Научная статья на тему 'Некоторые практические задачи модели оптимизации портфеля'

Некоторые практические задачи модели оптимизации портфеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
10
1
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ТЕОРИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ / ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ / ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ / ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ НА РЫНКЕ КАПИТАЛА / PORTFOLIO SELECTION / INVESTMENT ANALYSIS / PORTFOLIO OPTIMIZATION / CAPITAL ASSET PRICING

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Криничанский Константин Владимирович, Безруков Анатолий Владимирович

В работе предложен способ решения неко- торых задач, рассматриваемых в модели оп- тимизации портфеля ценных бумаг для случая безрискового заимствования и кредитования, а именно, определения параметров касательного портфеля и получения аналитического выраже- ния уравнения CML. Оптимизация (расчет эф- фективной границы) осуществляется с исполь- зованием функции Лагранжа путем введения ли- нейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Криничанский Константин Владимирович, Безруков Анатолий Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Some practical tasks of the portfolio optimization model

This work suggests a method to accomplish some problems considered in the model of securities portfolio optimization for the case of risk-free borrowing and lending, especially, determining the parameters of the tangent portfolio and deriving the analytic expression of the CML equation. The optimization (calculating the effective frontier) is carried out using the Lagrange function by introducing the linear equations of the agent utility function as crucial lines.

Текст научной работы на тему «Некоторые практические задачи модели оптимизации портфеля»

НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ К. В. Криничанский, А. В. Безруков

В работе предложен способ решения некоторых задач, рассматриваемых в модели оптимизации портфеля ценных бумаг для случая безрискового заимствования и кредитования, а именно, определения параметров касательного портфеля и получения аналитического выражения уравнения CML. Оптимизация (расчет эффективной границы) осуществляется с использованием функции Лагранжа путем введения линейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.

Введение

Методы решения задачи оптимизации портфеля ценных бумаг предложены в ряде работ зарубежных авторов: Гарри Марковиц (1952, 1956) [5], Уильям Шарп (1963) [7], Джеймс Тобин (1958, 1965) [8] и др.

В ряде работ, вышедших на русском языке, в более или менее подробном изложении были предложены алгоритмы решения частных задач, составляющих модель оптимизации инвестиционного портфеля [2, с. 195-256; 3]. Отдельный интерес представляют методы определения структуры касательного портфеля (оптимизация для случая возможности безрискового заимствования и кредитования), не требующие определения «угловых» портфелей. В частности, такой алгоритм предложен в работе Элтона Эдвина, Грубера Мартина, Паберга Манфреда (1976) [4] и приложен в работе У. Шарпа, Г. Александера и Дж. Бэйли [2, с. 253-255]. Однако данный метод имеет недостатки, так как требует анализа рыночной модели и извлечения из нее таких

данных, как коэффициент бета (р..) и параметр

2 .

несистематического риска (ст£1). Недостатки со-

стоят в относительно большом количестве расчетов и нестабильности значений обозначенных параметров.

В настоящей статье предлагается решение задачи определения параметров касательного портфеля в рамках обобщения модели Г. Марковица на случай безрискового заимствования и кредитования. Оптимизация (расчет эффективной границы) осуществляется с использованием функции Лагранжа путем введения линейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.

В качестве расчетных параметров нас интересуют такие параметры касательного портфеля, как координаты точки касания с эффективным фронтом, значения ожидаемой доходности и риска портфеля, структура портфеля. Предлагаемая модель позволяет также получить аналитический вид уравнения эффективного множества с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке (вид уравнения

СМ).

1. Модель

Дана функция а2р = а2р(гр), выражающая зависимость риска портфеля ценных бумаг от ожидаемой доходности такого портфеля. График данной функции (см., например: [3, с. 25-26]) является кривой второго порядка, а следовательно, выражается полиномом у(х) = ах2 + Ьх + с, где х = гр, у(х) = а2р (см. рис. 1).

На основе исходных данных о доходностях имеющихся ценных бумаг или характеристиках их распределения местоположение данной кривой можно определить с помощью методов оптимизации с использованием функции Лагранжа (см. ниже, а также п. 2 и табл. 1).

Осуществим вывод уравнения касательной У = Укас к графику функции у = у(х) = ах2 + Ьх + с. Для этого запишем выражения для тангенса угла а:

tg а

tga

у -О

_ у кас

уо

уМ

да

хг

Хо

Рис. 1.

2

где у0 = = ахо+ Ьхо + С'У '(х0) = 2ах0 + Ь. Также верно:

Укас = У '(хоНх - х ,).

где х . — доходность безрискового актива. Так как тангенс угла а равен также производной функции у(х) в точке х0: tg а = у '(х0), то можно записать:

Укас = У '(хоНх - х0) + Уо

(1)

2а-Ху + ^4а2 • х2 + 4а• (Ь• Ху + с)

у

I

>

э

^

0

1

о

о О

о

ю

о

(2)

Приравняем друг к другу выражения (1) и (2):

(2 ах0 + Ь) ■ (х - х0) + ах1 +Ьх0+с = = (2ах0 + Ьу(х - хр

Перемножим скобки и приведем подобные члены:

-(2 ах0 + Ъ) • х0 + ах1 + Ьх0+с = -(2ах0 + Ь)х.

Теперь можно найти точку (х0; у0) касания прямой Укас и графика о2р{гр) через заранее задаваемые значения х. Имеем квадратное уравнение

ах1 + 2 ах у • лс0 — Ъх{ — с = 0.

Его корни:

2а-Ху ±^4а2-х2г+4а-{ь-ху+с)

хо ~ ~ •

Так как корень

2а-Ху — ^4а2 • х2 + 4а■ (Ь■ х^ + с)

*о= ~

2 а

задает касательную к левой ветви параболы, которая уже не является частью эффективного фронта, будем считать данный корень посторонним.

Тогда имеем единственный корень:

2 а

(3)

и

Таблица 1

о гм

Расчет параметров границы допустимого множества портфелей

У g1 g2 g3 Zg* r p *

-23 -0,1582 1,14207 0,01608 1 6,21851 81,8883

-21 -0,1608 1,12352 0,03732 1 6,27582 80,7209

-19 -0,1635 1,10497 0,05856 1 6,33314 79,6596

-17 -0,1662 1,08642 0,07979 1 6,39045 78,7044

-15 -0,1689 1,06788 0,10103 1 6,44776 77,8554

-13 -0,1716 1,04933 0,12227 1 6,50507 77,1125

-11 -0,1743 1,03078 0,1435 1 6,56238 76,4757

-9 -0,1770 1,01223 0,16474 1 6,61970 75,9451

-7 -0,1797 0,99368 0,18598 1 6,67701 75,5206

-5 -0,1823 0,97513 0,20721 1 6,73432 75,2022

-3 -0,1850 0,95659 0,22845 1 6,79163 74,9899

-1 -0,1877 0,93804 0,24969 1 6,84894 74,8838

1 -0,1904 0,91949 0,27092 1 6,90625 74,8838

0 -0,1891 0,92876 0,26031 1 6,87760 74,8705

3 -0,1931 0,90094 0,29216 1 6,96357 74,9899

5 -0,1958 0,88239 0,31340 1 7,02088 75,2022

7 -0,1985 0,86384 0,33463 1 7,07819 75,5206

9 -0,2012 0,84530 0,35587 1 7,13550 75,9451

11 -0,2039 0,82675 0,37711 1 7,19281 76,4757

13 -0,2065 0,80820 0,39834 1 7,25013 77,1125

15 -0,2092 0,78965 0,41958 1 7,30744 77,8554

17 -0,2119 0,77110 0,44082 1 7,36475 78,7044

19 -0,2146 0,75255 0,46205 1 7,42206 79,6596

21 -0,2173 0,73401 0,48329 1 7,47937 80,7209

23 -0,2200 0,71546 0,50453 1 7,53668 81,8883

25 -0,2227 0,69691 0,52576 1 7,59400 83,1619

27 -0,2254 0,67836 0,54700 1 7,65131 84,5415

29 -0,2280 0,65981 0,56823 1 7,70862 86,0273

31 -0,2307 0,64126 0,58947 1 7,76593 87,6193

33 -0,2334 0,62272 0,61071 1 7,82324 89,3173

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

35 -0,2361 0,60417 0,63194 1 7,88056 91,1215

37 -0,2388 0,58562 0,65318 1 7,93787 93,0319

39 -0,2415 0,56707 0,67442 1 7,99518 95,0483

Зная х0, находим вторую координату:

у0 = ах20 + Ьх0 + с. (4)

Коэффициенты a, b, c можно найти с помощью построения модели множественной регрессии а2 на гр и г2 или — в том случае, если график построен с помощью программного приложения, например, MS Excel — посредством выведения уравнения тренда на график a 2p(fp)-Использование второго способа более привлекательно, однако оно предполагает нахождение местоположения точек в пространстве (гр,а2р), соответствующих эффективному множеству портфелей по Марковицу.

Для осуществления оптимизации (расчета координат точек, составляющих эффективную

границу) введем линейное уравнение функции полезности агента

и = ^гр-а2р,

в котором параметр неприятия риска У будем использовать как переменную, задающую положение (наклон) функции и, выступающей в данном случае в качестве критической линии к воображаемому эффективному фронту. Определение параметров риска и доходности портфеля для заданной функции полезности (заданного параметра У) осуществляется с использованием функции Лагранжа. Общий ход решения данной задачи можно проследить, например, в работе Л. С. Тарасевича, П. И. Гребенникова, А. И. Леусского [1, с. 173-174].

Покажем развернутое доказательство соответствующей модели.

Итак, при заданных параметрах распределения доходностей ценных бумаг (известных средних, стандартных отклонениях доходности каждой бумаги и корреляциях доходности), а также параметре неприятия риска У задача оптимизации сводится к решению условия

N

Ь = ^Гр-и2р- ~ 1) тах>

j=^^

то есть определению структуры портфеля, максимизирующего функцию полезности.

Для примера с тремя ценными бумагами функция Лагранжа в развернутом виде запишется так:

Ь = УО^ + Г2%2 + - ^стп + g1g2ст12 +

+ #2СТ22 + ё2ёз°23 + ~Ь~£зё1аЭ1 ёзё2°32 + ёз СТ33 ->^3 +Х,

дь дё2

дЬ дё.

-- -ф#; - 2glan - - g3a13 -—^2СТ21 — ^3СТ31 — X = О,

: М2 - ё\а\2 ~ ё\а21 ~ 2ё2°22 ~

~ёза23~ёза32 ~Х = 0,

= - &СТ13 - ё2°23 ~ ё^ЪХ ~ ~ё2°32 ~ 2ёз°33 — ^ = 0,

1|»1

Уг3

0

= [0]. (7)

(5)

где а. — ковариации ценных бумаг / и/. Отыщем первые частные производные функции L по gl, g2, g3 и 1 и приравняем их к нулю:

дЬ

2ёгаи + 282ап + 2ёз°1з + Х

+ 2ё2°22 + 2ёз°23 + Х

2 g1G31 + 2 g2a32 + 2я3а33 + \

ё!+ё2+ёз~1 .

Перенося единицу из нижней строки второго слагаемого в правой части уравнения (7) в первое слагаемое и представляя вычитаемую матрицу в виде произведения матрицы на столбец, получаем:

= [0]. (8)

Вектор G = g2, g2, Х)г определится следующим выражением:

■Фч

Уг2 Уг3 1

■Фп 2оп 2 аи 2 <т13 1 ё!

Уг2 2 ст21 2 и 22 2ст23 1 X ё2

Ч"з 2ст31 2ст32 2ст33 1 ёз

1 1 1 1 0 X

ё! 2сти 2ст12 2ст13 1

ё2 2ст21 2а 22 2ст23 1

ёз 2ст31 2 ст32 2ст33 1

X 1 1 1 0

(9)

то есть

ёх «п «12 «13 У1

ё2 «21 «22 «23 ¿2 X Уг2

— Уг3

ёз «31 «32 «33 с3

X С1 с2 с3 С4, 1

(6)

Заметим, что матрица ковариаций симметрична относительно главной диагонали, то есть а= а поэтому система (6) запишется в матричной форме следующим образом:

дфё, дЦдёг

дь/дёз дЬ/\

(10)

Можно показать, что из уравнения (10) следует система:

ёх =<\+ У(а„?1 + аиг2 + а13г3) ё2=с2+ Ма2Л + а22г2 + а23г3) ёз=с3+ УОзд + а32г2 + аъъгъ) X = с4 + УСс,?] + с2г2 + с3г3)

(11)

у

I >

Ь

э ^

0

1

о

о О

о

ю

о

Данный результат можно обобщить на произвольное число ценных бумаг, так что имеет место решение:

ё1=сх + УСад +... + ашгы)

ёы

= с„+ 1\>(атгм +... + ашг„) Х^0. (12)

Варьируя параметр неприятия риска У, можно найти составляющие (структуру) эффективных портфелей ценных бумаг, а затем вычислить пары значений (г а2 ) для данных портфелей.

о ем

IX

О

О и

О х

о ^

т <

х

а.

>

Чтобы определить пропорции бумаг, образующих касательный портфель, используем свойство, согласно которому доли бумаг в портфеле линейно зависят от У1.

Найдя (х0, У0), из расчетных данных, можно определить пару значений параметра пси: (Ун, Ув), которые ограничивают снизу и сверху портфели, между которыми на кривой о2р(гр) лежит касательный портфель.

Далее, пользуясь зависимостями ^.(У) и применяя метод линейной интерполяции, можно найти доли бумаг в касательном портфеле.

Наконец, так как в данной работе зависимость между доходностью портфеля и риском исходно была представлена аналитически и графически в виде зависимости риска от доходности, предложим также аналитический вид уравнения касательной — эффективного множества с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке (линии рынка капитала)2 — в виде обратной зависимости:

Хкас Х0

°р~Уо 2 а-х0+Ь

Также должно выполняться:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

_2

Хкас — Xу +

2 а-х0+Ь

Номер ценной бумаги г., % г а., % г Согг(г,))

1 7,1 11,3 1

2 6,3 9,0 0,7789 1

3 9,1 12,6 0,6896 0,4935 1

2. Определим вид границы допустимого множества и эффективного фронта (выделенная жирным часть кривой) для случая, когда не предполагается возможность заимствования и кредитования по безрисковой ставке (рис. 2).

Гр

(13)

(14)

Таблица с расчетными значениями к данной и следующим иллюстрациям приводится в табл.1.

3. Покажем полученную зависимость в виде графика и построим уравнение данной за-

висимости как полином второй степени (рис. 3).

2. Числовой пример

Проиллюстрируем модель числовым примером.

1. Зададим распределение доходности для N = 3 ценных бумаг. Найдем параметры средних, стандартных отклонений и корреляций (табл. 2).

Таблица 2

Параметры средних, стандартных отклонений и корреляций

1 Данное свойство будет иметь силу при условии, что к структуре портфеля не применяются ограничения типа

1 = 1, 2, — , т, за исключением ограничения

См. 3, с. 37-42].

2 Отличие формул (13) и (14) от традиционного вида линии СМЬ состоит в том, что в привычном нам виде эта зависимость строится от параметра риска, взятого не в виде дисперсии, а в виде среднего квадратичного отклонения.

Рис. 3.

4. Введем некоторое значение безрисковой ставки: г = 4,5%. Используя формулы (3) и (4), определим координаты точки касания графика а2р(гр) и линии, проходящей через точку, соответствующую введенному значению г.

2-16,15-4,5

*о=--Ь

0 2-16,15

74-(16,15)2-(4,5)2+4-16,15-(-222,2-4,5+839) _ 2-16,15 ~

= 7,7074.

У0 = 16,15 (8,684)2 - 222,2-8,684 + 839 = 85,7895. (у, У) = (7,7074; 85,7895).

+

gi

-0,226702509 - 0,228046595

Рис. 4.

Отобразим линию касательной на рисунке 4. Также в силу формул (13) и (14) имеем:

х =7,70744

а2 -85,7895 26,833

= 4,5 + 0,0372675ст2.

или

Данные уравнения являются аналитическими выражениями эффективного множества для случая с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке, то есть формулами линии рынка капитала (уравнениями СМЬ).

5. Определим структуру касательного портфеля.

Находим значения параметра неприятия риска, ограничивающие касательный портфель: (Ун, Ув) = (28, 29).

Перед тем, как проводить интерполяцию, покажем графически, что величина доли ценной бумаги ] в эффективном портфеле при наших предположениях линейно зависит от параметра У (рис. 5).

Рис. 5.

Далее рассчитываем значения долей ценных бумаг, соответствующие нижней и верхней границам параметра У, и проводим интерполяцию: = -0,226702509; = -0,228046595;

= -0,227374552.

g2H = 0,669086022;

g2B = 0,659811828;

0,669086022 + 0,659811828

g2=-2-=

= 0,664448925.

g3H = 0,557616487;

gl = 0,568234767;

0,557616487 + 0,568234767

-2-=

= 0,562925627.

Проверка суммы полученных долей свидетельствует о корректности расчетов:

Eg = -0,227374552 + 0,664448925 + + 0,562925627 = 1.

Наконец, рассчитаем параметры риска и доходности касательного портфеля: rp = 7,6943%, ст2 =85,6459, ст = 9,2545%.

Список источников

1. Тарасевич Л. С., Гребенников П. И., Леусский А. И. Макроэкономика : учебник; 6-е изд., испр. и доп. — М.: Высшее образование, 2006. — 654 с.

2. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. — М.: Инфра-М., 1998.

3. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. — М.: ГУ ВШЭ, 1999. — 142 с.

4. Elton E. J., Gruber M. J., PadbergM. D. Simple Criteria for Optimal Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1976. — No 5 (december). — P. 1341-1357.

5. Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — No 1(March). — P. 77-91.

6. Markowitz H. М. The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints // Naval Research Logistic Quarterly. — 1956. — No 3, nos. 1-2 (march — june). — P. 111-133

7. Sharpe W. F. А Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science. — 1963. — No 2 (january). — P. 277-293.

8. Tobin J. Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk // Review of Economic Studies. — 1958. — No 26 (february). — P. 65-86.

9. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection // The Theory of Interest Rates / Ed. F. H. Hahn, F. P. R. Brechling. — London: Macmillan and Co, 1965.

УДК 336.76

ключевые слова: теория инвестиционного портфеля, инвестиционный анализ, оптимизация портфеля, ценообразование на рынке капитала

У "О

I

>

Ь

э

^

0

1

о

о О

о

SJ

о

x

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.