CC BY
6
Matveykin Grigory Valerjevich, lecturer, matveykingv@,gmail. com, Russia, Saint-Petersburg, Military Communications Academy
УДК 532.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-379-383
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ РАДИАЛЬНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИСПЕРСИИ
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
А.К. Горбунов, А.К. Куликов, А.Ю. Логинова, Н.А. Силаева, Е.А. Попугаева
Рассмотрены некоторые модели явления гидродинамической дисперсии в радиальных фильтрационных потоках в областях с изменяющейся пористостью среды. Эти модели представлены в виде дифференциальных уравнений, которые путем соответствующих замен переменной сводятся к известным уравнениям математической физики, решения которых хорошо изучены.
Ключевые слова: гидродинамическая дисперсия, массоперенос, уравнение математической физики, краевые задачи.
Явление гидродинамической дисперсии относится к группе явлений массопереносных растворимых веществ в пористых средах. Результат только массопереноса, то есть распределения концентрации растворимой примеси в поле фильтрации зависит от многих факторов, таких как молекулярная диффузия, то есть смешивание веществ на микроскопическом, молекулярном уровне, конвективная диффузия, то есть рассеяние вещества на неоднородностях среды, ионный массоперенос на поверхность твердой фазы и другие.
В реальных инженерно-технических процессах указанные факторы существенно зависят от структуры среды, ее химической активности, геометрии области фильтрации и различных внешних условий. Именно поэтому имеющиеся математические модели явления гидродинамической дисперсии строятся на некоторых допущениях, позволяющих получать дифференциальные уравнения, учитывающие те или иные указанные выше факторы.
В предлагаемой работе рассматриваются некоторые частые случаи уравнения гидродинамической дисперсии, полученного разными способами [1], [2], [3] и имеющие в произвольной криволинейной системе координат вид
^ = div[DgradC-Cd]. (1)
В этом уравнении C - относительная концентрация переносимого фильтрационным потоком растворимого вещества, т9 - скорость потока жидкости, t - время, D - коэффициент гидродинамической дисперсии, причём D = D0 + a12'ßa, D0- коэффициент молекулярной диффузии, а12 - коэффициенты продольной и поперечной дисперсионности, характеризующие геометрию потока и структуру среды имеющие размерность соответствующую размерностям D и а , показатель степени а в различных исследованиях [4] варьируется в пределах от 1 до 2, и в большинстве случаев принимается равным 1.
В цилиндрической системе координат уравнение (1) имеет вид [5]
* .f^ + ^i+iH^ + D.)^!
Уравнение (2) получено из уравнения (1) в предположении, что фильтрационное течение создаётся логарифмическим источником (стоком), а растворимое вещество является нейтральным, не изменяющим свойств среды и потока. При этом система координат (г, в, z) ориентирована так, что координатная осьог направлена вдоль линии тока, т.е. по вектору скорости, линейный размер области фильтрации по координате z предполагается постоянным, поэтому величина скорости течения определяется выражением ß = 2^Bhr; Q - объемный расход
жидкости, B - линейный размер источника (стока) - расстояние между плоскостями z = const, ограничивающими область фильтрации, h - пористость среды, верхний знак перед первой производной по координате z соответствует источнику, нижний стоку.
Многочисленные исследования [3], [4] явления дисперсии указывают на то, что в зависимости от критериальных чисел Рейнольдса и Пекле диапазон изменения скоростей фильтрации можно разбить на несколько, характерных интервалов, в пределах которых доминируют те или иные виды переноса вещества. Поэтому из дифференциального уравнения (2) могут быть получены чистые его случаи и поставлены краевые задачи различных типов. Род таких уравнений, их общие интегралы и краевые задачи приведены в работах авторов [5 - 7].
Анализ имеющихся аналитических исследований различных моделей дисперсии указывает на существенные математические затруднения, так как даже частные случаи уравнения (2) редко удается свести к известным уравнениям математической физики.
Большинство решений задач гидродинамической дисперсии получены в предположении однородности области фильтрации. Если предположить, что пористость среды есть функция некоторых координат, ввести безразмерные переменные Р = ~ , ^ = т = ТгтВа^, и безмерные параметры К = —, Ь = 2лВР°, то уравнение (2) примет вид
а2 О
дс 1( 3 ГД , , . ЗсП , 3 Г/к+Ьпр\ ЗсТ , 3 Г/к+Ьпр\ ЗсТ — 1 Зс")
* = [(п + Ьр[{-¿¿г)[(—) ^ + (3)
Ниже рассмотрены некоторые примеры частных случаев уравнения (3), в которых предполагается зависимость пористости области фильтрации от радиальной координаты р и получены общие интегралы этих дифференциальных уравнений.
Пример 1. Нестационарная плановая поперечная гидродинамическая дисперсия. Будем предполагать, что в области фильтрации скорости течения, что движение индикатора вдоль потока обусловлено лишь конвективным переносом, и распределение концентрации не зависит от координаты т.е. нейтральная примесь вводится по всей линии источника (стока).
Тогда из уравнения (3) получим
дс _ 1 Г д /к+Ьрп(р) ЗсЧ — 1 ЗсТ (4)
Зт _ Э 1.30 V р2п(р) дв) п(р) Зр] ( )
Пусть задан закон изменения пористости среды в виде функции от переменной р, т.е. п=п^) В этом случае уравнение (4) принимает вид
й), (5) ш = ъ*ъ2п(2) (6)
Разделяя переменные получим
с(p,e,т) = R(p)Ф(e)т(т), (7)
£-Лх = 0, (8)
Т = АеЛт, (9)
^г-^Ф = 0, (10)
А2СО5(97М +AзSin(eVT^j,ц<0 Ф = ^А2+А3е, ц=0 (11)
A2ch(eVTмT + Aзsh(eVTмT, ц>о
^—[^-ЛрпСр)], (12)
R = A4eIl(p), (13)
^ =+л*РП(Р)-^1(РМР, (14)
Практический интерес представляют решения, убывающие с течением времени и периодически на углу, т.е. случаи Л<0 и ц<0. Поэтому общее решение уравнения (5) запишем в виде
с(р, е,х) = (Аг + А2 sin(цe))e-A2т+Il(p), (15)
11(Р) = + №пР - Ц2£цР)Ж (16)
Пример 2. Нестационарная осесимметричная поперечная гидродинамическая дисперсия.
Как и в примере 1 будем предполагать, что в направлении потока преобладает конвективный перенос, и распределение концентрации не зависит от координаты Q, т.е одна или обе границы области фильтрации г = или г = являются растворимыми.
Такие задачи встречаются, например, в гидрогеологии, когда исследуются процессы вымывания солей в трещинах горных пород с растворимыми границами или в гидрогеологических пластах, подстилаемых растворимыми грунтами и имеющих локальные растворимые включения параллельные границам пласта.
В этом случае из уравнения (3) получим
дс _ 1 Гд /к+Ьрп(р)дс\ - 1 1 (1_)
дт к2п(р) а?/ п(р)ЗрГ ( )
или
£с = - ££1 (18)
ах рт(р) щ2 1 '
(19)
С(р,£х) =А1 соэСцО + А25т(цХ)е~я2т+12(р), (20)
12(р)=+М2рп(р)-^2(р^р, (21)
Пример 3. Стационарная плановая поперечная гидродинамическая дисперсия. Если процесс массопереноса вещества установившийся, то поле концентрации с течением времени не изменяется = 0 и уравнение (4) принимает вид
к+Ьрп(р) а2с - дс _0 (22)
р2 ае2 аР ^ ()
а его решение
ССр, 9) = ^-1^05^9 + А^тцеУ^Р), (23)
13(Р)=+Ц2ШРМР, (24)
fз(p)=íli^^2, (25) Пример 4. Осесимметричная поперечная гидродинамическая дисперсия.
к+Ьрп(р)а2с — дс . ,
+ Ф = (26)
С(р, X) = АХ со5(А^) +А25т(Д)е1^Р), (27)
14(р)=+Я2 Jf4(p)dp, (28)
(29)
Пример 5. Нестационарная трёхмерная поперечная гидродинамическая дисперсия.
£-?[«р>£+мо!И!Я. (30)
С(р, 9, X, х) = (Аг С05(А9) +А2 5т(Х9))^(А3 со5(цХ) + А45т(>Х) • е"*2^1^), (31) 15(Р)=+ / п(р)[Л2р-^(р) -3^2(р)Ыр, (32)
Пример 6. Стационарная трёхмерная поперечная гидродинамическая дисперсия.
+ (33)
(р, 9, X, х) = (Аг С05(А9) +А2 5т(Х9))^(А3 со5(цХ) + А45т(>Х) • е'6, (34)
1б = +Л^з(р) + ^4(р)]ар. (35)
Следует отметить, что рассмотренные частные случаи уравнения гидродинамической дисперсии соответствующими заменами переменной р могут быть сведены к известным уравнения математической физики, что позволяет использовать хорошо разработанный аппарат краевых задач для этих уравнений.
В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим задачу о точечном стационарном источнике уравнения (2) для случая расходящегося фильтрационного течения в среде пористость которой изменяется по линейному закону п = п0 Заменой переменной
х(р) = / fз (p)dp = - ^ + Ьп01пр + Ьрр + А, (36)
Уравнение (22) сводится к уравнению теплопроводности
(37)
ае2 ах' у '
Для удобства использования известных решений краевых задач разных типов уравнения (37) константу интегрирования А в выражении (36) следует выбрать таким образом, чтобы х(р0) = 0, то есть необходимо чтобы
А = - -Ьп01пр0 -Ьрро, (38)
Ро
Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти решение уравнения (37) в области 0<e < 2п, x>0.
при условии
c(e,T) = 5(e-e0)6(T-T0). (39)
Функция влияния источника G(e, x) известна [ ]
Физический смысл этой функции состоит в том, что она описывает распределение концентрации от точечного источника нейтральной примеси расположенного в точке (r0,e0) в области r>r0 радиального расходящегося фильтрационного потока в среде, проницаемость которой изменяется по линейному закону. В области г< г0 концентрация будет равна 0, т.к. было сделано допущение о доминирующей роли конвективного переноса по сравнению с продольной дисперсией.
Выражение (40), представляющее собой функцию Грина, как известно, может быть использовано при решении классических краевых задач математической физики, в том числе и с неоднородными граничными условиями.
Список литературы
1. Bear J. Dunamics of Fluids in Posous Media. New York: American Elsevier, 1972. 764 p.
2. Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах // Прикладная математика и механика. 1959.Т.23№6. С.1042-1050.
3. Бэр Я., Заславский Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971. 451 с.
4. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород / Н.Н Веригин., С.В Васильев., В.С. Саркисян, Б.С. Шержуков; Под ред.проф. Н.Н. Веригина. М..: Недра, 1977, 271 с.
5. Куликов А.Н. Уравнения радиальной гидродинамической дисперсии и его общие интегралы // Движения растворимых примесей в фильтрационных потоках. Тула, 1983. С. 1520.
6. Куликов А.Н., Гришина Л.В., Стационарная радиальная дисперсия при больших скоростях фильтрации. - В кн.: Теоретические основы гидродинамики. Тула, 1980. С. 75-79.
7. Куликов А.Н., Горбунов А.К., Овчеренко И.Н. Стационарная гидростатическая дисперсия в многочисленных пластах с растворимой подошвой // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, 2015. №04(75). Ч. 1. С. 17-19.
Горбунов Александр Константинович, д-р физ.-мат. наук, профессор, gor-bunov.ak@bmstu.ru, Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана,
Куликов Анатолий Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, anat210752@yandex.ru, Россия, Калуга, Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского,
Логинова Алла Юрьевна, канд. техн. наук, доцент, alla.loginova@bmstu.ru, Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н. Э. Баумана,
Силаева Наталья Альбертовна, старший преподаватель, silaeva@bmstu.ru, Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н. Э. Баумана,
Попугаева Екатерина Алексеевна, студент, katerina.popugaeva.10@yandex.ru, Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н. Э. Баумана
SOME MODELS OF RADIAL HYDRODYNAMIC DISPERSION IN INHOMOGENEOUS MEDIA.
A.K. Gorbunov, A.K. Kulikov, N.A. Silaeva, A.Yu. Loginova, E.A. Popugaeva
382
Some models of the phenomenon of hydrodynamic dispersion in radial filtration flows in areas with varying medium porosity are considered. These models are presented in the form of differential equations, which, by appropriate change of variable, are reduced to known equations of mathematical physics, the solutions of which are well studied.
Key words: hydrodynamic dispersion, mass transfer, equation of mathematical physics, boundary value problems.
Gorbunov Alexander Konstantinovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, gorbunov.ak@bmstu.ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Kulikov Anatoly Nikolaevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, an-at210752@yandex.ru, Russia, Kaluga, Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky,
Loginova Alla Yurievna, candidate of technical sciences, docent, alla.loginova@bmstu.ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Silaeva Natalya Albertovna, senior lecturer, silaeva@bmstu.ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Popugaeva Ekaterina Alekseevna, student, katerina.popugaeva. 10@yandex. ru, Russia, Kaluga Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University
УДК 004
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-383-387
ПОСТРОЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ С ПОСТОЯННЫМИ ПРОПОРЦИЯМИ МЕТОДОМ АНТИРОБАСТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
СИ. Носков
В статье сформулирована задача построения производственной функции с постоянными (фиксированными) пропорциями, называемая также кусочно-линейной функцией, функцией с нулевой эластичностью замещения ресурсов, а также функцией Леонтьева. Ее характерной особенностью является то, что производство продукции анализируемой экономической системой ограничено количеством лимитирующего ресурса, при этом любое наращивание объемов других ресурсов не приводит к росту производства. В рамках регрессионного анализа эта задача сводится к задаче идентификации неизвестных параметров кусочно-линейной регрессии, правая часть которой представляет собой минимум произведений объема каждого из ресурсов на соответствующий коэффициент. В качестве расстояния между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной выбрано расстояние Чебышева, минимизация которого приводит к определению неизвестных параметров методом антиробастного оценивания. В работе эта задача сведена к задаче линейно-булевого программирования. Развитие предлагаемого подхода возможно посредством использования в производственной функции Леонтьева вместо однофакторных компонент различных мультипликативных конструкций. С помощью методов наименьших модулей и антиробастного оценивания построены два альтернативных варианта производственной функции с постоянными пропорциями для грузооборота Красноярской железной дороги.
Ключевые слова: производственная функция с постоянными пропорциями, регрессия, оценивание параметров, метод антиробастного оценивания, задача линейно-булевого программирования, модель грузооборота железной дороги.
При построении математических моделей экономических систем весьма популярной является производственная функция с постоянными пропорциями (ПФПП), часто называемая также кусочно-линейной функцией, функцией с нулевой эластичностью замещения ресурсов, или производственной функцией Леонтьева. Ее характерной особенностью является то, что производство продукции системой ограничено объемом лимитирующего ресурса, при этом
