CC BY
146
УДК 519.852.33
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА С ВЫРОЖДЕННЫМ
ОПОРНЫМ ПЛАНОМ
А.Н. Шелковой
В статье рассматриваются особенности нахождения оптимального плана транспортной задачи, когда на этапе нахождения опорного плана или при определении оптимального плана методом потенциалов возможно получение вырожденного опорного плана. Показаны преимущества нахождения оптимального плана транспортной задачи методом дифференциальных рент. Решение задачи методом дифференциальных рент иллюстрируется на конкретном примере
Ключевые слова: вырожденный опорный план, условно-оптимальное распределение, минимальный тариф, промежуточная рента, нулевой нераспределённый остаток, оптимальный план транспортной задачи
Данная работа является продолжением статьи автора «Обобщённый алгоритм метода дифференциальных рент нахождения оптимального плана транспортной задачи», опубликованной в ([3]).
В прикладных экономических задачах транспортного типа часто при определении опорного плана одним из известных методов (северозападного направления, минимального элемента, аппроксимации Фогеля и др.) или при нахождении оптимального плана методом потенциалов возможно получение вырожденного опорного плана.
Напомним (см., например, [1]. С.130), что план является невырожденным, если в опорном плане имеется точно n+m-1 ненулевых элементов, и вырожденным, если их меньше. Здесь п - число потребителей, m - число поставщиков.
Чтобы избежать в случае вырожденного опорного плана зацикливания, при решении задачи методом потенциалов, нужно вместо соответствующих компонент опорного плана, равных нулю, записать сколь угодно малое положительное число е и находить решение задачи как для невырожденного случая ([1]. С.144). Когда в такой задаче будет получен оптимальный план, то в нём нужно заменить е нулём. Однако, эти искусственные приёмы усложняют решение задачи в вычислительном аспекте. Более простым представляется решение транспортной задачи в этом случае не методом потенциалов, а методом дифференциальных рент ([1. С.150-155], [2. С.170-182]).
Изложим алгоритм метода дифференциальных рент согласно работе [3], которая является обобщением идей, изложенных в [1] и [2].
Определяя оптимальный план транспортной задачи, используя метод дифференциальных рент, вначале как можно более лучшим образом распределяют между потребителями часть поставок (так называемое условно оптимальное распределение) и на следующих шагах поэтапно сокращают общее количество нераспределённого груза. Исходное распределение поставок находят следующим образом. Во всех столбцах транспортной таблицы ищут наименьший элемент. Если в столбце несколько
Шелковой Александр Николаевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. 8(473) 246-42-22
одинаковых тарифов, то отмечают только один, причём безразлично какой, наименьший элемент. Полученные значения обводят кружками, а клетки с этими
числами, заполняют. В них заносят максимально возможные значения. Если к моменту очередной поставки исчерпаны запасы соответствующего поставщика или удовлетворён спрос соответствующего потребителя, то в соответствующую клетку записывают нулевую поставку. В итоге получается какое-то распределение поставленного потребителям груза. Оно в общем случае не удовлетворяет системе ограничений первоначальной транспортной задачи. Поэтому в результате следующих итераций нужно поэтапно уменьшать нераспределённые поставки груза так, чтобы при этом суммарная стоимость перевозок груза оставалась наименьшей. Для этого вначале определяются избыточные (положительные) строки, то есть строки, соответствующие поставщикам, запасы которых полностью распределены, а потребности пунктов назначения, связанных с данными потребителями запланированными поставками, не удовлетворены, и недостаточные (отрицательные) строки, то есть строки, запасы которых исчерпаны не полностью.
После определения положительных и отрицательных строк, в каждом столбце определяют разности между значением в кружке и самым близким к нему тарифом, записанным в положительной строке. Если значение в кружке находится в избыточной строке, то разность не определяется. Среди полученных значений определяют минимальное, которое называется промежуточной рентой. После её нахождения переходят к новой таблице. Она получается из предыдущей прибавлением к соответствующим элементам, стоящим в недостаточных строках, промежуточной ренты. Другие тарифы не изменяются. При этом все клетки новой таблицы считают свободными. После получения новой таблицы заполняют её клетки. Теперь число заполняемых клеток будет на одну больше, чем на предыдущей итерации. Эта дополнительная клетка находится в столбце с промежуточной рентой. Все остальные клетки находятся по одной во всех столбцах и в них занесены для данного столбца значения, обведённые кружками. Обведены кружками и два одинаковых значения, находящиеся в столбце, в кото-
ром в предыдущей таблице была записана промежуточная рента.
Так как в новой таблице количество заполняемых клеток больше, чем количество столбцов, при заполнении клеток пользуются следующим правилом. Берут некоторый столбец (строку), в котором имеется одна клетка с находящимся в ней кружком. Её заполняют и не рассматривают дальше этот столбец (строку). Затем выбирают какую-то строку (столбец), где имеется одна клетка с размещённым в ней кружком. Данную клетку заполняют и не рассматривают далее эту строку (столбец). В [2] предлагается другой способ: сначала просматривать все столбцы, а затем строки, или, наоборот, сначала строки, а потом столбцы. Продолжая таким образом, после конечного количества итераций заполняют все клетки, в которых размещены кружки с находящихся в них числами. Если при этом получается распределить весь груз, который имеется у поставщиков, между потребителями, то получают оптимальный план транспортной задачи. Если же оптимальный план не получен, то переходят к новой таблице. Для этого определяют положительные и отрицательные строки и переходят к новой таблице. При этом могут возникнуть определённые трудно-
сти при определении знака строки с нулевым нераспределённым остатком. При этом строка считается избыточной, если вторая заполненная клетка, находящаяся в столбце, связанном с данной строкой ещё одной заполненной клеткой, размещена в избыточной строке. Если данная строка с нулевой оценкой поставщика минимальными себестоимостями связана одновременно с отрицательной и положительной строками, то в таком случае для определения знака строки (знака при нуле) необходимо мощность соответствующего этой строке поставщика несколько увеличить (например, на единицу) и распределить поставки заново (мысленно, без записи в таблицу). Если при этом распределении суммарный объём поставок по таблице в целом не изменится, поставщик считается избыточным, а строка положительной. Если же объём поставок увеличится, поставщик считается недостаточным, а строка отрицательной.
После конечного количества описанных выше шагов нераспределённый остаток станет нулевым. В итоге находят оптимальный план данной транспортной задачи.
Пример. Для транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице, найти оптимальный план.
Таблица 1
Пункты отправления (Аі) Пункты назначения (Д) Запасы (аі)
В1 В2 Вэ В4
А1 6 4 9 5 400
А2 5 7 8 6 300
А3 9 4 6 7 200
Потребности ф) 150 250 150 350 900
Опорный план этой задачи, найденный методом минимального тарифа, имеет вид:
' 0 50 0 350^
X = 150 0 150 0
0 200 0 0
V у
В данном случае число ненулевых элементов равно 5, т.е. не равно n+m-1=4+3-1=6, поэтому опорный план является вырожденным. Решим задачу методом дифференциальных рент.
Решение данного примера представим в виде последовательности таблиц.
Перейдем от табл. 1 к табл. 2, присоединив один новый столбец для указания избытка и недо-
статка по строкам и одну строку для записи соответствующих разностей.
Во всех столбцах табл. 2 определяем наименьшие элементы и обводим их кружками. Заполняем клетки, в которых размещены эти значения. Для этого в каждую из клеток заносим максимально возможное значение. В результате заполнения клеток табл. 2 получен так называемый условно оптимальный план, согласно которому полностью удовлетворены потребности потребителей В1, В2, В3, частично - потребителя В4. При этом полностью распределены запасы поставщика А1, частично - поставщиков А2 и А3.
Таблица 2
После получения условно-оптимального плана определяем положительные и отрицательные строки. Здесь отрицательной является строка А1, так как запасы поставщика А1 полностью израсходованы, а запросы потребителя В4 не удовлетворены. Величина недостатка равна 200 единицам.
Строки А2 и А3 являются положительными, так как запасы поставщиков А1 и А3 израсходованы не полностью. При этом величина избытка строки А2 равна 150 единицам, а строки А3 - 50 единицам. Суммарное количество избытка 150+50=200 совпадает с суммарным количеством недостатка, которое равно 200.
После определения положительных и отрицательных строк во всех столбцах определяем разности между наименьшими тарифами, расположенными в положительных строках, и тарифами, стоящими в заполненных клетках. Для столбцов В1 и В3 разность не определена, так как числа, записанные в кружках в данном столбце, находятся в положительных строках.
Берём минимальную из полученных разностей, являющейся промежуточной рентой. В нашем случае она равна 0. Переходим к новой таблице, прибавив к тарифам строки А2 промежуточную ренту (в данном случае их значения не изменятся).
В табл. 3 число заполняемых клеток увеличилось на одну. Это связано с тем, что число
Анализируя табл. 3, заключаем, что ещё имеется нераспределённый остаток. Значит, получен условно оптимальный план задачи, и необходим переход к новой таблице. Для этого по всем столбцам определяем разности между числом, обведённым кружком в данном столбце, и минимальным по отношению к нему значением, расположенным в положительных строках (табл. 3). Среди этих разностей минимальная равна 1. Она и является промежуточной рентой. Переходим к новой таблице (табл. 4).
наименьших тарифов, размещённых во всех столбцах этой таблицы, увеличилось на единицу, а именно в столбце В2 теперь расположены два наименьших значения 4. Эти значения обводим кружками; клетки, в которых они размещены, нужно заполнить. Надо заполнить и клетки, в которых стоят минимальные для других столбцов тарифы. Это клетки таблицы 3, в которых соответствующие тарифы обведены кружками. После определения этих клеток, устанавливаем очерёдность, с которой они будут заполняться. Определив и заполнив некоторую клетку, не используем далее соответствующий столбец (строку) и переходим к заполнению следующей клетки. В данном случае заполнение клеток проводим в следующей очерёдности. Вначале заполняем клетки А2В1, А3В3 и А1В4, так как они являются единственными клетками для заполнения в столбцах В1, В3 и В4, и вычеркиваем из рассмотрения эти столбцы. После заполнения указанных клеток заполняем клетки А1В2 и А3В2, так как они являются единственными для заполнения в строках А1 и А3.
После заполнения клеток устанавливаем избыточные и недостаточные строки. Нераспределённый остаток третьей строки равен нулю. Так как вторая заполненная клетка, расположенная в столбце В2, связанном со второй строкой еще одной заполненной клеткой, находится в отрицательной строке, то строка А3 считается отрицательной.
В новой таблице элементы строк А1 и А3 получены в результате прибавления к соответствующим значениям строк А1 и А3 (которые являются отрицательными) табл. 3 промежуточной ренты, то есть 1.
Определяем клетки с минимальными тарифами и заполняем их. Сначала заполняем клетки А2Вь А3В3, затем А2В4, А3В2, А^2, А1В4 (в указанной последовательности). В итоге все имеющиеся запасы пунктов отправления распределяются в соответствии с фактическими запросами потребите-
Таблица 3
лей. Значит, найден оптимальный план исходной транспортной задачи:
( 0 200 0 200^
X =
150 0 0 150
ч0 50 150 0 0
Тот же результат можно получить, если решать эту задачу методом потенциалов, однако решение задачи в этом случае в вычислительном плане будет более сложным. Во-первых, нужно предварительно определять опорный план; во-вторых, т. к. он получился вырожденным, требуется
искусственно вводить в одну из клеток транспортной таблицы нулевую поставку; в-третьих, строить цикл и производить перемещение груза по циклу; в-четвёртых, решать системы линейных уравнений для вычисления потенциалов
При этом плане перевозок суммарные затраты следующие:
8 = 200 ■ (4+5) + 150 ■ (5+6+6) + 50 ■4 = 4550 (тарифы перевозок единицы груза, естественно, считаются исходными).
Таблица 4
Литература
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах.. М.: «Высшая школа», 1993, 336 с.
2. Коробов П.Н. Математическое программирование и моделирование экономических процессов. СПб.: ООО Издательство ДНК, 2003, 376 с.
3. Шелковой А.Н.: Обобщённый алгоритм метода дифференциальных рент нахождения оптимального плана транспортной задачи // Известия Курск. гос. техн. унта. 2006. № 2. С. 17-20.
4. Шелковой, А. Н. Альтернативные ситуации приближения условно-оптимальными планами в транспортной задаче [Текст] / А. Н. Шелковой, В. Н. Лопин //
Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т. 8. - № 9. - С. 43-46.
5. Плотников, О. А. Разработка алгоритма для комплексного решения задач транспортной логистики / О. А. Плотников, Е. С. Подвальный [Текст] //Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. № 11. С. 102-105.
6. Васильев, О. В. Транспортная задача и оптимизация грузоперевозок / О. В. Васильев, Т. М. Леденева [Текст] // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т. 7. - № 11. - С. 82-84.
Воронежский государственный технический университет
FEATURES OF SOLUTIONS FOR TRANSPORT TYPE WITH DEGENERATION
OF THE SUPPORT PROGRAM
A.N. Shelkovoy
The article discusses the features of finding the optimal plan of the problem by the method of potentials can be obtained by degenerate basic plan. The advantages of the solutions to the transport problem in this case by the method of differential rent. Application of differential rents method is illustrated with a concrete example
Key words: degenerate support program, suboptimal distributing, minimum tariff, excessive (positive) lines, insufficient (negative) lines, intermediate rent, zero unallocated space, optimal design of routing problem
