Некоторые практические задачи модели оптимизации портфеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ К. В. Криничанский, А. В. Безруков

В работе предложен способ решения некоторых задач, рассматриваемых в модели оптимизации портфеля ценных бумаг для случая безрискового заимствования и кредитования, а именно, определения параметров касательного портфеля и получения аналитического выражения уравнения CML. Оптимизация (расчет эффективной границы) осуществляется с использованием функции Лагранжа путем введения линейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.

Введение

Методы решения задачи оптимизации портфеля ценных бумаг предложены в ряде работ зарубежных авторов: Гарри Марковиц (1952, 1956) [5], Уильям Шарп (1963) [7], Джеймс Тобин (1958, 1965) [8] и др.

В ряде работ, вышедших на русском языке, в более или менее подробном изложении были предложены алгоритмы решения частных задач, составляющих модель оптимизации инвестиционного портфеля [2, с. 195-256; 3]. Отдельный интерес представляют методы определения структуры касательного портфеля (оптимизация для случая возможности безрискового заимствования и кредитования), не требующие определения «угловых» портфелей. В частности, такой алгоритм предложен в работе Элтона Эдвина, Грубера Мартина, Паберга Манфреда (1976) [4] и приложен в работе У. Шарпа, Г. Александера и Дж. Бэйли [2, с. 253-255]. Однако данный метод имеет недостатки, так как требует анализа рыночной модели и извлечения из нее таких

данных, как коэффициент бета (р..) и параметр

2 .

несистематического риска (ст£1). Недостатки со-

стоят в относительно большом количестве расчетов и нестабильности значений обозначенных параметров.

В настоящей статье предлагается решение задачи определения параметров касательного портфеля в рамках обобщения модели Г. Марковица на случай безрискового заимствования и кредитования. Оптимизация (расчет эффективной границы) осуществляется с использованием функции Лагранжа путем введения линейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.

В качестве расчетных параметров нас интересуют такие параметры касательного портфеля, как координаты точки касания с эффективным фронтом, значения ожидаемой доходности и риска портфеля, структура портфеля. Предлагаемая модель позволяет также получить аналитический вид уравнения эффективного множества с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке (вид уравнения

СМ).

1. Модель

Дана функция а2р = а2р(гр), выражающая зависимость риска портфеля ценных бумаг от ожидаемой доходности такого портфеля. График данной функции (см., например: [3, с. 25-26]) является кривой второго порядка, а следовательно, выражается полиномом у(х) = ах2 + Ьх + с, где х = гр, у(х) = а2р (см. рис. 1).

На основе исходных данных о доходностях имеющихся ценных бумаг или характеристиках их распределения местоположение данной кривой можно определить с помощью методов оптимизации с использованием функции Лагранжа (см. ниже, а также п. 2 и табл. 1).

Осуществим вывод уравнения касательной У = Укас к графику функции у = у(х) = ах2 + Ьх + с. Для этого запишем выражения для тангенса угла а:

tg а

tga

у -О

_ у кас

уо

уМ

да

хг

Хо

Рис. 1.

2

где у0 = = ахо+ Ьхо + С'У '(х0) = 2ах0 + Ь. Также верно:

Укас = У '(хоНх - х ,).

где х . — доходность безрискового актива. Так как тангенс угла а равен также производной функции у(х) в точке х0: tg а = у '(х0), то можно записать:

Укас = У '(хоНх - х0) + Уо

(1)

2а-Ху + ^4а2 • х2 + 4а• (Ь• Ху + с)

у

"О

I

>

э

^

0

1

о

о О

о

"О

ю

о

(2)

Приравняем друг к другу выражения (1) и (2):

(2 ах0 + Ь) ■ (х - х0) + ах1 +Ьх0+с = = (2ах0 + Ьу(х - хр

Перемножим скобки и приведем подобные члены:

-(2 ах0 + Ъ) • х0 + ах1 + Ьх0+с = -(2ах0 + Ь)х.

Теперь можно найти точку (х0; у0) касания прямой Укас и графика о2р{гр) через заранее задаваемые значения х. Имеем квадратное уравнение

ах1 + 2 ах у • лс0 — Ъх{ — с = 0.

Его корни:

2а-Ху ±^4а2-х2г+4а-{ь-ху+с)

хо ~ ~ •

2а

Так как корень

2а-Ху — ^4а2 • х2 + 4а■ (Ь■ х^ + с)

*о= ~

2 а

задает касательную к левой ветви параболы, которая уже не является частью эффективного фронта, будем считать данный корень посторонним.

Тогда имеем единственный корень:

2 а

(3)

и

Таблица 1

о гм

Расчет параметров границы допустимого множества портфелей

У g1 g2 g3 Zg* r p *

-23 -0,1582 1,14207 0,01608 1 6,21851 81,8883

-21 -0,1608 1,12352 0,03732 1 6,27582 80,7209

-19 -0,1635 1,10497 0,05856 1 6,33314 79,6596

-17 -0,1662 1,08642 0,07979 1 6,39045 78,7044

-15 -0,1689 1,06788 0,10103 1 6,44776 77,8554

-13 -0,1716 1,04933 0,12227 1 6,50507 77,1125

-11 -0,1743 1,03078 0,1435 1 6,56238 76,4757

-9 -0,1770 1,01223 0,16474 1 6,61970 75,9451

-7 -0,1797 0,99368 0,18598 1 6,67701 75,5206

-5 -0,1823 0,97513 0,20721 1 6,73432 75,2022

-3 -0,1850 0,95659 0,22845 1 6,79163 74,9899

-1 -0,1877 0,93804 0,24969 1 6,84894 74,8838

1 -0,1904 0,91949 0,27092 1 6,90625 74,8838

0 -0,1891 0,92876 0,26031 1 6,87760 74,8705

3 -0,1931 0,90094 0,29216 1 6,96357 74,9899

5 -0,1958 0,88239 0,31340 1 7,02088 75,2022

7 -0,1985 0,86384 0,33463 1 7,07819 75,5206

9 -0,2012 0,84530 0,35587 1 7,13550 75,9451

11 -0,2039 0,82675 0,37711 1 7,19281 76,4757

13 -0,2065 0,80820 0,39834 1 7,25013 77,1125

15 -0,2092 0,78965 0,41958 1 7,30744 77,8554

17 -0,2119 0,77110 0,44082 1 7,36475 78,7044

19 -0,2146 0,75255 0,46205 1 7,42206 79,6596

21 -0,2173 0,73401 0,48329 1 7,47937 80,7209

23 -0,2200 0,71546 0,50453 1 7,53668 81,8883

25 -0,2227 0,69691 0,52576 1 7,59400 83,1619

27 -0,2254 0,67836 0,54700 1 7,65131 84,5415

29 -0,2280 0,65981 0,56823 1 7,70862 86,0273

31 -0,2307 0,64126 0,58947 1 7,76593 87,6193

33 -0,2334 0,62272 0,61071 1 7,82324 89,3173

35 -0,2361 0,60417 0,63194 1 7,88056 91,1215

37 -0,2388 0,58562 0,65318 1 7,93787 93,0319

39 -0,2415 0,56707 0,67442 1 7,99518 95,0483

Зная х0, находим вторую координату:

у0 = ах20 + Ьх0 + с. (4)

Коэффициенты a, b, c можно найти с помощью построения модели множественной регрессии а2 на гр и г2 или — в том случае, если график построен с помощью программного приложения, например, MS Excel — посредством выведения уравнения тренда на график a 2p(fp)-Использование второго способа более привлекательно, однако оно предполагает нахождение местоположения точек в пространстве (гр,а2р), соответствующих эффективному множеству портфелей по Марковицу.

Для осуществления оптимизации (расчета координат точек, составляющих эффективную

границу) введем линейное уравнение функции полезности агента

и = ^гр-а2р,

в котором параметр неприятия риска У будем использовать как переменную, задающую положение (наклон) функции и, выступающей в данном случае в качестве критической линии к воображаемому эффективному фронту. Определение параметров риска и доходности портфеля для заданной функции полезности (заданного параметра У) осуществляется с использованием функции Лагранжа. Общий ход решения данной задачи можно проследить, например, в работе Л. С. Тарасевича, П. И. Гребенникова, А. И. Леусского [1, с. 173-174].

Покажем развернутое доказательство соответствующей модели.

Итак, при заданных параметрах распределения доходностей ценных бумаг (известных средних, стандартных отклонениях доходности каждой бумаги и корреляциях доходности), а также параметре неприятия риска У задача оптимизации сводится к решению условия

N

Ь = ^Гр-и2р- ~ 1) тах>

j=^^

то есть определению структуры портфеля, максимизирующего функцию полезности.

Для примера с тремя ценными бумагами функция Лагранжа в развернутом виде запишется так:

Ь = УО^ + Г2%2 + - ^стп + g1g2ст12 +

+ #2СТ22 + ё2ёз°23 + ~Ь~£зё1аЭ1 ёзё2°32 + ёз СТ33 ->^3 +Х,

дь дё2

дЬ дё.

-- -ф#; - 2glan - - g3a13 -—^2СТ21 — ^3СТ31 — X = О,

: М2 - ё\а\2 ~ ё\а21 ~ 2ё2°22 ~

~ёза23~ёза32 ~Х = 0,

= - &СТ13 - ё2°23 ~ ё^ЪХ ~ ~ё2°32 ~ 2ёз°33 — ^ = 0,

1|»1

Уг3

0

= [0]. (7)

(5)

где а. — ковариации ценных бумаг / и/. Отыщем первые частные производные функции L по gl, g2, g3 и 1 и приравняем их к нулю:

дЬ

2ёгаи + 282ап + 2ёз°1з + Х

+ 2ё2°22 + 2ёз°23 + Х

2 g1G31 + 2 g2a32 + 2я3а33 + \

ё!+ё2+ёз~1 .

Перенося единицу из нижней строки второго слагаемого в правой части уравнения (7) в первое слагаемое и представляя вычитаемую матрицу в виде произведения матрицы на столбец, получаем:

= [0]. (8)

Вектор G = g2, g2, Х)г определится следующим выражением:

■Фч

Уг2 Уг3 1

■Фп 2оп 2 аи 2 <т13 1 ё!

Уг2 2 ст21 2 и 22 2ст23 1 X ё2

—

Ч"з 2ст31 2ст32 2ст33 1 ёз

1 1 1 1 0 X

ё! 2сти 2ст12 2ст13 1

ё2 2ст21 2а 22 2ст23 1

ёз 2ст31 2 ст32 2ст33 1

X 1 1 1 0

(9)

то есть

ёх «п «12 «13 У1

ё2 «21 «22 «23 ¿2 X Уг2

— Уг3

ёз «31 «32 «33 с3

X С1 с2 с3 С4, 1

(6)

Заметим, что матрица ковариаций симметрична относительно главной диагонали, то есть а= а поэтому система (6) запишется в матричной форме следующим образом:

дфё, дЦдёг

дь/дёз дЬ/\

(10)

Можно показать, что из уравнения (10) следует система:

ёх =<\+ У(а„?1 + аиг2 + а13г3) ё2=с2+ Ма2Л + а22г2 + а23г3) ёз=с3+ УОзд + а32г2 + аъъгъ) X = с4 + УСс,?] + с2г2 + с3г3)

(11)

у

-и

I >

Ь

э ^

0

1

о

о О

о

"О

ю

о

Данный результат можно обобщить на произвольное число ценных бумаг, так что имеет место решение:

ё1=сх + УСад +... + ашгы)

ёы

= с„+ 1\>(атгм +... + ашг„) Х^0. (12)

Варьируя параметр неприятия риска У, можно найти составляющие (структуру) эффективных портфелей ценных бумаг, а затем вычислить пары значений (г а2 ) для данных портфелей.

о ем

IX

О

О и

О х

о ^

т <

х

а.

>

Чтобы определить пропорции бумаг, образующих касательный портфель, используем свойство, согласно которому доли бумаг в портфеле линейно зависят от У1.

Найдя (х0, У0), из расчетных данных, можно определить пару значений параметра пси: (Ун, Ув), которые ограничивают снизу и сверху портфели, между которыми на кривой о2р(гр) лежит касательный портфель.

Далее, пользуясь зависимостями ^.(У) и применяя метод линейной интерполяции, можно найти доли бумаг в касательном портфеле.

Наконец, так как в данной работе зависимость между доходностью портфеля и риском исходно была представлена аналитически и графически в виде зависимости риска от доходности, предложим также аналитический вид уравнения касательной — эффективного множества с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке (линии рынка капитала)2 — в виде обратной зависимости:

Хкас Х0

°р~Уо 2 а-х0+Ь

Также должно выполняться:

_2

Хкас — Xу +

2 а-х0+Ь

Номер ценной бумаги г., % г а., % г Согг(г,))

1 7,1 11,3 1

2 6,3 9,0 0,7789 1

3 9,1 12,6 0,6896 0,4935 1

2. Определим вид границы допустимого множества и эффективного фронта (выделенная жирным часть кривой) для случая, когда не предполагается возможность заимствования и кредитования по безрисковой ставке (рис. 2).

Гр

(13)

(14)

Таблица с расчетными значениями к данной и следующим иллюстрациям приводится в табл.1.

3. Покажем полученную зависимость в виде графика и построим уравнение данной за-

висимости как полином второй степени (рис. 3).

2. Числовой пример

Проиллюстрируем модель числовым примером.

1. Зададим распределение доходности для N = 3 ценных бумаг. Найдем параметры средних, стандартных отклонений и корреляций (табл. 2).

Таблица 2

Параметры средних, стандартных отклонений и корреляций

1 Данное свойство будет иметь силу при условии, что к структуре портфеля не применяются ограничения типа

1 = 1, 2, — , т, за исключением ограничения

См. 3, с. 37-42].

2 Отличие формул (13) и (14) от традиционного вида линии СМЬ состоит в том, что в привычном нам виде эта зависимость строится от параметра риска, взятого не в виде дисперсии, а в виде среднего квадратичного отклонения.

Рис. 3.

4. Введем некоторое значение безрисковой ставки: г = 4,5%. Используя формулы (3) и (4), определим координаты точки касания графика а2р(гр) и линии, проходящей через точку, соответствующую введенному значению г.

2-16,15-4,5

*о=--Ь

0 2-16,15

74-(16,15)2-(4,5)2+4-16,15-(-222,2-4,5+839) _ 2-16,15 ~

= 7,7074.

У0 = 16,15 (8,684)2 - 222,2-8,684 + 839 = 85,7895. (у, У) = (7,7074; 85,7895).

+

gi

-0,226702509 - 0,228046595

Рис. 4.

Отобразим линию касательной на рисунке 4. Также в силу формул (13) и (14) имеем:

х =7,70744

а2 -85,7895 26,833

= 4,5 + 0,0372675ст2.

или

Данные уравнения являются аналитическими выражениями эффективного множества для случая с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке, то есть формулами линии рынка капитала (уравнениями СМЬ).

5. Определим структуру касательного портфеля.

Находим значения параметра неприятия риска, ограничивающие касательный портфель: (Ун, Ув) = (28, 29).

Перед тем, как проводить интерполяцию, покажем графически, что величина доли ценной бумаги ] в эффективном портфеле при наших предположениях линейно зависит от параметра У (рис. 5).

Рис. 5.

Далее рассчитываем значения долей ценных бумаг, соответствующие нижней и верхней границам параметра У, и проводим интерполяцию: = -0,226702509; = -0,228046595;

= -0,227374552.

g2H = 0,669086022;

g2B = 0,659811828;

0,669086022 + 0,659811828

g2=-2-=

= 0,664448925.

g3H = 0,557616487;

gl = 0,568234767;

0,557616487 + 0,568234767

-2-=

= 0,562925627.

Проверка суммы полученных долей свидетельствует о корректности расчетов:

Eg = -0,227374552 + 0,664448925 + + 0,562925627 = 1.

Наконец, рассчитаем параметры риска и доходности касательного портфеля: rp = 7,6943%, ст2 =85,6459, ст = 9,2545%.

Список источников

1. Тарасевич Л. С., Гребенников П. И., Леусский А. И. Макроэкономика : учебник; 6-е изд., испр. и доп. — М.: Высшее образование, 2006. — 654 с.

2. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. — М.: Инфра-М., 1998.

3. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. — М.: ГУ ВШЭ, 1999. — 142 с.

4. Elton E. J., Gruber M. J., PadbergM. D. Simple Criteria for Optimal Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1976. — No 5 (december). — P. 1341-1357.

5. Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — No 1(March). — P. 77-91.

6. Markowitz H. М. The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints // Naval Research Logistic Quarterly. — 1956. — No 3, nos. 1-2 (march — june). — P. 111-133

7. Sharpe W. F. А Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science. — 1963. — No 2 (january). — P. 277-293.

8. Tobin J. Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk // Review of Economic Studies. — 1958. — No 26 (february). — P. 65-86.

9. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection // The Theory of Interest Rates / Ed. F. H. Hahn, F. P. R. Brechling. — London: Macmillan and Co, 1965.

УДК 336.76

ключевые слова: теория инвестиционного портфеля, инвестиционный анализ, оптимизация портфеля, ценообразование на рынке капитала

У "О

I

>

Ь

э

^

0

1

о

о О

о

SJ

о

x