CC BY
144
Вычислительные технологии
Том 6, № 6, 2001
ИДЕМПОТЕНТНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ *
Г. Л. Литвинов, В. П. Млслов, А. Н. Соболевский Международный центр "Софус Ли", Москва, Россия e-mail: [email protected], [email protected] [email protected]
A short introduction to idempotent mathematics and idempotent version of interval analysis is presented. Applications are discussed.
Введение
Многие задачи в теории оптимизации и других областях математики оказываются линейными над полукольцами с идемпотентным сложением. Это наблюдение приводит к так называемому идемпотентному принципу суперпозиции [1], который является естественным аналогом известного принципа суперпозиции в квантовой механике. Данный подход систематически развивается под названием идемпотентной математики или идемпо-тентного анализа. Фактически речь идет о целой новой области математики, интенсивно развивающейся в последние годы (см., например, [1-8]).
Одним из наиболее важных примеров идемпотентного полукольца является множество Rmax = R U {-то}, снабженное операциями ф = max, © = + (см. разд. 1). Важно, что существует соответствие между интересными, полезными и важными конструкциями и результатами над полем действительных (или комплексных) чисел и аналогичными конструкциями, относящимися к различным идемпотентным полукольцам. Это соответствие может быть сформулировано в духе известного принципа соответствия Н. Бора в квантовой механике; фактически эти два принципа тесно связаны друг с другом (см. [4-6], а также разд. 4-6).
В настоящей статье мы обсуждаем идемпотентные аналоги некоторых основных идей, конструкций и результатов, известных из традиционного математического и функционального анализа. Оказывается, что принцип соответствия служит мощным эвристическим инструментом для применения неожиданных аналогий и идей, заимствованных из различных областей математики (см., например, [1-6]).
К настоящему времени идемпотентная теория достигла значительного развития. Она включает, в частности, новую теорию интегрирования, новую линейную алгебру, спектральную теорию и функциональный анализ. Ее приложения охватывают различные задачи оптимизации, такие как многокритериальное принятие решений, оптимизация на
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №99-01-01198) и Института математической физики Эрвина Шредингера (Вена). Материалы были доложены на XVI конференции по интервальной математике, Красноярск, 17-19 августа 1999 г.
© Г. Л. Литвинов, В. П. Маслов, А.Н. Соболевский, 2001.
графах, дискретная оптимизация с большим параметром (асимптотические задачи), оптимальное конструирование компьютерных систем и вычислительных сред, оптимальная организация параллельной обработки данных, динамическое программирование, приложения к дифференциальным уравнениям, численному анализу, системам дискретных событий, информатике, дискретной математике, математической логике и т. д. (см., например, работы [2-9] и приведенную в них библиографию).
Раздел 1 содержит краткое эвристическое введение в идемпотентную математику, раздел 2 — определения основных понятий идемпотентной арифметики и несколько важных примеров. В разделах 3-6 мы рассматриваем понятие линейности в идемпотентном анализе и указываем некоторые из его приложений к идемпотентной линейной алгебре.
Источники исходных данных в практических задачах, как правило, не допускают абсолютно точного измерения соответствующих величин. В силу этого поступающие данные часто имеют вид доверительных интервалов или других числовых множеств. Интервальный анализ (см., например, [10-13]) переносит операции традиционного математического анализа с чисел на числовые интервалы, таким образом позволяя обрабатывать неточные входные данные и контролировать ошибки округления в численных расчетах. Чтобы построить аналог интервального анализа в контексте теории оптимизации и идемпотент-ного анализа, мы развиваем обобщение идемпотентной арифметики на случай операций над множествами (см. разд. 7).
Интервальное расширение произвольного идемпотентного полукольца построено в разделах 8 и 9. Простое приложение интервальной арифметики к идемпотентной линейной алгебре обсуждается в разд. 11.
Идемпотентная интервальная арифметика оказывается значительно более простой, чем ее традиционный аналог, где, в частности, умножение интервалов не дистрибутивно относительно их сложения, в то время как идемпотентная интервальная арифметика сохраняет дистрибутивность. В традиционном интервальном анализе множество всех квадратных интервальных матриц данного порядка не образует даже полугруппы относительно операции матричного умножения: последняя не ассоциативна, так как дистрибутивность скалярного умножения теряется. Напротив, в идемпотентном случае ассоциативность матричного умножения сохранена. Наконец, в традиционном интервальном анализе некоторые задачи линейной алгебры, связанные с решением интервальных систем линейных уравнений, оказываются весьма трудными с вычислительной точки зрения (вообще говоря, ЖР-трудными, см. [14-20] и приведенную в этих работах библиографию). Ниже мы покажем, что в идемпотентном случае решение интервальной системы линейных уравнений требует полиномиального числа операций, как и обычный алгоритм исключения Гаусса.
Столь простой идемпотентную интервальную арифметику делают два свойства идем-потентных полуколец: монотонность арифметических операций и "положительность" (в определенном ниже смысле) всех элементов полукольца.
Идемпотентный интервальный анализ оказывается особенно пригодным для изучения задач, в которых применяемые преобразования данных сохраняют некоторое отношение порядка. Его методами можно решать и задачи с априорной неопределенностью параметров, интервалы возможного изменения которых не являются малыми.
Некоторые опубликованные здесь результаты по идемпотентному интервальному анализу были ранее анонсированы в [21, 41], см. также [42].
Подчеркнем, что идемпотентный интервальный анализ представляет собой еще один пример эвристической силы идемпотентного принципа соответствия.
1. Деквантование и идемпотентный принцип соответствия
Пусть R — поле вещественных чисел, а R+ — подмножество всех неотрицательных чисел. Рассмотрим следующую замену переменной:
u ^ w = hlnu,
где u G R+ \ {0}, h > 0; таким образом, u = ew/h, w G R. Обозначим через 0 дополнительный бесконечно удаленный элемент — то, через S — расширенную действительную прямую R U {0}. Введенная замена переменной имеет естественное продолжение Dh на все S, при котором Dh(0) = 0; обозначим также через 1 элемент Dh(1) = 0.
Обозначим через Sh множество S, снабженное двумя операциями: ©h (обобщенным сложением) и ©h (обобщенным умножением) такими, что Dh является гомоморфизмом {R+, +, •} на {S, ©h, ©h}. Это означает, что
Dh(ui + u2) = Dh(ui) ©h Dh(u2) и Dh(ui • u2) = Dh(ui) ©h Dh(u2),
т. е.
wi ©h W2 = wi + W2 и wi ©h W2 = hln(ewi/h + ew2/h).
Легко проверить, что wi ©h w2 ^ max{wi, w2} при h ^ 0.
Обозначим через Rmax множество S = R U {0}, снабженное операциями © = max и © = +, где 0 = — то и 1 = 0, как определено выше. Алгебраические структуры во множествах R+ и Sh изоморфны, поэтому Rmax можно рассматривать как результат деформации алгебраической структуры в R+.
Подчеркнем очевидную аналогию этого построения с процедурой квантования; в частности, h здесь — аналог постоянной Планка. В этих терминах R+ (или R) играет роль "квантового объекта", а Rmax — "классического" или "полуклассического" объекта, возникающего как результат деквантования этого квантового объекта.
Аналогично обозначим через Rmin множество RU{0}, снабженное операциями © = min и © = +, где 0 = +то и 1 = 0. Ясно, что соответствующая процедура деквантования порождается заменой переменных u ^ w = — h ln u.
Рассмотрим также множество R U {0,1}, где 0 = —то, 1 = +то, снабженное операциями © = max и © = min. Очевидно, эта структура может быть получена в результате "вторичного деквантования" R или R+.
Алгебры, рассмотренные нами в этом разделе, являются наиболее важными примерами идемпотентных полуколец. (Общее определение идемпотентного полукольца, которое является основной алгебраической структурой идемпотентного анализа, см. в разд. 2.)
Основной объект традиционного математического анализа — функция, определенная на некотором множестве X и принимающая значения в поле R (или C). Идемпотентным аналогом традиционной функции является отображение X ^ S, где X — некоторое множество, а S = Rmin, Rmax или другое идемпотентное полукольцо. Как показывают следующие примеры, переопределение основных конструкций традиционного математического анализа в терминах идемпотентной математики может дать интересные и нетривиальные результаты (детали и некоторые обобщения см., например, в [1-7]).
Пример 1.1. Интегрирование и меры. Чтобы определить идемпотентный аналог интеграла по мере Лебега на прямой, рассмотрим интегральную сумму для функции <^(x),
x £ X = [a, b], и заменим в ее выражении традиционные сложение и умножение вещественных чисел операциями ф и © из некоторого идемпотентного полукольца (для определенности будем рассматривать полукольцо Rmax):
у^ ^(xi)Aj ^ ф ^(xj) © A* = max (^(x*) + A*).
г г
При max A* ^ 0 интегральная сумма стремится к
г Ф
/ <^(x) dx = sup <^(х)
j x xex
для любой ограниченной функции ^: X ^ Rmax.
Обобщая, назовем Rmax-мерой на X функцию множества
m^(B) = sup <^(x), B С X.
xeB
Идемпотентный интеграл по такой мере определяется следующим образом: Г Ф Г Ф
/ ^(x) dm^ = ^(x) © <^(x) dx = sup (^(x) + <^(x)).
jx jx xex
Поскольку m<^(Ua Ba) = supa m^(Ba), введенная мера аддитивна относительно взятия сумм по любым множествам индексов. Очевидно, это обстоятельство крайне облегчает построение теории меры и интеграла в идемпотентном случае (см., например, [3]).
Пример 1.2. Преобразование Фурье — Лежандра. Рассмотрим векторное пространство Rn как топологическую группу относительно обычной операции сложения векторов. Для функции, заданной на этой группе, преобразование Фурье — Лапласа определяется следующим образом:
<^(x) ^ ) = ej?x^(x) dx.
J R»
Здесь отображение x ^ exp(i^x) есть характер группы Rn, т. е. решение функционального уравнения
f (x + y) = f (x)f (y). Идемпотентным аналогом этого соотношения служит уравнение
f (x + y) = f (x) © f (y) = f (x) + f (y).
"Идемпотентные характеры" группы Rn — это линейные функции вида x ^ £x = £ixi + • • • + £nxn. Таким образом, с помощью преобразования Фурье — Лапласа вводится следующее определение:
г Ф
<^(x) ^ £>"(£) = (£x) © <^(x) dx = sup (£x + <^(x)). Jr» xeRn
Это выражение отличается от известного преобразования Лежандра (или Лежандра — Фенхеля; см., например, [22]) лишь несущественными деталями.
Рассмотренные примеры подсказывают следующую формулировку идемпотентного принципа соответствия [4]:
Существует эвристическое соответствие между интересными, полезными и важными конструкциями и результатами, полученными над полем действительных (или комплексных) чисел, и аналогичными конструкциями и результатами, относящимися к идемпотентным полукольцам. Это соответствие может толковаться в духе принципа соответствия Н. Бора в квантовой механике.
Следовательно, идемпотентную математику можно трактовать как "классическую тень" (или "аналог") традиционной математики над числовыми полями.
2. Идемпотентные полукольца: основные определения
Рассмотрим множество Б, снабженное двумя алгебраическими операциями: сложением ф и умножением ©. Тройка {Б, ф, ©} называется идемпотентным полукольцом, если она удовлетворяет следующим условиям (здесь и ниже символ * обозначает любую из двух операций ф, ©):
— сложение ф и умножение © ассоциативны: х* (у* г) = (ж*у) для всех х,у,г € Б;
— сложение ф коммутативно: х ф у = у ф х для всех х, у € Б;
— сложение ф идемпотентно: х ф х = х для всех х € Б;
— умножение © дистрибутивно относительно сложения ф: х © (у ф г) = (х © у) ф (х © г) и (х ф у) © г = (х © г) ф (у © г) для всех х, у, г € Б.
Далее в настоящей статье слово "идемпотентный" будет иногда опускаться, если это не приводит к неясности.
Единицей идемпотентного полукольца Б называется такой элемент 1 € Б, что
1 © х = х © 1 = х
для всех х € Б.
Нулем идемпотентного полукольца Б называется такой элемент 0 € Б, что 0 = 1 и
0 ф х = х, 0 © х = х © 0 = 0
для всех х € Б.
Легко заметить, что если идемпотентное полукольцо Б содержит единицу (нуль), то этот элемент определен единственным образом.
Говорят, что полукольцо Б коммутативно, если х © у = у © х для всех х, у € Б. Заметим, что в литературе встречаются различные варианты этой аксиоматики (см., например, работы [2-8] и приведенную в них библиографию).
Сложение ф определяет на идемпотентном полукольце Б канонический частичный порядок: по определению х ^ у тогда и только тогда, когда х ф у = у. Будем писать х — у, если х ^ у и х = у. Если Б содержит нуль 0, то 0 является его наименьшим элементом относительно порядка Операции ф и © согласованы с порядком ^ в следующем смысле: если х ^ у, то х * г ^ у * г и г * х ^ г * у для всех х, у, г € Б.
Говорят, что идемпотентное полукольцо Б является а-полным, если для любого подмножества {ха} С Б, включая пустое подмножество 0, определена сумма 0{ха} = 0а ха, причем (0а ха) © у = 0а(ха © у) и у © (0а ха) = 0а(у © ха) для любого у € Б. Идемпотентное полукольцо Б, содержащее нуль 0, называют Ь-полным, если условия а-полноты
выполняются для любого непустого ограниченного сверху подмножества {xa} С S. Любое b-полное полукольцо или является a-полным, или становится таковым после добавления наибольшего элемента то = sup S; подробнее см. в [5, 6].
Отметим, что ф xa = sup{xa} по отношению к каноническому частичному порядку
в частности, a-полное идемпотентное полукольцо всегда содержит нуль 0 = ф 0. Неравенство фа xa ^ фв Ув справедливо для любых (в b-полном полукольце — ограниченных сверху) множеств {xa} и {ув} таких, что xa ^ ув для любого а при некотором в.
Идемпотентное полукольцо S не содержит делителей нуля, если для всех x, у £ S из равенства x © y = 0 с необходимостью следует, что x = 0 или y = 0. Идемпотентное полукольцо S удовлетворяет условию сокращения, если для всех x, у, z £ S таких, что x = 0, из x © у = x © z или у © x = z © x следует, что у = z. Любое идемпотентное полукольцо, удовлетворяющее условию сокращения, не содержит делителей нуля. Коммутативное идемпотентное полукольцо S является идемпотентным полуполем, если каждый ненулевой элемент S обратим; в этом случае условие сокращения выполняется.
Идемпотентное полукольцо S является алгебраически замкнутым, если уравнение xn = у, где xn = x © x ©•••© x (n раз), разрешимо при всех у £ S и n £ N. Идемпотентное полукольцо S с единицей 1 удовлетворяет условию стабилизации, если при x ^ 1 и у = 0 последовательность xn ф у стабилизируется (т.е. xn ф у = xn0 ф у при n > no) [23, 24]. Отметим, что в [24] свойство алгебраической замкнутости неправильно названо "алгебраической полнотой" из-за ошибки переводчика.
Наиболее важные примеры идемпотентных полуколец рассмотрены в разделе 1. Как легко убедиться, идемпотентное полукольцо Rmax есть b-полное алгебраически замкнутое идемпотентное полуполе, удовлетворяющее условию стабилизации, а полукольцо Rmin изоморфно Rmax. Заметим, что Rmax и Rmin линейно упорядочены относительно соответствующих операций сложения (т. е. для любых x и у либо x = у, либо x — у, либо у — x), причем порядок ^ в Rmax совпадает с обычным линейным порядком < и противоположен порядку ^ в Rmin.
Рассмотрим множество Rmax = Rmax U {то} с операциями ф, ©, продолженными по формулам: то ф x = то для всех x £ Rmax, то © x = то, если x = 0, и то© 0 = 0. Легко показать, что это множество есть a-полное идемпотентное полукольцо, а то — его наибольший элемент (структура полуполя нарушается из-за необратимости элемента то).
Отметим, что единственным a-полным идемпотентным полуполем является булева алгебра SB = {0,1}.
Пусть {Si, S2,... } — некоторый набор идемпотентных полуколец. Есть несколько способов построить из них новое идемпотентное полукольцо.
Пример 2.1. Пусть S — идемпотентное полукольцо, а X — произвольное множество. Множество M(X; S) всех функций X ^ S образует идемпотентное полукольцо относительно следующих операций:
(f ф g)(x) = f (x) ф g(x), (f © g)(x) = f (x) © g(x), x £ X.
Если S содержит нуль 0 и (или) единицу 1, то постоянные функции o(x) = 0 и e(x) = 1 служат нулем и (или) единицей идемпотентного полукольца M(X; S). Можно также рассматривать различные подполукольца M(X; S).
Пример 2.2. Пусть {S*} — набор идемпотентных полуколец с операциями ф*, ©* и нулями 0*, где i = 1,... , n. Множество S = (S1 \ {01}) х • • • х (Sn \ {0n}) U 0 образует идемпотентное полукольцо относительно следующих "покоординатных" операций: x * у = (x1,... , xn) * (у1,... , уп) = (x1 у1,... , xn *n уп); элемент 0 есть нуль этого полукольца.
Отметим, что декартово произведение Si х • • • х Sn также является идемпотентным полукольцом относительно покоординатных операций и нулем этого полукольца служит элемент (01,... , 0n).
Заметим, что даже если исходные полукольца из примеров 2.1 и 2.2 линейно упорядочены, то производные полукольца, вообще говоря, упорядочены лишь частично.
Пример 2.3. Рассмотрим Matmn(S) — множество всех матриц с m строками и n столбцами, коэффициенты которых принадлежат идемпотентному полукольцу S. Под суммой ф матриц A = (ay), B = (by) £ Matmn(S), как обычно, будем понимать матрицу A ф B = (ay ф by) £ Matmn(S), а под произведением матриц A £ Mat1m(S) и B £ Matmn(S) — матрицу AB = (фm=1 aik © bky) £ Mat1n(S). Множество Matnn(S) квадратных матриц порядка n образует идемпотентное полукольцо относительно этих операций (вообще говоря, некоммутативное). Через X обозначим каноническое отношение порядка в Matmn(S) по матричному сложению.
Лемма 1. Умножение матриц согласуется с каноническим порядком X в следующем смысле: если A = (aifc), A' = (a£k) £ Mat¿m(S), B = (bkj),B' = (b'kj) £ Matmra(S), A X A' в Mat1m(S) и B X B' в Matmn(S), то AB X A'B' в Mat1n(S).
Доказательство.
(m \ /m \ /m \
0a«k © bj X 0 o* © bj X 0 aifc © bj = A'B',
k=1 J \k=1 J \k=1 J
поскольку операции ф и © согласованы с каноническим порядком в S. I
Если 0 есть нуль S, то матрица O = (oy), где oy = 0, есть нуль полукольца Matnn(S); если 1 есть единица S, то матрица E = ($y), где = 1 при i = j и = 0 в противном случае, есть единица полукольца Matnn(S).
Многие другие примеры можно найти в [2-8].
3. Идемпотентность и линейность
Рассмотрим теперь идемпотентный аналог линейного пространства. Множество V называется полумодулем над идемпотентным полукольцом S (или S-полумодулем), если оно снабжено идемпотентной коммутативной ассоциативной операцией сложения фу и операцией умножения слева на скаляр ©у: S х V ^ V, удовлетворяющими для всех А, ^ £ S, v,w £ V следующим условиям:
— (А © ©у v = А ©у (^ ©у v);
— А ©у (v фу w) = (А ©у v) фу (А ©у w);
— (А ф )U) ©у v = (А ©у v) фу (^ ©у v).
S-полумодуль V называется полумодулем с нулем, если полукольцо S содержит нуль 0 £ S и существует нулевой элемент 0у £ V такой, что для всех v £ V, А £ S справедливы равенства:
— 0у фу v = v;
— А ©у 0у = 0 ©у v = 0у.
В дальнейшем наряду с термином "полумодуль" будем в качестве синонима употреблять термин "(идемпотентное) линейное пространство".
Пример 3.1. Конечномерное идемпотентное линейное пространство. Простейший S-полумодуль — это декартово произведение Sn = { (a1,... , an) | ay £ S, j = 1,... , n }
с покоординатными операциями сложения и умножения на скаляр. Множество всех эндоморфизмов ^ совпадает с полукольцом Ма1гага(5) всех 5-значных квадратных матриц соответствующего порядка (см. пример 2.3).
Пример 3.2. Линейное пространство матриц. Пусть с € а матрица А € Ма1тп($). Произведением с © А называется матрица (с © а^) € Ма1тга(5). Множество всех 5-значных матриц данного порядка Ма1тга(5) образует полумодуль относительно сложения ф и умножения на элементы 5.
Пример 3.3. Функциональные пространства. Идемпотентным функциональным пространством Т(X; 5) называется подмножество совокупности М(Х; 5) всех отображений X ^ замкнутое относительно операций сложения ф в М(Х; Б) и поточечного умножения на скаляр (с © f )(ж) = с © f (ж), где с € 5. Таким образом, идемпотентное функциональное пространство — еще один пример 5-полумодуля. Если полукольцо 5 содержит нулевой элемент 0 и Т(X; 5) содержит нулевую постоянную функцию о(ж) = 0, то функциональное пространство Т(X; 5) имеет структуру полумодуля с нулем о(ж) над полукольцом 5.
Напомним, что идемпотентное сложение определяет частичный порядок в полукольце 5. Важный пример идемпотентного функционального пространства — пространство ; 5) всех функций X ^ 5, ограниченных сверху относительно частичного порядка ^ в 5. Имеется много интересных пространств этого типа, включая С (X; 5) (пространство непрерывных функций, определенных на топологическом пространстве X), аналоги пространств Соболева и т. д. (подробнее см., например, [2-6]).
Согласно принципу соответствия, многие важные понятия, идеи и результаты могут быть перенесены из обычного функционального анализа в идемпотентный анализ. Например, идемпотентное скалярное произведение в ; 5) может быть определено формулой
где интеграл определен как операция sup (см. пример 1.1). Это определение корректно, если полукольцо S является b-полным.
Пример 3.4. Интегральные операторы. Естественно строить идемпотентные аналоги интегральных операторов, имеющие вид
где ^(у) — элемент функционального пространства Т^У; 5), (К^)(ж) принадлежит пространству Т^; 5), а К (ж, у) — функция из X х У в 5. Такие операторы являются гомоморфизмами соответствующих функциональных пространств. Если 5 = И.тах, то это определение превращается в формулу
®
(<£,—) = J <^(x) © -(x) dx,
X
Y
(K^)(x) = sup(K (x^ + ^(у)).
yeY
Формулы этого типа стандартны для задач оптимизации (см., например, [25]).
4. Идемпотентный принцип суперпозиции
В квантовой механике принцип суперпозиции означает, что уравнение Шредингера, являющееся для этой теории основным, линейно. В идемпотентной математике также имеется (идемпотентный) принцип суперпозиции: он означает, что некоторые важные задачи и уравнения (например, уравнение Гамильтона — Якоби, являющееся основным в классической механике, задачи оптимизации, уравнение Беллмана и его обобщения), нелинейные в обычном смысле, оказываются линейными над соответствующими идемпотентными полукольцами (см. [1-4]).
Линейность уравнения Гамильтона — Якоби над И.тт (и И.тах) может быть выведена из обычной линейности (над С) уравнения Шредингера посредством процедуры декван-тования, описанной в разделе 1. В этом случае параметр деквантования к совпадает с ¿К, где К — постоянная Планка, которая должна считаться чисто мнимой, потому что к > 0 (подробнее см. в [5]). Переход к мнимой постоянной Планка аналогичен переходу к мнимому времени в эвклидовой квантовой теории поля [26, 27] (напомним, что энергия и время — канонически сопряженные величины). Конечно, это построение тесно связано с вариационными принципами механики; в частности, представление решения уравнения Шредингера в виде интеграла Фейнмана соответствует формуле Олейник — Лакса для решения уравнения Гамильтона — Якоби (подробнее, см., например, [5, 28]).
Аналогичная ситуация имеет место для дифференциального уравнения Беллмана (см.
[1, 3]).
Б. А. Карре [29, 30] использовал идемпотентную линейную алгебру, чтобы показать, что различные проблемы оптимизации для конечных графов могут быть переформулированы единым образом и приведены к решению дискретных уравнений Беллмана, т. е. системы линейных алгебраических уравнений над идемпотентным полукольцом.
Дискретное уравнение Беллмана. Известно, что дискретные версии уравнения Беллмана являются линейными над соответствующими идемпотентными полукольцами [29, 30]. Следующее уравнение (дискретное стационарное уравнение Беллмана) играет важную роль как в дискретной теории оптимизации, так и в идемпотентной теории матриц:
X = АХ ф В, (1)
где А € Ма1гага(Б), X, В € Ма^ДБ), матрицы А, В заданы, а X неизвестна. Уравнение (1) служит естественным идемпотентным аналогом обычной линейной системы АХ = В в традиционной линейной алгебре.
Отметим, что если существует замыкание А* = Е ф А ф А2 ф ... матрицы А (см. следующий раздел), то матрица X = А*В удовлетворяет (1), поскольку А* = АА* ф Е. Легко проверить, что это частное решение является наименьшим элементом множества всех решений уравнения (1).
В действительности теория дискретного стационарного уравнения Беллмана может быть развита при использовании тождества А* = АА* ф Е как дополнительной аксиомы без его содержательной интерпретации (так называемые полукольца с замыканием; см., например, [31]).
Б. А. Карре [29] также обобщил на идемпотентный случай основные алгоритмы вычислительной линейной алгебры и показал, что некоторые из них совпадают с алгоритмами, независимо полученными ранее при решении задач оптимизации; например, при решении задачи о кратчайшем маршруте алгоритм Беллмана соответствует одному из вариантов
метода Якоби решения систем линейных уравнений, а алгоритм Форда — варианту метода Гаусса — Зейделя.
Подчеркнем, что эти известные результаты могут быть истолкованы как проявление идемпотентного принципа суперпозиции.
5. Идемпотентная теория матриц: некоторые результаты
Матричная алгебра и теория графов. Как известно, любой квадратной матрице А = (а^) € Ма^^) может быть поставлен в соответствие взвешенный ориентированный граф. Этот геометрический объект включает в себя три составные части: совокупность X из п элементов Ж1, ж2,... , жп, называемых вершинами, множество Г всех упорядоченных пар (жг, х) таких, что а^ = 0, называемых дугами, и отображение А: Г ^ определяемое соотношениями А(хг,х^-) = а^. Элементы полукольца а^ в этом случае называются весами дуг (жг,ж^) графа.
Обратно, по заданному взвешенному ориентированному графу можно восстановить соответствующую ему матрицу (а^).
Введенное определение допускает отсутствие связи между некоторыми парами вершин в случае, когда соответствующий элемент матрицы А равен 0, а также существование "петель", т. е. дуг с совпадающими началом и концом, которые соответствуют ненулевым диагональным элементам матрицы А. Понятие взвешенного ориентированного графа удобно, в частности, при математическом анализе параллельных и распределенных вычислений в вычислительных средах и компьютерных сетях (см., например, [3, 8, 32, 33]). Напомним, что последовательность вершин вида
Р = (Уо,У1,---,Уй),
где к > 0 и (уг,Уг+1) € Г, г = 0,..., к — 1, называется маршрутом (или путем) длины к, соединяющим вершину у0 с вершиной уд. Обозначим совокупность всех таких маршрутов через Рд (у0, Уд). Весом А(р) маршрута р называется произведение весов дуг, соединяющих его последовательные вершины:
А(р) = А(уо,У1) ©•••© А(уЛ-1 ).
По определению вес "маршрута" р € Р0(жг, х) равен 1, если г = ], и 0 в противном случае.
Для любой матрицы А € Ма^^) определим А0 = Е, Ад = ААД-1, к > 1. Пусть а(д) есть (г,^)-й элемент матрицы Ад, тогда можно легко проверить, что
а1?) = О) ©'••© ^-Л = А(р)-
го=г, 1<г1,...,гк-1<га, гк = )
Таким образом, а(д) есть точная верхняя грань весов всех маршрутов длины к, соединяющих вершину жго = жг с вершиной жгк = х.
Операция замыкания и алгебраическая задача о маршрутах. Пусть в является идемпотентным полукольцом с единицей 1. Операция замыкания * в 5 определяется при помощи "степенного" ряда
ж* = 1 ф х ф ж2 ф 5 = SU.pl 1, Ж, ж2, . . .}
для каждого x £ S. Эта операция была впервые введена С. Клини в специальном случае [34], она также хорошо известна в идемпотентном анализе [7, 8, 29, 30, 35].
Разумеется, сумма указанного ряда должна быть корректно определена. Ясно, что бесконечная сумма фo<fc<^ xk определена в любом а-полном полукольце. В полукольцах Rmax и Rmin замыкание x* определено лишь для таких x, что x X 1 (так что x* = 1). В (а-полных) полукольцах R U {0,1} с операциями ф = max, © = min, Rmax и Sb (см. разд. 2) замыкание определено для всех элементов.
Лемма 2. Операция замыкания согласована с каноническим порядком X в S в следующем смысле: если x,x' £ S и x X x', то x* X (x')*.
Доказательство. Вследствие согласованности операции © с каноническим порядком в S в степенных рядах, выражающих x* и (x')*, для соответственных слагаемых выполняются неравенства xk X (x')k, k > 0. ■
В матричном полукольце Matnn(S) замыкание определяется выражением
A* = E ф A ф A2 ф ... Обозначим элементы матрицы A* через i, j = 1,... ,n, тогда
а(;' = е е am.
0<fc<^ p&ph(xi,xj)
Матрица замыкания A* является решением известной алгебраической задачи о маршрутах, состоящей в нахождении для любой пары вершин (x^x^) точной верхней грани весов всех маршрутов, соединяющих эти вершины, без ограничения на длину маршрута. Операция замыкания в матричных полукольцах широко изучалась (см. [3-9, 29, 30, 35] и библиографию, приведенную в этих работах).
Пример 5.1. Задача о кратчайшем маршруте. Пусть S = Rmin, так что веса дуг ориентированного графа выражаются действительными числами; в этом случае
A(p) = A(yo, yi) + A(yi, y2) + ■ ■ ■ + A(yfc_b yfc).
Если придать величине а^ смысл длины дуги (x^x^) в некоторой метрике, то aj есть длина кратчайшего маршрута, соединяющего вершину x^ с вершиной xj.
Пример 5.2. Задача о транзитивном замыкании. Пусть S есть булева алгебра {0,1}. В этом случае ориентированный граф, соответствующий матрице A, отвечает некоторому бинарному отношению R С X х X на множестве вершин X: A(xi,xj) = 1 в том и только в том случае, если x^ Rxj. Поэтому матрица A* соответствует транзитивному и рефлексивному замыканию R* отношения R.
Пример 5.3. Задача о максимальной пропускной способности. Положим S = RU {0,1}, где ф = max, © = min (см. разд. 1). Тогда
=max A(p), A(p) =min{A(yo,yi),A(yi,y2),...,A(yfc_i,yfc)}.
j p
Если величина ау задает "пропускную способность" дуги (x^x^), то пропускная способность маршрута p определяется как минимальная пропускная способность участвующих в нем дуг, а элемент aj имеет смысл максимальной пропускной способности, которую может иметь маршрут из вершины x^ в вершину xj.
Пример 5.4. Задача обращения матрицы. Заметим, что в применяемых здесь формулах используется лишь свойство дистрибутивности операции умножения © относительно сложения ф, но не идемпотентность сложения. Это позволяет ставить "алгебраическую задачу о маршрутах" и в случае неидемпотентных полуколец Б (см., например, [36]). Выбирая Б = И,, получаем, что
Л* = Е + А + А2 + ■ ■ ■ = (Е - А)-1.
В случае, если ||А|| > 1, но матрица (Е — Л) обратима, это выражение определяет регуля-ризованную сумму расходящегося степенного ряда.
Пример 5.5. Простая задача динамического программирования. Пусть Б = И-тах, так что веса дуг графа, соответствующего матрице Л, суть действительные числа. Будем интерпретировать а^ как прибыль, получаемую при переходе из г-й вершины в ^-ю, и введем вектор Р = (/г) € Ма1п1 (Итах), элементы которого имеют смысл терминальной прибыли, связанной с каждой из вершин, т. е. / — это величина премии за уход из графа через вершину Разумеется, величины а^ и / могут быть и отрицательными (убытки вместо прибыли). Пусть т есть полная прибыль, соответствующая маршруту р € Рк), т. е.
т = Л(р) + л-.
Тогда максимальная прибыль, достигаемая на всевозможных маршрутах длины к, исходящих из вершины как нетрудно видеть, равна (ЛкР)г, а максимальная прибыль, достижимая без ограничения на длину маршрута, равна (Л*Р)г.
В общем случае матрица замыкания Л* может и не существовать, если сумма ряда ЕфЛфЛ2ф... в полукольце Б не определена для некоторых пар (жг, ж). Ниже мы обсудим достаточное условие для существования замыкания, следуя работе Б. А. Карре [29].
Пусть Б — идемпотентное полукольцо с единицей 1. Говорят, что матрица Л = (а^) € Ма1пп(Б) является определенной (полуопределенной), если
агог1 © ■ ■ ■ © гк Х 1 (^п © ■ ■ ■ © ^ 1)
для любого маршрута (жго, ...,жгк) такого, что жго = жгк (такие маршруты в ориентированном графе называются также циклами). Очевидно, каждая определенная матрица полуопределена. Это определение аналогично определению Б. А. Карре [29] с тем единственным отличием, что последний рассматривает отношение порядка, обратное
Теорема 1 (Карре). Пусть Л € Ма1пп(Б) есть полуопределенная квадратная матрица порядка п. Тогда
к п— 1
фЛ'=е л'
1=0 '=0
для к > п — 1, так что замыкание Л* = фАк существует и равно фП—0 Лк.
Доказательство см. в [29, Теорема 4.1]. Его основная идея проста: в графе полуопределенной матрицы невозможно построить маршрут произвольно большого веса, так как вес любого замкнутого подмаршрута, который входит как множитель в полный вес всего маршрута, не может превосходить 1. Поэтому может быть получена универсальная верхняя оценка весов всевозможных маршрутов, учет которой позволяет оборвать бесконечный ряд для матрицы-замыкания.
Спектральная теория. Спектральная теория матриц, чьи элементы принадлежат некоторому идемпотентному полукольцу, аналогична известной теории Перрона — Фробе-ниуса для неотрицательных матриц (см., например, [3, 8, 23, 24]).
Напомним, что матрица Л = (а^) € Ма^п(Б) называется неприводимой в смысле [8], если для любых 1 < г, ] < п либо а^ = 0, либо существуют такие 1 < г1,... , ¿к < п, что агг1 © ■ ■ ■ ©гк] = 0. В [23, 24] матрицы с этим свойством называются неразложимыми. Приведем следующий важный результат из [23, 24] (см. также [8]): Теорема 2 (Дудников, Самборский). Если коммутативное идемпотентное полукольцо Б с нулем 0 и единицей 1 алгебраически замкнуто и удовлетворяет условиям сокращения и стабилизации, то для любой матрицы Л € Ма1пп(Б) существуют отличный от нуля "собственный вектор" V € Ма1п1(Б) и "собственное значение" Л € Б такие, что AV = Л © V. Если матрица Л неприводима, то "собственное значение" Л определено единственным образом.
Доказательство см. в [24, Теорема 6.2]. Одно из приложений этого результата приведено в разделе 11. Подобные результаты имеют место и для пространств ограниченных или непрерывных функций [3].
6. Принцип соответствия для вычислений и алгоритмы линейной алгебры
Разумеется, идемпотентный принцип соответствия выполняется и для вычислительных алгоритмов, а также для их программных и аппаратных реализаций [4, 9]. Сформулируем это положение следующим образом:
Есть основания ожидать, что идемпотентные аналоги любого важного и интересного численного алгоритма также являются важными и интересными.
В силу принципа суперпозиции особое значение имеют аналоги алгоритмов линейной алгебры. Отметим, что в численных алгоритмах для решения стандартных бесконечномерных линейных задач над идемпотентными полукольцами (т. е. задач, связанных с идем-потентным интегрированием, интегральными операторами и преобразованиями, обобщенными уравнениями Гамильтона — Якоби и Беллмана) используются соответствующие конечномерные (или конечные) "линейные приближения". В свою очередь, нелинейные алгоритмы часто могут быть аппроксимированы линейными. Таким образом, идемпотентная линейная алгебра лежит в основе идемпотентного численного анализа.
Как известно, алгоритмы линейной алгебры удобны для параллельных вычислений. Их идемпотентные аналоги также допускают распараллеливание; это дает систематический метод применения параллельных вычислений к задачам оптимизации.
Основные алгоритмы линейной алгебры (например, вычисление скалярного произведения двух векторов, матричное сложение и умножение и т. д.) часто не зависят от конкретных полуколец, а также природы числовых множеств, содержащих элементы векторов и матриц.
7. Операции над множествами в идемпотентной арифметике
Пусть Б — идемпотентное полукольцо, S — некоторая система его подмножеств, а х, у — ее элементы. Введем обозначение х * у = { £ € Б | £ = ж* у, ж € х, у € у }. Предположим, что Б удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Если х, у € Б, а * — алгебраическая операция в Б, то существует ъ € Б такое, что ъ 3 х * у.
2. Если {ъа} — такое подмножество Б, что Р|а ъа = 0, то существует точная нижняя грань {ъа} в Б относительно порядка С, т.е. такое множество х € Б, что х С Р|а ъа и у С х для любого у € Б такого, что у С Па ъа.
Определим алгебраические операции ф, © в Б следующим образом: если х, у € Б, то х * у есть точная нижняя грань множества всех элементов ъ € Б таких, что х * у С ъ. Таким образом, х * у является "наилучшим приближением сверху" к х * у в семействе подмножеств Б.
Предложение 1. Справедливы следующие утверждения:
— Б замкнуто относительно операций ф, ©;
— если система Б содержит все одноэлементные подмножества Б, то полукольцо {Б, ф, ©} изоморфно подмножеству алгебры {Б, ф, ©}.
Доказательство очевидно.
Как показывает следующий пример, в общем случае алгебра {Б, ф, ©} может не обладать "хорошими" свойствами.
Пример 7.1. Пусть Б = 2^, в этом случае х * у € Б для всех х, у € Б, так что х * у = х * у. Множество Б с этим "наивным" определением операций ф, © удовлетворяет приведенным выше предположениям, но может не быть идемпотентным полукольцом. Действительно, пусть Б — полукольцо (И.тах \ {0})2 и {(0, 0)} с операциями ф, ©, определенными в примере 2.2. Рассмотрим множество х = {(0,1), (1,0)} € Б. Очевидно, х ф х = {(0,1), (1,0), (1,1)} = х, и если у = {(1,0)}, ъ = {(0,1)}, то х © (у ф ъ) = {(1, 2), (2,1)} = (х © у) ф (х © ъ) = {(1,1), (1, 2), (2,1), (2, 2)}. Таким образом, Б сданными операциями ф, © не удовлетворяет аксиомам идемпотентности и дистрибутивности.
Отсюда следует, что Б должно удовлетворить некоторым дополнительным условиям, чтобы иметь структуру идемпотентного полукольца. В следующих разделах мы рассматриваем случай, когда Б — множество всех замкнутых интервалов. Этот случай особенно важен, так как он представляет собой идемпотентный аналог традиционного интервального анализа.
8. Слабое интервальное расширение идемпотентного полукольца
Пусть Б — идемпотентное полукольцо. Замкнутый интервал в Б — это множество вида х = [х,х] = {£ € Б | х X t X х}, где х, х € Б (х X х) называются нижней и верхней границами интервала х соответственно.
Отметим, что если х и у — интервалы в Б, то х С у тогда и только тогда, когда у X х X х X у. В частности, х = у тогда и только тогда, когда х = у и х = у.
Замечание 8.1. Пусть х, у — интервалы в Б. Вообще говоря, множество х * у не является интервалом в Б. Действительно, рассмотрим множество Б = {0, а, Ь, с, и пусть ф задается следующим отношением порядка: 0 — наименьший элемент, d — наибольший элемент, а а, Ь и с несравнимы друг с другом. Если © — нулевое умножение, т. е. если х©у = 0 для всех х, у € Б, то Б является идемпотентным полукольцом без единицы. Пусть х = [0, а], у = [0, Ь], тогда х ф у = {0, а, Ь, d}. Это множество не является интервалом, так как не содержит элемент с, хотя 0 X с X d.
Пусть Б — идемпотентное полукольцо. Слабым интервальным расширением I(Б) полукольца Б назовем множество всех замкнутых интервалов в Б, снабженное операциями ф, ©: х * у = [х * у, х * у] для всех х, у € I(Б).
Предложение 2. Слабое интервальное 'расширение I(Б) идемпотентного полукольца Б замкнуто относительно операций ф, © и образует идемпотентное полукольцо.
Доказательство. Множество I(Б) с операциями ф, © можно отождествить с подмножеством идемпотентного полукольца Б х Б с покоординатными операциями (см. пример 2.2). Поскольку х * у ^ х * у всякий раз, когда х ^ х и у ^ у, множество I (Б) замкнуто относительно операций ф, ©; следовательно, I(Б) является идемпотентным полукольцом (подполукольцом Б х Б). I
Введенная операция ф индуцирует в I(Б) каноническое частичное упорядочение причем х ^ у тогда и только тогда, когда х ^ у и х ^ у.
Как показывает следующее предложение, данный способ ввести алгебраические операции в I(Б) согласуется с общей конструкцией, изложенной в предыдущем пункте.
Предложение 3. Для любых х, у € I(Б) интервал х * у является точной нижней гранью в I(Б) относительно упорядочения С семейства всех интервалов, содержащих множество х * у.
Доказательство. Пусть интервал ъ € I (Б) таков, что х * у С ъ. Имеем х * у € х * у С ъ и х * у € х * у С ъ; следовательно, ъ < х * у и х * у < ъ. Из этого вытекает, что х * у С ъ, т.е. интервал х * у содержится в любом интервале, содержащем множество х * у.
Возьмем теперь Ь € х * у, и пусть ж € х, у € у таковы, что Ь = ж * у. По определению интервала х ^ ж ^ х и у ^ у ^ у. Так как операция * согласована с порядком ^, получаем, что х * у < ж*у ^ х * у; из этого следует, что Ь € х * у, т.е. интервал х * у содержит множество х * у. Отсюда вытекает доказываемое утверждение. I
Замечание 8.2. Отметим, что система Б = I(Б) подмножеств Б может не удовлетворять условию 2 раздела 7, если полукольцо Б не является Ь-полным.
Предложение 4. Если идемпотентное полукольцо Б является а-полным (Ь-полным) и для любого (ограниченного непустого) подмножества {ха} его слабого интервального расширения I(Б) сумма элементов определена соотношением фаха = [фа ха,фа ха], то идемпотентное полукольцо I(Б) также является а-полным (Ь-полным).
Доказательство. Пусть Б — а-полное (Ь-полное) идемпотентное полукольцо, а {ха} — непустое подмножество I(Б) (ограниченное в I(Б) непустое подмножество I(Б), так что множества {х,} и {ха} ограничены в Б). В силу сделанных предположений интервал фаха корректно определен в обоих рассматриваемых случаях. Проверим выполнение аксиомы дистрибутивности. Если Б есть а-полное полукольцо, а множество X С I(Б) пусто,
то фX = [0, 0] и для всех у € I(Б) справедливы равенства у© ^фХ^ = ^фХ^ ©у = [0, 0].
Если множество X непусто, то прямым вычислением легко убедиться, что
и аналогично ^фаха^ © у = фа(ха © у) для любого у € I(Б). Таким образом, идемпотентное полукольцо I(Б) является а-полным (Ь-полным), если Б — а-полное (Ь-полное)
а
а
полукольцо.
Предложение 5. В предположениях предыдущего предложения интервал фаха является точной нижней гранью относительно упорядочения С семейства всех интервалов из I(Б), содержащих множество фа ха = { £ € Б | £ = фа ха, ха € ха для всех а }.
Это предложение доказывается аналогично предложению 3.
Следующие два предложения являются прямыми следствиями определения операций
ф, ©:
Предложение 6. Если идемпотентное полукольцо Б коммутативно, то его слабое интервальное расширение I(Б) также коммутативно.
Предложение 7. Если идемпотентное полукольцо Б содержит нуль 0 (единицу 1), то интервал [0, 0] (соответственно [1,1]) является нулем (единицей) полукольца I(Б).
Предложение 8. Если идемпотентное полукольцо Б содержит нуль 0 и не имеет делителей нуля, то и I(Б) не имеет делителей нуля.
Доказательство. Пусть х, у € I(Б) и х = [0, 0], у = [0, 0]. Поскольку х X х, у X у, это означает, что х = 0, у = 0. Таким образом, если ъ = х © у, то ъ = х © у = 0, так как в Б нет делителей нуля. Из этого следует, что ъ = [0, 0]. I
Предложение 9. Если идемпотентное полукольцо Б алгебраически замкнуто и для любых х,у € Б, п € N выполняется равенство (х ф у)п = хп ф уп, то I(Б) алгебраически замкнуто.
Доказательство. Пусть хп = х©х©.. .©х = у. Из определения операций ф, © следует, что хп = у и хп = у. Пусть ъ € Б и ъ € Б — решения этих двух уравнений. Покажем, что можно выбрать ъ и ъ так, что ъ X ъ, т. е. интервал [ъ, ъ] может быть определен корректно.
Возьмем ъ' = ъ ф ъ, так что ъ X ъ'. Поскольку ъ'п = (ъ ф ъ)п = ъп ф ъп, получаем, что ъ'п = у ф у = у. Поэтому [ъ, ъ']п = [у, у] = у. I
Замечание 8.3. Заметим, что равенство (х ф у)п = хп ф уп выполнено в любом коммутативном идемпотентном полукольце Б, удовлетворяющем условию сокращения (см., например, [24, Утверждение 2.1]).
9. Более сильное понятие интервального расширения
Подчеркнем, что в общем случае слабое интервальное расширение I(Б) идемпотентного полукольца Б, удовлетворяющего условиям сокращения и стабилизации, не наследует эти свойства. Действительно, пусть х © ъ = у © ъ, где ъ = [0, ъ] и ъ = 0, тогда элемент ъ отличен от нуля, но из этого не следует, что х = у, поскольку х и у могут не совпадать. Далее, пусть у = [0, у] = [0, 0]; тогда нижняя граница интервала хп©у, вообще говоря, не стабилизируется при п ^ то.
Назовем интервальным расширением идемпотентного полукольца Б с нулем 0 множество 1(Б) = { х | 0 X х X х }и{[0, 0]}, снабженное операциями ф и ©, которые определены аналогично тому, как это сделано выше. Ясно, что 1(Б) С I(Б).
Отметим, что корректное определение этого объекта не всегда возможно, если полукольцо Б содержит делители нуля. Действительно, пусть интервалы х, у € 1(Б) таковы, что 0 X х X х, 0 X у X у, х © у = 0, но х © у = 0, тогда х © у = [0, х © у] / 1(Б).
Далее будем предполагать, что интервальное расширение 1(Б) идемпотентного полукольца Б замкнуто относительно операций ф и ©. Для этого достаточно потребовать, чтобы полукольцо Б не содержало делителей нуля.
Теорема 3. Множество 1(Б) образует идемпотентное полукольцо относительно операций ф и © с нулем [0, 0]. Оно наследует некоторые специальные свойства полукольца Б :
— если Б является а-полным (Ь-полным), то 1(Б) также а-полно (Ь-полно);
— если Б коммутативно, то и 1(Б) коммутативно;
— если 1 — единица в Б, то [1,1] — единичный элемент в 1(Б);
— если Б не содержит делителей нуля, то и 1(Б) не содержит делителей нуля;
— если Б алгебраически замкнуто и для любых ж, у € Б, п € N выполнено равенство (ж ф у)п = жп ф уп, то 1(Б) алгебраически замкнуто;
— если Б удовлетворяет условию сокращения, то 1(Б) также удовлетворяет условию сокращения;
— если Б — полукольцо с единицей, удовлетворяющее условию стабилизации, то 1(Б) также удовлетворяет условию стабилизации.
Доказательство. Используя определение операций ф, © и предложение 2, легко проверить, что 1(Б) образует идемпотентное полукольцо относительно операций ф, ©, содержащее нулевой элемент [0, 0]. Первые пять утверждений в списке вытекают из предложений 4 и 6-9.
Предположим, что Б удовлетворяет условию сокращения, х, у, ъ € 1(Б) и интервал ъ отличен от нуля. Если х © ъ = у © ъ, то х © ъ = у © ъ и х © ъ = у © ъ; кроме того, ъ = 0 и ъ = 0, поскольку ъ = [0, 0]. Поэтому из сделанных предположений вытекает, что х = [х, х] = [у, у] = у. Если ъ © х = ъ © у, то х = у аналогичным образом.
Предположим далее, что Б удовлетворяет условию стабилизации; по определению у = 0 и у = 0 для любого отличного от нуля у € 1(Б). Рассмотрим последовательность хп ф у, где х ^ [1,1]; как нижние, так и верхние границы интервалов этой последовательности стабилизируются в Б, так что по определению операций ф, © стабилизация имеет место и для целых интервалов как элементов 1(Б). I
Пусть Б — идемпотентное полукольцо, тогда отображение 1: Б ^ I(Б), определяемое формулой ¿(ж) = [ж,ж], является изоморфным вложением Б в его слабое интервальное расширение I(Б). Если полукольцо Б содержит нуль 0, а его интервальное расширение определено корректно, то отображение 1: Б ^ 1(Б) С I(Б) является изоморфным вложением Б в его интервальное расширение. В дальнейшем мы отождествим полукольцо Б с подполукольцами ¿(Б) С I(Б) или ¿(Б) С 1(Б) С I(Б) и будем обозначать операции в I(Б) и в 1(Б) через ф, ©. Если полукольцо Б содержит единицу 1, то мы будем использовать обозначение 1 и для единичного элемента [1,1] в I(Б) или 1(Б); примем также аналогичное соглашение для нулевого элемента [0, 0].
10. Идемпотентная интервальная арифметика Каухера
Подчеркнем, что в интервальном идемпотентном анализе большинство алгебраических свойств идемпотентного полукольца сохраняется и в его интервальном расширении. С другой стороны, если Б — идемпотентное полуполе, то множество 1(Б) в общем случае будет не полуполем, а только коммутативным полукольцом с сокращениями.
Напомним, что любое коммутативное идемпотентное полукольцо Б с нулем 0 может быть изоморфно вложено в идемпотентное полуполе Б при условии, что Б удовлетворяет
условию сокращения (см., например, [23]). Если Б совпадает со своим подполуполем, порожденным Б, то 3 называется полуполем дробей, соответствующим полукольцу Б. Это полуполе может быть построено как совокупность классов эквивалентности элементов Б х (Б \ {0}) по отношению где
(х,у) ~ (г,£) ^ х © £ = у © г,
для любых (х, у), (г, £) € Б х (Б \ {0}). Алгебраические операции в полуполе дробей определяются соотношениями
(х, у) Ф (г,£) = ((х © £) Ф (у © г),у © £), (х,у) © (г,£) = (х © г, у © £).
Нетрудно проверить, что введенные операции удовлетворяют аксиомам коммутативного полукольца с нулем { (0, у) | у = 0 } и единицей { (у, у) | у = 0 }. По отношению к этим операциям пары (х, у) ведут себя как "дроби" с "числителем" х и (ненулевым) "знаменателем" у. Для каждой дроби (х,у), представляющей ненулевой элемент Б, обратный элемент задается дробью (у,х). Таким образом, введенная алгебраическая структура удовлетворяет всем аксиомам полуполя.
В контексте традиционного интервального анализа аналогичное расширение алгебры числовых интервалов ведет к так называемой интервальной арифметике Каухера [37, 38]. В дополнение к обычным интервалам [х, у], где х < у, она включает квазиинтервалы [х, у] с у < х, которые возникают как обратные к обычным интервалам.
Как показывает следующее утверждение, в идемпотентном варианте арифметики Каухера полуполе дробей интервального расширения 1(5), соответствующего коммутативному идемпотентному полукольцу Б с условием сокращения, имеет очень простую структуру: оно изоморфно идемпотентному полуполю (Б \ {0})2 и {0} (см. пример 2.2).
Предложение 10. Пусть ¡3 является полуполем дробей, соответствующим коммутативному идемпотентному полукольцу Б с нулем 0, удовлетворяющему условию сокращения. Тогда полуполе дробей, соответствующих интервальному расширению 1(Б), изоморфно полуполю (Б \ {0})2 и {0} с покоординатными операциями.
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что 1(Б) является коммутативным идемпо-тентным полукольцом с нулевым элементом 0 = [0, 0] и удовлетворяет условию сокращения. Таким образом, 1(Б) может быть изоморфно вложено в соответствующее ему полуполе дробей.
Определим отображение <: 1(Б) х (1(Б) \ {0}) ^ (Б \ {0})2 и {0} так, что <((х, у)) = (х © у-1,X © у-1). Это отображение сюръективно. Действительно, (0, 0) = <((0, у)) для
любого у = 0. Проверим, что если а, Ь € Б, а = 0, Ь = 0, то существуют такие х, у € 1( Б), у = 0, что <((х, у)) = (а,Ь). По определению полуполя дробей найдутся такие ненулевые элементы а1, а2, Ь1, Ь2 € Б, что а = а1 © а-1, Ь = Ь1 © Ь-1. Определим
X = а1 © Ь1 © Ь2, X = (а1 © Ь1 © Ь2) Ф (а2 © Ь2), у = а2 © Ь1 © Ь2, у = (а1 © Ь2) Ф (а2 © Ь1 © Ь2);
тогда 0 X х X X, 0 X у X у и
X © у-1 = а1 © Ь1 © Ь2 © Ь-1 © Ь-1 © а-1 = а, х © у-1 = Ь1 © (а1 © Ь2 Ф а2 © Ь1) © (а1 © Ь2 Ф а2 © Ь1)-1 © Ь-1 = Ь.
Поскольку ж©у-1 = г ©£-1 тогда и только тогда, когда ж ©£ = у ©г для любых ж, у, г, £ € Б? таких, что у = 0 и £ = 0, мы видим, что <^((х, у)) = <^((ъ, 1)) тогда и только тогда, когда (х, у) и (ъ, 1) определяют один и тот же элемент полуполя дробей, соответствующего 1(Б). Кроме того,
р((х,у) ф (ъ, 1)) = р(((х © 1 ф (у © ъ), у © 1))= _
= ((х © у-1) ф (ъ © 1-1), (х © у-1) ф (ъ © 1-1)) = = р((х,у)) ф р((ъ, 1)), р((х, у) © (ъ, 1)) = р((х © ъ, у © 1))= ^
= ((х © у-1) © (ъ © 1-1), (х © у-1) © (ъ © 1-1)) = = р((х, у)) © р((ъ, 1)).
Поэтому отображение ^ является изоморфизмом полуполя дробей, соответствующих 1(Б), и идемпотентного полуполя (Б? \ {0})2 и{0}. I
Условие коммутативности в этом предложении является естественным. Действительно, из теории упорядоченных групп можно вывести, что Ь-полное идемпотентное полукольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим, коммутативно, т. е. является полуполем (см. [5]).
11. Идемпотентная интервальная линейная алгебра
Пусть Б — идемпотентное полукольцо, а I(Б) — его слабое интервальное расширение; тогда совокупность Ма1пп(!(Б)) квадратных матриц порядка п является идемпотентным полукольцом. Если интервальное расширение 1(Б) полукольца Б определено корректно, то же самое справедливо для Ма1пп(1(Б)). Нижней и верхней матрицами любой (не обязательно квадратной) интервальной матрицы А = (а^) € Ма1;тп(!(Б)) (А = (а^) € Ма1тп(1(Б))) называются матрицы А = (а^) и А = (а^).
Предложение 11. Пусть Б — идемпотентное полукольцо. Отображение
А € Ма^п(!(Б)) ^ [А, А] € I(Ма^п(Б))
является изоморфизмом идемпотентных полуколец Ма1;пп(!(Б)) и I(Ма1пп(Б)). Если интервальное расширение 1(Б) полукольца Б определено корректно, то отображение А € Ма1пп(1(Б)) ^ [А, А] € I(Ма1пп(Б)) является гомоморфизмом идемпотентного полукольца Ма1пп(1(Б)) в полукольцо I(Ма1пп(Б)).
Здесь интервалы [А, А] в I(Ма^п(Б)) определены относительно частичного порядка ^ в Ма1пп(Б) (см. пример 2.3). Доказательство легко следует из определения алгебраических операций в I(Б); действительно, из последнего вытекает, что сложение и умножение интервальных матриц сводятся к сложению и умножению их нижних и верхних матриц. Разумеется, обозначение А € А эквивалентно соотношениям А ^ А ^ А. Следующее предложение непосредственно выводится из теоремы 2: Предложение 12. Если коммутативное идемпотентное полукольцо Б с нулем 0 и единицей 1 алгебраически замкнуто и удовлетворяет условиям сокращения и стабилизации, то для любой матрицы А € Ма1пп(1(Б)) существуют ненулевой "собственный вектор" V € Ма1п1(1(Б)) и "собственное значение" [Л, А] € 1(Б) такие, что АУ = [А, А] © V. Если матрица А неприводима, то "собственное значение" [А, А] определено единственным образом.
Из определения алгебраических операций в полукольцах I(S), I(S) следует, что A V =
Л © V и AV = Л © V.
Рассмотрим следующее интервальное дискретное стационарное уравнение Беллмана (см. также разд. 4, 5):
X = AX ф B,
где A G Matnn(I(S)), B G Matns(I(S)), а X — неизвестная матрица с n строками и s столбцами.
Следуя работе [39], можно рассматривать два различных понятия решения данного дискретного стационарного уравнения Беллмана:
1. Объединенное множество решений:
E(A, B) = { X G Matns(S) | X = AX ф B для некоторых A G A, B G B }.
2. Алгебраическое решение: такая матрица X G Matns(I(S)), что X = AX ф B.
Отметим, что в работах [39, 40] вводятся и другие множества решений, а также обсуждаются их взаимосвязи.
Напомним, что минимальное решение уравнения X = AX ф B в смысле канонического порядка X в Matns(S) задается формулой X = A*B. Ниже мы всюду будем предполагать, что матрица замыкания A* существует, и рассматривать только минимальные решения. В частности, если матрица A является определенной в смысле Б. А. Карре (см. [29] и разд. 5), то минимальное решение единственно. Мы будем пользоваться обозначением Emin(A, B), чтобы подчеркнуть, что речь идет об объединенном множестве минимальных решений.
В традиционном интервальном анализе алгебраическое решение является подмножеством объединенного множества решений, а это последнее обладает весьма сложной структурой, для полного описания которой требуется экспоненциально большое число операций. Даже задачи распознавания (является ли объединенное множество решений пустым) и нахождения внешней интервальной оценки для него с заданной погрешностью оказываются NP-трудными (см. [14-20] и библиографию, приведенную в этих работах, а также обсуждение в [39, 40]). Следующее утверждение показывает, что в идемпотентном интервальном анализе (минимальное) алгебраическое решение системы уравнений X = AXфB является точной внешней интервальной оценкой объединенного множества минимальных решений Emin(A, B).
Теорема 4. Интервальная матрица A*B G Matns(I(S)), рассматриваемая как интервал в I(Matns(S)), является точной нижней гранью относительно упорядочения С множества всех интервалов в I(Matns(S)), содержащих объединенное множество минимальных решений Emin(A, B).
Доказательство. Поскольку умножение матриц и операция замыкания согласованы с каноническим порядком X в матричных полукольцах (см. леммы 1 и 2), интервал A*B =
A*B, A*B корректно определен в I(Matns(S)).
Пусть интервал Z G Matns (I(S)) С I(Matns(S)) содержит множество Smin(A, B); тогда A*B С Z, поскольку A*B G £min(A, B) С Z и A*B G £min(A, B) С Z.
Обратно, пусть T G £min(A, B), так что T = A*B, где A G A, B G B. Тогда T G A*B, поскольку A*B X T X A B. Поэтому Smin(A, B) С A*B, что завершает доказательство.
Следствие. Точная внешняя интервальная оценка Л*Б объединенного множества минимальных решений Sm¡n(A, B) может быть получена за полиномиальное число операций.
Доказательство. В силу определения операций ©, ф в интервальном расширении идемпотентного полукольца S операции над интервальными матрицами сводятся к раздельному выполнению операций над их нижними и верхними матрицами. С другой стороны, алгебраическое решение дискретного стационарного уравнения Беллмана X = AX ф B может быть построено с помощью метода Гаусса или других эффективных алгоритмов линейной алгебры, требующих полиномиального числа операций. Повторяя это построение для нижней и верхней матриц A*B и Л B по отдельности, получаем искомую интервальную оценку Л*B. В
Рассмотрим итерационный процесс:
Xfc+i = AXfc ф B = Afc+1Xo ф Л^ B, (2)
где Xfc 6 Matns(I(S)), k = 0,1,...
Следующее утверждение с точностью до терминологии принадлежит Б. А. Карре [29, Теорема 6.1].
Предложение 13. Если матрица A 6 Matnn(S) полуопределена, то итерационный процесс Xk+1 = AXk ф B стабилизируется к (минимальному) решению X = A*B уравнения X = AX ф B не более чем через n итераций для любого начального приближения X0 6 Matns(S) такого, что X0 ^ A*B.
Предположим, что идемпотентное полукольцо S удовлетворяет предположениям предложения 12. Пусть [А1,Л1],..., [Afc, Л& ], 1 < k < n, суть собственные значения матрицы Л 6 Matnn(I(S)). Обозначим sup{A1,... , Л&} = фA¿ через р(Л). Можно сформулировать простой спектральный критерий сходимости итерационного процесса (2):
Теорема 5. Пусть S — идемпотентное полукольцо, удовлетворяющее предположениям предложения 12, а матрица Л 6 Matnn(I(S)) такова, что р(Л) ^ 1. Тогда итерационный процесс Xk+1 = AXk ф B, k > 0, стабилизируется к (минимальному) решению X = A*B уравнения X = AX ф B не более чем через n итераций для любого X0 6 Matns(I(S)) такого, что X0 ^ X.
Доказательство. Достаточно доказать, что каждая из последовательностей нижних и верхних матриц {X&} сходится в отдельности. С этой целью покажем, что матрицы Л и Л полуопределены; тогда результат будет следовать из предложения 13.
Поскольку aj ^ a¿j для всех i, j, следует лишь проверить, что матрица Л полуопределена. Сначала мы докажем это, если Л неприводима. Выражая единственное собственное значение неприводимой матрицы Л через веса циклов в соответствующем ей графе, получаем [23, 24]
Л = [a¿i¿2 © ■ ■ ■ © a¿í¿i, l = 1,...,n (ii,...,i¡)
где ^(n) есть наименьшее общее кратное чисел 1,... , n. Поэтому для любого цикла p его вес A(p) = ai1i2 ©■ ■ ■©ai;i1 удовлетворяет неравенству A(p) ^ 1, если Л ^ 1 (действительно, если A(p) ф 1 У 1, то по замечанию 8.3 1 ф A(p)^(n)/1 = (1 ф A(p))^(n)/1 У 1, так что 1 ф ^ У 1 — противоречие). Таким образом, матрица Л полуопределена.
В идемпотентной матричной алгебре устанавливается, что любая приводимая матрица А перестановкой строк и столбцов может быть приведена к верхнему блочно-треугольному виду (см., например, [8]):
B
( Bi 0
V 0
*
B2 0
\
1 < k < n,
Bfc у
где все квадратные матрицы Bi,... , B& либо нулевые, либо неприводимые. Покажем, что каждое собственное значение Л матрицы A одновременно является собственным значением одной из матриц B¿, l = 1,...,k. Действительно, пусть V = (v¿) £ Matni(S) есть собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению Л. Рассмотрим разложение множества вершин X = XiU- • •UX&, где X¿ПXs = 0, если l = s, и B¿ = (bj)xi,xj, l = 1,... , k; пусть lo = max {l | = 0 для некоторой вершины x £ X¿ }. Тогда Л — единственное собственное значение неприводимой матрицы B¿0, соответствующее собственному вектору (v¿)xiex¡0. Условие p(A) X 1 означает, что матрицы Bi,... , Bk полуопределены. Поскольку замкнутых маршрутов, содержащих вершины из разных групп x £ X¿, Xj £ Xs, l = s, в графе матрицы A не существует, можно заключить, что эта матрица является полуопределенной. U
Замечание 11.1. Интересно сравнить это простое предложение с известным спектральным критерием сходимости итерационного процесса в традиционном интервальном анализе ([12, Теорема 12.1]), который в наших обозначениях имеет следующий вид:
Итерационный процесс Xk+i = AXk + B, k > 0, сходится к единственному решению X уравнения X = AX + B для любого X0 £ Matns(1 (C)) тогда и только тогда, когда P(|A|) < 1.
Список литературы
[1] Maslov V. P. New superposition principle for optimization problems // Seminaire sur les Equations aux Derivees Partielles 1985/86. Palaiseau: Centre Math. de l'Ecole Polytechnique, 1986. Expose 24.
[2] Idempotent analysis // Advances in Soviet Mathematics. Vol. 13 / Ed. V. P. Maslov, S. N. Samborskii. Providence: Amer. Math. Society, 1992.
[3] Kolokoltsov V. N., Maslov V. P. Idempotent Analysis and Applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997.
[4] Litvinov G.L., Maslov V. P. Correspondence Principle for Idempotent Calculus and Some Computer Applications. Bures-sur-Yvette: Institut des Hautes Etudes Sci., 1995. IHES/M/95/33. The same in [7], p. 420-443. (math.GM/0101021, LANL e-print archive: http://arXiv.org).
[5] Литвинов Г. Л., Млслов В. П., Шпиз Г. Б. Идемпотентный функциональный анализ: алгебраический подход // Мат. заметки. 2001. Т. 69, №5. С. 696-799. (math.FA/0009128, LANL e-print archive: http://arXiv.org).
[6] Литвинов Г. Л., Млслов В. П., Шпиз Г. Б. Линейные функционалы на идем-потентных пространствах: алгебраический подход // Докл. РАН. 1998. Т. 363, №3. С. 298-300.
[7] Idempotency // Publ. of the Newton Institute / Ed. by J Gunawardena. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998.
[8] Baccelli F. L., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.-P. Synchronization and Linearity: an Algebra for Discrete Event Systems. N. Y.: Wiley, 1992.
[9] LlTVINOV G.L., MaslOV V. P., RODIONOV A. Ya. Unifying Approach to Software and Hardware Design for Scientific Calculations. Prepr. Intern. Sophus Lie Centre, 1995. (quant-ph/9904024, LANL e-print archive (http://arXiv.org).)
[10] Kearfott R. B. Rigorous Global Search: Continuous Problems. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996.
[11] Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.
[12] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.
[13] Moore R. E. Methods and Applications of Interval Analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.
[14] ЛАКЕЕВ А. В., Носков С. И. О множестве решений линейного уравнения с интер-вально заданными оператором и правой частью // Докл. РАН. 1993. Т. 330, №4. С. 430-433.
[15] ЛАКЕЕВ А. В., Носков С. И. О множестве решений линейного уравнения с интер-вально заданными оператором и правой частью // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №5. С. 1074-1084.
[16] KreinOVICH v., Lakeyev A. v., NOSKOV S.I. Optimal solution of interval linear systems is intractable (NP-hard) // Interval Comput. 1993. Vol. 1. P. 6-14.
[17] KreinOVICH v., Lakeyev A.V., Rohn J. Computational complexity of interval algebraic problems: Some are feasible and some are computationally intractable: A survey // Sci. Comput. and Validated Numer. / Eds G. Alefeld, A. Frommer, B. Lang. Berlin: Akad. Verlag, 1996. P. 293-306.
[18] Lakeyev A.V., KreinOVICH V. NP-hard classes of linear algebraic systems with uncertainties // Reliable Comput. 1997. Vol. 3, No. 1. P. 51-81.
[19] KreinOVICH v., Lakeyev A. v., Rohn J., Kahl P. Computational Complexity and Feasibility of Data Processing and Interval Computations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998.
[20] COXSON G. E. Computing exact bounds on elements of an inverse interval matrix is NP-hard // Reliable Comput. 1999. Vol. 5, No. 2. P. 137-142.
[21] Соболевский А. Н. Интервальная арифметика и линейная алгебра над идемпотент-ными полукольцами // Докл. РАН. 1999. Т. 369, №6. С. 747-749.
[22] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
[23] Дудников П. С., Самборский С. Н. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, №1. С. 93-109. [Киев, 1987 (Препр. / АН УССР. ИМ; №87.48.).]
[24] Dudnikov P.S., SAMBORSKII S.N. Endomorphisms of finitely generated free semimodules // Idempotent Analysis: Advances in Soviet Math. Vol. 13 / Ed. V. P. Maslov, S. N. Samborskii. Providence: Amer. Math. Society, 1992. P. 65-85.
[25] BELLMAN R. E., Dreyfus S. E. Dynamic Programming and Applications. Paris: Dunod, 1965.
[26] NELSON E. Probability Theory and Euclidian Field Theory. Constructive Quantum Field Theory. Vol. 25. Berlin: Springer-Verl., 1973.
[27] ВАСИЛЬЕВ А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.
[28] LIONS P.-L. Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. L.: Pitman, 1982.
[29] Carré B.A. An algebra for network routing problems //J. Inst. Math. Appl. 1971. Vol. 7. P. 273-294.
[30] Carré B.A. Graphs and Networks. Oxford: Oxford Univ. Press, 1979.
[31] LEHMANN D. Algebraic structures for transitive closure // Theor. Comput. Sci. 1977. Vol. 4. P. 59-76.
[32] Авдошин С.М., Белов В. В., Маслов В. П. Математические аспекты синтеза вычислительных сред. М.: Изд-во МИЭМ, 1984.
[33] ВоЕводин В. В. Математические основы параллельных вычислений. М.: Изд-во МГУ, 1991.
[34] KLEENE S. C. Representation of events in nerve sets and finite automata // Automata Studies / Eds. J. McCarthy, C. Shannon. Princeton: Princeton Univ. Press, 1956. P. 3-40.
[35] BACKHOUS E R., Carré B.A. Regular algebra applied to path-finding problems //J. Inst. Maths Appl. 1975. Vol. 15. P. 161-186.
[36] ROT E G. A systolic array algorithm for the algebraic path problem (shortest paths; matrix inversion) // Computing. 1985. Vol. 34. P. 191-219.
[37] KAUCH ER E. Algebraische Erweiterungen der Intervallrechnung unter Erhaltung Ordnungs- und Verbandsstrukturen // Computing Suppl. 1977. Vol. 1. P. 65-79.
[38] KAUCH ER E. Interval analysis in the extended interval space IR // Computing Suppl. 1980. Vol. 2. P. 33-49.
[39] Shary S. P. Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance, and control problems, or One more application of Kaucher arithmetic // Reliable Computing. 1996. Vol. 2, No. 1. P. 3-33.
[40] Shary S.P. Algebraic approach in the "outer problem" for interval linear equations // Reliable Computing. 1997. Vol. 3, No. 2. P. 103-135.
[41] Литвинов Г.Л., Соболевский А.Н. Точные интервальные решения дискретного уравнения Беллмана и сложность задач интервальной линейной алгебры // Докл. РАН. 2000. Т. 374, № 3. С. 304-306.
[42] LlTVINOV G., SOBOL EVSKII A. Idempotent interval analysis and optimization problems // Reliable Comp. 2001. Vol. 7, No. 5. P. 353-377. (math.SC/0101080, LANL e-print archive: http://arXiv.org).
Поступила в редакцию 11 декабря 1999 г.
