CC BY
25
УДК 626.74:626.142.2
Еналеева - Бандура И.М.
Старший преподаватель кафедры промышленного транспорта и строительства СибГТУ
ПОСТРОЕНИЕ ОПОРНОГОПЛАНА ПЕРЕВОЗОК МЕТОДОМ ИЗНАЧАЛЬНОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ
Аннотация
В статье рассмотрена постановка транспортной задачи, цель применения транспортной задачи в перевозочном процессе, приведен анализ опорных решений к транспортной задаче, предложен новый метод построения опорного плана перевозок, доказаны его преимущества.
Ключевые слова: транспортная задача, итерация, опорное решение, оптимизация. Keywords: a transport problem, iteration, the basic decision, optimization.
ВВЕДЕНИЕ
Транспортная задача - это задача о наиболее экономичном плане перевозок однородных или взаимозаменяемых грузов из пунктов производства в пункты потребления, другими словами, это задача об оптимальном прикреплении потребителей к поставщикам. Транспортная задача является одной из важнейших частных задач линейного программирования. Специфические методы ее решения проще общей задачи. Название свое задача получила потому, что впервые была сформулирована и поставлена для решения вопроса о наиболее рациональном планировании перевозок на транспорте. Первым шагом в решении транспортной задачи является построение опорного плана перевозок.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
Целью транспортной задачи является сокращение затрат на транспортировку либо временного интервала на доставку продукции между потребителем и производителем. Исходя из выявленной проблемы, то есть снижение доли транспортной составляющей, задачей данной статьи является разработка наиболее адекватной модели перевозочного процесса.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В целях данного исследования рассмотрим классическую однопродуктовую транспортную задачу, как интегрированную транспортно - логистическую сеть.
Пусть имеется n поставщиков однородной продукции (присвоим им имена - ai) и m потребителей этой продукции (bj). Каждый поставщик может поставлять свою продукцию любому из потребителей. Известны затраты CiJ на перевозку единицы продукции от каждого поставщика к каждому потребителю. Необходимо так распределить перевозки, чтобы суммарные затраты были минимальными. Элементы решения - Хj количество продукции, перевозимой от каждого поставщика к каждому потребителю. Обозначим через Ai возможности поставщиков и через Bj потребности потребителей. Построим опорное решение транспортной задачи методом относительной оборачиваемости и докажем его преимущества.[6]
Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого вектор-условия, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.
Ввиду того, что ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен m+n-1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат более m+n-1. Число
отличных от нуля координат невырожденного опорного решения равно т+п-1,а для вырожденного опорного решения меньше т+п-1
Любое допустимое решение транспортной задачи можно записать в ту же таблицу, что и исходные данные. Клетки таблицы транспортной задачи, в которых находится отличные от нуля или базисные нулевые перевозки, называются занятыми, остальные -незанятыми или свободными. Клетки таблицы нумеруются так, что клетка, содержащая перевозку ху , т.е. стоящая в ьй строке и j-м столбце, имеет номер (у). Каждой клетке с номером (у) соответствует переменная Ху , которой соответствует вектор-условие Ау .
Для того чтобы избежать трудоемких вычислений при проверке линейной независимости вектор-условий, соответствующих положительным координатам допустимого решения, вводят понятие цикла. Циклы также используются для перехода от одного опорного решения к другому.
Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи ОуО, (^2), ^2^2), ... , ОуО, в которой две и только две соседние клетки расположены в одной клетке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.
Цикл изображают в таблице транспортной задачи в виде замкнутой ломаной линии. В любой клетке цикла происходит поворот звена ломаной линии на 900.
Для того чтобы система векторов-условий транспортной задачи были линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы из соответствующих клеток таблицы можно было выделить часть, которая образует цикл.
Доказательство. Необходимость. Пусть система, состоящая из п векторов
А'1 Л’ АЬ }2, А*2 j2’•••’ линейно зависима. Тогда существует такой ненулевой набор
чисел 12,•••, 1п, что справедливо равенство
1 1Л Л + 1 2 А1, ^ + 1 3 Д'2 j2 + ... + 1 п4кЛ = 0 . (1)
Пусть 11 * 0. Вектор j1 имеет две равные единице координаты с номерами г1
и т+ j1, остальные координаты равны нулю. В равенство (1) должен также входить вектор, у которого одна из этих координат равна единице и который следует умножить на коэффициент -11, чтобы обеспечить равенство нуля этой координаты в линейной
комбинации векторов. Пусть таким вектором будет вектор Аг1jг . Однако он имеет, кроме
того, координату с номером т+ j2, равную единице. Следовательно, в равенство (1) должен также входить вектор с такой же единичной координатой и т.д.[2]
В выбранной подобным образом последовательности векторов должен найтись
вектор Aikjl , у которого второй индекс совпадает со вторым индексом первого вектора. Данной последовательности векторов соответствует совокупность клеток таблицы транспортной задачи ОуО, (^2), ^2), ... , ОуО, которая образует цикл.
Достаточность. Пусть из соответствующих векторов А,у клеток (у) выбрана последовательность клеток, образующих цикл ОуО, (^2), (І2,j2), ..., ОуО. Нетрудно гадетц что Ачл - А1иг + А^ - ....- А1кЛ = 0 .
Отсюда следует линейная зависимость рассматриваемой системы векторов. Теорема доказана полностью.
Следствие. Допустимое решение транспортной задачи Х=( х,у- ), i=l, 2, 3, ..., т, j=1, 2, ., п является опорным тогда и только тогда, когда из занятых им клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла. [6]
Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика. Метод минимальной стоимости, как и метод северозападного угла, состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости т1п {сц }, и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую т1п{с#' }, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. При определении опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля на каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают минимальную. В строке (или столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации. Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными тарифами, находящимися в данном столбце (строке). Существуют и другие методы, в статье приведены только самые распространенные, но и они не увязывают в себе трех параметров, отражая зависимость цены только от объема, реже от расстояния. [6]
Переход от одного опорного плана перевозок к другому называется итерацией, то есть изменением, которое осуществляется посредством определенных методик. Одним из самых распространенных способов оптимизации является метод Данцинга. Стоит отметить что, если при данном методе оптимизации все Ащ = и1 + Vi - С < 0, то выбранный план оптимален.
Если же нашлось Акр > 0, то план не оптимален и подвергается перестройке к плану с ненулевым значением соответствующей компоненты. Полагаем Хкр= 0 >0 и ищем т.н. минимизирующую цепочку по базису так, чтобы новый набор значений Ху удовлетворял требованиям предложения и спроса. Затем выбираем максимальное допустимое 0, сохраняя неотрицательность компонент нового плана.
В литературе при рассмотрении транспортных задач часто упоминается "метод потенциалов". Здесь вместо условий ищ+^ < Сщ рассматриваются эквивалентные условия в форме -Ц+^ < Су, выполняющиеся для положительных перевозок оптимального плана в форме равенства. В результате множественных переходов от одного опорного плана к другому, транспортная задача, особенно в случае если она большой размерности, неизбежно претерпевает зацикливание, поэтому необходимо разработать такой метод, который бы давал возможность сокращения числа итераций до минимума.
Пусть, транспортная задача поставлена следующим образом (таблица 1):
Таблица 1 - Исходная матрица
Пункты отправления Пункты назначения Запасы
В1 В2 В3 В4
А1 7 8 1 2 160 140 170 470
А2 4 5 9 8
А3 9 2 3 6
Потребности 120 50 190 110
В данном случае, исходная матрица начинает заполняться следующим образом, по диагонали исходной матрицы, как показано в таблице 1, отмечаются клетки с наибольшей ценой реализации, они являются разрешающими для проведения изначальной оптимизации, прерогатива выбора угла диагонали является наибольшая цена реализации лесопродукции. Для проведения изначальной оптимизации строится система уравнений, согласно методу потенциалов, по формуле:
Су +иу - VI) = 0 (2)
Из построенной системы уравнений находятся значения потенциалов иу и Уу, в данном случае потенциал Уу является предельной ценой 1м3 лесопродукции, которую согласен оплатить поставщик. В приведенном примере (таблица 1) при построении разрешающей диагонали проявился недостаток клеток для построения системы уравнений, целесообразно, взять нужную клетку в той строке, где заканчивается разрешающая диагональ, соответственно, выбирается клетка с наибольшим значением цены реализации. Затем строится производная от исходной матрицы, в которой отображены теневые цены каждой клетки, они определяются путем вычитания Уу соответствующего столбца из цены каждой клетки в этом же столбце. Например, цена реализации в клетке хп= 7 у.е., при значении предельной цены У1 = 7, теневая цена перевозки равна нулю.
Таблица 2 - Преобразованная исходная матрица
Пункты отправления Пункты назначения Запасы
В1 В2 В3 В4
А1 0 0 -4 -2 160
А2 -3 -3 4 4 140
А3 2 -6 -2 2 170
Потребности 120 50 190 110 470
Опорный план перевозок основан на распределении лесопродукции от поставщиков к потребителям изначально в клетки с наибольшим отрицательным значением теневой цены.
Распределение объемов перевозок, согласно предложенному методу, приведено в таблице 3.
Таблица 3 - Опорный план перевозок, пост роенный методом изначальной оптимизации
Пункты отправления Пункты назначения Запасы
В1 В2 В3 В4
А1 0 0 160 0 160
А2 120 0 0 20 140
А3 0 50 30 90 170
Потребности 120 50 190 110 470
ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Достоинством разработанного метода, можно считать то, что он наиболее приближает полученный план перевозок к оптимальному, что значительно упрощает расчеты. Разработанный метод призван обеспечить минимальный объем итераций, что позволит транспортной задаче большой размерности избежать зацикливания.
ВЫВОДЫ
Разработанный метод построения опорного плана перевозок к транспортной задаче позволит данной модели стать более адаптированной к итерационному зацикливанию, что позволит использовать ее, как и для классической однопродуктовой задачи большой размерности, так и для транспортной задачи в сетевой постановке и для производственно - транспортной многопродуктовой динамической задачи в дискретной постановке на минимум затрат.
Литература
1. Скурихин В.И. Моделирование и оптимизация лесопромышленных производств. Общие задачи линейного программирования: Методические указания и задания к практическим работам для студентов специальности 260100 (250401) «Лесоинженерное дело» во всех формах обучения.- Красноярск: СибГТУ, 2006-.26с.
2. Ардатова М.М. Логистика в вопросах и ответах: Учеб. Пособие. -М: ТК Велби, Изд - во Проспект, 2004.
3. Перевозка экспортно-импортных грузов. Организация логистических систем. 2-е изд. доп. и перераб. / Под ред. А.В. Кириченко. СПб.: Питер, 2004.-506с.
4. Шапиро Дж. Моделирование цепи поставок / Пер. с англ. под ред. В. С. Лукинского СПб.:Питер, 2006.—720с: ил. - (Серия «Теория менеджмента»)
5. Редькин А.К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок. М., 1988. 256с.
