CC BY
17Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
УДК 515.12 https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/04
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА ИДЕМПОТЕНТНЫХ
ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
©Холтураев Х. Ф., ORCID: 0000-0002-3239-5436, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г. Ташкент, Узбекистан, [email protected]
SOME APPLICATIONS IDEMPOTENT PROBABILITY MEASURES SPACE
©Kholturaev Kh., ORCID: 0000-0002-3239-5436, Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers, Tashkent, Uzbekistan, [email protected]
Аннотация. В работе доказан max-plus вариант теоремы Фубини для идемпотентных вероятностных мер. Также доказана метризуемость компакта, если пространство идемпотентных вероятностных мер, определенных на нем, наследственно нормально.
Abstract. For idempotent probability measures, max-plus variant of Fubini theorem is established. Further, it is proven metrizability of a given compact if the space of idempotent probability measures defined on the compact, is hereditary normal.
Ключевые слова: идемпотентная мера, компактное Хаусдорфово пространство, метризуемость.
Keywords: idempotent measure, compact Hausdorff space, metrizability.
Введение
Традиционную математику над числовыми полями можно трактовать как квантовую науку. Имеется и ее «классический аналог» — идемпотентная математика, т.е. математика над полуполями (и полукольцами) с идемпотентным сложением. Для идемпотентных полуполей выполнены все стандартные аксиомы кроме наличия вычитания; вместо этого выполняется свойство идемпотентности сложения; х + х = х. Типичным примером является алгебра max-plus, состоящая из вещественных чисел (и символа «минус бесконечность», играющего роль нуля) и имеющая операцию maximum в качестве сложения и обычное сложение в качестве (нового) умножения.
Напомним [1], что множество S называется полукольцом, если в нем определены две операции 0 — сложение и О — умножение, удовлетворяющие следующим условиям:
- сложение 0 и умножение О ассоциативны;
- сложение 0 коммутативно;
- умножение О дистрибутивно относительно сложения 0:
хО(у0г)=хОу0хОг и (х0у)Ог=хОг0уО2
для всех х, у, z £ 5.
Единицей полукольца S называется такой элемент 1 £ 5, что 1©х = х©1 = х для всех х £ 5. Нулем полукольца S называется такой элемент 0 £ 5, что 0^1 и 0©х = х©0 = х для всех х £ 5. Полукольцо S называется идемпотентным полукольцом, если х©х = х для всех
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №4. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/41
х £ 5. (Идемпотентное) полукольцо 5 с элементами 0 и 1 называется (идемпотентным) полуполем, если для любого ненулевого элемента множества 5 существует обратный элемент.
Изложим деквантование Маслова. Пусть М = (—от, +от) - поле вещественных чисел и М+ = [0, +от) - полуполе неотрицательных вещественных чисел (относительно обычных операций сложения и умножения). Рассмотрим отображение Ф^:М—> 5 = М и {-от}, определенное равенством
ФЛ(х) = hlnx,
h > 0.
(1)
Перенесем обычные операции сложения и умножения из М в 5 с помощью отображения
Ф^. Пусть
Тогда
и = Ф^(х) = hlnx, v = Ф^(у) = hlny.
( - -\
Ф^(х + у) = hln(x + у) = hln ( е^ + ем Ф^(ху) = hln(xy) = hlnx + hlny.
Положим и©^ = Ф^(х + у) и = Ф^(ху), т. е. и©^ = Л1п(е^ + е^) и и©^ =
и + V. Образ ФЛ(0) = —от обычного нуля 0 является нулем 0 и образ Ф^(1) = 0 обычной единицы 1 — единицей 1 в 5 относительно этих операций. Таким образом, 5 приобретает структуру полукольца М(й), изоморфного М+.
Непосредственная проверка показывает, что и©^ —» тах{и, V} при Л ^ 0. Несложно проверить, что 5 образует полукольцо относительно сложения и©^ = тах{и, V} и умножения и©^ = и + V с нулевым элементом 0 = —от и единицей 1 = 0. Обозначим это полукольцо через Мтах; оно является идемпотентным полуполем. Переход из М(й) к предельному состоянию Мтах при Л ^ 0 и процедура квантования аналогичны. Здесь параметр И играет роль постоянной Планка. Поэтому полуполе М+ = М(й) рассматривают как «квантовый» объект, а Мтах — как результат его деквантование. Изложенный переход из М+ к Мтах называется деквантованием Маслова.
Идемпотентная математика продвинута весьма далеко (в частности, построен идемпотентный функциональный анализ [1]) и имеет многочисленные приложения (в особенности в задачах оптимизации и оптимального управления [2-3]).
В настоящей статье рассмотрим функтор / идемпотентных вероятностных мер. В традиционной математике идемпотентной вероятностной мере соответствует вероятностная мера. Понятие идемпотентной меры (меры Маслова) находит многочисленные применения в различных областях математики, математической физики и экономики. В частности, такие меры возникают в задачах динамической оптимизации; аналогия между интегрированием Маслова и оптимизацией отмечена также в [3] где утверждается, что использование мер Маслова для моделирования неопределенности в математической экономике может быть настолько же релевантным, насколько и использование классической теории вероятностей. В отличие от случая вероятностных мер, рассмотрению которых посвящена обширная литература [4-5], геометрические и топологические свойства пространств идемпотентных мер практически не исследовано.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Основные результаты Пусть X — компакт (=компактное Хаусдорфово пространство), С(Х) — банахова алгебра непрерывных функций на X с обычными алгебраическими операциями и sup -нормой. На С(Х) операции © и © определим по правилам ф®^ = max{^,^} и ф©^ = ^ + где ф, ^ £ С(Х). Напомним, что функционал д: С(Х) —» М называется [6] идемпотентной вероятностной мерой на X, если он обладает следующими свойствами:
(i) д(Я^) = ^ для всех Я £ М, где Хх — постоянная функция (нормированность); (it) д(Я©^) = Я©д(ф) для всех Я £ М и ^ £ С(Х) (однородность); (ш) = для всех ф, ^ £ С(Х) (аддитивность).
Для компакта X обозначим через /(X) множество всех идемпотентных вероятностных мер на X.
Идемпотентная вероятностная мера непрерывна [11-12]. Действительно, всякая идемпотентная вероятностная мера д: С(Х) —» М сохраняет порядок, то есть неравенство ^ < ^ влечет д(^) < д(^), где ф, ^ £ С(Х). Действительно, так как неравенство ^ < ^
справедливо тогда и только тогда, когда ф©^ = ^ , то имеем
< = =
Кроме того, свойство (it) в определении означает, что всякая идемпотентная вероятностная мера д: С(Х) —» М слабо аддитивна, т. е. + Я^) = д(^) + Я для всех ^ £ С(Х) и Я £ М. Пусть теперь ф, ^ £ С(Х) — функции такие, что — < £ для некоторого £ > 0. Тогда —£z < ^ — ^ < £z, ф—£z < ^ < ^ + £z, д(^) — £ < д(^) < д(^) + £ т. е. — < £.
Ясно, что /(X) является подмножеством пространства Рассмотрим /(X) как
подпространство пространства Мс(х) — тихоновского произведения числовых прямых. Базу окрестностей идемпотентной вероятностной меры д £ /(X) относительно индуцированной из
в /(X) топологии образуют множества вида
(д;^!, = {v £ /(Г): К^ — < е, i = 1,...,п},
где £ С(Х), i = 1, ...,п, £>0. Таким образом, индуцированная топология и топология поточечной сходимости на /(X) совпадают. Для компакта X топологическое пространство /(X), снабженное топологией поточечной сходимости, является компактом [6].
Пусть X, Y — компакты, /: X —» Y — непрерывное отображение. Определим отображение /(/):/(Х)—»/(У) по формуле /(/)(д)(^) = ° /). Так как композиция непрерывных отображений непрерывна, то отображение /(/) непрерывно [12]. Таким образом, конструкция / переводит компакты в компакты и непрерывные отображения — в непрерывные, то есть / образует функтор, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений. Более того, конструкция / является нормальным функтором.
В работе [7] установлено взаимосвязь пространств /(X) идемпотентных вероятностных мер и Р(Х) «традиционных» вероятностных мер (т. е. неотрицательных, линейных и нормированных функционалов д: С(Х) —» М), а также построено пример, показывающий не изоморфность функторов / и Р.
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Напомним, что функтор Р: Сошр —» Сошр, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений, называется ([8], определение 14) нормальным, если он удовлетворяет следующим условиям:
1. F непрерывен F(limS) = limF(S),
2. F сохраняет вес (wX = wF(X)),
3. F мономорфен (т.е. сохраняет инъективность отображений),
4. F эпиморфен (т.е. сохраняет сюрьективность отображений),
5. F сохраняет пересечения ( F(RaXa) = Ha(F(Xa))),
6. F сохраняет прообразы ( F(/-1) = F(/)-1),
7. F сохраняет точку и пустое множество ( F(1) = 1 , F(0) = 0).
Расшифруем это определение. Пусть S = {Xa, Р^, н} — обратный спектр компактов
lim 5 = limS — его предел. Согласно теореме Куроша предел обратного спектра непустых
компактов F не пуст ([9], теорема 3.13) и является компактом ([9], предложение 3.12). Под
воздействием функтора F на компакты Xa и на отображения Р^, а, ß £ Н, а < ß, образуется
обратный спектр F(S) = {F(Xa), f(p/); н}. Пусть limF(S) — предел этого спектра. Условие
1 требует, чтобы выполнялось равенство F (limS) = limF(S). Для топологического пространства X через wX обозначают его вес, т. е. наименьшую из мощностей баз пространства X. Условие 2 требует, чтобы весы компактов X и F(X) были равны. Мономорфность функтора F (условие 3) позволяет считать F(4) подпространством F(X) для замкнутого Л с X. Отождествление F^) с подпространством F(X) осуществляется вложением F(i^), где /Л:А —> X — тождественное вложение. Условие 4 требует, что если /: X —> Y - непрерывное отображение «на», то F(/): F(X) —» F(Y) также было непрерывным «на» отображением. Для мономорфного функтора F условия 5 и 6 расшифровываются так: для любого семейства (Xa) замкнутых подмножеств произвольного компакта X выполнено равенство F(RaXa) = Ra(F(Xa)) (условие 5); для любого непрерывного отображения /:X—>Y и любого замкнутого В в Y выполнено равенство F(/-1(B)) = F(/)-1F(B) (условия 6). Условие сохранения точки означает, что F переводит одноточечное пространство в одноточечное.
Условие сохранения пересечений позволяет определить для мономорфного функтора F важное понятие носителя. Носителем точку х £ F(X) называется ([8], определение 18) такое замкнутое подмножество supp х с X, что соотношения А з supp х и х £ F(X) и определяется из соотношения
supp х = П(А с X: А" = А, х £ F(A)}, где А — замыкание множество
Как уже отметили, что функтор идемпотентных вероятностных мер, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений, нормален, то для каждого компакта X и для произвольной идемпотентной вероятностной меры д £ /(X) определен ее носитель:
supp д = П(А с X: А" = А,д £ /(А)}.
Для компакта X и положительного целого числа п определим следующее множество
/n(X) = {д £/(X):|suppp| <п}.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Положим
I ГУЛ — I, 'n
U*) = u£=i/„(x).
Множество всюду плотно в /(X). Идемпотентную вероятностную меру д £
называют идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем.
Пусть х £ X - некоторая точка компакта X. Функционал С(Х) —» М, определенный по правилу = ф(х), ^ £ С(Х), называется мерой Дирака. Каждая мера Дирака является
идемпотентной вероятностной мерой, причем supp = (х). Отметим, что
X ^ 5(Х) = (5Х: х £ X) = (0©5Х: х £ X) = /1(Х).
Каждая идемпотентная вероятностная мера д с конечным носителем представляется в
виде
М = Я1©5Х1©Я2©5Х2© ... ®Яп©<5Хи
единственным способом (с точностью до перестановка местами), где (х-^х2, ...,хп) -носитель д, т. е. supp д = (х1,х2, ...,хп). Здесь коэффициенты Я^ удовлетворяют условиям
Я^ > 0 = -от, I = 1,2, ...,п и Я1®Я2®...®ЯП = 1 = 0, (2)
и называется тах-р1^ барицентрической массой соответствующих точек х^, / = 1,2, ...,п. Ясно, что для идемпотентной вероятностной меры д с конечным носителем включение х^ £ supp д справедливо тогда и только тогда, когда ее тах-р1^ барицентрическая масса Я; > -от.
Напомним, что подмножество Ь пространства С(Х) называется тах-р1^-линейным подпространством в С(Х), если: 1) с^ £ Ь для каждого с £ М; 2) Я©^ £ ¿, для любых Я £ М и ^ £ Ь и 3) ф®^ £ ¿, для каждой пары ф, ^ £ ¿.
Следующее утверждение можно рассматривать как тах-р1^ вариант теоремы Хана-Банаха.
Лемма 1 [6]. Пусть Ь - тах-р1^-линейное подпространство в С(Х). Пусть д: С(Х) —» М — функционал, удовлетворяющий условиям нормированности, однородности и аддитивности (с заменой С(Х) на ¿). Для произвольного £ существует
удовлетворяющее условиям нормированности, однородности и аддитивности продолжение отображения д на минимальное тах-р1^-линейное подпространство ¿', содержащее I и
Установим max-plus-варианта теоремы Фубини. Для этой цели рассмотрим следующее подмножество в С(Х X У):
С0 = ^ £ С(Х) и ^ £ С(У), / = 1,2, ...,п, п £ М).
Очевидно, что С0 - max-plus-линейное подпространство в С(Х X У). Для всякой пары (д,у) £ /(X) X /(У) положим
Предложение 1. является идемпотентной вероятностной мерой на С0.
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Доказательство. Каждое с 6 К можно представить как = а^©Ъг, где а,Ьб!и а + Ъ = с. Поэтому = Ои©у)(а^©Ъг) = д(а)©т/(Ъ) = а©Ъ = с.
Пусть Я 6 Ктах и ®f=1ф¿ О ^ 6 С0. Тогда
Си©т/)(А©ФГ=1^ О = (Д©У)(®Г=1(Я О ^д О = ®Г=1М(Я О О К^) = = ®Г=1Я О дМ О К^) = Я О ®Г=1М(Ф.) О К^) = Я О (д®^)(®?=1<^ О ^¿).
Наконец, пусть ®"=1^1£ О ^ 6 С0 и ®у=1^2у О ^2у 6 С0. Тогда справедливо
О ®у=1^2У О ^гу) = О « = ®Д(<Рм) О =
= ®Г=1Д(^1) О ^(^10®®у=1М(ф2у) О К^гу) = О ^¿)®(®у=1<Р2У О ^гу)
Предложение 1 доказано.
Так как С0 — max-plus-линейное подпространство в С(Х х 7), то согласно лемме 1, существует продолжение идемпотентной вероятностной меры (д©у) на С(Хх 7). Положим
= 6 /(X х 7): ^|Со =
Таким образом, нами доказано следующий тах-р1^-вариант теоремы Фубини.
Теорема 1. Для всякой пары (д,у) 6/(X) х/(У) существует единственная идемпотентная вероятностная мера д©т/ 6 /(X х 7) такая, что О = М(<Р) О
у(^), <р 6 С(Х), ^ 6 С(У).
Приведем одно из приложений пространства идемпотентных вероятностных мер -критерий метризуемости компактов. Для компакта X рассмотрим множество
0 О /(X) = {д 6 /(X): д =©Х6Р 0 О 8Х, где Р замкнуто в X}.
Ясно, что 0 О /(X) замкнуто в /(X). Положим
= {Д6 ОД: Ирр < п}, ^„(Я) = /ОДУ^*),
где Р = 0 ОI или Р = /. Множества Рг^) и Рш^) рассматриваются как подпространства пространства /(X).
Для локально компактного пространства X через «X обозначают одноточечную александровскую компактификацию. Дискретное пространство мощности т обозначают символом .
Предложение 2. Если т— несчетный кардинал, то пространство (0 О I)22( не нормально.
Доказательство. В силу бесконечности кардинала т и дискретности множества существуют такие подмножества ^ и Р2 пространства что ^ несчетно, Р2 счетно и ^ П Р2 = 0. Определим подмножества Л1 и Л2 пространства (0 О 022(а^т), полагая
Л1 = {0©<5р®0©<5Х:х 6 Р1},
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Аг = {0©<5р®0©<5х':х' £ Р2),
где р £ . Очевидно, что П Л2 = 0.
Пусть д = 0©5Х1®0©5Х2 £ (0 О /)22(«^т)\Л1 . Множество <Д;/(х1),/(х1)^), где /с -характеристическая функция множества С, является открытой окрестностью меры д, не пересекающейся с Л1. Следовательно, множество замкнуто в (0 О 022(а^т). Аналогично доказывается замкнутость множества Л2.
Для каждой точки х £ положим
1
= <0©5р®0©5х:/амт\{х},/{х!;-).
Легко видеть, что наименьшими по включению окрестностями множеств и Л2 в (0 о /)22№) являются множества = где ОЛ2 = , соответственно.
Для меры 0©5а®0©5ь®0©5Хо, а £ Ь £ Р2, имеем
0©<5а®0©<5ь £ (0©5р®0©5а: /а^т\(а),/(а); -) с 0©<5а®0©<5ь £ <0©5р®0©5ь:/а^т\(Ь),/(Ь);1) с
Значит, П ОЛ2 ^ 0. Предложение 2 доказано.
По построению (0 О Опп(^) замкнуто в /ПП(Х) для каждого п = 2,3,... . Поэтому так как нормальность наследуется замкнутым подмножествам, то из предложения 2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Если т — несчетный кардинал, то пространство /22(^т) не нормально.
Следствие 2. Если т — несчетный кардинал, то пространство /пп(аМт) не нормально, п > 2.
Теорема 2. Пусть X — компакт. Если пространство /3(Х)\Х наследственно нормально то X метризуем.
Доказательство опирается результатам работы [10].
Следствие 3. Пусть X — тихоновское пространство и п > 3. Если пространство /П(Х)\Х наследственно нормально, то X метризуем.
Список литературы:
1. Litvinov G. L., Maslov V. P., Shpiz G. B. Idempotent functional analysis: an algebraic approach // Mathematical Notes. 2001. V. 69. №5-6. P. 696-729.
2. Litvinov G. L. The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: A brief introduction // Contemp. 377, Amer.Math.Soc., Providence, RI, 2005, 1-17; arXiv: abs/math/0501038.
3. Bernhard P. Max-plus algebra and mathematical fear in dynamic optimization // Set-Valued Analysis. 2000. V. 8. №1-2. P. 71-84. https://doi.org/10.1070/IM2010v074n03ABEH002495
4. Fedorchuk V. V. Probability measures in topology // Russian Mathematical Surveys. 1991. V. 46. №1. P. 45-93. https://doi.org/10.1070/RM1991v046n01ABEH002722.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
5. Fedorchuk V. V. Covariant functors in the category of compacta, absolute retracts, and Q-manifolds // Russian Mathematical Surveys. 1981. V. 36. №3. P. 211-233. https://doi.org/10.1070/RM1981v036n03ABEH004251.
6. Zarichnyi M. M. Spaces and maps of idempotent measures // Izvestiya: Mathematics. 2010. V. 74. №3. P. 481-499. http://dx.doi.org/10.1070/IM2010v074n03ABEH002495.
7. Заитов А. А., Холтураев Х. Ф. О взаимосвязи функторов P вероятностных мер и I идемпотентных вероятностных мер // Узбекский математический журнал. 2014. №4. С. 36-45.
8. Shchepin E. V. Functors and uncountable powers of compacta // Russian Mathematical Surveys. 1981. V. 36. №3. P. 1-71. http://dx.doi.org/10.1070/RM1981v036n03ABEH004247.
9. Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и их приложения // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. Т. 9. №4. С. 105-235.
10. Иванов А. В., Кашуба Е. В. О наследственной нормальности пространств вида F(X) // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49. №4. С. 813-824.
11. Заитов А. А., Ишметов А. Я. Гомотопические свойства пространства If(X) идемпотентных вероятностных мер // Математические заметки (принято к печати).
12. Ишметов А. Я. О функторе If идемпотентных вероятностных мер // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №4. С. 24-29. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/02.
References:
1. Litvinov, G. L., Maslov, V. P., & Shpiz, G. B. (2001). Idempotent functional analysis: an algebraic approach. Mathematical Notes, 69(5-6), 696-729.
2. Litvinov, G. L. (2005). The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: A brief introduction. Contemp. 377, Amer.Math.Soc., Providence, RI, 1-17; arXiv:abs/math/0501038.
3. Bernhard, P. (2000). Max-plus algebra and mathematical fear in dynamic optimization. Set-Valued Analysis, 8(1-2), 71-84. https://doi.org/10.1070/IM2010v074n03ABEH002495.
4. Fedorchuk, V. V. (1991). Probability measures in topology. Russian Mathematical Surveys, 46(1), 45-93. https://doi.org/10.1070/RM1991v046n01ABEH002722.
5. Fedorchuk, V. V. (1981). Covariant functors in the category of compacta, absolute retracts, and Q-manifolds. Russian Mathematical Surveys, 36(3), 211-233. https://doi.org/10.1070/RM1981v036n03ABEH004251.
6. Zarichnyi, M. M. (2010). Spaces and maps of idempotent measures. Izvestiya: Mathematics, 74(3), 481-499. http://dx.doi.org/10.1070/IM2010v074n03ABEH002495.
7. Zaitov, A. A., & Kholturaev, Kh. F. (2014). On interrelation of the functors P of probability measures and I of idempotent probability measures. Uzbek Mathematical Journal, (4). 36-45. (in Russian).
8. Shchepin, E. V. (1981). Functors and uncountable powers of compacta. Russian Mathematical Surveys, 36(3). 1-71. http://dx.doi.org/10.1070/RM1981v036n03ABEH004247.
9. Fedorchuk, V. V. (2003). Fully closed mappings and their applications. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 9(4). 105-235.
10. Ivanov, A. V., & Kashuba, E. V. (2008). Hereditary normality of a space of the form F(X). Siberian Mathematical Journal, 49(4), 650-659. https://doi.org/10.1007/s11202-008-0061-5.
11. Zaitov, A. A., & Ishmetov, A. Ya. (2019). Homotopic properties of the space I(X) of idempotent probability measures. Mathematical notes. (accepted).
12. Ishmetov, A. (2019). Functor If of idempotent probability measures. Bulletin of Science and Practice, 5(4), 24-29. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/02.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №4. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/41
Работа поступила в редакцию 21.02.2019 г.
Принята к публикации 26.03.2019 г.
Ссылка для цитирования:
Холтураев Х. Ф. Некоторые применения пространства идемпотентных вероятностных мер // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №4. С. 38-46. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/04.
Cite as (APA):
Kholturaev, Kh. (2019). Some Applications Idempotent Probability Measures Space. Bulletin of Science and Practice, 5(4), 38-46. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/04. (in Russian).
