НЕКОТОРЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ "РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ «РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ»

Аннотация

Одной из основных тем при изучении дисциплины «Теория игр и исследование операций» является «Транспортная задача». В статье рассматриваются постановка транспортной задачи, ее математическая модель, изложен метод потенциалов решения транспортной задачи. Цель работы: проиллюстрировать особенности метода решения транспортной задачи с целью получения оптимального ее решения.

Ключевые слова

пункт отправления, пункт назначения, перевозка грузов, стоимость перевозки единицы груза, опорный план транспортной задачи, оптимальный план транспортной задачи

АВТОРЫ

Бахтиярова Ольга Николаевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва olga-bakh06@mail.ru

Птицына Инга Вячеславовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана», г. Москва inpt@mail.ru

Подзорова Марина Ивановна,

кандидат педагогических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана», г. Москва marinatichomirova@hotmail.com

Введение

Одной из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике является транспортная задача. В классическом виде она представляет собой задачу построение плана перевозок грузов из пунктов отправления в пункты назначения при минимальных транспортных затратах.

Транспортная задача относится к задачам линейного программирования - разделу математического программирования, разрабатывающему теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями.

Впервые эта задача была сформулирована французским математиком Г. Монжем еще в конце XVIII века, но математический аппарат для ее решения был разработан в 1930 - 1940 годы Л. Канторовичем, лауреатом Нобелевской премии по экономике 1975 года, поэтому транспортную задачу называются также задачей Монжа - Канторовича.

Актуальность решения транспортной задачи обусловлена тем, что в условиях конкурентной борьбы между множеством логистических компаний применение математических методов решения транспортной задачи дает им возможность достичь большого экономического эффекта.

Методология и результаты исследования

Постановка транспортной задачи

Пусть имеется т пунктов отправления А1, Аг, ... , А т , в которых находится соответственно в1, аг, ... , а т единиц груза.

Пусть имеется п пунктов назначения В1, Вг, ..., В п , потребности которых составляют соответственно Ь, Ьг, ... , Ь п единиц груза.

Известна стоимость с 1 ^ перевозки единицы груза из пункта отправления А 1 в пункт назначения В ^ , / = 1, 2, ..., т; j = 1, 2, ..., п.

Необходимо составить такой план перевозок грузов из пунктов отправления в пункты назначения, чтобы суммарная стоимость перевозок была минимальной [1].

Составим математическую модель транспортной задачи. При этом будем предполагать, что величина транспортных расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимых грузов.

Обозначим через х 1 ^ количество единиц груза, перевозимых из пункта отправления А 1 в пункт назначения В ^ , / = 1, 2, ... , т; j = 1 , 2 , ... , п, через г - суммарную стоимость перевозок грузов.

Стоимость перевозки единицы груза из пунктов отправления в пункты назначения запишем с помощью матрицы

С =

V Ст 1 Ст 2 "' Ст п J

Матрицу С называют матрицей стоимости.

Тогда транспортную задачу можно сформулировать следующим образом [2]: найти такой план X = (), / = 1, 2, ... , т; j = 1, 2, ... , п , который доставляет

минимум функции

* = 1 I ^ • (1)

i = 1}=1

и удовлетворяет системе ограничений:

Ixij = а1 , 1 = 1, 2, ..., т; (2)

]=1

I = Ъ] , ] = 1, 2, ..., п; (3)

i =1

Х1) > 0 , 1 = 1, 2, ..., т; ] = 1, 2, ..., п; (4)

Х1) £ I, 1 = 1, 2, ..., т; ] = 1, 2, ..., п. (5)

с

с

с

1 1

1 п

с2 1 с2 2

с

2 п

т п

Целевая функция (1) представляет собой суммарную стоимость перевозок грузов из пунктов отправления в пункты назначения.

Первая подсистема (2) в системе ограничений указывает на то, что все грузы, находящиеся в каждом пункте отправления, должны быть вывезены. Вторая подсистема (3) в системе ограничений указывает на то, что потребности каждого пункта назначения должны быть удовлетворены.

Третье (4) и четвертое (5) условия в системе ограничений учитывают, что количество единиц груза, перевозимых из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения, - величина неотрицательная и целая.

Определение 1. Решение транспортной задачи, определяемое матрицей Х = ( х

Iу), / = 1, 2, ..., т; j = 1, 2, ..., п, удовлетворяющее системе ограничений (2) - (4),

называется опорным планом транспортной задачи.

Определение 2. Опорный план

X ~ = (х и

) ,1 = 1, 2, ... , т; j = 1, 2, ... , п , при

котором целевая функция (1) принимает минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Если суммарный объем грузов, находящихся в пунктах отправления, равен сум-

т п

марному объему грузов, необходимых пунктам назначения, т. е. X а = X Ь , то такая

г = 1 У = 1

модель называется сбалансированной транспортной моделью.

В реальных условиях не всегда суммарные запасы в пунктах отправления равны суммарным потребностям пунктов назначения. В этом случае необходимо сбалансировать транспортную модель.

Так, если суммарное количество единиц груза в пунктах отправления превышает суммарное количество единиц груза, необходимых пунктам назначения, т. е.

т п

X а > X Ь , то вводят фиктивный пункт назначения В п +1 , потребности которого Ь п

г=1

]=1

+1 принимают равными избытку грузов в пунктах отправления, т. е. Ьп +1 = X а _ X Ь

г = 1 1 У = 1

, а стоимости перевозок единицы груза из каждого пункта отправления А ] , / = 1, 2, ... т в пункт назначения В п +1 полагают равными нулю, т. е. с i, п +1 = 0, / = 1, 2, ..., т. Матрица стоимости в этом случае имеет вид

С =

С11 С12

С21 С22

\ С ,

V т 1

с.; п 0 С2 п 0

с 0 ,

т п у

Если суммарное количество единиц груза в пунктах отправления меньше суммарного количества единиц груза, необходимых пунктам назначения, т. е.

т п

X а < X Ь , то вводят фиктивный пункт отправления А т +1 , запасы которого а т +1

г = 1

У=1

п т

полагают равными дефициту грузов в пунктах отправления, т. е. а т +1 = X Ь - X а ,

У=1 г=1

а стоимости перевозки единицы груза из данного пункта отправления А т +1 в каждый

т

п

С

2

т

пункт назначения B j, j = 1, 2, ... , n полагают равными нулю, т. е. c m +1, j = 0, j = 1, 2, ... , n.

В этом случае матрица стоимости имеет вид:

C =

ci1 ci 2

С21 C22

Cm 1 Cm2

0

0

-1 n

'2 n

c

m n 0

m

Система ограничений (2) - (3) транспортной задачи содержит m + п уравнений с п неизвестными.

Сложим левые и правые части уравнений подсистемы (2), а также левые и правые части уравнений подсистемы (3). В результате получим два уравнения, левые части которых равны

т п т

I = таг, (6)

г=1} =1 г=1

n m n

j=li=1 j=1

(7)

Если транспортная модель сбалансирована, т. е. I аг = IЬ-, то правые части

г = 1 ] = 1

уравнений (6) и (7) равны. Таким образом, получаем два одинаковых уравнения.

Наличие в системе ограничений двух одинаковых уравнений говорит о ее линейной зависимости. Если одно из уравнений системы ограничений исключить, то она будет содержать m + п - 1 линейно независимых уравнений. Количество линейно независимых уравнений в системе ограничений определяет ее ранг, а, следовательно, количество базисных переменных в опорном плане транспортной задачи. Таким образом, количество базисных переменных в опорном плане сбалансированной транспортной задачи равно m + п - 1 , а количество свободных переменных равно m ■ п - ( m + п - 1).

Решение транспортной задачи удобнее выполнять, используя транспортную таблицу, строки которой соответствуют пунктам отправления (ПО), а столбцы - пунктам назначения (ПН) (таблица 1).

В правом столбце транспортной таблицы указывают количество грузов ai, находящихся в пункте отправления Ai , / = 1, 2, ..., т, в нижней строке - количество грузов Ь j , необходимых пункту назначения B j , j = 1, 2, ..., п.

В каждой клетке таблицы записывают значение стоимости перевозки единицы груза c i j из пункта отправления A i , / = 1, 2, ..., т в пункт назначения B j , j = 1, 2, ..., п (в правом верхнем углу), а также соответствующее значение количества единиц перевозимого груза x i j .

25 Modern European Researches No 1 (Т.1) / 2022 Таблица 1 - Транспортная таблица

ПН ПО ^^^^ B i B 2 B n Запасы грузов в ПО о 1

А 1 С 11 X 11 c 1 2 X 1 2 c 1 n x 1 n 01

А 2 С 2 1 X 2 1 c 2 2 X 2 2 С 2 n X 2 n а2

А т С m 1 x m 1 С m 2 X m 2 С m n X m n а т

потребности ПН Ь } b 1 b 2 b n Л II о* S Hi

Значение свободной переменной х 1 ] полагают равной нулю и соответствующую ей клетку транспортной таблицы оставляют незаполненной. Для невырожденного опорного плана транспортной задачи количество заполненных клеток транспортной таблицы должно быть равно т + п - 1, что соответствует количеству базисных переменных.

Рассмотрим следующую задачу.

В районе землетрясения оказалось три населенных пункта В1, В 2 и В 3 с поврежденными водопроводами. Суточные потребности этих населенных пунктов в питьевой воде соответственно равны 20 тысячам тонн, 30 тысячам тонн, 20 тысячам тонн. Для обеспечения этих населенных пунктов водой организованы два пункта водоснабжения А1 и А 2 , суточные запасы воды в которых составляют 40 тысяч тонн и 30 тысяч тонн соответственно. Стоимости перевозки 1 тысячи тонн воды (в условных единицах) из каждого пункта водоснабжения в каждый населенный пункт задаются матрицей стоимости

С =

г3 2 6Л v1 4 3У

Необходимо составить такой план доставки питьевой воды в населенные пункты, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальными.

Обозначим через х 1 ^ , 1 = 1, 2;] = 1, 2, 3 количество питьевой воды, доставляемой из пункта водоснабжения А1 в населенный пункт В^ , через с 1 ^ стоимость перевозки 1 тысячи тонн питьевой воды (в условных единицах) из пункта А 1 в пункт В^ , через а 1 суточный запас воды в пункте А1 , а через Ь^ суточную потребность пункта В^.

По условию задачи суммарный суточный запас воды в пунктах водоснабжения равен 70 тысячам тонн, суммарная суточная потребность населенных пунктов в питьевой воде равна 70 тысячам тонн. Таким образом, суммарный суточный запас питьевой воды в пунктах водоснабжения равен суммарной суточной потребности населен-

2 3

ных пунктов, т. е. X а = X ^ и, следовательно, транспортная модель является сба-

i=1 У=1

лансированной.

26 Modern European Researches No 1 (Т.1) / 2022 Решение транспортной задачи является метода потенциалов

Одним из методов решения транспортной задачи является метод потенциалов. Рассмотрим алгоритм этого метода и покажем его применение на примере рассматриваемой задачи доставки питьевой воды из пунктов водоснабжения в населенные пункты.

При этом будем использовать первоначальный опорный план, построенный методом северо-западного угла (таблица 2) [3].

Количество заполненных клеток транспортной таблицы получилось равным 4, что соответствует необходимому количеству базисных переменных

m + n -1 = 2 + + 3 - 1 = 4 , а стоимость полученного плана перевозки питьевой воды составила

z = 3 • 20 + 2 • 20 + 4 • 10 + 3 • 20 = 200 (условных единиц).

Таблица 2 - Первоначальный опорный план доставки питьевой воды, построенный методом северо-западного угла

^^ ПН ПО ^^^^ Bi B2 B3 Запасы грузов в ПО a i

A1 - 3 20— + 2 __20 6 40

A2 + \ 1 -J 4 10 3 20 30

потребности ПН b j 20 30 20 == м 0

Алгоритм метода потенциалов решения транспортной задачи 1. Построение системы потенциалов.

1.а. Введение обозначений потенциалов пунктов отправления и назначения. Обозначают

через и 1 потенциалы пунктов отправления А 1 , / = 1, 2, ... , т ; через V- потенциалы пунктов назначения В- , ] = 1, 2, ... , п. В рассматриваемой задаче обозначим потенциалы: пунктов водоснабжения: А1 - и1 , Аг - иг ; населенных пунктов: В1 - VI , Вг - vг , Вз - vз . 1.б. Определение потенциалов пунктов отправления и назначения. Для заполненных клеток транспортной таблицы составляют уравнения вида

и 1 + V,- = с 1, .

В результате получают систему из т + п - 1 уравнений с т + п неизвестными. Для однозначного определения неизвестных потенциалов нужно присваивают одному из них произвольное значение (обычно и1 = 1 или и1 = 0) и тогда, решая полученную систему уравнений, находят остальные потенциалы. В рассматриваемой задаче имеем

Г и1 + V1 = 3,

I и1 + vг = 2,

{ иг + Vг = 4, { иг + vз = 3 .

Полагая и1 = 1 , находим значения потенциалов

и2 = 3, У1 = 2, У2 = 1, У3 = 0 .

2. Проверка на оптимальность опорного плана транспортной задачи. 2.а. Определение косвенной стоимости перевозок единицы груза из пунктов отправления в пункты назначения.

Для незаполненных клеток транспортной таблицы составляют уравнения вида

и 1 + У = ,

г .

где с- косвенная стоимость перевозки единицы груза из пункта отправления А 1 в

пункт назначения В ] . Подставив в эти уравнения значения потенциалов, найденных в пункте 1.б., вычисляют значения косвенных стоимостей с.

В рассматриваемой задаче с\] - косвенная стоимость перевозки 1 тысячи тонн

питьевой воды из пункта водоснабжения А1 в населенный пункт В] . Для незаполненных клеток транспортной таблицы 2 имеем

и1 + У3 = с 13 , и2 + У1 = с '21 .

Подставляя в эти уравнения значения найденных потенциалов, находим косвенные стоимости

с '13 = 1 + 0 = 1 , с' 21 = 3 + 2 = 5.

2.б. Определение оценки у 1 ] для свободных переменных х 1 ] . Для незаполненных клеток транспортной таблицы находят значение коэффициента у 1 ] , равного разности стоимости и косвенной стоимости перевозки единицы груза из пункта отправления А1 в пункт назначения В ]

у 1 ] = с 1 ] - с \] .

Если все коэффициенты у 1 ] неотрицательны, то построенный опорный план перевозок является оптимальным. В противном случае его необходимо улучшить. В рассматриваемой задаче

у 13 = С13 - с'13 = 6 - 1 = 5;

'13 ' 21

у 21 = С21 - с '21 = 1 - 5 = - 4

Поскольку коэффициент у 21 < 0 , то построенный план доставки питьевой воды не является оптимальным. Поэтому его необходимо улучшить.

3. Построение нового опорного плана перевозок грузов.

Если построенный опорный план не является оптимальным, то для его улучшения необходимо перераспределить перевозки грузов из пунктов отправления в пункты назначения, что можно сделать следующим образом.

3.а. Построение цикла пересчета перевозок грузов.

В транспортной таблице отмечают знаком « + » клетку, которой соответствует отрицательный коэффициент у ij (если отрицательных коэффициентов у ij несколько, то выбирают меньший). Затем в заполненных клетках транспортной таблицы расставляют знаки « + » и « - » так, чтобы количество знаков « + » и « - » в каждой строке и каждом столбце было одинаковым. В результате получают цикл пересчета.

Цикл пересчета может иметь различную конфигурацию, даже пересекающуюся. Но при этом вариант его построения единственнный.

Знак « + » в какой-либо клетке таблицы указывает на то, что значение перевозки в этой клетке нужно увеличить, а знак « - » - на то, что значение перевозки в этой клетке нужно уменьшить.

3.б. Определение величины перераспределения груза.

Из значений перевозок в клетках транспортной таблицы, отмеченных знаком « - », выбирают минимальное. Полученная величина, которую обозначим буквой М , определяет, сколько единиц груза можно перераспределить по найденному циклу пересчета.

3.в. Перераспределение перевозок грузов.

К значениям перевозок в клетках транспортной таблицы, отмеченных знаком « + », добавляют М , а из значений перевозок в клетках, отмеченных знаком « - », вычитают М. Полученные результаты записывают в соответствующие клетки новой транспортной таблицы.

Значения перевозок из остальных клеток переписывают в новую транспортную таблицу без изменения.

Если при вычитании из значения перевозки величины М получается нулевая перевозка, то ее не записывают в соответствующую клетку транспортной таблицы. Если при вычитании нулевая перевозка получается для нескольких клеток, то только одну из них оставляют незаполненной, а в остальные записывают явно 0, считая соответствующие этим клеткам переменные x i j базисными. Таким образом, в новой транспортной таблице количество заполненных клеток будет равным m + n - 1.

В результате перераспределения перевозок грузов получают новый опорный план транспортной задачи.

Найдем новый опорный план перевозок в рассматриваемой задаче доставки питьевой воды из пунктов водоснабжения в населенные пункты.

Для этого вначале построим цикл пересчета перевозок воды, используя транспортную таблицу 2. Поскольку коэффициент у 21 < 0, то в соответствующую клетку таблицы 2 отмечаем знаком « + ». Затем в заполненных клетках расставляем знаки « + » и « - » по указанному выше правилу. В результате получаем цикл пересчета (в таблице 2 показан пунктирной линией).

Далее из перевозок, находящихся в клетках, отмеченных знаком « - », выбираем минимальную перевозку: М = min { 20 , 10 } = 10.

Теперь перераспределяем перевозки питьевой воды, для чего к значениям перевозок, находящихся в клетках таблицы 2, отмеченных знаком « + », добавляем М , равное 10 тысячам тонн питьевой воды, а из значений перевозок, находящихся в клетках, отмеченных знаком « - », вычитаем М. Значения перевозок в остальных клетках транспортной таблицы оставляем без изменения. Полученные результаты записываем в новую транспортную таблицу (таблица 3).

Суммарная стоимость полученного плана доставки питьевой воды составляет z = 3 • 10 + 2 • 30 + 1 • 10 + 3 • 20 = 160 (условных единиц).

29 Modern European Researches No 1 (Т.1) / 2022 Таблица 3 - Опорный план доставки питьевой воды

^^ ПН ПО Bi B2 B3 Запасы грузов в ПО a i

д 1 3 10 2 30 6 40

A2 1 10 4 3 20 30

потребности ПН b j 20 30 20 == м 0

Проверим на оптимальность новый опорный план описанным выше способом.

1.б. Для заполненных клеток транспортной таблицы 3 составляем уравнения вида и i + у = с i- :

Г и1 + VI = 3, I и1 + VI = 2,

{ и2 + VI = 1 ,

{ и2 + Уз = 3 . Полагая и1 = 1 , находим значения потенциалов

и2 = - 1 , VI = 2, У2 = 1, Уз = 4 .

2.а. Для незаполненных клеток транспортной таблицы 7 составляем уравнения вида и I + у, = с'

ij •

и1 + Уз = с 13 , и2 + У2 = С' 22 .

Подставляя в эти уравнения значения найденных потенциалов, находим косвенные стоимости

с\з = 1 + 4 = 5 ,

с 22 = - 1 +1 = о.

2.б. Для незаполненных клеток транспортной таблицы 3 находим значение ко-

г

Ч :

эффициента у i j = c i j - d

Y13 = ci3 - c'13 = 6 - 5 = 1;

у 22 = С21 - с 22 = 4 - 0 = 4 .

Поскольку все коэффициенты у I - положительны, то построенный опорный план доставки воды является оптимальным.

Таким образом, оптимальным решением рассматриваемой задачи о доставке питьевой воды из пунктов водоснабжения в населенные пункты является план

г 10 30 0 Л

v10 0 20J

при котором суммарная стоимость доставки питьевой воды минимальна и равна 160 условным единицам.

Согласно оптимальному плану из пункта водоснабжения А1 необходимо доставить в населенный пункт В1 10 тысяч тонн и в населенный пункт Вг 30 тысяч тонн питьевой воды, из пункта водоснабжения Аг в населенный пункт В1 10 тысяч тонн и Вз г0 тысяч тонн питьевой воды.

Заключение

Построенный при решении транспортной задачи первоначальный опорный план не всегда является оптимальным. В этом случае его необходимо улучшить.

Для проверки оптимальности опорного плана транспортной задачи и его улучшения может быть использован, например, метод потенциалов. Этот метод позволяет построить план грузоперевозок, при котором суммарная их стоимость будет минимальной при заданных ограничениях.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учебник для ВУЗов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 440 с.

2. Там же.

3. Бахтиярова О.Н., Птицына И.В. Некоторые методические аспекты изложения темы «Построение первоначального опорного плана транспортной задачи» // Modern European Researches. - Salzburg, 2021. - Т. 1. № 2. - P. 18-26.

Olga N. Bakhtiyarova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow olga-bakh06@mail.ru Inga V. Ptitsyna,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow inpt@mail.ru Marina I. Podzorova,

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after

N.E. Bauman, Moscow

marinatichomirova@hotmail.com

Some methodological aspects of the presentation of the topic: "Solution of the transport problem by the method of potentials"

Abstract. One of the main topics in the study of the discipline "Game Theory and Оperations Research" is the "Transport problem". The article discusses the formulation of the transport problem, its mathematical model, and describes the method of potentials for solving the transport problem. The purpose of the work: to illustrate the features of the method of solving the transport problem in order to obtain its optimal solution.

Keywords: departure point, destination point, freight transportation, unit freight cost, the reference plan of the transport task, the optimal plan of the transport task.