НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ К. В. Криничанский, А. В. Безруков
В работе предложен способ решения некоторых задач, рассматриваемых в модели оптимизации портфеля ценных бумаг для случая безрискового заимствования и кредитования, а именно, определения параметров касательного портфеля и получения аналитического выражения уравнения CML. Оптимизация (расчет эффективной границы) осуществляется с использованием функции Лагранжа путем введения линейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.
Введение
Методы решения задачи оптимизации портфеля ценных бумаг предложены в ряде работ зарубежных авторов: Гарри Марковиц (1952, 1956) [5], Уильям Шарп (1963) [7], Джеймс Тобин (1958, 1965) [8] и др.
В ряде работ, вышедших на русском языке, в более или менее подробном изложении были предложены алгоритмы решения частных задач, составляющих модель оптимизации инвестиционного портфеля [2, с. 195-256; 3]. Отдельный интерес представляют методы определения структуры касательного портфеля (оптимизация для случая возможности безрискового заимствования и кредитования), не требующие определения «угловых» портфелей. В частности, такой алгоритм предложен в работе Элтона Эдвина, Грубера Мартина, Паберга Манфреда (1976) [4] и приложен в работе У. Шарпа, Г. Александера и Дж. Бэйли [2, с. 253-255]. Однако данный метод имеет недостатки, так как требует анализа рыночной модели и извлечения из нее таких
данных, как коэффициент бета (р..) и параметр
2 .
несистематического риска (ст£1). Недостатки со-
стоят в относительно большом количестве расчетов и нестабильности значений обозначенных параметров.
В настоящей статье предлагается решение задачи определения параметров касательного портфеля в рамках обобщения модели Г. Марковица на случай безрискового заимствования и кредитования. Оптимизация (расчет эффективной границы) осуществляется с использованием функции Лагранжа путем введения линейных уравнений функции полезности агента в качестве критических линий.
В качестве расчетных параметров нас интересуют такие параметры касательного портфеля, как координаты точки касания с эффективным фронтом, значения ожидаемой доходности и риска портфеля, структура портфеля. Предлагаемая модель позволяет также получить аналитический вид уравнения эффективного множества с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке (вид уравнения
СМ).
1. Модель
Дана функция а2р = а2р(гр), выражающая зависимость риска портфеля ценных бумаг от ожидаемой доходности такого портфеля. График данной функции (см., например: [3, с. 25-26]) является кривой второго порядка, а следовательно, выражается полиномом у(х) = ах2 + Ьх + с, где х = гр, у(х) = а2р (см. рис. 1).
На основе исходных данных о доходностях имеющихся ценных бумаг или характеристиках их распределения местоположение данной кривой можно определить с помощью методов оптимизации с использованием функции Лагранжа (см. ниже, а также п. 2 и табл. 1).
Осуществим вывод уравнения касательной У = Укас к графику функции у = у(х) = ах2 + Ьх + с. Для этого запишем выражения для тангенса угла а:
tg а
tga
у -О
_ у кас
уо
уМ
да
хг
Хо
Рис. 1.
2
где у0 = = ахо+ Ьхо + С'У '(х0) = 2ах0 + Ь. Также верно:
Укас = У '(хоНх - х ,).
где х . — доходность безрискового актива. Так как тангенс угла а равен также производной функции у(х) в точке х0: tg а = у '(х0), то можно записать:
Укас = У '(хоНх - х0) + Уо
(1)
2а-Ху + ^4а2 • х2 + 4а• (Ь• Ху + с)
у
"О
I
>
э
^
0
1
о
о О
о
"О
ю
о
(2)
Приравняем друг к другу выражения (1) и (2):
(2 ах0 + Ь) ■ (х - х0) + ах1 +Ьх0+с = = (2ах0 + Ьу(х - хр
Перемножим скобки и приведем подобные члены:
-(2 ах0 + Ъ) • х0 + ах1 + Ьх0+с = -(2ах0 + Ь)х.
Теперь можно найти точку (х0; у0) касания прямой Укас и графика о2р{гр) через заранее задаваемые значения х. Имеем квадратное уравнение
ах1 + 2 ах у • лс0 — Ъх{ — с = 0.
Его корни:
2а-Ху ±^4а2-х2г+4а-{ь-ху+с)
хо ~ ~ •
2а
Так как корень
2а-Ху — ^4а2 • х2 + 4а■ (Ь■ х^ + с)
*о= ~
2 а
задает касательную к левой ветви параболы, которая уже не является частью эффективного фронта, будем считать данный корень посторонним.
Тогда имеем единственный корень:
2 а
(3)
и
Таблица 1
о гм
Расчет параметров границы допустимого множества портфелей
У g1 g2 g3 Zg* r p *
-23 -0,1582 1,14207 0,01608 1 6,21851 81,8883
-21 -0,1608 1,12352 0,03732 1 6,27582 80,7209
-19 -0,1635 1,10497 0,05856 1 6,33314 79,6596
-17 -0,1662 1,08642 0,07979 1 6,39045 78,7044
-15 -0,1689 1,06788 0,10103 1 6,44776 77,8554
-13 -0,1716 1,04933 0,12227 1 6,50507 77,1125
-11 -0,1743 1,03078 0,1435 1 6,56238 76,4757
-9 -0,1770 1,01223 0,16474 1 6,61970 75,9451
-7 -0,1797 0,99368 0,18598 1 6,67701 75,5206
-5 -0,1823 0,97513 0,20721 1 6,73432 75,2022
-3 -0,1850 0,95659 0,22845 1 6,79163 74,9899
-1 -0,1877 0,93804 0,24969 1 6,84894 74,8838
1 -0,1904 0,91949 0,27092 1 6,90625 74,8838
0 -0,1891 0,92876 0,26031 1 6,87760 74,8705
3 -0,1931 0,90094 0,29216 1 6,96357 74,9899
5 -0,1958 0,88239 0,31340 1 7,02088 75,2022
7 -0,1985 0,86384 0,33463 1 7,07819 75,5206
9 -0,2012 0,84530 0,35587 1 7,13550 75,9451
11 -0,2039 0,82675 0,37711 1 7,19281 76,4757
13 -0,2065 0,80820 0,39834 1 7,25013 77,1125
15 -0,2092 0,78965 0,41958 1 7,30744 77,8554
17 -0,2119 0,77110 0,44082 1 7,36475 78,7044
19 -0,2146 0,75255 0,46205 1 7,42206 79,6596
21 -0,2173 0,73401 0,48329 1 7,47937 80,7209
23 -0,2200 0,71546 0,50453 1 7,53668 81,8883
25 -0,2227 0,69691 0,52576 1 7,59400 83,1619
27 -0,2254 0,67836 0,54700 1 7,65131 84,5415
29 -0,2280 0,65981 0,56823 1 7,70862 86,0273
31 -0,2307 0,64126 0,58947 1 7,76593 87,6193
33 -0,2334 0,62272 0,61071 1 7,82324 89,3173
35 -0,2361 0,60417 0,63194 1 7,88056 91,1215
37 -0,2388 0,58562 0,65318 1 7,93787 93,0319
39 -0,2415 0,56707 0,67442 1 7,99518 95,0483
Зная х0, находим вторую координату:
у0 = ах20 + Ьх0 + с. (4)
Коэффициенты a, b, c можно найти с помощью построения модели множественной регрессии а2 на гр и г2 или — в том случае, если график построен с помощью программного приложения, например, MS Excel — посредством выведения уравнения тренда на график a 2p(fp)-Использование второго способа более привлекательно, однако оно предполагает нахождение местоположения точек в пространстве (гр,а2р), соответствующих эффективному множеству портфелей по Марковицу.
Для осуществления оптимизации (расчета координат точек, составляющих эффективную
границу) введем линейное уравнение функции полезности агента
и = ^гр-а2р,
в котором параметр неприятия риска У будем использовать как переменную, задающую положение (наклон) функции и, выступающей в данном случае в качестве критической линии к воображаемому эффективному фронту. Определение параметров риска и доходности портфеля для заданной функции полезности (заданного параметра У) осуществляется с использованием функции Лагранжа. Общий ход решения данной задачи можно проследить, например, в работе Л. С. Тарасевича, П. И. Гребенникова, А. И. Леусского [1, с. 173-174].
Покажем развернутое доказательство соответствующей модели.
Итак, при заданных параметрах распределения доходностей ценных бумаг (известных средних, стандартных отклонениях доходности каждой бумаги и корреляциях доходности), а также параметре неприятия риска У задача оптимизации сводится к решению условия
N
Ь = ^Гр-и2р- ~ 1) тах>
j=^^
то есть определению структуры портфеля, максимизирующего функцию полезности.
Для примера с тремя ценными бумагами функция Лагранжа в развернутом виде запишется так:
Ь = УО^ + Г2%2 + - ^стп + g1g2ст12 +
+ #2СТ22 + ё2ёз°23 + ~Ь~£зё1аЭ1 ёзё2°32 + ёз СТ33 ->^3 +Х,
дь дё2
дЬ дё.
-- -ф#; - 2glan - - g3a13 -—^2СТ21 — ^3СТ31 — X = О,
: М2 - ё\а\2 ~ ё\а21 ~ 2ё2°22 ~
~ёза23~ёза32 ~Х = 0,
= - &СТ13 - ё2°23 ~ ё^ЪХ ~ ~ё2°32 ~ 2ёз°33 — ^ = 0,
1|»1
Уг3
0
= [0]. (7)
(5)
где а. — ковариации ценных бумаг / и/. Отыщем первые частные производные функции L по gl, g2, g3 и 1 и приравняем их к нулю:
дЬ
2ёгаи + 282ап + 2ёз°1з + Х
+ 2ё2°22 + 2ёз°23 + Х
2 g1G31 + 2 g2a32 + 2я3а33 + \
ё!+ё2+ёз~1 .
Перенося единицу из нижней строки второго слагаемого в правой части уравнения (7) в первое слагаемое и представляя вычитаемую матрицу в виде произведения матрицы на столбец, получаем:
= [0]. (8)
Вектор G = g2, g2, Х)г определится следующим выражением:
■Фч
Уг2 Уг3 1
■Фп 2оп 2 аи 2 <т13 1 ё!
Уг2 2 ст21 2 и 22 2ст23 1 X ё2
—
Ч"з 2ст31 2ст32 2ст33 1 ёз
1 1 1 1 0 X
ё! 2сти 2ст12 2ст13 1
ё2 2ст21 2а 22 2ст23 1
ёз 2ст31 2 ст32 2ст33 1
X 1 1 1 0
(9)
то есть
ёх «п «12 «13 У1
ё2 «21 «22 «23 ¿2 X Уг2
— Уг3
ёз «31 «32 «33 с3
X С1 с2 с3 С4, 1
(6)
Заметим, что матрица ковариаций симметрична относительно главной диагонали, то есть а= а поэтому система (6) запишется в матричной форме следующим образом:
дфё, дЦдёг
дь/дёз дЬ/\
(10)
Можно показать, что из уравнения (10) следует система:
ёх =<\+ У(а„?1 + аиг2 + а13г3) ё2=с2+ Ма2Л + а22г2 + а23г3) ёз=с3+ УОзд + а32г2 + аъъгъ) X = с4 + УСс,?] + с2г2 + с3г3)
(11)
у
-и
I >
Ь
э ^
0
1
о
о О
о
"О
ю
о
Данный результат можно обобщить на произвольное число ценных бумаг, так что имеет место решение:
ё1=сх + УСад +... + ашгы)
ёы
= с„+ 1\>(атгм +... + ашг„) Х^0. (12)
Варьируя параметр неприятия риска У, можно найти составляющие (структуру) эффективных портфелей ценных бумаг, а затем вычислить пары значений (г а2 ) для данных портфелей.
о ем
IX
О
О и
О х
о ^
т <
х
а.
>
Чтобы определить пропорции бумаг, образующих касательный портфель, используем свойство, согласно которому доли бумаг в портфеле линейно зависят от У1.
Найдя (х0, У0), из расчетных данных, можно определить пару значений параметра пси: (Ун, Ув), которые ограничивают снизу и сверху портфели, между которыми на кривой о2р(гр) лежит касательный портфель.
Далее, пользуясь зависимостями ^.(У) и применяя метод линейной интерполяции, можно найти доли бумаг в касательном портфеле.
Наконец, так как в данной работе зависимость между доходностью портфеля и риском исходно была представлена аналитически и графически в виде зависимости риска от доходности, предложим также аналитический вид уравнения касательной — эффективного множества с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке (линии рынка капитала)2 — в виде обратной зависимости:
Хкас Х0
°р~Уо 2 а-х0+Ь
Также должно выполняться:
_2
Хкас — Xу +
2 а-х0+Ь
Номер ценной бумаги г., % г а., % г Согг(г,))
1 7,1 11,3 1
2 6,3 9,0 0,7789 1
3 9,1 12,6 0,6896 0,4935 1
2. Определим вид границы допустимого множества и эффективного фронта (выделенная жирным часть кривой) для случая, когда не предполагается возможность заимствования и кредитования по безрисковой ставке (рис. 2).
Гр
(13)
(14)
Таблица с расчетными значениями к данной и следующим иллюстрациям приводится в табл.1.
3. Покажем полученную зависимость в виде графика и построим уравнение данной за-
висимости как полином второй степени (рис. 3).
2. Числовой пример
Проиллюстрируем модель числовым примером.
1. Зададим распределение доходности для N = 3 ценных бумаг. Найдем параметры средних, стандартных отклонений и корреляций (табл. 2).
Таблица 2
Параметры средних, стандартных отклонений и корреляций
1 Данное свойство будет иметь силу при условии, что к структуре портфеля не применяются ограничения типа
1 = 1, 2, — , т, за исключением ограничения
См. 3, с. 37-42].
2 Отличие формул (13) и (14) от традиционного вида линии СМЬ состоит в том, что в привычном нам виде эта зависимость строится от параметра риска, взятого не в виде дисперсии, а в виде среднего квадратичного отклонения.
Рис. 3.
4. Введем некоторое значение безрисковой ставки: г = 4,5%. Используя формулы (3) и (4), определим координаты точки касания графика а2р(гр) и линии, проходящей через точку, соответствующую введенному значению г.
2-16,15-4,5
*о=--Ь
0 2-16,15
74-(16,15)2-(4,5)2+4-16,15-(-222,2-4,5+839) _ 2-16,15 ~
= 7,7074.
У0 = 16,15 (8,684)2 - 222,2-8,684 + 839 = 85,7895. (у, У) = (7,7074; 85,7895).
+
gi
-0,226702509 - 0,228046595
Рис. 4.
Отобразим линию касательной на рисунке 4. Также в силу формул (13) и (14) имеем:
х =7,70744
а2 -85,7895 26,833
= 4,5 + 0,0372675ст2.
или
Данные уравнения являются аналитическими выражениями эффективного множества для случая с условием заимствования и кредитования по безрисковой ставке, то есть формулами линии рынка капитала (уравнениями СМЬ).
5. Определим структуру касательного портфеля.
Находим значения параметра неприятия риска, ограничивающие касательный портфель: (Ун, Ув) = (28, 29).
Перед тем, как проводить интерполяцию, покажем графически, что величина доли ценной бумаги ] в эффективном портфеле при наших предположениях линейно зависит от параметра У (рис. 5).
Рис. 5.
Далее рассчитываем значения долей ценных бумаг, соответствующие нижней и верхней границам параметра У, и проводим интерполяцию: = -0,226702509; = -0,228046595;
= -0,227374552.
g2H = 0,669086022;
g2B = 0,659811828;
0,669086022 + 0,659811828
g2=-2-=
= 0,664448925.
g3H = 0,557616487;
gl = 0,568234767;
0,557616487 + 0,568234767
-2-=
= 0,562925627.
Проверка суммы полученных долей свидетельствует о корректности расчетов:
Eg = -0,227374552 + 0,664448925 + + 0,562925627 = 1.
Наконец, рассчитаем параметры риска и доходности касательного портфеля: rp = 7,6943%, ст2 =85,6459, ст = 9,2545%.
Список источников
1. Тарасевич Л. С., Гребенников П. И., Леусский А. И. Макроэкономика : учебник; 6-е изд., испр. и доп. — М.: Высшее образование, 2006. — 654 с.
2. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. — М.: Инфра-М., 1998.
3. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. — М.: ГУ ВШЭ, 1999. — 142 с.
4. Elton E. J., Gruber M. J., PadbergM. D. Simple Criteria for Optimal Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1976. — No 5 (december). — P. 1341-1357.
5. Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — No 1(March). — P. 77-91.
6. Markowitz H. М. The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints // Naval Research Logistic Quarterly. — 1956. — No 3, nos. 1-2 (march — june). — P. 111-133
7. Sharpe W. F. А Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science. — 1963. — No 2 (january). — P. 277-293.
8. Tobin J. Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk // Review of Economic Studies. — 1958. — No 26 (february). — P. 65-86.
9. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection // The Theory of Interest Rates / Ed. F. H. Hahn, F. P. R. Brechling. — London: Macmillan and Co, 1965.
УДК 336.76
ключевые слова: теория инвестиционного портфеля, инвестиционный анализ, оптимизация портфеля, ценообразование на рынке капитала
У "О
I
>
Ь
э
^
0
1
о
о О
о
SJ
о
x