(O-C)-компактные пространства и функтор гиперпространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

УДК 515.12 https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/03

(G-Q-КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКТОР ГИПЕРПРОСТРАНСТВ

©Жумаев Д. И., ORCID: 0000-0001-5387-3639, Ташкентский архитектурно-строительный институт, г. Ташкент, Узбекистан, d-a-v-ron@mail.ru

(0-Q-COMPACT SPACES AND HYPERSPACES FUNCTOR

©Jumaev D., ORCID: 0000-0001-5387-3639, Tashkent Institute of Architecture and Civil Engineering, Tashkent, Uzbekistan, d-a-v-ron@mail.ru

Аннотация. В работе установлено, что пространство всех непустых компактных подмножеств тихоновского пространства (O-Q-компактно тогда и только тогда, когда заданное тихоновское пространство (O-Q-компактно. А также для отображения f:X^Y доказано, что отображение exppX^Y является (O-Q-компактным в том и только в том случае, когда f является (O-Q-компактным.

Abstract. In the work, it is established that the space of all nonempty compact subsets of a Tychonoff space is (O-C)-compact if and only if the give Tychonoff space is (O-C)-compact. Further, for a map f:X^Y the map exppX^Y is (O-C)-compact if and only if the map f is (O-C)-compact.

Ключевые слова: (O-C)--компактное пространство, гиперпространство, (O-C)-отображение.

Keywords: (O-C)-compact space, hyperspace, (O-C)-map.

Введение

В работе под пространством подразумевается топологическое 7\ — пространство, под компактом — хаусдорфово компактное пространство.

Система а подмножеств множества X называется [1] звездно счетной (конечной), если каждый элемент системы а пересекается не более со счетным (конечным) числом элементов этой системы. Система подмножеств множества X дизъюнктна, если каждая пара элементов этой системы дизъюнктна. Система а подмножеств множества X вписана в системе Q подмножеств множества X, если для каждого элемента А £ П существует элемент В £ ш такой, что В с А. Если для каждой точки x множества X найдется элемент системы а, содержащий точку x, то система а называется покрытием множества X.

Покрытие пространства X называется открытым (замкнутым, открыто-замкнутым), если все его элементы — открытые (соответственно, замкнутые, открыто-замкнутые) подмножества пространства X. Для системы ш = {0а: а £ А] подмножеств пространства X полагаем [w] = [ш]х = {[0а~]х: а £ А].

Напомним, что подмножество А пространства X называется [2-3] (О-С)-конечным в X, если для любой дизъюнктной системы открыто-замкнутых в X и покрывающих А множеств лишь конечное число этой системы пересекает А. Пространство X назовем (О-С)-конечным в

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

X, если оно (О-С)-конечно в себе (то есть из любого его дизьюнктного открыто-замкнутого покрытия можно выделить конечное подпокрытие).

Примерами (О-С)-конечных пространств являются псевдокомпактные (в частности, счетно компактные и компактные), а также связные пространства.

Подмножество А пространства X называется [2-3] (О-С)-компактным в X, если из любого покрытия множества А открыто-замкнутыми в X множествами можно выделить конечное подпокрытие. Пространство X (О-С)-компактно, если оно (О-С)-компактно в себе (то есть из любого его открыто-замкнутого покрытия можно выделить конечное подпокрытие). Отметим, что класс (О-С)-компактных пространств исследовался А. П. Шостаком [4] под названием скученных, а фактически условие (О-С)-компактности впервые выделено В. И. Пономаревым [5].

Очевидно, любое (О-С)-компактное подмножество пространства X является (О-С)-конечным в X и любое (О-С)-компактное пространство (О-С)-конечно. Примером (О-С)-конечного пространства, не являющегося (О-С)-компактным пространством является пространство Т^ш-^ всех порядковых чисел, меньших первого несчетного порядкового числа ш-. Так как Т^ш-^ счетно компактно, то произвольное его дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие конечно. Следовательно, оно (О-С)-конечно. В то же время, из покрытия V = {[0, а]: а < ш-} пространства Т^ш-^, состоящего из открыто-замкнутых в Т^ш-^ множеств, нельзя выделить конечное подпокрытие. Значит, Т^ш-^ не является (О-С)-компактным. Однако, для П-полного (в частности, суперпаракомпактного хаусдорфово) пространства классы компактных пространств, (О-С)-компактных пространств и (О-С)-конечных пространств совпадают [3]. Определения понятий П-полного и суперпаракомпактного пространств можно найти в работах [2-3, 7-8].

Автору не удалось найти следующие утверждения, доказательства которых сразу вытекает из определений.

Предложение 1. Каждое подмножество:

1) (О-С )-конечного пространства (О-С)-конечно;

2) (О-С )-компактного пространства (О-С)-компактно.

Известно [2-3], что подмножество А тихоновского пространства X (О-С)-конечно в X в том и только в том случае, если А (О-С)-конечно в ^Х. Аналогично, А (О-С)-компактно в X тогда и только только тогда, когда А (О-С)-компактно в ^Х. Автором получено усиленные варианты этих утверждений.

Предложение 2. Подмножество А тихоновского пространства X:

1) (О-С)-конечно в X в том и только в том случае, если А (О-С)-конечно в некотором совершенном компактном расширении ЬХ;

2) (О-С)-компактно в X тогда и только только тогда, когда А (О-С)-компактно в некотором совершенном компактном расширении ЬХ.

Напомним понятие совершенного компактного расширения пространства. Для топологического пространства X и его подмножества А множество РгхА = [А]х П =

[А]х\1п1хА означает границу множества А. А также используют записи FrЛ, [А], и ¡ША. Пусть рХ — некоторое компактное расширение вполне регулярного пространства X. Если Н с X — открытое в X множество, то через О(Н) (или через ОуХ(Н) ) обозначается максимальное открытое в х>Х множество, для которого ОуХ(Н) П X = Н. Легко видеть, что

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

0„Х(Н)= У Г, гпх=н

где хуХ — топология пространства рХ.

Компактное расширение х>Х вполне регулярного пространства X называется совершенным относительно открытого в X множества Н, если имеет место равенство [Ргхн]рх = РгрХОрХ(Х). Если же х>Х совершенно относительно любого открытого в X множества, то оно называется совершенным компактным расширением пространства [1, с. 249]. Компактное расширение х>Х пространства X тогда и только тогда совершенно, когда для любых двух непересекающихся открытых в X множеств и1 и и2 выполнено равенство 0(и1 и и2) = 0(и1) и 0(и2) [1, с. 253]. Компактификация Стоуна-Чеха пространства X совершенна [1, с. 253]. Для компактного расширения уХ равенство 0(и1 и и2) = 0(и1) и 0(и2) выполнено для любых двух открытых в X множеств и1 и и2 в том и только в том случае, когда пространство X нормально, а компактификация рХ совпадает с компактификацией Стоуна-Чеха , т. е. уХ = [1, с. 253-254].

2. (О-С)-компактные пространства и функтор гиперпространства

Множество всех непустых замкнутых подмножеств топологического пространства X обозначим ехрХ. Для подмножеств и1, ...,ип с X положим

0{и1,...,ип) = [Р: Р Е ехрХ.Р с Ц1У=1 ип,Р Пи1 Ф 0,...,Р П ип Ф 0) = = [Р:Р Е ехрХ, Р с и]==1 ип] П П?^: Р Е ехрХ, Р П^Ф 0).

Если множества и1,...,ип открыты, то по определению топологии Вьеториса множества

[Р:Р Е ехрХ.Р с ип) = ехрШГ^ и1,Х), {Р: Р Е ехрХ.Р П и{Ф0) = ехрХ\ехр(Х\иьХ),

открыты в пространстве замкнутых подмножеств. Поэтому открытым является множество 0{и1,... ,ип). С другой стороны, такой вид имеют и элементы предбазы топологии Вьеториса: ехр(и,Х) = О {и), ехрХ\ехр(Х\и, X) = 0{и,Х). Таким образом, семейство всех множеств вида 0{и1,... ,ип), где множества и1,...,ип открыты в пространстве X, является базой топологии Вьеториса. Полученное топологическое пространство ехрХ называется гиперпространством пространства X. Для компакта X гиперпространство ехрХ является компактом. Пусть — непрерывное отображение

компактов, Р Е ехрХ.

Положим

(ехр/)(Р) = ДР). (1)

Этим равенством определено отображение ехр/: ехрХ ^ ехрУ. Это отображение непрерывно. В самом деле, это вытекает из непосредственно проверяемой формулы

(ехр/)-10{и1.....ит) = 0{[-1(и1).....Г\ит)). (2)

Отметим, что если — эпиморфизм, то ехр/ также является эпиморфизмом.

Для тихоновского пространства X введем обозначение ехр^Х = [Р Е ехр^Х: Р с X).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

Ясно, что ехррХ с ехрХ. Рассмотрим ехр^Х как подпространство пространства ехрХ , т. е. множества вида 0{1]1,...,ип) = {Р:РЕ ехрХ, Р с ип,Р пи1 Ф 0,..., Р П ип Ф Ф} образуют базу топологии в ехррХ. Для тихоновского пространства X пространство ехррХ является тихоновским пространством относительно топологии Виеториса.

Для непрерывного отображения [:Х ^ У тихоновских пространств положим ехр@/ = ехрР[\ехррХ, где — продолжение Стоуна-Чеха отображения [ (оно

единственно).

Известно, что для тихоновского пространства X множество ехррХ всюду плотно в ехррХ, т. е. ехррХ является компактификацией пространства ехррХ. Мы заявляем, что компактификация ехр(ЗХ совершенна. Данный результат изложен в работах [7-8]. Для полноты работы изложим его доказательство. Сначала докажем следующее техническое утверждение.

Лемма 1. Для произвольного компактного расширения уХ пространства X, произвольной дизъюнктной пары открытых в уХ множеств У, IV справедливо равенство [Х\Ух]уХ П [Х\№х]ух = и №х)]уХ , где Vх = X ПУ и №х = X П№.

Доказательство. Ясно, что [Х\Ух]уХ П [Х\А/х]уХ з и №х)]уХ. Пусть х Е

[Х\Ух]уХ П [X\Wx]yX. Тогда произвольная открытая в уХ окрестность Ох точки х пересекается с множествами и X\Wx. Отсюда, поскольку справедливо равенство Ух П

№х = Ф, следует, что Ох П (А^*) П (Х\ЛТх ) Ф Ф, т. е. Ох П (Х\(Ух и Wx)) Ф Ф. Значит, в силу произвольности окрестности Ох, заключаем, что х Е и УУх)]уХ. Лемма 1

доказана.

Теорема 1. Для тихоновского пространства X компакт ехр (ЗХ является совершенной компактификацией пространства ехррХ.

Доказательство. Достаточно рассматривать предбазисные открытые множества. Пусть и1 и и2 — непересекающиеся открытые в X множества. Тогда в силу совершенности компактификации /ЗХ имеем 0^х(и1 и и2) = 0^х(и1) и Орх(1}2). Рассмотрим множества 0{Ц{) = {Р\Р Е ехръХ,Р с Щ}Л = 1,2, открытые в ехр^Х. Ясно, что 0(и1) П 0(и2) = Ф. Покажем, что ОехРрх(0(и1) П 0^2)) = 0ехРрх(0(и1)) и Оехр/зх(0{и2)). Включение з вытекает из построения [1, с. 234]. Поэтому достаточно показать обратное включение. Пусть Ф с рх — замкнутое множество такое, что Ф € Оехр^х(0{и1)) и Оехррх(0{и2)). Тогда Ф Е ехр (ЗХ\0еХррх(0(и1)), / = 1, 2. Отметим, что имеют место следующие равенства [1, с. 253254] ехррХ\ОехРрх(0{ид) = [ехррХ\0{и1)]ехтЛ = 1,2. Откуда Ф Е[ехррХ\0{и1)]ехррх, / = 1, 2. Далее, так как 0{и1) П 0{и2) = Ф,тов силу леммы 1 имеем

[ехррХ\0{и1)]ехРрх П [ехррХ\0{и2)]ехРрх = [ехррХ\0({и1) и 0{и2))]ехррх.

Следовательно, Ф Е [ехр ^Х\0ехр^х(0{и1) и 0{и2))]ехррх, что равносильно Ф Е ехррХ\Оехррх({и1) и {и2)) [1, с. 253-254], т. е. Ф € Оехррх({1]1) и {и2)).Таким образом, нами установлено, что включение Оехррх({^\) и {и2)) с Оехррх(0{и1)) и Оехр/зх(0{и2)) также справедливо. Теорема 1 доказана.

Пусть и..., ип; Уг, ..., Ут — открытые подмножества пространства X.

Лемма 2. Соотношение 0{и1, ..., ип) П О^у^, ..., Ут) Ф Ф справедливо тогда и только тогда, когда для каждого ¿Е{1, ...,п} и для каждого } Е {1, ...,т} существуют, соответственно, Д¿) Е {1, ...,т} и ¿(¡) Е {1, ...,п}, такие, что выполнено соответственно, и1 п Ут ФФиУ] П ит Ф Ф.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com

Т. 5. №4. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/41

Доказательство. Предположим, для каждого / Е [1, ...,п) существует ](1)Е[1, ...,т), такой, что и£ ПУ]^) Ф 0 и для каждого ] Е [1, ...,т) существует ¡Ц) Е [1, ...,п) такой, что ио ПУ] Ф 0. Для каждой пары ]) Е [1, ...,п)х [1, ...,т), для которой и^ П У] Ф 0, выберем по точке х^ Е и^ П У] и составим замкнутое множество Р, состоящее из этих точек. Тогда Р с Ц^=1 ^ и F с Ц^ У]. Кроме того, Р ПУ^Ф 0, Ь = 1, ..., п, и Р ПУ] Ф 0, ) = 1, ..., т. Поэтому Р Е 0{и1, ..., ип) П 0{У1, ..., Ут).

Предположим, и^ ПУ] = 0 для некоторого Е [1, ...,п) и для всех ] Е [1, ...,т). Тогда и1о П Цг-=1 У] = 0 и для каждого Р Е 0{и1, ..., ип) имеем Р Ф ЦГ/1=1 У], следовательно, Р^О{У1, ..., Ут). Аналогично, каждое ГЕО{У1, ..., Ут) содержится в ЦГ-=1У] и не пересекается с и1о, следовательно, Г ^ 0{и1, ..., ип). Откуда 0{и1, ..., ип)ПО{У1, ..., Ут) = 0. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если V — дизъюнктное открытое покрытие пространства X, то семейство ехррУ = [0{и1, ..., ип):и1Еу, ¿ = 1, ...,п; пЕМ) — дизъюнктное открытое покрытие пространства ехррХ.

Доказательство. В силу дизъюнктности из леммы 2 вытекает, что 0{в1, ..., Ск) П 0{и1, ..., и{) Ф 0 тогда и только тогда, когда к = I и для каждого / Е [1,..., к) равенство в = И] справедливо только для единственного} Е [1,..., I). Иными словами, 0{в1, ..., вк) П 0{и1, ..., иг) Ф 0 тогда и только тогда, когда [и1, ..., иг) = [и1, ..., иг). Откуда ехррУ = [0{и1, ..., ип):и1Еь, ¿ = 1, ...,п; п Е М) дизъюнктно. Из построения топологии топологии Виеториса вытекает открыто-замкнутость покрытия ехррУ. Лемма 3 доказана.

В силу теоремы 3.3 [6, с. 90] имеем

[0{61..... Ск)]

ехрХ = 0{[С1] х, ..., [6к]х), 1Ме*рхО{С1, ..., вк) = о{ыгхС1, ..., ¡Мхв^.

Эти равенства в частности означают, если в^^, ..., вк — открыто-замкнутые множества в X, то 0{в1, ..., вк) открыто-замкнуто в ехррХ. Отсюда из леммы 3 вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Для тихоновского пространства X его гиперпространство ехррХ является ( О-С)-конечным тогда и только тогда, когда X (О-С)-конечно.

Установим аналогичный результат для ( 0-С)-компактного случая.

Теорема 2. Для тихоновского пространства X его гиперпространство ехррХ является (0-С)-компактным тогда и только тогда, когда X (О-С)-компактно.

Доказательство. Согласно предложению 1 ( О-С)-компактность пространства ехррХ влечет ( О-С)-компактность замкнутого подпространства X с ехррХ.

Пусть X (О-С)-компактно. Если П — произвольное открыто-замкнутое покрытие пространства ехррХ, то для каждого элемента в Е П существует такое Ос{и1, ..., ип), что Ос{и1, ..., ип) с в, где и1, ..., ип — открыто-замкнутые в X множества. Составим семейство у = [ Ос{и1, ..., ип): в Е П) так, чтобы оно покрывало ехррХ. Семейство [Ос{и1, ..., ип) П ехр1Х: в Е П) является открыто-замкнутым покрытием пространства X = ехр1Х = [[х): х Е X). Из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие V пространства X. Тогда из леммы 3 следует, что семейство ехррь = [О^УУ^..., Ук): У Е V, 1 = 1, ..., п; пЕ

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

N) является конечным открыто-замкнутым покрытием пространства exp^X, выделенным из покрытия у. Для каждого O^V-^,..., Vk) Е ш выберем по одному G0^Vi_Vk) Е П так, чтобы 0{V1,..., Vk) с G0yir.yk) и составим семейство ш = [G0yi:..yk)\ O{V1,..., Vk) Е exp^v). Тогда ш является конечным покрытием, выделенным из П. Теорема 2 доказана.

3. (0-С)-отображения и функтор гиперпространств

Для непрерывного отображения f: (X, хх) ^ (Y, ty) и O Е т прообраз f-10 называется трубкой (над 0).

Отображение f:X^Y пространств называется [2-4]:

1) ( 0- С)-отображением, если образ любого открыто-замкнутого в X множества открыто-замкнут в Y;

2) (0-С)-совершенным, если оно есть (0-С)-отображение, и для каждой точки у Е Y прообраз f-1(y) является (0-С)-компактным в X.

3) (0- С)-конечным в точках пространства Y, если для любой точки yeY существует окрестность V точки у такая, что f-1V является (0-С)-конечным в X;

4) (0-С)-компактным в точках пространства Y, если для любой точки yeY существует окрестность V точки у такая, что f-1V является (0-С)-компактным в X;

5) трубчато (0-С)-конечным в точках пространства Y, если для любого дизъюнктного открытого покрытия ш пространства X и для любой точки у Y существует окрестность V точки у такая, что из ш можно выбрать конечное подпокрытие трубки f-1 V;

6) трубчато (0- С)-компактным в точках пространства Y, если для любого открыто-замкнутого покрытия ш пространства X и для любой точки у Y существует окрестность V точки у такая, что из ш можно выбрать конечное подпокрытие трубки f-1 V.

Каждое (0- С)-конечное ((0- С)-компактное) в точках пространства Y отображение является трубчато (0-С)-конечным (соответственно, (0-С)-компактным) в точках пространства Y отображением (иными словами, имеет место 3) ^ 5), (соответственно, 4) ^ 6)). Обратно, (0- С)-конечное (( 0- С)-компактное) в точках пространства Y (0-С)-отображение является трубчато (0-С)-конечным (соответственно, трубчато (0-С)-компактным) в точках пространства Y отображением (иными словами, имеет место 1) + 5) ^ 3), (соответственно, 1) + 6) ^ 4)).

Очевидно, каждое (0- С)-совершенное отображение является (0-С)-отображением. Отображение произвольного бесконечного дискретного пространства в одноточечное пространство является ( 0- С)-, но не ( 0- С)-совершенным отображением.

Отображение ф: [0, 2п) —* S = {(х,у) Е R2: х2 + у2 = 1}, определенное равенством ty(t) = (cos t, sin t) дает пример (0-С)-, но не трубчато (0-С)-отображения [3, пример 3.3.1].

Следующие утверждения являются основными результатами раздела.

Теорема 3. Отображение exppf: exppX ^ exp^Y является (0-С)-компактным тогда и только тогда, когда отображение f:X^Y (0-С)-компактно.

Теорема 4. Отображение exp¡¡f: exp¡¡X ^ exp¡¡Y трубчато (0-С)-компактно в точках пространства exppX тогда и только тогда, когда отображение f:X^Y трубчато (0-С)-компактно в точках пространства X.

Ограничимся доказательством первого утверждения.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

Доказательство теоремы 3. Пусть f:X^Y — (О-С)-компактное отображение. Рассмотрим произвольную точку F Е expp Y. Пусть Vy — открытая окрестность точки у Е F такая, что f-1(Vy) (О-С)-компактно. Из покрытия {Vy:y Е F^ можно выделить конечное подпокрытие [Vy^yi Е F, i = 1,...,k}, к Е N. Имеем F Е 0{Vyi, ...,Vyk). Из равенства

_л

(exp^f)- (Щ^.....Vyk)) = mr^yj.....f-1(Vyk))

вытекает (О-С)-компактность прообраза окрестности 0{Vyi,...,Vy ) точки F Е exppY. Обратное утверждение вытекает из предложения 1. Теорема 3 доказана.

Автор выражает глубокую благодарность своему наставнику, доктору физико-математических наук Адилбеку Атахановичу Заитову за обсуждение данной работы и неоценимую поддержку.

Список литературы:

1. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. 424 с.

2. Мусаев Д. К., Пасынков Б. А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. Ташкент: Фан, 1994. 124 с.

3. Мусаев Д. К. О свойствах типа компактности и полноты пространств и отображений. Ташкент: NisoPoligraf, 2011. 216 с.

4. Sostak A. On a class of topological spaces containing all bicompact and all connected spaces // General topology and its relations to modern analysis and algebra. 1977. IV. P. 445-451.

5. Пономарев В. И. О звездно-конечных покрытиях и открыто-замкнутых множествах // ДАН СССР. 1969. Т. 186. №5. С. 1016-1019.

6. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988. 252 с.

7. Zaitov A. A., Jumaev D. I. Hyperspace of the П-complete spaces and maps // Eurasian Mathematical Journal (Submitted) 2019.

8. Zaitov A. A., Jumaev D. I. Hyperspaces of superparacompact spaces and continuous maps. // Universal Journal of Mathematics and Applications. 2019. (Submitted).

References:

1. Arkhangelskii, A. V., & Ponomarev, V. I. (1974). Osnovy obshchei topologii v zadachakh i uprazhneniyakh. Moscow, Nauka, 424. (in Russian).

2. Musayev, D. K., & Pasynkov, B. A. (1994). On compactness and completeness properties of topological spaces and continuous maps Tashkent, Fan, 124. (in Russian).

3. Musayev, D. K. (2011). On compactness and completeness properties of topological spaces and continuous maps. Tashkent, NisoPoligraf, 216. (in Russian).

4. Sostak, A. (1977). On a class of topological spaces containing all bicompact and all connected spaces. General topology and its relations to modern analysis and algebra, IV, 445-451.

5. Ponomarev, V. I. (1969). Star-finite coverings and open-closed sets. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 186(5), 1016-1019. (in Russian).

6. Fedorchuk, V. V., & Filippov, V. V. (2006). General Topology. Basic Constructions Moscow. Fizmatlit. (in Russian).

7. Zaitov, A. A., & Jumaev, D. I. (2019). Hyperspace of the П-complete spaces and maps. Eurasian Mathematical Journal, (Submitted).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019

https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41

8. Zaitov, A. A., & Jumaev, D. I. (2019). Hyperspaces of superparacompact spaces and continuous maps. Universal Journal of Mathematics and Applications, (Submitted).

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 23.03.2019 г. 27.03.2019 г.

Ссылка для цитирования:

Жумаев Д. И. ^-^-компактные пространства и функтор гиперпространств // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №4. С. 30-37. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/03.

Cite as (APA):

Jumaev, D. (2019). (O-C)-compact Spaces and Hyperspaces Functor. Bulletin of Science and Practice, 5(4), 30-37. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/03. (in Russian).