Некоторые обобщения формулы Фаа Ди Бруно Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 5.

УДК 511.3 + 517.2 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-180-193

Некоторые обобщения формулы Фаа Ди Бруно1

П. Н. Сорокин

Сорокин Павел Николаевич — кандидат физико-математических наук, Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (г. Москва). e-mail: s_p_n_1974@bk.ru

Аннотация

В центре внимания статьи лежит классическая формула Фаа Ди Бруно для вычисления производных высших порядков сложной функции F(и(х)). Здесь приведен вариант доказательства этой формулы. Затем доказывается обобщение формулы Фаа Ди Бруно на случай сложной функции с внутренней функцией и(х, у), зависящей от двух независимых переменных. В работе представлена формула для n-ой производной сложной функции, когда аргументом внешней функции является вектор с произвольным числом компонент (функций от одной переменной). В статье также рассмотрены примеры нахождения производных высших порядков, иллюстрирующие как классическую формулу Фаа Ди Бруно, так и ее обобщения.

Ключевые слова: формула Фаа Ди Бруно, n-ая производная сложной функции многих переменных, обобщения формулы Фаа Ди Бруно для этих функций, формулы бинома и полинома Ньютона.

Библиография: 16 названий. Для цитирования:

П. Н. Сорокин. Некоторые обобщения формулы Фаа Ди Бруно // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 180-193.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.

UDC 511.3 + 517.2 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-180-193

Some generalizations of the Faa Di Bruno formula

P. N. Sorokin

Sorokin Pavel Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Scientific Research Institute for System Analyze of the Russian Academy of Science (Moscow). e-mail: s_p_n_1974@bk.ru

1 Исследование выполнено в рамках проекта ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН «Развитие методов математического моделирования распределенных систем и соответствующих методов вычисления» FNEF-2022-0007 (Per. № 1021060909180-7-1.2.1).

Abstract

The focus of the article is the classical Faa Di Bruno formula for computing higher-order derivatives of a complex function F(u(x)). Here is a version of the proof of this formula. Then we prove a generalization of the Faa Di Bruno formula to the case of a complex function with an inner function u(x, y) depending on two independent variables. The paper presents a formula for the n-th derivative of a complex function, when the argument of the outer function is a vector with an arbitrary number of components (functions of one variable). The article also considers examples of finding higher-order derivatives, illustrating both the classical Faa Di Bruno formula and its generalizations.

n

generalizations of Faa Di Bruno's formula for these functions, Newton's binomial and polynomial formulas.

Bibliography: 16 titles. For citation:

P. N. Sorokin, 2023, "Some generalizations of the Faa Di Bruno formula" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 180-193.

1. Введение

В настоящей статье рассматривается хорошо известная формула для нахождения производных высших порядков сложной функции, которая называется формулой Фаа Ди Бруно. Свое имя ей дал итальянский математик Франческо Фаа Ди Бруно [1, 2], хотя, по мнению некоторых исследователей [15], француский математик Луи Арбогаст открыл ее раньше [16]. Существуют различные варианты формулы Фаа Ди Бруно (например, [4, 6-8]). Историю вопроса можно проследить, например, в работах [9], [15]. Приложения формулы Фаа Ди Бруно можно посмотреть, например, в [11], [12], [14].

Мы рассмотрим и докажем несколько обобщений этой формулы для различных модификаций сложной функции, а именно, для F(u(x), v(x)), F(u(x)), где u(x) = (u\(x), ...,u,s(x)), и F (u(x,y)).

2. Бином и полином Ньютона

Теорема 1. (Формула бинома Ньютона). Пусть n <Е N u {0} . Тогда, для, любых чисел x

(x + У)п = ¿(?)xV-fc, к=0 ^ '

биномиальные коэффициенты, которые связаны рекуррент-in\ ( n \ in + 1\

+ U+v = U+V.

n = 0

формула верна. Предположим ее справедливость для n = t. Докажем формулу для n = t + 1. Пользуясь рекуррентным соотношением для биномиальных коэффициентов и предположением индукции, имеем

где числа (£) = = щ*—^ -ным соотношением

(х + у) +1 = (х + у) (1)хку*_к = £ (%к+1у*_к + £ ('М*_к+1 к=0 к=0 к=0

£ (к - >_+1+£ Ск)хку'-к+1=£ С 1)хку'-к+1+0У+1+ к=1 4 7 к=0 4 7 к=1 4 7 4 7

+± ^—+(У'=(у*+(о>+гг- \+(л) х%=

('оУ+ £ (' + ^х^'-к+' + ('У+1 = £ (' + 1)хку

4 7 к=1^ / 4 7 к=04 7

что и требовалось доказать. □

Теорема 2. /Формула полипома Ньютона). Пусть п е N и {0} ' е N. Тогда, для любых чисел х1, ...,хг имеем,

(х1 +х2 + ••• +х,)П = ^ (^Д. ^х^2 •••хк,

к1+к2 +...+к4 = п ' 0 < к1,к2 ,...к < п

где числа, кП к4) = ^\кп---кг! ~ полиномиальные коэффициенты, к1,к2,... ,кг е N и {0}.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции [10]. При ' = 1 формула верна. Предположим ее справедливость для ' — 1 переменных. Докажем формулу для ' переменных. По формуле бинома Ньютона имеем

(х1 + ■ ■ ■ + х4_1 + х1)п = ¿(к) (х1 + ■ ■ ■ + х—)кхП-к.

к=0 к

По предположению индукции имеем

(х1 +х2 + ••• +х4_1)к = ^ (к к к )хк1х22 •••х4к4-1

ь \к1,к2 ,...,к1_1/

к , к , . . . , к

к1+к2+...+к4_1 = к 0 < к1,к2,...,к(_1 < к

Отсюда получаем

(х1+х2 + ■ ■ ■+ъ)п = Е Тйпг^ х7п_к £

к! хп_к к! хк1хк2 хк1-1

к!(п — к)!х -Ь_1 ! 1 ^

к=0 К ' кх +к2+...+к(_1 = к

0 < к1,к2,...,кь—1 < к

Учитывая, что п — к = п — к1 — ••• — к^_1 = к^ получаем искомое равенство. □

3. Формула Фаа Ди Бруно

Приведем формулировку (в терминах [6]) и докажем формулу Фаа Ди Бруно:

Теорема 3. (Формула Фаа Ди Бруно). Пусть функции Р(и) и и(х) имеют все производные до п-го порядка. Тогда для, п-ой производной сложной функции С(х) = Р(и(х)) имеет место формула:

С(п)(х) = £ Р(к1+к2+-+кп) (и) . Рк1+к2+^+кп,

к1+2к2 +-----+пк п —П

п! ( и(1)(х) \ к ( и(2) (х) \ к ( и(п)(х) \ кп Рк1+к2+-+к~ = к1!Ы ...кп!.у 1! )[ 2! ) "'[ п! ) ,

где суммирование ведет,ся, по всем, целым неотрицательным числам к\,к2,... ,кп, которые удовлетворяют диофантову уравнению к1 + 2к2 + ■ ■ ■ + пкп = п, а Р (т)

и(т) — производные

т-го порядка, для, функций Р(и), и(х).

п

ренцирования сложной функции С(х), получаем равенство вида

п

С(п) (х)= ^Ак,п Р(к)(и), к—1

где Ак,п — некоторые выражения, независящие от конкретного задания функции Р(и) (задача 1229 в сборнике задач и упражнений по математическому анализу Б.П.Демидовича [13]).

п = 1

С((1)(х) = Р(1)(и) ■ и(1\х) = А1у1Р(1\и), где Ам = и(1)(х) Р( и)

производной (т — 1)-го порядка функции С(х) справедливо равенство

т— 1

С((т—1)(х) = ^Ак,т—1 Р(к) (и), к—1

где Ак,т—1 — функции, не зависящие от вида Р(и). Докажем равенство с тем же свойством для т-ой производной функции С(х). Продифференцируем предыдущее равенство:

т— 1 т

С((т)(х) = ^ [а^ ■Р(к)(и) + Ак,т—1 ■Р(к+1)(и) ■и(1)(х)) = ^Ак,т ■ Р(к)(и), к—1 к—1

где А1,т = А^^; Ак>т = А(к1,)т—1 +Ак—1,т—Г и(1\х),к = 2,.. .,т — 1; Ат,т = Ат—1,т—Г и(1)(х), т.е. наша формула справедлива для всех т € N и Ак,т не зависят от вида функции Р(и). Для нахождения Акп будем считать, что Р(и) ж и(х) — многочлены п-ой степени:

Р(и) = Р(ио) + Р^(и — ио) + ... + Р{П)п(ио) (и — ио)п, (1)

и(х) = и(хо) + и—:(хо)(х — хо) + ... + и (х — хо^

ио = и( хо )

У,(1)(хо), , и(п (хо) , и — ио = —^ (х — хо) + ... + —(х — хо)п. (2)

Подставляя в (1) вместо и — и0 правую часть (2), получим

ОД = Р Ы + ( ^ (х — х0) + ... + ^^(х — х0)п) + ...+ (3)

Р(п)(и0) (и(1\х0), л и(п)Ы ЧП

+--:- --(х — х0) + ... +--:-(х — х0)

п! 1! п!

Отсюда видно, что С(х) — многочлен степени п2 имеет следующий вид:

ОД = ОД) + °{1\(х0)(х — х0) + ... + °{п)(х0)(х — х0)п + ... + С{П/ 2(х0)(х — х0)п2. (4) 1! п! (п2)!

Далее, раскрывая скобки в (3) с помощью формулы полинома Ньютона (теорема 2):

п!

( \ п ^^ п! к1 к2 к

(х1 + х2 + ... + хт) — / J Т Г х1 х2 . . . хт

к1!к2! . . . кт!

к1+к2+...+кт = п 0 <к1 ,к2,...,кт < п

а затем сравнивая коэффициент при (х — х0)п с соответствующим коэффициентом в формуле (4), приходим к утверждению теоремы. Действительно, имеем

ОД = Р (и0) +

+ ^ Е ^ (х — хс)к1...(и^Г (х — х„Г- +

! к1+-+к„ = 1 1! п! \ ! ) \ ' )

0 <к1,...,кп < 1

Е ^ (х — х0)к1...(^Г (х — х^ +

к1 +-----+кп — 2 \ / \ /

0 < к1,...,кп < 2

Р(п)(и0) ^ п! [и(1)(х0)\к\ Лк1 (и(п)(х0)\к\ ,пк

£ кТТТ^ НИ (х — х0)к1- НН (х — ^

к1+-----+к„ = п \ / \ /

0 < к1,...,кп < п

х— х0 п

к1 + 2к2 + ... + пкп = п, следовательно из равенства

С(п)(х)

п!

(

V 1! , Р(2)(и0) ^ + +

1! ^ к1!---кп!+ 2! ^ к1!---кп! +... +

к1+-+кп = 1 1 п к1+-+к„ = 2 1 п

\ 0 <к1,...,к„ < 1 0 <к1,..,к„ < 2

\

+ Р (п)Ы ^ п!

и(1)Ы ^и(2)(хр)^к2 ■ ■ ■ к"

п!, к1! ■ --кп!

к1+-----+к„ = п

0 < к1,...,кп < п )

1! 2! п!

получаем

с {х>_^-.ы-ы Р {"){») I " ) •

что и требовалось доказать. □

Пример 6. Пользуясь формулой Фаа Ди Бруно, находим,

с(1)(х) _ р(1) • и(1), с(2)(х) _ р(1) • и(2) + р(2) • (и(1))2, С(3)(х) _ Р(1) • и(3) + 3 • Р(2) • и(1) • и(2) + Р(3) • (и(1))3 ,

С(4)(х) _ Р(1) • и(4) + Р(2)(^4 • и(1) • и(3) + 3 • (и(2))2) + 6 • Р(3) • (и(1))2 • и(2) + Р(4) • (и(1)У , С(5\х) _ Р(1) • и(5) + Р(2) (5 • и(1) • и(4) + 10 • и(2) • и(3)) +

+Р(3) ( 10 • (и(1))2 • и(3) + 15 • и(1) • (и(2))2) + 10 • Р(4) • (и(1))3 • и(2) + Р(5) • (и(1))5 .

Несколько примеров использования формуы можно посмотреть в [5]. Формула Фаа Ди Бруно может быть также записана в комбинаторной форме:

Теорема 4. Пусть функция у _ х(Ъ) дифференцируема " раз в точке а функция г _ f (у) дифференцируема " раз в точке у0 _ х(Ь0). Тогда сложная функция г(Ь) _ ¡'(х(Ь))

" о

о)_ (|й|)(у о) Пх(И) а о),

где А — все разбиения множества {1, 2,...,"}, множество в состоит из всех частей (блоков) разбиения 5 € А _ число блоков в 5, Щ — ра,зм,ер блока в в.

Пример 7. Найдем г(3)($ _ ^3)(х($). Выпишем разбиения множества {1, 2, 3}: _ ({1, 2, 3}); |¿1| _ 1, 52 _ ({1, 2}, {3}); 152\ _ 2, 53 _ ({1,3}, {2}) |Sз| _ 2, 84 _ ({1}, {2,3}) |_ 2 ¿5 _ ({1}, {2}, {3}) |^ _ 3. Размеры блоков в разбиениях: 91 _ ({1, 2, 3}) |в^ _ 3, |в12\ _ |013| _ 0 д2 _ ({1, 2}, {3}); |$211 _2, |_1, |в2з| _0, 03 _({1, 3}, {2}); 1031| _2, |в3^ _1, |взз| _0, _ ({1}, {2, 3}), |$411 _ 1 |@421 _ 2 |д4з| _0, 95 _ ({1}, {2}, {3}), 10511 _ 1 |@521 _ 1 |^531 _ 1. Отсюда по формуле Фаа Ди Бруно (теорема 4) получаем,:

2(3)&) _ |)(х) х(|^' 1)(1) _ ^1)х(3) +f (2)х(2)х(1)+f (2)х(2)х(1)+f (2)х(1)х(2)+f (3)(х(1))3 _

к-1 3-1

_ ^1)х(3) +3f(2)х(2)х(1) + ^3)(х(1))3.

4. Обобщения формулы Фаа Ди Бруно

Сформулируем обобщение формулы Фаа Ди Бруно на случай сложной функции Р(и(х, у)):

Теорема 5. Пусть функция Р(и) имеет все производные до п-го порядка, а, функция и( х, ) п п

ной функции 0(х, у) = Р(и(х, у)) имеет место формула:

к1+2к2+-----+пк п —п

0

(пО(х, у) = £ Р(к1+к2+-+кп)(и) ■ Рк1+к2+-+кп,

п! / (и(х, у)\к1 ( (2и(х, у)\к2 { (пи(х, у)\кп

Рк1 +к2+-+кп = к1!к2!---кпЧ 1! ) V 2! ) " Л п ) ,

к1, 2, . . . , кп

удовлетворяют диофантову уравнению к1 + 2к2 + ■ ■ ■ + пкп = п, (ти(х, у) — т-ый дифферен-и( х, ) Р (т)(и) т Р( и) т = 1, . . . , п

п

ренциал сложной функции С(х, у) = Р(и(х, у)), получаем выражение вида

п

(пО(х, у) = ^ Вк,п-Р(к)(и(х, у)), к=1

Вк, п

Р (и(х,у)).

Чтобы найти выражения Вк,п считаем, что Р(и(х, у)) и и(х, у) — многочлены п-ой степени:

л ^ л Р ^Ы, Р(п) Ы, т

Р (и) = Р (щ) +-(и — щ) + ... +-^ (и — и0)п,

1! п!

и( х0, 0) п и( х0, 0)

и(х, у) = и(х0,У0) +--1!--+ ... +--п!-.

Определим переменные: г = и — и0 = и — и(х0,у0), в = х — х0, ' = у — у0. Тогда

^ т., ^ Р(1)Ы Р(п) (и0) п

Р(и) = Р(и0) +-■ г + ... + —пт^ ■ ^ (5)

1 ( д д \ 1 ( д д \п Х = и — и0 и + ... + ^ + и. (6)

1! \дх ду ) п! \дх ду )

ох У) = Р Ы + ^(Щ. + ... + !( + ^и) + ...+ т

р(п)(и0) (1 (^ 8 л Л 5

п! \1! \дх ду ) "' п!\дх ду ) ) ' Многочлен 0(х, у) имеет степень и2:

П( \ п( \ I ЛС(х0,У0) . . (1пС(х0, У0) . . (1п2С(х0, У0) /{Л С(х, у) = С(х0,У0) +-1!-+ ... +-п-+ ... +-(п^у.-. ^

Затем, раскрывая скобки в (7) с помощью формулы полинома Ньютона (теорема 2), имеем

С(х,у) _Р(ио)+

р(1)(ио) ^ 1! (1 ( д д \ \к1 (1 ( д д \п \к-

к1 + " + кп—1

^ _ kl\---kn\\i\\dx ■ 8+ду'г)и) '"l^Ux'8 + ду'г) и)

-•••+кп — 1

2! (I (\ \к1 (1 (У V

ki! ■ ■ ^п!\1!\дх ' S + ду ' у у "'Uddx' 8 + ду'1) U)

+... +

F(n)(uo) v- и! (1 ( д д \ \к1 (1(д д \п

—пИ") - -ш-"mv U

Далее сравниваем последнюю формулу с формулой (8). Для того, чтобы порядок дифференциала функции G(x, у) был равен и, необходимо выполнение равенства ki + ... + nkn = п, т.е.

dnG(xo, уо) = (F(1)(ио) ^ + F(п)(ио) ^ п!

п! 1 1! ^ ki! ■ ■ ■ kn! +... + п! ^ ki!---kn!

\ к1+-----+кп — 1 к1+-----+кп —п

((Л^У1 (- (— ь]пу)кп

\ 1! \дх ду ) ) \"! \дх ду ) ) '

Отсюда получаем

{х,ю _ к^к,,—л V.) { я.) л " ) •

□

Далее рассмотрим случай сложной функции вида Р(и(х), у(х)) (приведен в [12]):

Теорема 6. Пусть функция Р(и, у) имеет все частные производные до "-го порядка, и( х) ( х) " "

сложной функции Р(и(х), у(х)) имеет место формула:

( \

F(n) _ ^ Ак11Ак22...A^

= ^ ki! k2l..kn\

ki+2k2++...+nk3 — n i

\ ki ,k2,...,km о

п!

F(u, v),

где

А< = , д

! д и

A Uj д Vj д д3и,(х) )3 v(x) . j—

j j! ди j! ду' Uj ()xj 1 Vj ()xj 1 ^ ,П.

Пример 8.

F= (Ai)F, F(2) = (2A2 + Ai)F, F(3) = (6A3 + 6A2Ai + A^F, F(4) = (24A4 + 24A3Ai + 12A2 + 12A2Ai + A\)F,

где

^ ди(x) д ^ ду(x) д ^ д2u(x) д ^ д2у(x) д

))x ди ))x ду' 2c)x2 ди 2c)x2 ду'

)3u(x) д д3у (x) д )4u(x) д д4у (x) д

3 6)x3 ди 6)x3 ду1 4 24)x4 ди 24)x4 ду

Далее рассмотрим обобщение формулы Фаа Ди Бруно на случай сложной функции Р(и(х)), где и(х) = (и\(х), ...,и3(х)) [3]:

Теорема 7. Пусть С(х) = Р(й(х)), и(х) = (щ(х),и2(х),... ,и3(х)) — сложная функция и существуют все её частные производные до п-го порядка, а, функции щ(х),и2(х),...,и3(х) имеют все производные до п-го порядка. Тогда, для, п-го дифференциала сложной функции С(х) имеет место формула:

(Гс(х) = Е Е Е ... Е

п!

дкР (и)

к! к2 кп Ц(ф • П П аи1 дщ ди2

г=1 1=1¿=1

п

п 3 , дирг дир02 ... диРв

х

=1

где суммирование ведется по целочисленным решениям следующих диофантовых уравнений:

Е : к\ + 2к2 + ... + пкп = п,

п

Е : 1 +а12 + ... + а\3 = к\,

к!

Е : а21 +а22 + ... + а2з = к.2,

к2

^ ^ : ап1 + ап2 + ... + апв — кп,

( = д/дх — дифференциальный оператор, к — порядок пром,ежут,очной производной, pj — порядок част,ной производной, по щ-. Параметры к, к^ р^ а^ связаны соотношениями:

Рз = а^ + а2] + ... + а,П], .] = 1, в,

к = р1 + р2 + ... + Рз = к1 + к2 + ... + к,п.

Доказательство. Классическую формулу Фаа ди Бруно (теорема 3) можно переписать в следующем виде:

р(п) = Е

п!(дии(1))к1 (дии(2))к2 • • • (дии(п))кпР(и)

к1+2к2 +...+пк„=п ^ !(1!)к1 (20^ •>!)к" •

Здесь ди = д/ди — дифференциальный оператор, дги = дг/ди\ а с учет ом к = к1 +к2 +... + кп имеем дк/дик = дк/дик1+к2+...+кп.

Производные Рх\ г = 1,... ,п являются функциями с возрастающим числом аргументов:

Р« = Р(1)(и,и(1)),Р(2) = Р(2)(и,и(1) ,и(2)),...,Р(п) = Р(п)(и,и(1),и(2),...,и(п)).

Найдем производные = 1, 2, 3,..., воспользовавшись формулой для первой произ-

водной сложной функции с произвольным числом аргументов:

рР = (ди и(1))Р,

Р(2) = (дии(1) + ди(1)и(2))Р(1) = [(ди и(1))2 + дии(2)]Р,

F(3) = (дии{1) + duWu(2) + дити(3Щ2) = [(дии(1))3 + 3дии(1)дии(2) + duu(3)]F, = (дии(1) + ди(1)и(2) + ди(2)и(3] + ди13)и(4Щ3 = = [(дии1-1))4 + 6(ди^ 1))2диП(-2) + 4дии(1)ди и1-3) + 3(ди^ 2) )2 + дии(4)]F,

Пусть теперь и(х) является s-мерным вектором

и(х) = (и1(х),и2(х), ...,и3(х)),

соответственно

д д д д

ди =

ди(х)

ди1(х)' ди2(х)'" '' ди3(х)

— векторный дифференциальный оператор. Для сложной функции Р(и(х)) определены все необходимые производные. Производные РХг\г = 1, 2, 3,... получаем последовательным применением правила первой производной сложной функции с произвольным числом аргуметов, подставляя все предыдущие производные:

РХ1 = (дий(1))Р,

Р^ = (дий(1) + и(2))Р(1) = [(дий(1))2 + дич(2)]Р, Р(3) = (дий(1) + д-т и(2) + д-(2) и(3))Р(2) = [(дий(1))3 + 3дий(1)дий(2) + дий(3)]Р, Р(4) = (сЫ1 + д^ и(2) + ди^ и(3) + д-(3) й(4Щ3) = = [(дий(1))4 + 6(дий(1))2дий(2) + 4дий(1)дий(3) + 3(дий(2) )2 + дий^]Р,

Последовательность вывода производных в классической формуле Фаа ди Бруно тожде-ствена последовательности вывода производных в векторном случае. Они имеют одинаковую операторную форму, только в первом случае операторы скалярные, а во втором векторые. Поэтому их общую форму можно записать в следуюшем виде:

П) = у- п!(дий(1У)к1 (дий(2У)к2 ■ ■ ■ (дий(-п))кпР(и)

х к +2к ^ к к1 \к2\---кп\(1\)к1 (2!)к2■ ->!)к" .

Данная формула является векторной формой п-ой производной сложной функции, частные производные и нелинейные функции й(г),г = 1, 2,...,п явно не показаны. Чтобы получить явный вид формулы для п-ой производной сложной функции Р(и(х)) необходимо возвести полиномы (д.уй'(гУ)к1, г = 1, 2,... ,п в соответствующие степени, а затем перемножить их. Для

(ди1и!) + ди2и2 + ■■■ + диаи^ 4 =

£ ^га МТ МГ-МГ ■

an+ai2+-----+ais=k,

где суммирование ведется по всем неотрицательным решениям диофантова уравнения я.ц + (М2 + ■ ■ ■ + ais = ki. Перемножив все п полипов, и введя обозначения

£ - £■

к1+2к2+...+пк„=п п

£ - £.

ац+а12+...+а1в =к1 к1

£ - £.

«21+«22+...+«2з =к2 к2

£ - £ ■

ап1+ап2 — кп кп

в результате получим

р(п) = Е

п!

ЬЫ • • • кп! (1!)к1 (2!)к2• ••(п!)к«

V_^___дк1р(и) . (иаЛа11 (иа)Г12 •.. Ги(1)^

аиМ — ш.! ди?11ди"1^ • • диая1а V1 ) ГМ V 3 )

к1 -11.-12. -13- -и,2

х V ___дк2Р(и) . (и(2)]а21 (и(2)]а2\ . . Ги(2)Г23 х

х ^а21!а22!-^2з! д<21диа22 • • • ди?* ГО ГМ Х

к2 1 2

х ... х V кп]!___дкпР(и) . (и(п)\ап1 (и(п)УП2 ...(и(п)У

х х ¿^апМ^-апз! ди^ди^2^^^ Г2 ^ V3 ^

кп

Далее, положив р^ = а^ + а2^ + ... + ащ, р1 + р2 + ... + р3 = к, ] = 1,2,... ,8, имеем

пМЫ • • • кп!

р(п) = £££•••£■

п . . . ЬЫ • • • кп! (1!)к1 (2!)к2 • ••(п!)к«аи!а12!-^1з! • • • ап1!ап2! • • • апз!

п к1 к2 кп

дкР(и {и[1))а11 [и21))а12 • • • (и«)"3 • • • (и^"1 («(п^2 • • • ^иЗ™)^апв

п! дкР (и)

...

к1 к2 кп П (Ф • П I! агз! дир1 ди дуР/ =1 =1 =1

что и требовалось доказать. □

х П КО"" (и2г)У"... (иР)а-

х

х

X

X

Пример 9.

F(щ(х),щ(х)) = eui(x)u2(х). Найти F(3).

f*^) = £ £ £ £ --• I! КТ Ю™ ■

3 ki ь к, П (,!)к, . П Пац! eMieu2,=iv

i=l г=1j=1

+ 2fa + 3кз = 3, E : ai 1 + ai2 = fa, ^ : a2i + a22 = k2, E : a3i + аз2 = кз,

3 ki k2 кз

Pi = aii + a2i + a3i, P2 = ai2 + a22 + аз2, Pi + y»2 = к = ki + fa + кз. Подставляя значения па,pa,мет,ров, получаем,:

4 fu2i^3 + 3 (2u2 + uiu2) fu(ii^2 u2i) + 3 (2ui + u2u2) u(ii) (u2i)X 2

F(3)(ui, u2) = eUiU2 • [u2 (u^) + 3 (2u2 + uiu2) (u^) u2i) + 3 (2ui + u2^) u^ j^) + +u3 (u2i^3 + 3u2uii)ui2) + 3(1 + uiu2)(uii)u22) + ui2)u2i)) + u2ui3) + uiu23)].

5. Заключение

Заметим, что формула Фаа Ди Бруно, ее модификации и обобщения очень полезны при изучении дифференциального исчисления функций в математическом анализе, а также при формировании комбинаторного мышления.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faa di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzione // Annali di Scuenze Matematiche e Fisiche. 1855. 6. P. 479-480.

2. Faa di Bruno F. Note sur un nouvelle formulae de calcul differentiel // Quart. J. Math. 1857. 1. P. 359-360.

3. Mishkov R. L. Generalization of the formula of Faa di Bruno for a composite function with a vector argument // Internat. J. Math. & Math. Sci. 2000. Vol. 24, № 7. P. 481-491.

4. Roman S. The formula of Faa di Bruno // Amer. Math. Monthly. 1980. Vol. 87, №10. P. 805-809.

5. Дворянинов С. В., Сильванович М. И. О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции // Математическое образование, 2009, 1 (49), 22-26.

6. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Дрофа, 2003. 640 с.

7. Bell Е.Т. Partition polynomials // Ann. Math. 1927. Vol. 29. P. 38-46.

8. Comtet L. Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1974.

9. Johnson W.P. The curious history of Faa di Bruno's formula // Amer. Math. Monthly. 2002. Vol. 109. P. 217-234.

10. Чубариков В. H. Обобщенная формула бинома Ньютона и формулы суммирования // Чебышевский сборник, 2020, 21, № 4. 270-301.

11. Constantine G. M., Savits Т.Н. A multivariate Faâ di Bruno formula with applications // Trans. Amer. Math. Soc., 1996. vol. 348, № 2. P. 503-520.

12. Шабат А. Б, Эфендиев M. X. О приложениях формулы Фаа-Ди-Бруно // Уфимский математический журнал, 2017, 9, № 3. 132-137.

13. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учебное пособие. 14 издание, испр. — М.: Изд-во Московского университета, 1998. 624 с.

14. Frabetti A., Manchon D. Five interpretation of Faâ di Bruno's formula, 2014, https://arxiv.org/pdf/1402.5551.pdf.

15. Craik A.D.D. Prehistory of Faâ di Bruno's formula // Amer. Math. Monthly, 2005. vol. 112, № 2, P. 119-130.

16. Arbogast L. F. A. Du Calcul des Dérivations, Levrault, Strasbourg, 1800. REFERENCES

1. Faâ di Bruno F. 1855, "Sullo sviluppo delle funziones", Armait di Scuenze Matematiche e Fisiche, 6, pp. 479-480.

2. Faâ di Bruno F. 1857, "Note sur un nouvelle formulae de calcul différentiel", Quart. J. Math., 1, pp. 359-360.

3. Mishkov R. L. 2000, "Generalization of the formula of Faâ di Bruno for a composite fonction with a vector argument", Internat. J. Math., Math. Sci., vol. 24, no. 7, pp. 481-491.

4. Roman S. 1980, "The formula of Faâ di Bruno", Amer. Math. Monthly, vol. 87, no. 10, pp. 805-809.

5. Dvorvaninov S.V., Silvanovich M.I. 2009, "On the Faâ di Bruno formula for derivatives of a complex function", Matematicheskoye obrazovaniye, 1 (49), pp. 22-26.

6. Arhipov G.I., Chubarikov V. N., Sadovnichiv V. A. 2003, Lectures on mathematical analysis. M. - Drofa, pp. 640.

7. Bell E.T. 1927, "Partition polynomials", Ann. Math,., vol. 29, pp. 38-46.

8. Comtet L. 1974, Advanced Combinatorics. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht.

9. Johnson W.P. 2002, "The curious history of Faâ di Bruno's formula", Amer. Math. Monthly, vol. 109, pp. 217-234.

10. Chubarikov V.N. 2020, "A generalized Binomial theorem and a summation formulas", Cheby-shevskii Sbornik, 21 (4), pp. 270-301.

11. Constantine G. M., Savits T. H., 1996, "A multivariate Faâ di Bruno formula with applications", Trans. Amer. Math. Soc., vol. 348, no. 2, pp. 503-520.

12. Shabat А. В., Efendiev M. Kh., 2017, "Applications of the Faâ di Bruno formula", Ufimskiy m,at,em,aticheskiy zhurnal, vol. 9, no. 3, pp. 132-137.

13. Demidovich B. P. 1998, Sbornik zadach i uprazhneniv po matematicheskomu analizu. Uchebnove posobive. 14 izdanive, ispr. M. — Izd-vo Moskovskogo universiteta, pp. 624.

14. Frabetti A., Manchon D., 2014, "Five interpretation of Faâ di Bruno's formula", https://arxiv.org/pdf/1402.5551.pdf.

15. Craik A.D.D., 2005, "Prehistory of Faâ di Bruno's formula", Am,er. Math. Monthly, vol. 112, no 2, pp. 119-130.

16. Arbogast L. F. A., 1800, "Du Calcul des Dérivations", Levrault, Strasbourg.

Получено: 30.08.2023 Принято в печать: 21.12.2023