CC BY
177
УДК 519.852.33
ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РЕНТ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ А.Н. Шелковой
В статье рассматриваются особенности применения метода дифференциальных рент для нахождения оптимального плана транспортной задачи. Показаны преимущества этого метода по сравнению с широко известным методом потенциалов. Применение метода дифференциальных рент иллюстрируется на конкретном примере
Ключевые слова: условно-оптимальное распределение, минимальный тариф, промежуточная рента, нулевой нераспределённый остаток, оптимальный план транспортной задачи
Данная работа является обобщением статей автора «Приближение условно-оптимальными планами в транспортной задаче» и «Альтернативные ситуации приближения условно-оптимальными планами в транспортной задаче», опубликованных в ([3], [4]).
Как известно, наиболее распространенным методом нахождения оптимального плана транспортной задачи является метод потенциалов, который описан во всех пособиях по линейному программированию. К недостаткам этого метода можно отнести то, что прежде чем применять метод потенциалов, сначала нужно найти опорный план транспортной задачи одним из известных методов (северозападного направления, минимального элемента, аппроксимации Фогеля и др.). Кроме того, при применении метода потенциалов требуется нахождение циклов, которые не всегда имеют простую структуру, и решение систем линейных уравнений, что вызывает определенную громоздкость вычислений. Более оригинальный, как представляется, подход к нахождению оптимального плана транспортной задачи был предложен советскими учеными. В конце 50-х годов 20-го столетия А.Л. Лурье на основе общих идей линейного программирования, сформулированных академиком Л.В. Канторовичем, разработал метод решения транспортных задач, который назвал методом разрешающих слагаемых. Затем А.Л. Брудно, используя основные идеи метода А.Л. Лурье, разработал оригинальный алгоритм - алгоритм дифференциальных рент - и реализовал его в машинной программе. В дальнейшем самими же авторами были предложены и другие названия этих методов (первый называли методом приближения условно-оптимальными планами, второй - алгоритмом вычеркивающей нумерации). Однако в литературе уже утвердились старые названия, к тому же термин дифференциальные ренты удачно отражает экономическую сущность алгоритма.
В этой статье будет рассмотрена сущность алгоритма метода дифференциальных рент, который, как представляется, является наиболее оригинальным и удачным для решения малых и крупных задач
Шелковой Александр Николаевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. 8(473)246-42-22
транспортного типа - задач, приводимых к типу таковых.
Следует отметить, что данная работа представляет собой обобщение опыта использования метода дифференциальных рент на практических занятиях по методам оптимизации студентов 3 курса специальности "комплексная защита объектов информатизации" Курского государственного технического университета. Долгое время единственным источником, известным автору этой работы, в котором изложен алгоритм метода дифференциальных рент, был ([1. С. 150-155]). Однако использование этого алгоритма оказывалось успешным не для всех задач транспортного типа. Затруднения, возникавшие при этом, оказались разрешимы благодаря вышедшей, к сожалению, ограниченным тиражом, книге [2. С.170-182].
Объединив идеи, изложенные в [1] и [2], обобщённый алгоритм метода дифференциальных рент можно изложить в следующем виде.
При нахождении решения транспортной задачи методом дифференциальных рент сначала наилучшим образом распределяют между пунктами назначения часть груза (так называемое условно оптимальное распределение) и на последующих итерациях постепенно уменьшают общую величину нераспределенных поставок. Первоначальный вариант распределения груза определяют следующим образом. В каждом из столбцов таблицы данных транспортной задачи находят минимальный тариф. Если в столбце несколько одинаковых тарифов, то отмечают только один, причём безразлично какой, наименьший тариф. Найденные числа заключают в кружки, а клетки, в которых стоят указанные числа, заполняют. В них записывают максимально возможные числа. Если к моменту очередной поставки исчерпаны запасы соответствующего поставщика или удовлетворён спрос соответствующего потребителя, то в соответствующую клетку записывают нулевую поставку. В результате получают некоторое распределение поставок груза в пункты назначения. Это распределение в общем случае не удовлетворяет ограничениям исходной транспортной задачи. Поэтому в результате последующих шагов следует постепенно сокращать нераспределённые поставки груза так, чтобы при этом общая стоимость перевозок оставалась минимальной. Для этого сначала определяют избыточные (положительные) строки, то есть строки, соответствующие поставкам, запасы
которых полностью распределены, а потребности пунктов назначения, связанных с данными потребителями запланированными поставками, не удовлетворены, и недостаточные (отрицательные) строки, то есть строки, запасы которых исчерпаны не полностью.
После того, как определены избыточные и недостаточные строки, для каждого из столбцов находят разности между числом в кружке и ближайшим к нему тарифом, записанным в избыточной строке. Если число в кружке находится в положительной строке, то разность не определяют. Среди полученных чисел находят наименьшее. Оно называется промежуточной рентой. После ее определения переходят к новой таблице. Она получается из предыдущей таблицы прибавлением к соответствующим тарифам, стоящим в отрицательных строках, промежуточной ренты. Остальные элементы остаются прежними. При этом все клетки новой таблицы считают свободными. После построения новой таблицы начинают заполнение ее клеток. Теперь уже число заполняемых клеток на одну больше, чем на предыдущем этапе. Эта дополнительная клетка находится в столбце, в котором была записана промежуточная рента. Все остальные клетки находятся по одной в каждом из столбцов и в них записаны наименьшие для данного столбца числа, заключенные в кружки. Заключены в кружки и два одинаковых числа, стоящих в столбце, в котором в предыдущей таблице была записана промежуточная рента.
Поскольку в новой таблице число заполняемых клеток больше, чем число столбцов, при заполнении клеток пользуются специальным правилом, которое состоит в следующем. Выбирают некоторый столбец (строку), в котором имеется одна клетка с помещенным в ней кружком. Эту клетку заполняют и исключают из рассмотрения данный столбец (строку). После этого берут некоторую строку (столбец), в которой имеется одна клетка с помещенной в ней кружком. Эту клетку заполняют и исключают из
рассмотрения данную строку (столбец). В [2] предлагается другой способ: сначала просматривать все столбцы, а затем строки, или, наоборот, сначала строки, а потом столбцы. Продолжая так, после конечного числа шагов заполняют все клетки, в которых помещены кружки с заключенными в них числами. Если к тому же удается распределить весь груз, имеющийся в пунктах отправления, между пунктами назначения, то получают оптимальный план транспортной задачи. Если же оптимальный план не получен, то переходят к новой таблице. Для этого находят избыточные и недостаточные строки и на основе этого строят новую таблицу. При этом могут возникнуть некоторые затруднения при определении знака строки, когда ее нераспределённый остаток равен нулю. В этом случае строку считают положительной при условии, что вторая заполненная клетка, стоящая в столбце, связанном с данной строкой еще одной заполненной клеткой, расположена в положительной строке. Если данная строка с нулевой оценкой поставщика минимальными себестоимостями связана одновременно с отрицательной и положительной строками, то в таком случае для определения знака строки (знака при нуле) необходимо мощность соответствующего этой строке поставщика несколько увеличить (например, на единицу) и распределить поставки заново (мысленно, без записи в таблицу). Если при этом распределении суммарный объём поставок по таблице в целом не изменится, поставщик считается избыточным, а строка положительной. Если же объём поставок увеличится, поставщик считается недостаточным, а строка отрицательной.
После конечного числа описанных выше итераций нераспределенный остаток становится равным нулю. В результате получают оптимальный план данной транспортной задачи.
Пример. Для транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице, найти оптимальный план методом дифференциальных рент. _______________________________________Таблица 1
Пункты отправления (А,) Пункты назначения (В^) Запасы (а,)
Ві В2 В3 В4
Аі і 3 4 5 90
А2 5 3 1 2 30
А3 2 1 4 2 40
Потребности (в^) 70 30 20 40 160
Решение данного примера представим в виде последовательности таблиц.
Перейдем от табл. 1 к табл. 2, добавив один дополнительный столбец для указания избытка и недостатка по строкам и одну строку для записи соответствующих разностей.
В каждом из столбцов табл. 2 находим минимальные тарифы и обводим их кружками. Заполняем клетки, в которых стоят указанные числа. Для
этого в каждую из клеток записываем максимально допустимое число. В результате заполнения клеток табл. 2 получен так называемый условно оптимальный план, согласно которому полностью удовлетворены потребности пунктов назначения В1, В2, В3, частично - пункта назначения В4. При этом полностью распределены запасы пункта отправления А2, частично - пунктов отправления А1 и А3.
Таблица 2
В1 В2 Вэ В4 а, Недостаток (-),
А, избыток (+)
А1 ф 3 4 5
70 90 +20
А2 5 3 ф 20 © 10 30 -30
А3 2 ф 30 4 2 40 +10
Ч 70 30 20 40 160
Разность (Л;) 3 0
После получения условно-оптимального плана определяем избыточные и недостаточные строки. Здесь недостаточной является строка А2, так как запасы пункта отправления А2 полностью использованы, а потребности пунктоа назначения В4 не удовлетворены. Величина недостатка равна 30 единицам.
Строки Аі и А3 являются избыточными, поскольку запасы пунктов отправления А1 и А3 использованы не полностью. При этом величина избытка строки А2 равна 20 единицам, а строки А3 -10 единицам. Общая величина избытка 20+10=30 совпадает с общей величиной недостатка, равной 30.
После определения избыточных и недостаточных строк по каждому из столбцов находим разности между минимальными тарифами, записанными в избыточных строках, и тарифами, стоящими в заполненных клетках. Для столбцов В1 и В2 разность не определена, так как числа, записанные в кружках в данном столбце, находятся в положительных строках.
Выбираем наименьшую из найденных разностей, которая является промежуточной рентой. В нашем случае она равна 0. Переходим к новой таблице, прибавив к тарифам строки А2 промежуточную ренту (в данном случае они останутся неизменными).
В табл. 3 число заполняемых клеток возросло на одну. Это обусловлено тем, что число минималь-
ных тарифов, стоящих в каждом из столбцов данной таблицы, возросло на единицу, а именно в столбце В3 теперь имеются два минимальных элемента 2. Эти числа заключаем в кружки; клетки в которых они стоят, следует заполнить. Необходимо заполнить и клетки, в которых стоят наименьшие для других столбцов тарифы. Это клетки таблицы 3, в которых соответствующие тарифы заключены в кружки. После того, как указанные клетки определены, устанавливаем последовательность их заполнения. Определив и заполнив некоторую клетку, исключаем из рассмотрения соответствующий столбец (строку) и переходим к заполнению следующей клетки. В данном случае заполнение клеток проводим в такой последовательности. Сначала заполняем клетки А1В1, А3В2 и А2В3, так как они являются единственными клетками для заполнения в столбцах Вь В2 и В3, и вычеркиваем из рассмотрения эти столбцы. После заполнения указанных клеток заполняем клетки А2В4 и А3В4, так как они являются единственными для заполнения в строках А2 и А3.
После заполнения клеток устанавливаем избыточные и недостаточные строки. Нераспределенный остаток третьей строки равен нулю. Так как вторая заполненная клетка, стоящая в столбце В3, связанном со второй строкой еще одной заполненной клеткой, расположена в отрицательной строке, то строка А2 считается отрицательной.
Таблица 3
Как видно из табл. 3, ещё имеется нераспре- оптимальный план задачи, и нужно перейти к но-
делённый остаток. Следовательно, получен условно вой таблице. Для этого по каждому из столбцов на-
ходим разности между числом, заполненным в кружке данного столбца, и наименьшим по отношению к нему числом, находящимся в избыточных строках (табл. 3). Среди этих разностей наименьшая равна 2. Это и есть промежуточная рента. Переходим к новой таблице (табл. 4).
В новой таблице элементы строки А3 получены в результате прибавления к соответствующим числам строки А2 и А3 (являющихся недостаточными) табл. 3 промежуточной ренты, то есть 2.
Определяем клетки с минимальными тарифами и заполняем их. Сначала заполняем клетки А1В1, А2В3, затем А2В4, А1В1, А3В2, А3В4 (в указанной последовательности). В результате все имеющиеся запасы поставщиков распределяются в соответствии с фактическими потребностями пунктов
*
X =
назначения. Следовательно, получен оптимальный план исходной транспортной задачи:
'70 20 0 20 0 0 20 10 ч0 10 0 30у
Тот же результат можно получить, если решать эту задачу методом потенциалов, однако решение задачи в этом случае в вычислительном плане будет более сложным.
При этом плане перевозок общие затраты таковы:
8 = 70-1 + 20-3 + 10-2 + 60-1 + 10-1 + 30-2 = 240 (тарифы перевозок единицы груза, естественно, считаются исходными).
Таблица 4
Думается, что сочетание алгоритмов метода дифференциальных рент, изложенных в [1. С. 150155] и [2. С. 170-182], делает его более простым в вычислительном плане, чем широко используемый в литературе метод потенциалов, а редкое использование метода дифференциальных рент в учебных пособиях по оптимизационным методам представляется незаслуженным.
Литература
1. Акулич И.Л. // Математическое программирование в примерах и задачах.. М.: «Высшая школа», 1993, 336 с.
2. Коробов П.Н. // Математическое программирование и моделирование экономических процессов. СПб.: ООО Издательство ДНК, 2003, 376 с.
3. Лопин В.Н., Шелковой А.Н.: Приближение условно-оптимальными планами в транспортной задаче // Известия Курск. гос. техн. ун-та. 2006. № 2. С. 17-20.
4. Шелковой А.Н., Лопин В.Н.: Альтернативные ситуации приближения условно-оптимальными планами в транспортной задаче // Известия Курск. гос. техн. ун-та. 2007. № 1. С. 65-70.
Воронежский государственный технический университет
GENERALAIZED ALGORITHM OF DIFFERENTIAL RENTS METHOD OF IDENTIFICATION OF OPTIMAL DESIGN OF ROUTING PROBLEM
A.N. Shelkovoy
In this article features of differential rents method application for a finding optimum plan of a transport problem are considered. Advantages of this method in comparison with widely known potentials method are shown. Application of differential rents method is illustrated with a concrete example
Key words: suboptimal distributing, minimum tariff, excessive (positive) lines, insufficient (negative) lines, intermediate rent, zero unallocated space, optimal design of routing problem
