CC BY
14Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №4. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/41
УДК 515.12 https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/02
О ФУНКТОРЕ If ИДЕМПОТЕНТНЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
©Ишметов А. Я., Ташкентский архитектурно-строительный институт, г. Ташкент, Узбекистан, ishmetov_azadbek@mail.ru
FUNCTOR If OF IDEMPOTEN T PROBABILITY MEASURES
©Ishmetov A., Tashkent Institute of Architecture and Civil Engineering, Tashkent, Uzbekistan, ishmetov_azadbek@mail.ru
Аннотация. В работе доказано, что функтор If идемпотентных вероятностных мер, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений является нормальным функтором.
Abstract. In the present paper, we proof the functor If of idempotent probability measures acting in the category of Hausdorff compact spaces and their continuous maps is normal.
Ключевые слова: идемпотентная мера, категория, нормальный функтор.
Keywords: idempotent measure, category, normal functor.
Введение
В работе [1] Е. Щепиным введено понятие нормального функтора в категории Comp компактов и их непрерывных отображений. А. Ч. Чигогидзе в работе [2] предложил конструкцию продолжения нормального функтора F: Comp ^ Comp до функтора f : Tych ^ Tych, действующего в более широкой категории Tych тихоновских пространств и
их непрерывных отображений с сохранением нормальности. В работе [3] исследовано категорные свойства функтора I: Comp ^ Comp идемпотентных вероятностных мер. В настоящей работе рассмотрим функтор i : Comp ^ Comp, который является подфунктором функтора i идемпотентных вероятностных.
Пусть X — компакт, С(X) — алгебра всех непрерывных функций, определенных на X, с обычными поточечными алгебраическими операциями и sup -нормой. Следуя [3], вводим следующие операции:
1)0:ДхС(,Г)->С(А') поправилу ©(/1.(0 = Л О 9> = <Р±Лу где (реС(Х) и ^—постоянная
на X функция, принимающая везде значение Ле R;
2) ®: c ( x )xc (x)^ c (x) по правилу ®(р,щ) = р®щ = тгх{р,щ}, где р,уе C(X).
Определение 1 [3].
Функционал ц: С(XЯ называется идемпотентной вероятностной мерой, если он обладает следующими свойствами:
О) /л(Л) = Л для всех Ле Я, где лх — постоянная функция;
(ii) у } w для всех ЛеЯ и q><aC\X);
(iii) ^(р©^) = ^(р)©^(^) для всех р,уеС(X).
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №4. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/41
Число ju{q) называется интегралом Маслова соответствующим к Ц . Множество всех идемпотентных вероятностных мер на X обозначается [3] через I (X). Всякая идемпотентная вероятностная мера является непрерывной [4]. Следовательно, I(X)cCp(C(X))cRC(X). Обеспечим I(X) с индуцированной из RC(-X) топологией. Базу
окрестностей идемпотентной меры ц,е I (X) относительно этой топологии образуют множества вида
;е) = еI (X): ) - fj{q>i ^ <s, i = 1,..., к},
где q1,...,qk е c(x) и s>0 .
Из результатов работы [3] вытекает, что для всякого компакта X пространство I(X) также является компактом. Пусть f: X — Y — непрерывное отображение компактов. Тогда естественным образом определяется отображение I (f): I (X ) — I (Y):
l(fM<p) = fl(<pof) (1)
6
Для идемпотентной вероятностной меры це I (X) определен ее носитель:
supp^ = fl(F: F замкнуто в X и /ле 1(F)}. Для положительного целого числа п определим следующее множество
In (X ) = {це I (X) :|supp^< n}.
Положим
00 (¡=1
Множество ¡ю(X) всюду плотно [3] в I(X). Идемпотентную вероятностную меру ц е I (X) называют идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем. Функционал 8Х: C(X) —^R, определенный по формуле 8x(q) = q(x), qeC(X), называется мерой Дирака. Мера Дирака sx является идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем, причем supp^ = {x}.
Введем подмножество Iy (X) компакта I (X) идемпотентных вероятностных мер. Для
компакта X множество I (X) состоит из мер, носители которых конечны, причем если носитель меры Ц состоит из n точек xi, x2,..., x„, то max - plus -барицентрическая масса лишь одной из этих точек равна нулю, все остальные массы не больше -ln (n + 1) [4]. По определению
г
If (XJ = < // = □ Sx e Im (XJ : равенство Л^ = О выполняется только для единственого индекса i0 и Xi <-ln (n +1) для всех i е {1,..., n} \ {i0}}.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Пусть С = {0, М} и С' = {0', М']• — две категории. Отображение Р: С ^ С, переводящие
объекты в объекты, а морфизмы в морфизмы, называется ковариантным функтором из категории С в категории С', если:
F1) для всякого морфизма /: X ^ У из категории С морфизм Р(У) действует из Р(Х) в
р (у );
F2) Р(¡йх) = для всякого X е 0;
БЗ) F(fog) = F(f)°F(g) для любых морфизмов / и £ из М .
Определение 2 [1].
Ковариантный функтор Р: СотР ^ СотР называется нормальным, если он удовлетворяет
следующим условиям: функтор Р непрерывен, сохраняет вес, пересечения, прообразы, мономорфен и эпиморфен, переводит пустое множество в пустое, а одноточечное — в одноточечное.
Установим, что конструкция I взятия множества I (X) образует нормальный функтор
в категории компактов. Этот функтор интересен тем, что он является функтором с конечным носителем, и не имеет конечной степени.
Нормальность функтора идемпотентных вероятностных мер Предложение 1. Для компакта X пространство I (х) также является компактом. Доказательство. Как уже мы отметили, для компакта X пространство I (X) также
является компактом. По построению I (У) замкнуто в I(X). Так как каждое замкнутое подмножество компакта есть компакт, то / (х) — компакт. Предложение 1 доказано.
Для непрерывного отображения f: X ^ У компактов отображение (f): (X(У) определим как сужение: ^ (f) = I(f )| ^ . Имеем ^ (f)(^ (X))с ^ (У). Действительно,
це 1{ (X) и (ре С (У). Тогда
1 (У)(ц)(р) = ц(р°у) = (так как suPPЦ сХ) = Ц((р°у)\х) =1 (f)(ц)(рf(Х)), где ре С (У). Следовательно, I ( У)(ц) сосредоточена на У (X )с У. Откуда вытекает требуемое включение.
Предложение 2. Отображения I (У) непрерывно.
Доказательство. В работе [4] показано, что отображение I(У): I (XI(У) непрерывно.
Так как сужение непрерывного отображение непрерывно, то I (У) также непрерывно по определению. Предложение 2 доказано.
Предложение 3. Конструкция I является ковариантным функтором в категории компактов и их непрерывных отображений.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Доказательство. Из определения вытекает, что I удовлетворяет условию F1). Покажем, что I сохраняет композицию отображений. Пусть X, X, 1 — компакты и
/: X ^X, g:X ^ 1 — непрерывные отображения. Пусть це^(X) и (ре С( 1). Тогда
т.е. = (<?)°^/(/) • Пусть у с1у:Х->Х — тождественное отображение, т.е.
(х) = х для всех х е X . Тогда
(к/д. )(//)(р) = //(^ о \йх ) = ц(<р), т. е. ^ ) = ^ Предложение 3 доказано.
Предложение 4. Функтор I сохраняет вес бесконечного компактов, т. е. для любого бесконечного компакта X имеет место равенство ^ (X)) = w(X).
Доказательство. Ясно, что отображение 5: X ^^ (X), определенное по формуле
3(х) = 3х, хеХ, есть вложение компакта -V = £(Л') : хс Л'} = {0©^ :хеЛ"} в /.(л"). На
самом деле, 5Х е /, (X), так как ' ' -Поэтому < г (X)).
Из предложения 12 [3] имеем w (I (X)) = w (X). Но, I/ (X )с I (X), поэтому w ((X)) < w (I (X)), т. е. w ((X)) < w (X). Предложение 4 доказано.
Предложение 5. I — мономорфный функтор, т. е. сохраняет инъективность отображений компактов.
Доказательство. Пусть ц # ц2, Ц,ЦеI(X). В силу инъективности отображения /
существует функция ^еС(У), такая, что //, ((ро /) Ф//2 ((ро /). Поэтому
I/М((р) = ((р°/) ¿¡^((Р0/) = !/(&)(<р), т. е. 1Г (/)(А)ФI, (/)). Предложение 5 доказано.
Предложение 6. Пусть /: X ^ X — непрерывное отображение «на». Тогда (/): ^ (X) ^ I^ (X) — также непрерывное отображение «на».
Доказательство. Непрерывность показано в предложении 2. Сюръективность отображения вытекает из следующего соотношения.
I (/) (5) = 5 тогда и только тогда, когда / (х) = у. Поэтому равенство /(X) = X влечет ^(/)(((X)) = ((X). Предложение 6 доказано.
Предложение 7. Функтор I : Сотр ^ Сотр сохраняет
a) точку,
b) пустое множество.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
Доказательство. Пусть хеX . В предложении 4 отмечено, что Sx еlj(X). Для любой точки y е X, y Ф х, имеем supp^ = {y}. Поэтому öy i lf ({х}). Следовательно, lf ({х}) = {£х} .
b) Пусть X = 0. Тогда C (X ) = 0. следовательно,
cp(c (X ))=C (0)=0
Из того, что lf (X)с C (C(X)) получим, что I (0)с C (0) = 0, т. е. lf (0) = 0. Предложение 7 доказано.
Предложение 8. Если А — замкнутое подмножество компакта X , то ly (А) с lу (X).
Более того, lf (A) = {/ е lf (X): supp/ с A}.
Доказательство вытекает из определения носителя.
Предложение 9. Если f: X ^ Y — непрерывное отображение между компактами и Вс Y, то lf (f-(В ))= lf (f-)(lf (В)).
Доказательство. Пусть /е lf (f- (В)). Согласно предложению 8 это означает, что /еl(X) и supp/сf-(В). Следовательно, ffupp/^В или, что то же самое, ffupp/^В. Поэтому из предложения 8 имеем supply (f )(/)с В. Следовательно, (f)(/)е (В). Наоборот, пусть /е lf (f)- l(lf (В)). Тогда lf( f )(/)е lf( В), т. е. supplf (X )(/)с В. Следовательно, согласно предложению 8 имеем f (supp/) с В. Это означает, что supp/с f (В) , откуда / е lf (f~ 1 (В)). Предложение 9 доказано.
Пусть {Xa,pf,A} — обратный спектр, индексированный элементами множества A и состоящий из компактов. Через limXa обозначим предел этого спектра, а через pa : lim Xa ^ Xa, ае A — предельные проекции. Обратный спектр {Xa, p£, A} порождает обратный спектр {if(Xa),lf(p^),а} , предел которого обозначим через liml}(Xa) а предельные проекции через pra :limlf (Xa lf (Xa). Отображения
lf (pa): lf (limXa) ^ lf (Xa), а е A, порождают отображение Rf : lf (limXa) ^ limlf (Xa).
Предложение 10. Отображение R : lj (lim Xa lim lj (Xa) является гомеоморфизмом.
Доказательство. Так как сужения гомеоморфизма есть гомеоморфизм, то отображение r — гомеоморфизм, поскольку отображение R: l (lim Xa) ^ lim l (Xa) является гомеоморфизмом и имеет место R = R ^^ у Предложение 10 доказано.
Предложение 11. Функтор If сохраняет пересечение, т. е. для любой пары A, B замкнутых подмножеств компакта X имеет место
l} (A о В) = l} (A)n l} (В).
Доказательство. Ясно, что включение lj (A о В) с lj (А) о lj (В) справедливо. Если //tlf( A)olf( В), то supp/с А и supp/с В, следовательно, supp/с А о В. Откуда
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 5. №4. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/41
^еIf (AnB), т. е. If (AnB) зIf (A) nIf (B). Предложение 11 доказано.
Таким образом, доказано следующий основной результат работы. Теорема 1. Функтор fyComp^Comp является нормальным функтором.
Список литературы:
1. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. №3 (219). С. 1-71. https://doi.org/10.1070/RM1981v036n03ABEH004247.
2. Чигогидзе А. Ч. О продолжении нормальных функторов // Вестник МГУ Сер. мат.-мех. 1984. №6. С. 23-26.
3. Zarichnyi M. Idempotent probability measures, I. // arXiv preprint math/0608754. 2006. 22
p.
4. Заитов А. А., Ишметов А. Я. Гомотопические свойства пространства If (X) идемпотентных вероятностных мер // Математические заметки (Принято к печати).
References:
1. Shchepin, E. V. (1981). Functors and uncountable powers of compacta. Russian Mathematical Surveys, 36(3) 1-71. https://doi.org/10.1070/RM1981v036n03ABEH004247.
2. Chigogidze, A. Ch. (1984). On extensions of normal functors. Vestnik MGU. Ser. Mat.-Mex., (6), 23-26 (in Russian).
3. Zarichnyi, M. (2006). Idempotent probability measures, I. arXiv preprint math/0608754,
22.
4. Zaitov, A. A., & Ishmetov, A. Ya. Homotopic properties of the space If (X) of idempotent probability measures. Mathematical notes (accepted).
Работа поступила Принята к публикации
в редакцию 26.02.2019 г. 03.03.2019 г.
Ссылка для цитирования:
Ишметов А. Я. О функторе If идемпотентных вероятностных мер // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №4. С. 24-29. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/02.
Cite as (APA):
Ishmetov, A. (2019). Functor If of Idempotent Probability Measures. Bulletin of Science and Practice, 5(4), 24-29. https://doi.org/10.33619/2414-2948/41/02. (in Russian).
