ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Власов А. А. Макроскопическая электродинамика, М., 1955.

8. Никольский В. В. Теория электромагнитного поля, 3 изд., М., 1964.

9. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. -М.: Наука, 1979.-528 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.-М.: Наука, 1989.- Т.9. - с.186.

11. Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики. М: Мир, 1981. 436 с..

12. Левин А. А., Долин С.П., Зайцев А.Р. // Хим. физика. 1996. Т. 15. С. 84

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ДВИЖЕНИЯ КРОВИ

Кузнецов Г.В.

кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский филиал Финансового университета, директор, г. Тула APPLICATION OF GEODETIC DISPLAY FOR MODELLING OF MOVEMENT OF BLOOD

Kuznetsov G.V., The senior lecturer, the candidate of physical and mathematical sciences, Tula filial of Financial university The director, Tula АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается некоторые применения геометрических объектов к структурным параметрам сердечно - сосудистой системы. ABSTRACT

In the given work it is considered some applications of linear spaces to structural parametres of cardiovascular system. Ключевые слова. Некоторые модели, применения геометрических объектов к структурным параметрам сердечно - сосудистой системы.

Keywords: Some models, Applications of geometrical plants to structural parametres it is warm - vascular system.

В рассматриваемой модели кровь движется по геодезическим линиям евклидова или риманова пространства. Поэтому для моделирования движения крови в рамках всей системы рассматривается геодезическое соответ-

dx = а)Аел', deA = а>^ев',

dy = шА а а daA = ав + о,ав .

ме

у

пер второго порядка в точке .

Дифференциальные формы и одновременно

_в

/': П —> П —

ствие. Пусть •> точечное невырожденное где аАВ ~ векторы, которые вместе с аА образуют ре-

дифференцируемое отображение области 0 евклидова

En

Q

пространства ^ в область

Vn

' такое, что для точки

У — f (x) e Q

риманова пространства

А

X ёО имеем структурные параметры ® и ^ А , удовлетворяют уравнениям структуры евклидова пространства, а формы

у

В

. При этом точка ' принадлежит некоторой координатной окрестности или карте простран-

Ш

.а

Ш

.В

А

ства

V" т

' . Как всегда присоединим к точке множество I Х,ва }

: началом в этой точке.

касательное ли-

всех аффинных реперов

аА=/*(ел) К-

Примем ^х 4 , где ^х

т

неиное отображение к отображению и в точке . Так

как х невырожденное отображение, то вектора аА

простран-

{у,а а}

и А удовлетворяют уравнениям структуры риманова пространства.

В силу согласованного выбора реперов в областях

0 и 0 1-формы ® и ш , определяющие переме-

х у

щение точек и , связаны равенствами:

ш =ю .

Дифференцируя последние равенства внешним образом и применяя лемму Картана, получим:

независимы и образуют репер в касательном простран-

уп

А А 1 А С

ШВ — СОВ — ПВСШ

А

АС

стве к

. Уравнения перемещения реперов

/eQ

запишем в виде:

вида

С

А

о^А эо—олоi о

^ , где 1 и w - парамет-

а а

рическая форма. В силу равенства форм ™ и С ли-у — £ (у)

ния ' и ч/ ' будет определяться теми же уравнени-

у и о

ями, что и линия ' , но только в карте ^ области " .

у

Линия ' будет геодезическом, если:

+ юБюВ — вю

А

у

Аналогично, линия ' будет геодезической, если выполняются следующие условия:

(са + соБшА — всА

Последние равенства перепишем в виде:

(/ сА + с с + н£сювюс — всА

Сравнивая последние равенства и (1), получим:

НАвсювюс — (в - в)сА _ , в — в — в — ЛС

Введем обозначение А тогда:

г„А В С п, ^к А О А п, « /

пВСс с — ЛкС с —оВлкю с

Л „А оА т „В „К

и отсюда

Кс — ОвЛс +°с% >

где

Лк ЬаК

ковектор. Учитывая равенства (2), получим:

— С — ОА в + ЛвюА

Так как в ЛаС , то дифференцируя внешним

образом это равенство, запишем:

Вв — УЯА ас

А

V Л — (Л.—ЛС.

где

в "в™ а

Дифференцируя внешним образом равенства (3), получим:

1 2

(УЛВ —ЛВв) а с + §А(УЛК —Лкв) АСК —1ЯАС Асоь

После

V' Лв — Лвв — ЛвкС

введения

к

обозначения

, запишем:

1

Лвк С АС + §А ЛкьС АС =— Яжьс АС

Отсюда получаем:

Зь Лвк — 8АкЛвь + ЗВ Льк — ОВЛкь — як — 0

■вкь

Окончательно имеем:

Яввкь — ёьв Лвк — ёкА Лвь + ёвв Льк — ёвв Лкь

(4)

(1)

Следует отметить, что Норден А.П. в книге, такое риманово пространство называет проективно-евклидо-

—вк

ё

вым. Свертывая, далее, (4) с <-э ,

получим:

Явь — Ок Лвк — п Лвь + Ок Льк —Ок Лкь

'в

'в

Окончательно последние равенства перепишутся в

виде:

ЯВь — Льв — пЛвь

(5)

Сравнивая равенства (3.5) с равенствами

ЯЬВ — Лвь — пЛьв

Лвь —

, получим:

пЯвь + Яьв

1 — п

2

(6)

Равенства (3.5) и (3.6) с точностью до знака можно переписать в виде:

ЯВЬ — пЛвь — Льв

(2)

пЯвь + яьв Лвь —-;

п

1

(7)

Умножая обе части последнего равенства в (3.7) на

-вь

(3)

ё

, получим:

или

1

(§в Лвк + Ов Льк —— Явкь)с АС — 0

Л — — Я -7 -вь п — 1 , где Л — ё Лвь •

Последнее равенство перепишем в виде

-ВВ Я

ё Лав —-- •

п 1 После умножения последнего равенства на ёвк, получим:

Лкв —--§кв

п — 1 .

л

Тем самым, тензор Лкв симметричен по нижним

уп

индексам, что вполне согласуется с тем, что ' является римановым пространством. Для риманова пространства

тензор Риччи Явв также симметричен по нижним индексам. Уравнения (4) и (7) превращаются в уравнения:

^АВКЬ — ёьА ЛВК — §КА Ли-Хвь —

(4)

1

Явъ — (п — 1)&вь и В п - 1

Я

вь

(7\)

Применяя оператор ковариантного дифференцирования к обеим частям первого уравнения (7/), запишем:

УЯвь — (п - 1)УЯВЬ (8)

Продифференцируем внешним

йЛА — ЛВ&Л — ЛА0 — Ллвов

после преобразований, получим:

образом

(йХлв — Лас О — Ясв&С ) А^в — —&АвЮв А 0 — ЛА (Лв0 + ЛвсО ) А О

С-

В

в

с-

в

Окончательно будем иметь

(У Лав —Ялвв) АОВ — 0

Применяя теперь лемму Картана, получим:

УЛлВ — ЛлВ 0 — ЯлВСОС , Л лвс — Ласв .

где

(9)

Л

Тем самым величины ЛАВс симметричны по всем нижним индексам. Равенства (9) перепишем в виде:

У Лав — ( ЛавЛс + Лавс ) о

с

, или

У с Лав — ЛслЛв + Лслв.

Тогда равенства (3.8) примут вид:

УЯАВ — (п — 1)(ЛлвЛс + Лавс )о

Последние равенства перепишем в виде:

У сЯАВ — (п — 1)(ЛслЛВ + Лслв )

Тогда

У[ сЯА] В — 0

с

(10)

(11)

Тензор Риччи данного пространства удовлетворяет условию (11), которое называют уравнением Кодацци, если удовлетворяющий ему тензор симметричен. Рассмотрим снова

УЛА — ЛА0 + ЛлвОВ — (ЛАЛВ + Лав )оВ — ЛАВоВ,

У Лав — УЛлЛв + ЛлУЛв + УЯлв

п — 1 .

Последние равенства перепишем в виде:

У вЛлс — ЛвЛлс + ЛвсЛл +-- У вЯлс

п — 1 .

Альтернируя последние равенства по индексам В и А с учетом (11), получим:

У[вЛл]с — ЛвЛлс — ЛлЛвс + ЛвсЛл — ЛлсЛв — 0 то есть

У[ ВЛА] К — 0

(13)

На основании этого получаем, что решение уравне-

Уп

ния (13) в данном пространстве ' имеет вид (12). В слу-уп

чае, когда является евклидовым пространством, решение уравнения (13) имеет вид Ллв ЛлЛв■

; я -

Лав —-g

,^АВ тл

п — 1 , где Я —

уп

Ввиду того, что

ска-

лярная кривизна риманова пространства ' , то уравнения (3.12) можно записать в виде:

Я —

лав — лалв + 7 gлв

п — 1 (14)

где

Л

лв

ЛАЛВ + Лав — ЛАЛВ +

1

п — 1

■Я

Рассмотрим тензор

^ g gсв ■

Умножим

лв-

(12)

где

Л

'лв

симметричный тензор.

обе части последнего равенства на А с-с'

Рассмотрим систему (12), как систему дифференциальных уравнений. Найдем условия ее интегрируемо-

уп

сти в римановом пространстве ' , которое является проективно-евклидовым и эквиаффинным. Такое пространство называется эквипроективным.

Дифференцируя ковариантно уравнения (12), запишем:

gLЛ

gLАgА — gCB

Окончательно запишем:

А

gLB gLАgB После подстановки (15) в (14) получим:

R

ЛВВ — ЛАЛВ +-ёсёВВ

п — 1 (16)

Из равенств (16) можно заключить, что вектор геодезического преобразования Лв является торсообразу-

Еп

ющим векторным полем в .

Список литературы

1. Кузнецов Г. В. Эффективность моделирования сердечно-сосудистой системы человека методами геометрии субпроективных пространств.

2. Вестник новых медицинских технологий. 2007. Т. 14. № 1. С. 171-172. 2. Кузнецов Г.В. Моделирова-

ние гемодинамических процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями. Вестник новых медицинских технологий. 1998. Т. 5. № 34. С. 32.

3. Kuznetsov G.V., Yashin А.А. Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow. Russian Journal of Biomechanics. 2000. Т. 4. № 3. С. 86-92.

4. Кузнецов Г.В. Основные идеи пространственного подхода при моделировании сердечно-сосудистой системы человека. Вестник новых медицинских технологий, 6(2): 49-50, 1999.

5. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Основы математической теории моделирования ССС человека в субпроективном пространстве. Вестник новых медицинских технологий, 6(1): 42-45, 1999.

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИСПЕРСИИ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ В СЛОИСТОЙ

КЛИНООБРАЗНОЙ ОБЛАСТИ

Куликов Анатолий Николаевич,

к.физ.-мат.н., доцент, Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, г. Калуга

Горбунов Александр Константинович д.физ.-мат.н., профессор, Калужский филиал Московского государственного технического университета

им. Н.Э. Баумана, г. Калуга Цаплина Светлана Федоровна

Ассистент, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,

г. Калуга

ON THE HYDRODYNAMIC DISPERSION BY FILTRATION IN A LAYERED AND A WEDGE-SHAPED AREA Kulikov Anatoly, Candidate of Science, assistant of professor, Kaluga State University, Kaluga, Gorbunov Alexander, Doctor of Science, professor, Kaluga branch of Bauman State Technical University, Kaluga Tsaplina Svetlana, assistant, Kaluga branch of Bauman State Technical University, Kaluga

АННОТАЦИЯ

В статье предложено решение краевой задачи для уравнения гидродинамической дисперсии. Предполагается, что фильтрационное течение сосредоточено в клинообразной кусочно-однородной области, ограниченной растворимым основанием и непроницаемой кровлей. Предполагается также, что процесс растворения установившийся, примесь нейтральная, то есть не изменяет гидродинамических свойств среды, скорости течения таковы, что в направлении скорости течения конвективный перенос преобладает над молекулярной диффузией. В направлении, перпендикулярном скорости течения, коэффициент гидродинамической дисперсии принимается линейно зависящим от скорости. Для описания поля концентрации в рассматриваемой клинообразной кусочно-однородной области предложено дифференциальное уравнение, получено его решение при соответствующих условиях на границах области и условиях сопряжения, то есть равенства концентраций и потоков на границах внутренних областей. Методом Фурье получено аналитическое решение поставленной задачи. Для частного случая однородной области из этого решения следуют результаты полученные ранее.

ABSTRACT

In the article it is proposed a solution of the boundary problem for the equation of hydrodynamic dispersion. It is assumed that the filtration flow is concentrated in a wedge-shaped piecewise homogeneous region, which is limited by soluble base and impervious roof. It is also assumed that the dissolution process was long-established, the impurity is neutral, i.e. it is not changed the hydrodynamic properties of the medium, flow rates are such that convective transfer dominates over molecular diffusion in the direction of the flow velocity. In the direction perpendicular to the flow rate, the coefficient of hydrodynamic dispersion is assumed linearly dependent on speed. To describe the concentration field in the considered wedge-shaped piecewise homogeneous area differential equation was proposed, its solution was obtained under appropriate conditions on the boundary and interface conditions, i.e. equal concentrations and fluxes at the boundaries of the inner regions. By the method of Fourier analytic solution of the task was obtained. For the special case of homogeneous region from this solution follow the results that coincide with previously obtained data.

Ключевые слова: гидродинамическая дисперсия, конвективная диффузия, массоперенос.

Keywords: hydrodynamic dispersion, convective diffusion, mass transfer.