CC BY
89
ОЦЕНКИ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
В.М. КУРЗИНА, доц. каф. высшей математикиМГУЛ, канд. техн. наук, П. А. КУРЗИН, ст. лаборант каф. высшей математики МГУЛ
В настоящее время методы оптимизации получили широкое признание и используются при решении задач в различных отраслях перспективных исследований. Распределительные задачи, приводящие к решению транспортной задачи, имеют место не только при определении оптимальных перевозок, но и при организации оптимальной загрузки оборудования, назначении на направления работ сотрудников компании, определении приоритетных направлений в выполнении проектов, имеющих на данный момент неполное финансирование. В виду достаточности для практических целей получаемых решений рассматриваемых задач, путем сведении их к транспортной задаче, такие математические модели занимают важное место среди математических методов, используемых в прикладных отраслях науки. При этом наблюдается не всегда корректное использование как самих математических методов, так и их составляющих элементов.
Важным моментом, способствовавшим взаимопониманию учёных разных специальностей, стала математизация всех наук, что позволяет говорить о математике как об универсальном языке общения учёных. По этой причине методологические разночтения в изложении основных принципов использования методов оптимизации или формульное разнообразие в задании одной и той же величины не должны иметь места не только в научной, но и особенно в учебной литературе.
Например, в отечественной учебной литературе, адресованной обучающимся нематематических специальностей, изданной в последние пять лет, часто встречается применение искаженной формулы вычисления оценок для определения оптимальности плана транспортной задачи. Эти оценки для одной и той же клетки должны быть одина-
ковыми, каким бы способом мы их ни вычисляли. На практике получается, что её значение может изменяться как по величине, так и по знаку, в зависимости от того, какой автор излагает метод потенциалов вычисления оценок свободных клеток таблицы поставок транспортной задачи. Метод потенциалов является одним из наиболее популярных после метода дифференциальных рент. Это метод поиска оптимального плана транспортной задачи.
Пусть в транспортной задаче о распределении материальных средств между г (г = 1, т) поставщиками и Ц (/ = 1, п) потребителями сц означает тариф перевозки одной единицы товара от г -го поставщика к ц-му потребителю. Ищется оптимальный план перевозок, при котором стоимость всех перевозок будет минимальной. Для оценки оптимальности плана используется множество чисел щ,..., ит, у1,..., уп, которые называются потенциалами (иногда весами) строк и столбцов таблицы поставок.
В классической математической литературе [1, 2] по методам оптимизации потенциалы находятся по тарифам занятых клеток по формуле
си = и1 + V], г = !,•••, т; ] = 1,..., п . (1)
При этом для вычисления оценок свободных клеток таблицы поставок формула имеет вид
8у = си- и - V, г = и-т; ] = и-п, (2) что и позволяет получать то же значение оценки свободной клетки, что и при вычислении её распределительным методом. В распределительном методе отрицательность оценки свободной клетки говорит о ее потенциальной возможности уменьшить величину стоимости поставок на вычисленное число единиц на каждую единицу поставки.
Логично использовать для перераспределения поставок ту клетку таблицы поставок, которая обладает наибольшей потенциальной возможностью уменьшить стоимость суммарных перевозок от всех поставщиков ко всем потребителям. На основании этой логики выбора получается критерий оптимальности плана транспортной задачи.
Оптимальным будет план, для которого все оценки свободных клеток положительны. Этот результат получается в [1] из аналитического исследования возможного решения системы линейных алгебраических уравнений, представляющих математическую модель транспортной задачи.
Если обратимся к учебному пособию [3], то вычисление оценки свободной клетки делается по формуле
8.. = и + V. - е.., I = 1,..., т; у = 1,..., п , (3)
У I У У' ' ' ' ? ? э \ /
что меняет её знак на противоположный. Следовательно, при поиске оптимального решения с использованием этой формулы вычисления потенциалов следует перераспределять все те свободные клетки, оценки которых положительны. Замена формулы вычисления оценок приводит к качественному изменению критерия поиска оптимального решения транспортной задачи, а именно: теперь оптимальный план будет получаться при всех отрицательных оценках свободных клеток. По формуле (3) оценка свободной клетки имеет положительное значение, а следовательно, не несет смысловой нагрузки о результате ее перераспределения. Достигнутая при этом абстрактная идентичность критерия оптимальности плана с задачей линейного программирования привела к потере логической связи алгоритма поиска оптимального плана с характером изменения значений целевой функции при переходе от одного плана к другому.
В [4] оценки по методу потенциалов предлагается находить по формуле
8. = V. - и - е.., I = 1,..., т; у = 1,..., п , (4)
У У I У' ? ? Э
а сами потенциалы по формуле
Vу - и = еу, I = 1,..., т; у = 1,..., п . (5)
И в этом случае план будет оптимальным, если среди оценок свободных клеток нет положительных. Использование такой формулы вычисления потенциалов приводит и к некоторым вычислительным затруднениям, поскольку приходится подбирать разности двух чисел. И опять, как и в предыдущем случае, теряется экономический смысловой подтекст задачи: она абстрагируется, а значит, необоснованно усложняется.
Это приводит к искажению смысла методики поиска оптимального решения. В методологическом плане преподавание предмета по различным учебникам ведёт к путанице, неоправданной в условиях современных возможностей унификации и систематизации.
К сожалению, приведенный пример не единственный из тех моментов, которые порождают разночтения научных публикаций, использующих для решения экономических задач методы оптимизации и в том числе в качестве математической модели транспортную задачу. Таким образом, в настоящее время назрела задача приведения к единству методологии преподавания методов оптимизации.
Библиографический список
1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1971. - 534 с.
2. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1998. - 300 с.
3. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 407 с.
4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1996. - 336 с.
