О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИСПЕРСИИ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ В СЛОИСТОЙ КЛИНООБРАЗНОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

R

¿лв - ¿л^в +-gCвgAB

п -1 (16)

Из равенств (16) можно заключить, что вектор геодезического преобразования ¿л является торсообразу-ющим векторным полем в ^ .

Список литературы

1. Кузнецов Г. В. Эффективность моделирования сердечно-сосудистой системы человека методами геометрии субпроективных пространств.

2. Вестник новых медицинских технологий. 2007. Т. 14. № 1. С. 171-172. 2. Кузнецов Г.В. Моделирова-

ние гемодинамических процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями. Вестник новых медицинских технологий. 1998. Т. 5. № 34. С. 32.

3. Kuznetsov G.V., Yashin АА Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow. Russian Journal of Biomechanics. 2000. Т. 4. № 3. С. 86-92.

4. Кузнецов Г.В. Основные идеи пространственного подхода при моделировании сердечно-сосудистой системы человека. Вестник новых медицинских технологий, 6(2): 49-50, 1999.

5. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Основы математической теории моделирования ССС человека в субпроективном пространстве. Вестник новых медицинских технологий, 6(1): 42-45, 1999.

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИСПЕРСИИ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ В СЛОИСТОЙ

КЛИНООБРАЗНОЙ ОБЛАСТИ

Куликов Анатолий Николаевич,

к.физ.-мат.н., доцент, Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, г. Калуга

Горбунов Александр Константинович д.физ.-мат.н., профессор, Калужский филиал Московского государственного технического университета

им. Н.Э. Баумана, г. Калуга Цаплина Светлана Федоровна

Ассистент, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,

г. Калуга

ON THE HYDRODYNAMIC DISPERSION BY FILTRATION IN A LAYERED AND A WEDGE-SHAPED AREA Kulikov Anatoly, Candidate of Science, assistant of professor, Kaluga State University, Kaluga, Gorbunov Alexander, Doctor of Science, professor, Kaluga branch of Bauman State Technical University, Kaluga Tsaplina Svetlana, assistant, Kaluga branch of Bauman State Technical University, Kaluga

АННОТАЦИЯ

В статье предложено решение краевой задачи для уравнения гидродинамической дисперсии. Предполагается, что фильтрационное течение сосредоточено в клинообразной кусочно-однородной области, ограниченной растворимым основанием и непроницаемой кровлей. Предполагается также, что процесс растворения установившийся, примесь нейтральная, то есть не изменяет гидродинамических свойств среды, скорости течения таковы, что в направлении скорости течения конвективный перенос преобладает над молекулярной диффузией. В направлении, перпендикулярном скорости течения, коэффициент гидродинамической дисперсии принимается линейно зависящим от скорости. Для описания поля концентрации в рассматриваемой клинообразной кусочно-однородной области предложено дифференциальное уравнение, получено его решение при соответствующих условиях на границах области и условиях сопряжения, то есть равенства концентраций и потоков на границах внутренних областей. Методом Фурье получено аналитическое решение поставленной задачи. Для частного случая однородной области из этого решения следуют результаты полученные ранее.

ABSTRACT

In the article it is proposed a solution of the boundary problem for the equation of hydrodynamic dispersion. It is assumed that the filtration flow is concentrated in a wedge-shaped piecewise homogeneous region, which is limited by soluble base and impervious roof. It is also assumed that the dissolution process was long-established, the impurity is neutral, i.e. it is not changed the hydrodynamic properties of the medium, flow rates are such that convective transfer dominates over molecular diffusion in the direction of the flow velocity. In the direction perpendicular to the flow rate, the coefficient of hydrodynamic dispersion is assumed linearly dependent on speed. To describe the concentration field in the considered wedge-shaped piecewise homogeneous area differential equation was proposed, its solution was obtained under appropriate conditions on the boundary and interface conditions, i.e. equal concentrations and fluxes at the boundaries of the inner regions. By the method of Fourier analytic solution of the task was obtained. For the special case of homogeneous region from this solution follow the results that coincide with previously obtained data.

Ключевые слова: гидродинамическая дисперсия, конвективная диффузия, массоперенос.

Keywords: hydrodynamic dispersion, convective diffusion, mass transfer.

Во многих, представляющих интерес для практики случаев перенос вещества осуществляется в условиях более или менее длительного времени. Так вполне допустимо считать [1], что под гидросооружениями фильтрационный поток и процесс диффузии растворимых веществ за короткий промежуток времени приобретают стационарный характер. Реальные природные пласты имеют разнообразную геометрию и строение и могут состоять из нескольких слоев с различными гидродинамическими свойствами [1], [2], [3].

Для описания гидродинамической дисперсии будем пользоваться уравнением [4], [5].

~ „Л

dt öxf

D

dC

dx,

V

ij У

дС_ dx

(i)

Где: D,

С.

относительная концентрация вещества,

j _

коэффициент гидродинамической дисперсии,

V

x.

компоненты средней скорости,

координаты,

(1)

можно считать установившимся уравнение 4 ' для случая осесимметричного однородного фильтрационного потока принимает вид [6].

D

V

1 d 2С d 2С

■+dC

r2 de2

+ — - 0

dr

(2)

коэффициент молекулярной диффузии

a

2 - поперечная дисперсионность У - абсолютная величина средней скорости, верхний (2)

знак в 4 > соответствует расходящемуся течению.

Постановка задачи: пусть область фильтрации огра-

0 = 0

плоскость

r = r

дрической поверхности трации известно.

В такой постановке задача становиться двумерной. Необходимо найти решение уравнения

Б0 + а2У д2С_ дС

r V

у +-= 0

d02 dr

при условиях

С (ro,0 ) = f 0), (i = 1,2,...,4)

С, (r,0) = Co

dCn (r, xn)

= 0

d0n

С- (r,r i-1 ) = С (r,0) D 0С-(Г,У-) _ D ОС,(r, 0 )

d0i_,

de

(4)

(5)

(6)

(7)

В каждом из n - слоев введена собственная си-

(г,0, )

стема координат

V = ■

Q q

- время,

В практически важных случаях, когда в направлении потока можно пренебречь молекулярной диффузией по сравнению с конвективным переносом, а сам процесс

г г,в, г

Где ' ' - цилиндрические координаты

Б = Б0 + а2У

0 2 - коэффициент гидродинамической дисперсии

состоит из

ничена двумя плоскостями в 0 и однородных клинообразных слоев с различными гидродинамическими свойствами. Причем на плоскости в = 0

С = С0

заданна постоянная концентрация вещества 0,

в = в0

0 является непроницаемой, а на цилин-

распределение концен-

Учитывая, что IrnBf r Q - объемный расход жидкости

n -B -

пористость ширина слоя

,1 r r - r0 т = b ln--+ a-

и произведя замену

r0 r0r

b = Dl

q

, получим уравнение,

d 2С Ос

— = 0

d02 дт

которое необходимо подчинить условиям (3) - (7). Применяя метод Фурье, получим

ад

С = С + YA^ sin(ßkei + plk)

k=0

Удовлетворяя это решение условиям (6) и (7) получим систему для определения собственных чисел задачи

4-1,k Sin(MkYr-1 + P-X,k ) = Akk Sin Pkk

Di-1 Ai-1^k со<НУ - + P-1,k ) = DiAikHk cos Pk Dtg (Hk/i-1 + Pi-1,k ) = Di-1tgPik

sinp1k = 0;p1k = kn

Hk cos(Hk7k +Pnk) = 0 4k ± 1

Pnk n-HkYn

A,-U = Bt_xk ■ A»,(i = 3,...,n),Bk = 1,

i-1

П Sin(Hk7m + P mk )

Bk =

l

-,(i = 2,..., n)

П Sin Pmk

m=1

n У

Ak =

Y/.Bk J (f (У) - Ci) sin HO

i-1 0

ni

Y/Bl J sin2 (HkO+Pk )d0t

i-1 0

m=1

+

Произвольные постоянные

A

1k

условии

ортогональности

определяются из функциИ

Yik = Aik sin(U& + Pk )

n ri

S Г;

на отрезке

i=l

SV J Yk & )Yj(0t )d0t =

i=1 0

[ const, k = j |0, k * j

n r

S VBk J (f (r ) - Co) sinfaQ + <РЛ Ж

i =1 o

Aik =

Yi

SvBI J sm2(A& ж

г-1 0 . В качестве примера рассмотрим случай

п - 2, £ (0г) - 0 „ „ „

г/ , соответствующий двухслойной клинообразной области с нулевым условием на границе Г Г(0 . В результате получим

C(û,r) = Co - VCS

œ -uk 2r 0 ^ e u

a

1 k=0

UklIYI1

sin a, uk&,0 <в<в1 sin a1uk&1

cos a2Uk°2

cos a2uk (90 -0),в1 <в < в0

Ut

корни уравнения

D2tS (UkYi +^ik ) = DJSV.

2k

D2tg (UkYi + kк) = Ditg

4k ± 1

2

-K-UkY2

J

DiCtgMkTi = D2tgvk7i

2 V V2 sin2 /ukYl

= ^ Yi + Y 2-

2 2 cos ¡dkY2 .

Полученные выражения хорошо согласуются с известными решениями подобных по постановке задач нестационарной теплопроводности в кусочно-однородных средах [7], а также с результатами, полученными одним из авторов в [2].

Литература

1. Веригин Н.Н., Васильев С.В., Саркисян В.С., Шержу-ков Б.С. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. М., «Недра», 1977, 271 с.

2. Куликов А.Н. Стационарная радиальная дисперсия в многослойных средах. Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», Орел, 2000, с.86-87.

3. Афанасенкова Ю.В., Гладышев Ю.А., Куликов А.Н. Краевые задачи двумерной модели процессов переноса в многослойных средах. Вестник Калужского университета, 2013, №3-4, с.7-11.

4. Scheidegger A.E., Statistical Hydrodynamics in porous media. J. Appl. Phys., 1954, № 8, p. 994 - 1001.

5. Николаевский В.Н., Конвективная диффузия в пористых средах. - Изв. АН СССР, ОТН, ПММ, 1959, т. XXIII, в.6, с. 1024 - 1050.

6. Куликов А.Н. Уравнение радиальной гидродинамической дисперсии и его общие интегралы. - В кн.: Движение растворимых примесей в фильтрационных потоках. Тула, 1983, с. 15 - 20.

7. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М., «Наука», 1972, 687 с.

v

О ПРИЛОЖЕНИЯХ МАТРИЦ К НЕКОТОРЫМ МОДЕЛЯМ

Манохин Е.В.

кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский филиал Финансового университета, завдующий

кафедрой «Математика и информатика», г. Тула

ABOUT APPENDICES OF MATRIXES TO SOME MODELS

Manohin E.V., The senior lecturer, the candidate of physical and mathematical sciences, Tula filial of Financial university The head of branch «Mathematics and computer science», Tula АННОТАЦИЯ

Для обработки данных, их анализа, принятие оптимальных управленческих решений требуется использование математических и экономико-математических методов и моделей. В данной работе рассматривается некоторые применения матриц к некоторым моделям. ABSTRACT

For data processing, their analysis, acceptance of optimum administrative solutions is required use of mathematical and economic-mathematical methods and models. In the given work it is considered some applications of matrixes to some models. Ключевые слова. Матрица; норма в линейном пространстве; некоторые модели. Keywords: Matrix; Norm in linear space; Some models.