индекс, равный 1, а также работу [7], согласно которой сумма индексов всех состояний равновесия системы (3), включая и бесконечно удаленные, равна 1, приходим к выводу, что система (3) имеет еще одно состояние равновесия с индексом -1 в ограниченной части фазовой плоскости. Оно является седлом и расположено внутри треугольника ABC . Обозначим это состояние равновесия через D (рис. 15).
Рис. 15. Состояния равновесия A, B, C образуют треугольник, внутри которого
расположено седло D Fig. 15. Equilibrium states A,B,C shape a triangle within which saddle D is located
Сепаратрисы, примыкающие к седлу D, предполагаем расположенными в секторах 1-4. Для определенности полагаем, что в секторах 1 и 3 расположены а -сепаратрисы, а в секторах 2 и 4 - с -сепаратрисы седла D. Ни одна из сепаратрис седла D в достаточно малой его окрестности не пересекает изоклины DK, DB, DC, DL, DA.
Положительная полутраектория - часть а -сепаратрисы, примыкающей к седлу D и расположенной в секторе 1, пресекает сторону BC треугольника ABC . В самом деле, если предположить, что эта полутраектория при t ^ остается внутри треугольника DBC , то согласно [8] допускается существование со -предельного множества (замкнутой траектории) для данной положительной полутраектории. Но это не-
возможно, так как внутри треугольника DBC нет состояний равновесия системы. Аналогичным образом доказывается, что сепаратрисы, расположенные в секторах 2, 3, 4, пересекают [AL], [BK] и [LC] соответственно. Из проведенных рассуждений следует, что между двумя состояниями равновесия A и C две несогласованные точки [3]. Следовательно, на стороне AC треугольника ABC найдется хотя бы один контакт, отличный от A и C . Пришли к противоречию с тем, что на любой прямой, не являющейся инвариантной, сумма числа состояний равновесия и числа контактов не превосходит двух [2, 3].
Теорема доказана.
Замечание 5. Доказательство теоремы 22, приведенное в статье [4], отличается от доказательства, приведенного нами.
Рассмотрим систему
dx
,, = Pm (y) + Pr (у ), dt
d; = Qm (x У ) + Qs (x У ), dt
(38)
правые части которой взаимно простые многочлены над полем причем
г, s > т, т > 1, Рт (х, у), @т (х, у) - однородные многочлены степени
т,Р2т(х,у) + е2(х,у) # 0.
Теорема 23. Если индекс состояния равновесия О(0,0) системы (38) равен т(—т), где т > 1, то к точке О(0,0) примыкают ровно 2т - 2 эллиптических секторов и не примыкает ни один гиперболический сектор (примыкают ровно 2т + 2 гиперболических секторов и не примыкает ни один эллиптический сектор).
е — И
Доказательство. Пусть 3(О) = т, тогда по формуле Бендиксона 3 = 1 +——
имеем равенство е = 2т — 2 + И , то есть
е > 2т — 2. (39)
С другой стороны, в силу известной работы [2] верна оценка
е < 2т — 2. (40)
Из (39) и (40) следует, что е = 2т — 2, а вместе с тем и И = 0 . Пусть далее 3(О) = — т. Принимая во внимание формулу Бендиксона
3 = 1 + е 2 И , получаем формулу:
3 = 2т + 2 + е . (41)
Из (41) следует неравенство
И > 2т + 2. (42)
Рассмотрим окружность радиуса е(е > 0) . Число контактов этой окружности с траекториями системы (38) удовлетворяет неравенству
N > И , (43)
так как указанная окружность имеет хотя бы один контакт в каждом из И гиперболических секторов. С другой стороны, в силу [9]
2(т +1) > N . (44)
Из (43) и (44) следует неравенство
И < 2т + 2, (45)
а, значит, е = 0 .
Теорема доказана.
Теорема 24. Если система (27) имеет на экваторе сферы Пуанкаре сложное состояние равновесия, индекс которого равен -3, то непременно эта система имеет в ограниченной части фазовой плоскости три простых узла, расположенных по одному на трех инвариантных прямых, и один простой узел на бесконечности.
Доказательство. Предположим, что А(и = 0, г = 0) - состояние равновесия системы (27) на экваторе сферы Пуанкаре и 3 (А) = —3. Тогда согласно теореме 3 в правых частях (46) отсутствуют все члены до второго измерения включительно, но при этом в правой части каждого уравнения этой системы имеется хотя бы один кубический член.
^ = ¿30 + (Ь21 — а30)и + Ь20г + (Ь12 — а21)и 2 + (Ь11 — а20)иг + Ь102 2 + (Ь03 — «12)м' + (Ь02 — а11)и 2 +
ш
+(Ь01 — а10)иг2 + Ь00 г3 — а03и4 — а02и3 г — а01и2 г2 — а00иг3 = Р (и, г), (46)
Шг 2 2 2 3 3 22 3 4 \
— = —а30г — а21иг — а20г — а12и г — а11иг — а10г — а03и г — а02и г — а01иг — а00г = у(и, г). Ш
Все бесконечно удаленные состояния равновесия системы (27), за исключением «концов оси у », определяются из системы
Г г = 0,
1 (47)
[ /(и) Ф ¿30 + (¿21 — а30)и + (Ь12 — а21 )и 2 + (Ь03 — а12)и' — «03И 4 = 0.
Система (46) получена из системы (27) в результате применения преобразования Пуанкаре [6]
1
х = —,
г и
у = -.
г
Нами изучаются состояния равновесия на бесконечности при условии /(и) Ф 0. Согласно теореме 23 А - восьмисепаратрисное седло, а система (27) имеет вид:
Шх 2 2 3
— = «00 + «юх + %ху + апху + «02у + аиху + а(Ву ,
Ш (48)
^ = ¿00 + ¿01 у + ¿02 у2 + ¿03 у3.
аХ
Поскольку /(и) Ф 0, то уравнение из системы (47) запишется в виде:
(¿03 — а12 — а03и)и3 = 0 . (49)
Из (49) видно, что |й03 — а12| + |а03| > 0.
Если а03 = 0, то ¿03 — а12 ^ 0, более того, ¿03а12 ^ 0 (в противном случае в правой части хотя бы одного из уравнений системы (46) отсутствуют кубические члены).
Тогда = 0, г = 0) - простое состояние равновесия системы
dv = а03 + (а12 - b03)v + а02z + (а21 - ¿12)v2 + (аи - bo2)vz + aoiz2 + (a3o - b2i)v3 + (a2o - bii)v2z" dt
+(aio - boi)vz + aooz - b30v - b20vz - biov z - boovz = P(v,zX
dz ~
— = -b03z - bi2vz - b02z2 - b2iv2z - biivz2 - b0iz3 - b30v3z - b20v2z2 - bi0vz3 - b00z' = QQ(v, z)-dt
(50)
Система (50) получена из системы (27) посредством второго преобразования Пуанкаре [6]
V
х =—,
г 1
у = -.
2
Из вида правых частей системы (48) следует, что она может иметь не более трех состояний равновесия, каждое из которых расположено на инвариантной прямой. Так как Ъ03 ^ 0, то уравнение
Ъ00 + Ъ01 у + Ъ02 у2 + Ъ03 у3 = 0 (51)
имеет хотя бы один действительный корень.
Возможны следующие предположения о корнях уравнения (51): 1) один трехкратный корень; 2) один простой и один двукратный корень; 3) один действительный и два комплексно-сопряженных корня; 4) три различных корня.
В силу того, что правая часть первого уравнения системы (48) есть линейная функция по переменной х , то на каждой инвариантной прямой у = у{, где у{ - корень уравнения (51), расположено не более одного состояния равновесия системы (48).
При этом простому корню уравнения (51) соответствует простое состояние равновесия типа узла или седла, двукратному (трехкратному) корню - состояние равновесия с индексом ноль (1 или -1). Поэтому ни в одном из случаев 1) - 3) сумма индексов всех состояний равновесия системы (48) не равна 1.
Следовательно, в ограниченной части фазовой плоскости система (48) имеет три узла, а на бесконечности, кроме точки Л(и = 0, г = 0), один простой узел В (V = 0, г = 0).
Можно показать, что в условиях данной теоремы невозможен случай
а03 ^ 0, Ъ03 — а12 = 0 и что состояние равновесия В и =
V
узлом, причем простым. Теорема доказана.
Пример 10. Система
_ 2 3
— = х — у — 2 ху + у,
а,
Жу 3
а,= у—у
b - а ^
bo3 «i2 z = 0
ап
также является
у
(52)
имеет в ограниченной части фазовой плоскости три простых узла: (0,0),(0,—1), (0,1), а на бесконечности - восьмисепаратрисное седло Л(и = 0, г = 0) и простой узел В(и = —3, г = 0) (рис. 16).
Рис. 16. На экваторе сферы Пуанкаре система (52) имеет восьмисепаратрисное седло A(u = 0, z = 0) и простой неустойчивый узел B(u = —3, z = 0)
Fig. 16. At the equator of the Poincare sphere, the system (52) has an eight-separatrix saddle A(u = 0, z = 0) and a simple unstable node B(u = —3, z = 0)
Теорема 25. Если система (27) имеет на экваторе сферы Пуанкаре сложное состояние равновесия, индекс которого равен 3, то в ограниченной части фазовой плоскости эта система имеет либо одно простое седло, либо одно простое седло и двукратный седлоузел, либо три простых седла, либо одно сложное трехкратное седло. На бесконечности наряду с состоянием равновесия, индекс которого равен 3, система имеет также простое состояние равновесия типа седла или узла.
Доказательство. Согласно теореме 23 к состоянию равновесия A(u = 0, z = 0) примыкают четыре эллиптических сектора и не примыкает ни один гиперболический сектор. В условиях данной теоремы система (27) приводится к системе (48). Поэтому любое состояние равновесия системы (48) в ограниченной части фазовой плоскости расположено на инвариантной прямой y = yi, где yi - корень уравнения (51). При этом
никакие два состояния равновесия не лежат на одной и той же инвариантной прямой.
Поскольку каждое состояние равновесия системы (48) в ограниченной части фазовой плоскости является обыкновенной точкой изоклины бесконечности, то простое состояние равновесия может быть только седлом, а сложное - либо седлоузлом, либо топологическим седлом [6]. Если уравнение (49) имеет два действительных корня, то один корень простой, а другой - двукратный. Следовательно, в ограниченной части фазовой плоскости система (27) имеет одно простое седло или один двукратный седло-узел, на бесконечности по необходимости система имеет, кроме A(u = 0, z = 0), одно простое седло. Если уравнение (49) имеет три различных действительных корня, то каждому из них соответствует одно простое седло. На бесконечности наряду с точкой A(u = 0, z = 0) система имеет один простой узел. Теорема доказана.
Пример 11. Система
имеет в ограниченной части фазовой плоскости простое седло (0, 0) и двукратный седлоузел (—2,1), а на бесконечности - состояние равновесия А(и = 0, г = 0) с че-
(53)
тырьмя эллиптическими секторами и простое седло D (v = 0, z = 0) (рис. 17).
Рис. 17. Система (53) имеет на бесконечности состояние равновесия A(u = 0, z = 0) с четырьмя эллиптическими секторами и простое седло D (v = 0, z = 0)
Fig. 17. The system (53) has an equilibrium state A(u = 0, z = 0) at infinity with four elliptical sectors and a simple saddle D (v = 0, z = 0)
Пример 12. Единственное состояние равновесия системы
dx 2 r\ 2
— = - x + y + xy + y + 2 xy , at
dy 2 3
-f = y+y2 + y3 dt
(54)
в ограниченной части фазовой плоскости - простое седло (0,0) , а на бесконечности -состояние равновесия А(и = 0, г = 0) с четырьмя эллиптическими секторами и простое седло В (V = 0, г = 0) (рис. 18).
Рис. 18. Система (54) имеет на бесконечности простое седло D (v = 0, z = 0) и сложное состояние равновесия A(u = 0, z = 0) с четырьмя эллиптическими секторами. В ограниченной части фазовой плоскости расположено одно простое седло Fig. 18. The system (54) has a simple saddle D (v = 0, z = 0) at infinity and a complex equilibrium state A(u = 0, z = 0) with four elliptic sectors. One simple saddle is located in limited part of phase plane
Пример 13. Система
dx . 2
— = - x - 2 y + xy + 4 xy , dt
dy 3 d=y - y
(55)
имеет в ограниченной части фазовой плоскости три простых седла (0,0), (-1, -1), ^ 1,11, а на бесконечности - простой узел В (V = 0, г = 0) и сложное состояние равновесия А(и = 0, г = 0) с четырьмя эллиптическими секторами (рис. 19).
Рис. 19. Система (55) имеет на бесконечности сложное состояние равновесия А(и = 0, г = 0) с четырьмя эллиптическими секторами и простой неустойчивый узел В (V = 0, г = 0), а в ограниченной части фазовой плоскости - три простых седла
1
0(0,0), B 1J, C(-1,-1)
Fig. 19. The system (55) has a complex equilibrium state A(u = 0, z = 0) at infinity with four elliptic sectors and a simple unstable node D (v = 0, z = 0), and in the bounded part of the phase plane there are three simple saddles
0(0,0), Bfl,1l, C(-1,-1)
Пример 14. Система
dx _ 2
— = —x + xy + 2 xy dt
dy 3
— = y3 dt
(56)
имеет в ограниченной части фазовой плоскости единственное состояние равновесия (0,0) - топологическое седло, а на бесконечности - сложное состояние равновесия А(и = 0, г = 0) с четырьмя эллиптическими секторами и простое седло В (V = 0, г = 0) (рис. 20).
D
D
Рис. 20. Система (56) имеет на бесконечности сложное состояние равновесия A(u = 0, z = 0) с четырьмя эллиптическими секторами и простое седло D (v = 0, z = 0), в конечной части фазовой плоскости - топологическое седло (0,0) Fig. 20. The system (56) has a complex equilibrium state A(u = 0, z = 0) at infinity with four elliptic sectors and a simple saddle D(v = 0, z = 0), in the final part of the phase plane - topological saddle (0,0)
Примечания
1. Ушхо А.Д. Некоторые применения теории индексов в качественной теории автономных полиномиальных дифференциальных системна плоскости (часть I) // Вестник Адыгейского госуниверситета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. 2021. Вып. 4 (291). С. 30-45. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Ушхо Д.С. Прямые изоклины и канонические формы полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Майкоп, 2007. 93 с.
3. Тун-Цзинь-чжу. Расположение предельных циклов системы
dx /dt = X2 (x, y), dy / dt = Y2 (x, y) // Периодический сборник переводов иностранных статей: Математика. 1962. Т. 6, № 6. С. 150-168.
4. Берлинский А.Н. О поведении интегральных кривых одного дифференциального уравнения // Известия высших учебных заведений. 1960. № 2 (15). С. 3-18.
5. Ляпунов А.М. Общая задача устойчивости движения. Москва: Гостехиздат, 1950.
472 с.
6. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. Москва: Наука, 1966. 568 с.
7. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1947. 392 с.
8. Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // Успехи математических наук. 1941. Т. 9. С. 191-211.
9. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. Состояния равновесия и смежные вопросы теории плоских векторных полей // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 1. С. 30-54.
References
1. Ushkho A.D. Some applications of index theory in qualitative theory of autonomous polynomial differential systems on the plane (Part I) // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser.:
Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2021. Iss. 4 (291). P. 30-45. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Ushkho D.S. Straight isoclines and canonical forms of polynomial differential systems on the plane. Maikop: ASU Publishing House, 2007. 93 p.
3. Tung Chin-Chu. Positions of limit-cycles of the system dx /dt = X2 (x, y), dy / dt = Y2 (x, y) // The periodic collection of transfers of foreign articles: Mathematics. 1962. Vol. 6, No. 2. P. 150-168; Sci. Sinica, 1959. Vol. 8, No. 2. P. 151-171.
4. Berlinsky А.N. On the behavior of integral curves of one differential equation // News of Higher Schools. 1960. No. 2 (15). P. 3-18.
5. Lyapunov A.M. The general problem of motion stability. Moscow: Gostekhizdat, 1950.
472 p.
6. Qualitative theory of second-order dynamical systems / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon and A.G. Maier. New York: John Wiley and Sons, 1973. 568 p.
7. Poincare Poincare A. On curves defined by differential equations. Moscow; Leningrad: Gostekhizdat, 1947. 392 p.
8. Bendixson I. On curves defined by differential equations // Successes of Mathematical Sciences. 1941. Vol. 9. P. 191-211.
9. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Equilibrium states and ajacent questions of the plane polynomial vector fields theory // Differential Equations and Control Processes. 2020. No. 1. P. 30-54.
Статья поступила в редакцию 29.12.2021; одобрена после рецензирования 28.01.2022; принята к публикации 29.01.2022.
The article was submitted 29.12.2021; approved after reviewing 28.01.2022; accepted for publication 29.01.2022.
© А Д. Ушхо, 2022
