CC BY
76
36
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2015, № 4 (40), с. 36-44
УДК 330.35:330.42+517.977.5+519.86
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ РАЗВИВАЮЩИХСЯ СТРАН И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА ТИПА НЕЛЬСОНА - ФЕЛПСА
© 2015 г. Ю.А. Кузнецов, А.Ю. Умилина
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Yu-Kuzn@mm. unn.ru, Kuznetsov_YuA@iee. unn.ru
Поступила в редакцию 30.09.2015
Отмечаются некоторые особенности экономического роста развивающихся стран. Дается краткое описание классической модели экономического роста Нельсона - Фелпса, учитывающей процессы накопления и заимствования научно-технологических знаний. Описываются важнейшие переменные и структура математических моделей, которые могут служить естественным обобщением модели экономического роста Нельсона - Фелпса. Приводится один из вариантов подобного обобщения, в рамках которого, помимо накопления и заимствования научно-технологических знаний, учитывается также и процесс их эндогенного создания в рамках сектора научных исследований. В этой модели для описания заимствования научно-технологических знаний применяется формализм, по-видимому, впервые использованный в работах Бенхабиба - Шпигеля. В заключение отмечается возможность построения оптимизационных моделей экономического роста, основанных на концепции модели Нельсона - Фелпса.
Ключевые слова: экономический рост, физический капитал, человеческий капитал, механизмы формирования человеческого капитала, оптимальное развитие экономики, модель Нельсона - Фелпса.
Введение
Несмотря на широкую распространенность термина «развивающиеся страны», не существует общепринятого его определения. Как правило, ту или иную страну относят к числу «развитых» или «развивающихся» на основе данных об уровне дохода на душу населения страны, степени индустриализации экономики страны, структуре её внешней торговли, зрелости рыночных отношений, гарантий прав собственности и прав человека и т.д.
Современную Россию, несмотря на её серьёзный вклад в мировую науку и большой научно-технологический потенциал, значительный опыт промышленного развития, вовлеченность в глобальные политические и финансово-экономические процессы, обычно уверенно относят к «развивающимся странам». Тем не менее наша страна наряду с «развитыми» странами движется в своем развитии в направлении перехода к экономике знаний; целью такого перехода является построение современной инновационной экономики. Основными задачами провозглашенных в Российской Федерации экономических реформ как раз и являются модернизация и повышение эффективности её экономики, ориентация страны на инновационный путь развития и достижение на этой основе высокого уровня благосостояния населения. В качестве модели развития страны принята модель инновационной эконо-
мики, построение которой в Концепции долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации на период до 2020 года [1] рассматривается как основная цель развития страны. Следует отметить, что в значительной мере такое движение носит «догоняющий» характер. Это означает, что на данном этапе развития российской экономики более актуальным является заимствование передовых технологических достижений, а переход к собственно инновационной стратегии возможен в более длительной перспективе [2]. По существу, в настоящее время имеется настоятельная необходимость значительного сокращения отставания от экономически развитых стран не только в современных инновационных отраслях экономики, но также и в традиционных отраслях индустриальной экономики.
Значительный интерес как с теоретико-методологической, так и с практической точки зрения представляет изучение характерных особенностей формирования инновационной экономики в развивающихся странах. В рамках подобных исследований предпринимаются и попытки построения математических моделей экономического роста «развивающихся стран». В первую очередь речь идет об исследовании траекторий и возможных сценариев перехода таких стран к формированию инновационной экономики.
Некоторые из перечисленных вопросов и рассматриваются в настоящей работе. В следующем разделе описывается класс математических моделей, в рамках которого целесообразно изучение динамики экономического роста развивающихся стран. Далее рассматривается модель экономического роста типа Нельсона -Фелпса, учитывающая процессы накопления и заимствования научно-технологических знаний. Приводится один из вариантов её обобщения, в рамках которого, помимо накопления и заимствования научно-технологических знаний, учитывается также и процесс их эндогенного создания. В этой модели для описания заимствования научно-технологических знаний применяется формализм, по-видимому, впервые использованный в работах Бенхабиба - Шпигеля. В заключение отмечается возможность построения оптимизационных моделей экономического роста, основанных на концепции модели экономического роста Нельсона - Фелпса.
1. Человеческий капитал, научно-технологический прогресс
и совокупная факторная производительность
В рамках стилизованных фактов (stylized facts) современного экономического роста (ряда тенденций и закономерностей, типичных для современной экономической динамики) уже сравнительно давно установлен и не вызывает сомнений тот факт, что важнейшую роль в обеспечении высоких темпов экономического роста играют научно-технологический прогресс и уровень человеческого капитала (фактически - уровень образования и квалификации рабочей силы)1. Значение квалификации рабочей силы в своё время отмечалось многими экономистами и социологами, однако в явном виде понятие человеческого капитала было введено в экономическую науку только в 60-х годах XX столетия в работах Дж. Минцера, Т. Шульца, Г. Беккера и М. Блауга. Обзор литературы и анализ исторических аспектов возникновения и развития этого понятия представлен в целом ряде работ (помимо уже упомянутых см. также работы [9-12] и приведенную в них библиографию). В настоящее время классическое понятие «капитал» претерпело весьма глубокое переосмысление и серьезную трансформацию; его современная трактовка может быть представлена следующим образом: капитал - это результат социальной оценки ограниченного, допускающего накопление, ликвидного, воспроизводимого и способного приносить новую (добавочную) стоимость хозяйственного ресурса,
который включен в процессы воспроизводства и возрастания стоимости путем взаимной конвертации своих разнообразных форм (см. подробнее [13-15]).
Чрезвычайно важным является тот факт, что капитал может принимать не только овеществленные формы, но также и воплощаться в отдельных людях (be embodied in individuals) и в отношениях между людьми. На раннем этапе развития теории экономического роста традиционно рассматривались лишь такие экономические факторы, как физический капитал и трудовые ресурсы (то есть фактически - численность вовлеченных в производство работников). В настоящее время считается, что одной из важнейших форм капитала является человеческий капитал. В соответствии с ныне общепринятой трактовкой этого понятия человеческий капитал может быть охарактеризован как совокупность накопленных профессиональных знаний, умений и навыков, получаемых в процессе образования и повышения квалификации, которые впоследствии могут приносить доход -в виде заработной платы, процента или прибыли. Передача человеческого капитала может быть осуществлена с помощью процесса обучения и практик, призванных транслировать специфические знания и демонстрировать процедуры выработки новых навыков; он включает в себя как врожденные характеристики и свойства человека (в первую очередь - здоровье, физические («материальные») возможности человека - tangible human capital), так и приобретенные (образование, знания, квалификация, навыки, то есть «нематериальные» ресурсы и возможности человека - intangible human capital).
Другими словами, человеческий капитал -комплексное понятие, охватывающее разнообразные (и порой весьма разнородные) экономические характеристики человека; он проявляется по-разному в различных ситуациях и на разных уровнях, так что имеет смысл говорить не только об индивидуальном человеческом капитале, но также и о человеческом капитале, сосредоточенном в том или ином коллективе, фирме, предприятии и т.д. Хотя человеческий капитал и носит отчетливо выраженный индивидуальный характер и изначально он воплощен в отдельной человеческой личности, тем не менее, имеет смысл говорить о совокупном запасе человеческого капитала в том или ином сообществе, равном сумме запасов всех входящих в него индивидуумов.
Ясно, что в определенном смысле научно-технологический прогресс и уровень человече-
ского капитала дополняют и обусловливают друг друга, - научно-технологический прогресс и научно-исследовательская деятельность в экономической системе практически невозможны (или крайне малоэффективны) в условиях низкого уровня человеческого капитала; с другой стороны, рост уровня человеческого капитала предполагает наличие в экономической системе образовательной и научно-исследовательской деятельности.
Важнейшие концепции, описывающие влияние человеческого капитала и научно-технологического прогресса (НТП) на динамику экономических систем, восходят к работам К. Эрроу, П. Ромера, Х. Узава и Р. Лукаса (подробнее см. [3, 6, 16]). Обычно выделяют два основных механизма влияния человеческого капитала на производительность труда (на эффективность производства, на выпуск).
В рамках первого варианта считается, что человеческий капитал оказывает прямое влияние на производительность труда и выпуск как явный экономический фактор, входящий помимо традиционных факторов - физического капитала и количества занятых в производстве - в производственную функцию. Именно с человеческим капиталом обычно связывают представление об эффективном труде. В этом случае непосредственное влияние на производство оказывает уровень запаса человеческого капитала, и поэтому принято говорить, что данный вариант влияния человеческого капитала на производительность труда и выпуск реализуется в рамках «эффекта уровня» (level effects).
В рамках второго варианта считается, что влияние человеческого капитала проявляется в первую очередь в увеличении темпов технологического прогресса. В этом случае, как правило, подчеркивается взаимосвязь человеческого капитала и роста совокупной производительности факторов производства или совокупной факторной производительности (Total Factor Productivity, TFP). Принято говорить, что данный вариант влияния человеческого капитала на производительность труда и выпуск реализуется в рамках «эффектов роста» (growth effects).
Как отмечается в [17, р. 431], имеющиеся данные позволяют считать, что реально присутствуют оба эти эффекта. Примерами математических моделей, отражающих эти точки зрения, могут служить, соответственно, модель Р. Лукаса [18, 19] («эффект уровня» - человеческий капитал как явный экономический фактор, входящий в производственную функцию) и модель Р.Р. Нельсона - Е.С. Фелпса [20] («эф-
фекты роста» - человеческий капитал оказывает влияние на темп роста совокупной производительности факторов производства).
Опишем в общих чертах введенные выше понятия. Производительность (productivity) показывает, насколько велик выпуск, полученный на основе использования данного набора экономических факторов. В рамках такой трактовки понятия производительности фактически «фиксируются» все «входные» экономические факторы, кроме одного, а «выходная» переменная - выпуск - является скалярной величиной; при этом речь идет о производительности этого одного фактора (как о выпуске на единицу этого фактора). Наиболее известной мерой подобного типа является производительность труда. Остановимся на этом понятии несколько более подробно. Пусть величина выпуска (вычисляемого за некоторый фиксированный период времени) есть Y = F(K, N) , где N - трудовые ресурсы (в простейшем случае - общая численность работников; при неполном рабочем дне занятых в производстве работников обычно трудовые ресурсы исчисляют в «человеко-часах»), а K - используемый в производстве физический капитал. Здесь, по определению, функция F (K , N ) - производственная функция (ПФ). Предположим, что она является положительно однородной функцией в области K, N > 0, то есть для любого вещественного X > 0 имеет место соотношение F(XK, XN) = XF(K, N) (это свойство обычно трактуется как отсутствие эффекта масштаба (constant return to scale, CRS)). Тогда производительность труда (labour productivity) есть, по определению, величина выпуска на одного работающего (per capita), то есть
Y _ F(K,N) _ p(K У = N = F ( N Д) ~f (k) ,
где k = ^ - капиталовооруженность работника.
Если величина и структура физического капитала, применяемая технология, численность работников и другие характеристики производственного процесса неизменны, то, очевидно, в такой постановке, и производительность труда постоянна и определяется однофакторной ПФ y = f (k) =F (k ,1) и величиной капиталовооруженности работника. В действительности, однако, такие однофакторные характеристики эффективности процесса производства существенно зависят от «неучтенных» (зафиксированных) экономических факторов. Поэтому, очевидно, может наблюдаться различная произ-
водительность труда даже при одинаковой применяемой технологии производства (производственной функции). Это произойдет в том случае, если будет отличаться интенсивность использования физического капитала (в частности, оборудования) или иного экономического фактора. Таким образом, наряду со «стандартными» факторами - используемыми в производстве трудовыми ресурсами N и физическим капиталом K (которые являются наблюдаемыми и, в принципе, «точно» измеряемыми величинами) - производственная функция в действительности зависит от множества остальных («неучтенных» явно) экономических факторов. Следовательно, в действительности многофакторную производственную функцию следует записывать в виде Y = G(U, K, N), где Y - выпуск, а U - «неучтенные» (unaccounted) переменные. Однако практически очень часто используется некоторая стандартная (и инвариантная относительно «остальных» экономических факторов) форма зависимости производственной функции от переменных K и N , так что (в действительности многофакторную!) производственную функцию записывают в мультипликативном виде
Y = G(U, K, N) = A(U)F(K, N), (1)
где A(U ) - некоторый множитель, зависящий от всех «неучтенных» переменных и осуществляющий сдвиг изоквант выпуска при изменении переменных U. Величину A(U) в формуле (1), отражающую зависимость выпуска от «остальных» экономических факторов, называют совокупной факторной производительностью (СФП) или совокупной производительностью факторов производства (Total Factor Productivity, TFP) [21, p. 330]. Представление (1) производственной функции формально очень сходно с описанием изменений неоклассической производственной функции, обусловленных научно-технологическим прогрессом, нейтральным в смысле Хикса (см., например, [16, § 1.3]). Считается, что интерпретация изменения СФП как меры технологических изменений восходит к классическим работам [22, 23].
Насколько адекватна эта интерпретация? Какой в действительности содержательный смысл несёт в себе эта новая переменная A(U) - совокупная факторная производительность (СФП)? Что она измеряет?
Свои варианты ответов на эти вопросы были предложены авторами целого ряда работ. Например, как утверждается в работе [24, p. 457, 481], в действительности все определя-
ющие СФП переменные и параметры «перемешаны», и они не могут быть «классифицированы» в рамках данной концепции; поэтому величина совокупной факторной производительности TFP является, в сущности, остатком, измеряющим степень невежества или степень незнания (measure of our ignorance) переменных U - в том смысле, что изменения выпуска, обусловленные данными переменными, не могут быть объяснены на основе данных о наблюдаемых (измеряемых) переменных K и N. Впрочем, среди экономистов имеется еще несколько взаимно несовместимых интерпретаций совокупной факторной производительности (СФП). В работе [24] произведена своеобразная классификация всех таких интерпретаций. С известной долей условности эти интерпретации могут быть разделены на три группы:
o СФП описывает научно-технологический прогресс;
o СФП есть описание чего-то вроде манны небесной или бесплатных завтраков (manna from heaven или free lunches); это - трактовка СФП как экзогенного фактора;
o СФП есть степень невежества или степень незнания (measure of our ignorance).
С описанными выше понятиями тесно связана известная модель Р.Р. Нельсона - Е.С. Фелпса [20], описывающая влияние уровня человеческого капитала на темп технологического прогресса, реализующегося в рамках процессов имитации (копирования) и заимствования технологических нововведений. Как уже было отмечено выше, эти процессы играют заметную роль в экономической деятельности развивающихся стран. Опишем некоторые особенности этой модели.
2. О некоторых особенностях модели Р.Р. Нельсона - Е.С. Фелпса (1966)
Напомним, как в рамках неоклассической модели экономического роста описывается влияние научно-технологического прогресса (НТП). Впервые это было сделано в работах Р. Солоу [22, 23]. В них влияние научно-технологического прогресса описывается простейшим способом - путем введения в производственную функцию некоторого экзогенно задаваемого показателя НТП A(t), характеризующего повышение с течением времени эффективности производства, так что в итоге производственная функция (типа Кобба - Дугласа) с учетом НТП принимает вид:
Y(t) = A(t )N (t )a K (t )e, a,pe[0,l],
a + p = 1, (2)
где N(t ) - трудовые ресурсы (общее число работников), а K (t) - используемый в производстве («физический») капитал. Другими словами, изменение неоклассической производственной функции системы (2) обусловлены научно-технологическим прогрессом, нейтральным в смысле Хикса (см., например, [16, § 1.3]). Обычно считается, что показатель экзогенного НТП -функция A(t) - удовлетворяет уравнению dA(t)
dt
■ = aA(t), a = const > 0,
dt
= <b(h)[T(t) - A(t)],
h, причем Ф(0) = 0, Ф'(к) > 0, Ук >0, а
T(t) = T0eА, А > 0 . Один из важнейших выводов этой работы состоит в том, что увеличение вложений в человеческий капитал увеличивает действие технологий на практике в длительном периоде. Этот вывод следует из вида решения данного дифференциального уравнения (4):
A(t) = 1 Ao -
Ф
T \e
+ -
Ф
ToeXl. (5)
(3)
так что A(t) = A0eat. В работе Р. Солоу [22]
была сформулирована общая проблема построения эндогенных моделей экономического роста, учитывающих НТП и некоторые другие существенные факторы. В развитие этой идеи Р. Солоу в дальнейшем появились многочисленные математические модели, в которых уравнение (3) заменялось более общим, учитывающим численность работников сектора НИР или их суммарный человеческий капитал, или же соответствующие доли в общей численности работающих или в суммарном человеческом капитале работающих, привлекаемые материальные ресурсы и т.д. (подробнее см. [16]). При этом деятельность сектора НИР описывается ПФ типа (2).
В известной модели диффузии нововведений с учетом человеческого капитала - в модели Р.Р. Нельсона - Е.С. Фелпса [20] - анализируется влияние уровня (запаса) человеческого капитала на процесс внедрения технологических нововведений (в некоторых аспектах эту модель можно трактовать как предшественницу модели П. Ромера). В рамках этой модели предполагается, что изменение неоклассической производственной функции системы обусловлены научно-технологическим прогрессом, нейтральным в смысле Харрода (см., например, [16, § 1.3]), так что производственная функция имеет вид Y = F[K, A(t)L], где A(t) - реализующийся на практике «наилучший» уровень технологии. Пусть, далее, T (t ) - в принципе теоретически возможный уровень технологии в текущий момент времени. В рамках этой модели считается, что динамика уровня технологии A(t) описывается уравнением вида dA(t)
Ф + А 0 ) Ф + А
Определенным развитием и обобщением модели Р.Р. Нельсона - Е.С. Фелпса является модель Ф. Кёрверса, построенная в работах [2527]. В этой модели динамика роста уровня технологии определяется как общей численностью занятых, так и долями занятых с различными уровнями человеческого капитала (в работах [25-27] таких уровней три). В работе [28] концепция модели Р.Р. Нельсона - Е.С. Фелпса была использована в простейшей форме для описания динамики экономического роста «относительно отсталых» стран. При этом T(t) выступает как уровень технологии в текущий момент времени ведущих в экономическом плане стран.
В работах [29, 30] (в духе работы [31]) была обобщена модель Нельсона - Фелпса [20], учтена эндогенная компонента роста g(H) технологических нововведений, связанная со способностью страны развивать собственные технологические инновации. В результате уравнение (5) приобретает следующий вид:
A (t) A(t)
= g (H ) + f (H )
T (t ) - A(t) A(t )
(6)
А(0) =А(Г\/=+0 = А0 > 0, (4) где Ф(Н) - функция достигнутого в текущий момент времени уровня человеческого капитала
Здесь H - уровень человеческого капитала. Относительно функций g (H) и f (H) предполагается, что выполнены следующие достаточно естественные условия: g(H ) > 0, f (H ) > 0,
g '(H) > 0, f '(H) > 0 . В дальнейшем (см. [32]) эта модификация модели Нельсона - Фелпса была уточнена и развита дальше. В рамках этой новой трактовки динамика уровня технологии A(t) определяется как некоторыми эндогенными источниками её роста, так и потоком заимствований передовых технологий, величина которого определяется, с одной стороны, способностью системы к их восприятию, а с другой -расстоянием до технологической границы (например, в случае модели (4) это T (t) - в принципе теоретически возможный уровень технологии в текущий момент времени)2. Расстояние до технологической границы может быть «измерено» разными способами, например в этом качестве можно использовать величину
A(t )
. Тогда «степень отставания» может быть
T (t )
охарактеризована
величинои
1-
A(t ) '
. T (t) у
В итоге вместо (6) получается уравнение вида:
A (t )
A(t )
= g (H ) + f (H )
1 -
A(t)
T (t)
(7)
Уравнение (7) представляет собой один из общих вариантов модели Нельсона - Фелпса.
3. Обобщенная модель экономического роста типа Нельсона - Фелпса
Рассмотрим несколько более общую трактовку модели Нельсона - Фелпса. Вместо уравнения (7) введем в рассмотрение следующее уравнение:
dA(t)
dt
= G [KA(t),HA (t), A(t)] +
+ F[Ha (t ), A(t )]
1-
A(t ) T (t )
(8)
A(t ).
В уравнении (8) первое слагаемое описывает рост уровня технологии A(t) за счет эндогенных источников её роста в духе работ Ч. Джонса (см. [35] и последующие работы этого автора). Второе же слагаемое демонстрирует зависимость способности системы к восприятию заимствований (absorption capacity) как от уровня внутренних ресурсов, предназначенных для развития технологий, так и от расстояния до технологической границы.
Заметим, что в условиях отсутствия эндогенных источников роста технологии уравнение (8) преобразуется к своеобразной математической модели динамики численности популяции «заимствованных технологических нововведений»:
dA(t ) dt
= r (t )
1 -
A(t ) T (t )
A(t ),
г(1 ) =F[HA (О, Л(г)1 (9)
Простое сопоставление уравнения (9) со стандартной моделью динамики численности биологической популяции (см., например, [36])
^^ = M[N(^(t), t е Я^ еЕ^,«), (10)
позволяет дать различные и достаточно интересные трактовки фигурирующим в уравнении (8) переменным и коэффициентам. В уравнении (10) М(N) - «мальтузианская» функция биологической популяции, представляющая собой по существу темп её роста. Заметим, что уравнение (9) по структуре практически совпадает с
известным уравнением Ферхюльста - Пирла -Рида (Verhulst P.F., 1838, 1845, 1847; Pearl R., Reed L.J., 1920), или, что то же, с логистическим уравнением.
Этот факт позволяет обобщить модель (8) на основе концепции обобщенного логистического уравнения (при этом биологическая популяция именуется обобщенно логистической популяцией). Данная концепция восходит к работам Ю.М. Свирежева (см. [37]) и может быть представлена следующим образом [38].
Введем следующее определение «сигмои-дальной кривой» или «S-образной кривой (sigmoidal curve, S-shaped curve) как прямого обобщения «логистической кривой» (решения логистического уравнения).
По определению, возрастающая функция N(•): R ^ R класса C2 описывает «сигмо-идальный рост» или «S-образный рост» (или, что эквивалентно, график возрастающей функции N(•): R ^ R класса C2 является «сигмои-дальной кривой» или «S-образной кривой»), если эта функция имеет две горизонтальные асимптоты - верхнюю (upper) и нижнюю (lower) - и единственную точку перегиба (point of inflection).
Другими словами, область значений возрастающей функции N(t) , t e R, совпадает с
промежутком (NL, NU ) , - °°< NL < NU < причем существуют пределы
limt(t) = Nl , limtN(t) = NU и единственная точка перегиба ti e R; при этом Ni =N(tt) e (Nl , Nu ).
В связи с данным определением можно ввести в рассмотрение некоторый класс обыкновенных дифференциальных уравнений (описывающих сигмоидальные модели), графики решений которых представляют собой сигмои-дальные кривые (S-образные кривые). Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения вида
dN(t)
dt
= S[N(t)], t ΠR.
(11)
Пусть £(•): Я ^ Я - функция C . Очевидно, что уравнение (11) будет описывать сигмои-дальный рост (5-образный рост) функции N^) , I е Я, если функция £(•) удовлетворяет следующим условиям £:
> На промежутке (NL, Nu ) ,
— °°< NL < Nu < функция £ положительна, причем £ (NL ) = 0, £(Жи ) = 0.
> Функция S имеет единственную точку максимума Ni е (Nl , Nu ) .
> Для любого N е (Nl , Nu ) несобствен-
NU d N j
ные интегралы f , f расходятся по
N S(n) s(n)
верхнему и нижнему пределу соответственно.
Приведем несколько важных с практической точки зрения примеров функции S(■) : R ^ R, r, K, b, g = const > 0 (ср. [39, 40]).
1. SVPR(N) = rN^1 - Nj (Verhulst P.F., 1838, 1845, 1847; Pearl R., Reed L.J., 1920);
2. SG (N) = rN In NiK j (Gompertz B., 1825);
3. SPSRS (N) = rN
tK)g -'
(Pütter A.,
1920; Bertalanffy L., von, i960; Rosenzweig M., 1971; Schoener N.W., 1972);
(
4. Sgmmga(N) = rN
l-
b
(Goel N.S.,
Maitra S.C., Montroll E.W., 1971; Gilpin M.E., Ayala F.A., 1973).
Можно ввести в рассмотрение функцию S(■): R ^ R достаточно простой структуры,
которая удовлетворяет условиям S и содержит все четыре приведенных выше примера в качестве частного случая. Это функция
Se ( N ) = rN
í
l-
e
ee R. При этом в
S{)(N) = hm Se (N) = -rN N ) = rN § ) .
случае 0 = 0 под функцией S0 (N) понимается соответствующий предел
I = rN ll II K
Л,
Соответственно, уравнение (8) запишется в виде
dAAt) = G[Ka (t),HA (t),A(t)] + dt (12)
+ F[Ha (t ), A(t )]S[ A(t )], где функция S[A] удовлетворяет условиям S. В приложениях целесообразно выбрать в качестве функции S[ A] введенную выше функцию
Sq (N), 9е R. Уравнение (12) может быть положено в основу построения ряда оптимизационных математических моделей экономического роста, включающих в себя концепцию модели экономического роста типа Нельсона - Фелпса. Некоторые частные результаты в этом
направлении получены, например, в работах [32, 41].
Заключение
В работе рассмотрены некоторые особенности экономического роста развивающихся стран. Дано краткое описание модели экономического роста типа Нельсона - Фелпса, учитывающей процессы накопления и заимствования научно-технологических знаний. Приведены некоторые её обобщения, в рамках которых, помимо накопления и заимствования научно -технологических знаний, учитывается также и процесс их эндогенного создания. Отмечена возможность построения оптимизационных моделей экономического роста, основанных на концепции модели Нельсона - Фелпса.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 15-01-04604.
Примечания
1. Подробнее см., например, [З-8].
2. Считается (см., например, [ЗЗ]), что использование понятия технологической границы наиболее характерно для «шумпетерианских» моделей экономического роста (см., например, [З4]).
Список литературы
1. Концепция долгосрочного социально-экономического развития Госсийской Федерации на период до 2020 года (Утверждена распоряжениями Правительства ?Ф № 1662-p от 17.11.2008 г. и № 1121-p от 08.08.2009 г.). 194 с. [Доступ из справ.-правовой системы «КонсультантПлюс»]. [Электронный ресурс]: http://www.consultant.ru/ document/cons_doc_LAW_82134/ (10.08.2015).
2. Полтерович В.М. Проблема формирования национальной инновационной системы // Экономика и математические методы. 2009. № 2. С. 4-7, 13-15.
3. Barro R., Sala-i-Martin X. Economic Growth. 2nd Edition. Cambridge, Massachusetts - London, England: MIT Press, 2004. б54 p.
4. Easterly W., Levine R. It's Not Factor Accumulation: Stylized Facts and Growth Models // The World Bank Economic Review. 2001. Vol. 15. № 2. P. 177219.
5. Jones C.I., Romer P. The New Kaldor Facts: Ideas, Institutions, Population, and Human Capital // American Economic Journal: Macroeconomics. 2010. Vol. 2. № 1. P. 224-245.
6. Шараев Ю.В. Теория экономического роста. M.: Издательство ГУ ВШЭ, 2006. 254 с.
7. Кузнецов Ю.А. Математическое моделирование экономических циклов: факты, концепции, результаты // Экономический анализ: теория и практика. I. 2011. № 17 (224). С. 50-61; II. 2011. № 18 (225). С. 42-57.
8. Кузнецов Ю.А. Человеческий капитал, производительность труда и экономический рост // Экономический анализ: теория и практика. I. 2012. № 43 (298). С. 2-17; II. 2012. № 44 (299). С. 2-14.
9. Nafukho F.M., Hairston N., Brooks K. Human capital theory: implications for human resource development // Human Resource Development International. 2004. Vol. 7. № 4. P. 545-551.
10. Соболева И.В. Парадоксы измерения человеческого капитала // Вопросы экономики. 2009. № 9. C. 51-70.
11. Soboleva I. Paradoxes of the Measurement of Human Capital // Problems of Economic Transition. 2010. Vol. 52. № 11. P. 43-70.
12. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Человеческий капитал: формирование, измерение, вклад в экономический рост // Экономический анализ: теория и практика. 2010. № 26 (191). С. 21-33.
13. Бурдье П. Формы капитала // Экономическая социология (электронный журнал). 2002. Т. 3. № 5. С. 60-74. www.ecsoc.msses.ru
14. Радаев В.В. Понятие капитала, формы капиталов и их конвертация // Экономическая социология (электронный журнал). 2002. Т. 3. № 4. С. 20-32. www.ecsoc.msses.ru
15. Макаров В.Л. Становление экономики знаний в России и мире // В кн.: Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. д-р. экон. наук, проф.
B.П. Колесов. М.: ИНФРА-М, 2008. 432 с. Гл. 1.
C. 34-44.
16. Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008. 449 с.
17. Maudos J., Pastor J.M., Serrano L. Human capital in OECD countries: Technical change, efficiency and productivity // International Review of Applied Economics. 2003. Vol. 17. № 4. P. 419-435.
18. Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. Vol. 22. № 1. P. 3-42.
19. Lucas R.E., Jr. Lectures on Economic Growth. Harvard University Press, 2002. 204 p.
20. Nelson R.R., Phelps E.S. Investment in Humans, Technological Diffusion, and Economic Growth // American Economic Review. 1966. Vol. 56. № 1/2. P. 69-75.
21. Syverson C. What Determines Productivity? // Journal of Economic Literature. 2011. Vol. 49. № 2. P. 326-365.
22. Solow R.M. A contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics. 1956. Vol. 70. № 1. P. 65-94.
23. Solow R.M. Technical change and the aggregate production function // Review of Economics and Statistics. 1957. Vol. 39. № 3. P. 312-320.
24. Carlaw K.I., Lipsey R.G. Productivity, Technology and Economic Growth: What is The Relationship? // Journal of Economic Surveys. 2003. Vol. 17. № 3. P. 457-495.
25. Cörvers F. The impact of human capital on labor productivity in manufacturing sectors of the European Union // University of Limburg. ROA-RM-1996/2E. 1996. 26 p.
26. Cörvers F. The impact of human capital on labor productivity in manufacturing sectors of the European Union // Applied Economics. 1997. Vol. 29. P. 975-987.
27. Cörvers F. Explaining trade in industrialized countries by country-specific human capital endowments // Economic Modelling. 1997. Vol. 14. P. 395-416.
28. Findlay R. Relative backwardness, direct foreign investment and the transfer of technology: a simple dynamic model // Quarterly Journal of Economics. 1978. Vol. 92. № 1. P. 1-16.
29. Benhabib J., Spiegel M. The role of human capital in economic development. Evidence from aggregate cross-country data // Journal of Monetary Economics. 1994. Vol. 34. № 2. P. 143-173.
30. Benhabib J., Spiegel M. Human capital and technology diffusion. Working Paper Series 2003-02, Federal Reserve Bank of San Francisco, 2002.
31. Romer P.M. Endogenous Technological Change // Journal of Political Economy. 1990. Vol. 98. № 5. P. 71-102.
32. Benhabib J., Perla J., Tonetti C. Catch-up and fall-back through innovation and imitation // Journal of Economic Growth. 2014. Vol. 19. № 1. P. 1-35.
33. Пономарева Е.А., Божечкова А.В., Кно-бель А.Ю. Факторы экономического роста: научно-технический прогресс. М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2012. 186 с.
34. Acemoglu D., Aghion P., Zilibotti F. Distance to Frontier, Selection, and Economic Growth // Journal of the European Economic Association, 2006. Vol. 4. № 1. P. 37-74.
35. Jones C.I. R&D-Based Models of Economic Growth // Journal of Political Economy, 1995. Vol. 103. № 4. P. 759-784.
36. Murray J.D. Mathematical Biology. New York: Springer-Verlag, 1993.
37. Svirezhev Yu.M. Modern Problems of Mathematical Ecology // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 1983. Warszawa: PWN-North Holland. 1984. Vol. 2. P. 1677-1693.
38. Carrillo M. Growth, Life Cycle and Dynamic Modelling // Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. 2003. Vol. 9. № 2. P. 121-136.
39. Tsoularis A. Analysis of logistic growth models // Res. Lett. Inf. Math. Sci. 2001. Vol. 2. P. 23-46.
40. Tsoularis A., Wallace J. Analysis of logistic growth models // Mathematical Biosciences. 2002. Vol. 179. № 1. P. 21-55.
41. Sanchez-Choliz J., Fatas-Villafranca F., Jarne G., Perez-Grasa I. Endogenous Cyclical Growth With A Sigmoidal Diffusion of Innovations // Economics of Innovation and New Technology. 2008. Vol. 17. № 3. P. 241-268.
SOME FEATURES OF ECONOMIC GROWTH IN DEVELOPING COUNTRIES AND A MATHEMATICAL MODEL OF ECONOMIC GROWTH OF THE NELSON - PHELPS TYPE
Yu.A. Kuznetsov, A Yu. Umilina
Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Some features of the economic development of developing countries are discussed. A brief description is given of the economic growth model similar to the Nelson - Phelps model, taking into account the processes of accumulation and borrowing of scientific and technological knowledge. Main variables and the structure of mathematical models that can serve as a natural generalization of the Nelson - Phelps model of economic growth are presented. We also present a variant of its generalization, where, in addition to the accumulation and borrowing of scientific and technological knowledge, the endogenous process of knowledge creation in the sector of scientific research is also taken into account. In this model, the description of borrowing of the scientific and technological knowledge is given based on the formalism, apparently first used by Benhabib and Spiegel. Finally, we note the possibility of construction of optimization models of economic growth, based on the concept of the Nelson - Phelps model.
Keywords: economic growth, physical capital, human capital, human capital formation mechanisms, optimal development of the economy, Nelson - Phelps model.
