Некоторые линейные задачи управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

М.С. Никольский1

НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ*

В статье рассматриваются две задачи из теории управляемости линейных управляемых объектов. Излагаются методы их приближенного решения.

Ключевые слова: линейные управляемые объекты, управляемость, многозначные отображения, выпуклые множества, опорные функции.

1. В математической теории управления линейные задачи управления занимают важное место (см., например, [1-5] и др.). В решении этих задач обычно удается существенно продвинуться, используя аппарат линейных дифференциальных уравнений, функциональный анализ, выпуклый анализ и аппарат теории многозначных отображений. В этой статье мы остановимся на нескольких задачах, которые можно отнести к задачам управляемости линейных управляемых процессов. В основном мы здесь используем аппарат выпуклого анализа и теории многозначных отображений, изложенный в [5], а также линейную алгебру (см., например, [6, 7]). Рассмотрим следующее интегральное уравнение:

г

= >, (1)

о

где Т > 0, F(s) — матрица размерности m х р с непрерывными на отрезке А = [0,Т] элементами, u(s) G Rp — измеримая функция на А, для которой выполняется ограничение

u(s) G Р, (2)

здесь Р — компакт из i?p, Ь G Rm. Символом i?fc, к ^ 1, условимся обозначать ^-мерное действительное евклидово арифметическое пространство с векторами, записываемыми в виде столбцов и стандартным скалярным произведением (х,у) векторов х, у из Rk:

к

(Ж, У) =

г= 1

где Xi, yi — компоненты векторов ж, у. Длина |ж| вектора х G Rk определяется обычным образом. Интеграл в (1) понимается в смысле Лебега.

Мы будем заниматься вопросом о разрешимости уравнения (1) в указанном классе измеримых функций и(-) на А. Отметим, что уравнения типа (1) естественным образом возникают в теории линейных управляемых объектов (см., например, [1-5]) при изучении задач управляемости.

В дальнейшем мы часто будем использовать аппарат опорных функций для непустых выпуклых компактов из Rk (см., например, [5]). Пусть А — непустой компакт из Rk. Тогда его опорная функция W(A^) определяется формулой

W(A^) = ma х(а, i/>),

а£.4

где ф — произвольный вектор из Rk.

Напомним (см., например, [5]) определения некоторых алгебраических операций над множествами в Rk.

Пусть А, В — некоторые непустые множества из i?fc, тогда их алгебраическая сумма А + В определяется формулой

А + В = [J (а + Ь).

аеА, ьев

1Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: mniQmi.ras.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00633).

Пусть А — непустое множество из Кк и матрица М имеет размерность тх к, тогда произведение МА определяется формулой

МА = у Ма.

а£А

Пусть А — непустое множество из Кк и а — некоторое число, тогда произведение осА определяется формулой а,А = У ста.

а£А

В дальнейшем мы также будем использовать некоторые понятия и факты из теории многозначных отображений, при этом для наших целей можно ограничиться материалом книги [5]. Для полноты картины по поводу этой новой теории мы сошлемся также на монографии [8-10].

Рассмотрим на А многозначное отображение (см. (1))

П(«) = ¿ф)Р (3)

и интеграл от него (в смысле Аумана), который мы обозначим символом Т, т.е.

г

Т=I (4)

С помощью результатов [5] и леммы ЗА (см. [3, с. 175]) можно обосновать, что Т — непустой выпуклый компакт в Нт, причем

г

(5)

«(•Ло

где щ 8) е р _ произвольная измеримая функция на А, и

г г

Ш(Р,ф) = ! МУ{£1(8),-ф)й8 = J Ш(Р,Р* (з)ф)(18, (6)

о о

где * означает транспонирование матрицы, ф — произвольный вектор из Кт. Из (5), в частности, следует

Лемма 1. Уравнение (1) разрешимо относительно неизвестной измеримой функции «(«) € Р, 5 € А, тогда и только тогда, когда

Ь^Т. (7)

Так как Т — непустой выпуклый компакт, то с помощью свойств опорных функций (см. [5]) получаем лемму.

Лемма 2. Включение (7) выполняется тогда и только тогда, когда

тт(Ш(Т,ф) - {Ь,ф)) ^ 0.

Практическое вычисление функции ф) может вызвать определенные трудности. Мы специ-

ально рассмотрим случай, когда компакт Р является р-мерным шаром радиуса р > Ос центром в точке 0, который мы обозначим Бр(0). Через Тр обозначим множество Т (см. (4)) при Р = Бр(0). Нетрудно видеть (см. (6)), что

г

Ш(Тр,Ф)=р1 \Р*(В)Ф\ йз. о

Для функции

г

¡(ф) = I \Р*(з)ф\<18, (8)

о

являющейся опорной функцией выпуклого компакта в силу неравенства Коши-Буняковского при ф € Нт выполняется неравенство

ЛФ)^^т(^1\Р*(8)Ф\2 ' . (9)

О

Функция

г

д(ф) = I \Р*(8)ф\2<18 (10)

о

в силу равенства |ж|2 = (ж, ж), где ж € Ш, может быть записана в виде

д(ф) = {Аф,ф), (И)

где матрица

г

А = ! Р{8)Р*{8)й8 (12)

О

является матрицей Грама (см. [6, гл. 9]) для столбцов матрицы -Р*(«), рассматриваемых как векторные функции на А.

Из формул (8)-(10) вытекает, что функции /(ф), д(ф) обращаются в нуль на одних и тех же векторах ф € К"1- Допустим, что Л — ненулевая матрица и что при данном векторе ф выполняется равенство д(ф) = 0. Покажем, что тогда Аф = 0. Из линейной алгебры известно (см., например, [6, 7]), что существует такая невырожденная матрица С} порядка т, что у положительно полуопределенной матрицы

м = д*кд (13)

первые г диагональных элементов равны 1 (г — ранг матрицы Л), а все остальные элементы этой матрицы нулевые. Полагая

Ф = Я<Р, (14)

мы имеем (см. (11), (13)), что (Мр,р) = 0 и, более того, ^ р\ = 0, Мр = 0, где р^ — компоненты

г

2 г

%=\

вектора ¡р. Из (13), (14) теперь получаем, что Аф = 0. Из сказанного вытекает

Лемма 3. Для того чтобы при данном векторе ф € Кт выполнялось равенство /(ф) = 0, необходимо и достаточно, чтобы (см. (12))

Аф = 0.

Отметим, что 0 € Тр. Из леммы 3 следует, что несущее подпространство Ь выпуклого компакта Тр не зависит от р > 0 и является ортогональным дополнением к ядру N линейного оператора, определяемого матрицей Л (см. (12)). Таким образом, матрица Л дает важную информацию о множестве Тр. В частности, если Л — невырожденная матрица, то выпуклый компакт Тр имеет полную размерность, верно также и обратное.

Остановимся теперь на специальном классе функций

ич>(8) = Р*(8)р, (15)

где ср € К™, 8 € А. Из формул (12), (15) вытекает равенство

г

J Р(8)ич>(8) ¿8 = Ар (16)

0

для каждого р € Рт. Так как несущее подпространство Ь для Тр не зависит от р > 0, то нетрудно показать, используя (15), (16), что

ЛДТО С Ь. (17)

Обозначим через г размерность ядра N линейного оператора, определяемого матрицей Л. Выше уже говорилось, что Ь является ортогональным дополнением к ядру N. Теперь из (17) вытекает, что размерности линейных подпространств АКт и Ь равны т — г и АКт = Ь. Из сказанного можно сделать вывод, что уравнение (1) разрешимо относительно измеримой функции € <5Р(0), 5 £ Д, при достаточно большом р > 0 тогда и только тогда, когда Ь € АКт.

Остановимся теперь на вычислительных аспектах поиска приближенного решения уравнения (1). Здесь можно использовать, например, вариационный подход, связанный с минимизацией функционала

/(«(•)) =

Т

2

о

(18)

на множестве измеримых функций, удовлетворяющих условию (2). Для приближенного решения этой вариационной задачи можно использовать, например, вычислительные методы, изложенные в [11, гл. 8, § 4]. При этом удобно рассматривать измеримые функции и{.$) € Р, 5 € А, как элементы гильбертова пространства /.(¡[О.'/"]. а также предположить, что Р — выпуклый компакт.

Отметим, что, вводя в рассмотрение управляемый процесс

х = ж(0) = О,

где х € К"\, и € Р, можно вместо функционала (18) рассмотреть функционал

J(u(■)) = |х(Т,и(-)) - Ъ\2

и заняться его минимизацией на множестве измеримых управлений и(1) (г /'. I (г А. Вопросам разностной аппроксимации подобных задач посвящен § 1 из главы 10 [11].

Теперь мы остановимся на одном способе дискретизации рассматриваемой исходной задачи, позволяющем перейти к некоторой приближенной конечномерной задаче. Отметим, что этот способ при соответствующей модификации будет полезным и в п. 2. Предполагается, что Р — выпуклый компакт. Фиксируем число к € (О , Т) и положим ^ = ¡к при 1 = 0,..., Ж, где N = Щ — целой части числа если число Т не кратно числу /г, и N = — 1, если Т кратно числу к. Определим также последовательность положительных чисел <5$, полагая 81 = к при г = 0,..., Ж, если Т кратно к, и

полагая = к при / 0...../V - I и Лд 1 — Щ к при Т не кратном к. Используя аддитивность

интеграла Аумана, можно записать интеграл (см. (3), (4)) в виде

N "+1

г (19)

где 5дг+1 = Т, а сумма множеств понимается в алгебраическом смысле. Фиксируем отрезок в (19). Тогда при « € [«¿,£¿+1] получаем включения

¿ф)Р С Р(^)Р + \\Fis) - Р(^)|| • \Р\ а С Р(^)Р + а{к) \Р\а, (20)

где а — шар единичного радиуса из К"1 с центром в О, |Р| = тах

иеР

а(к)= тах ||Р(51) - ¿ф2)||, (21)

81,32£А,

норма || .А || для матрицы А размерности т х р определяется формулой

||А|| = тах |Л«| . (22)

|и| = 1

Используя аппарат опорных функций и свойства интеграла от многозначных отображений (см. [5]), с помощью (20) получаем, что

Эг+1

! Р^РЛ; С ¿¿(Р(^)Р + а(/г) |Р|<т). (23)

Из (19), (23) вытекает включение

N

Т С 2 кР(яг)Р + Та(к) \Р\а.

(24)

г=0

Пусть т-мерный вектор Ь принадлежит правой части включения (24) (если Ь € Т, то такое включение, согласно (24), заведомо имеет место). Тогда система линейных уравнений

N

^ 5гР{8г)'и1 + Та{Н) \Р\у = Ъ

г=1

относительно неизвестных векторов иг € Р, г = 0,..., Ы, V € а имеет решение (й°, лим кусочно-постоянную функцию й(«) € Р, 5 € А, формулой

= ^ лЛГ

й\ Я € [«¿,«¿+1), I =

йИ при я = Т.

Нетрудно показать, что

т

N

г=0

где для вектора ад € Дто справедлива оценка (ср. с (24))

|ад| < Та{к) \Р\ .

Из определения набора (й°,... ,йм,у) и формул (25)-(28) вытекает, что

(25)

й , у). Опреде-

(26)

(27)

(28)

(29)

Так как матричная функция Р(я) непрерывна на А, то величина а{К) —> 0 при к —> 0+ и мы можем обеспечить на основании включения (29) при заданном е > 0 и достаточно малом к € (О, Т) неравенство

г

Р(«)й(«) йв — Ь

«С £.

Замечание. Практическое вычисление функции а(к) (см. (21)) представляет определенные трудности. Обычно бывает проще получить при к € (О, Т) оценку сверху для этой функции вида

а(к) ^ а(к),

где функция а(к) стремится к нулю при к ^ 0+. Этого оказывается достаточно для наших целей, если заменить в (29) величину а(к) на а(к). Отметим, например, что из липшицевости элементов матричной функции Р(я) на А вытекает, что в качестве функции а(к) можно взять функцию вида а/г, где а > 0 и достаточно велико.

Отметим, что решение (й°,..., й^, у) системы линейных уравнений (25) минимизирует выпуклую функцию

N

2 6гР(8г)и* + Та(к) \P\v-b

i=0

на выпуклом компакте

О = Р х ... х Р хи.

4-V-'

-N"+1 раз

(30)

(31)

Поэтому для нахождения такого решения можно использовать, например, проксимальный метод (см. в [11, гл. 5, § 6]).

2. Рассмотрим линейный управляемый объект (см. [1-5, 12])

ж = Ах + Ви, (32)

где х € К'\, и € Р — выпуклому компакту ич IV. Л и И — постоянные матрицы размерности п х п, п х р соответственно. Пусть заданы концевые условия:

ж(0) = ж0, х(Т) е Л/. (33)

где Хо — начальное состояние управляемого объекта, время Т > 0 фиксировано, М — непустой выпуклый компакт, а также фазовое ограничение

х(г) б С, (34)

где О — непустой выпуклый компакт. Управления и = и(1) € Р выбираются на отрезке А = [О, Т] из класса измеримых функций, а соответствующие решения х(1, жо, «(•)) с начальным условием ж(0) = жо рассматриваются в классе абсолютно непрерывных функций. Предполагается, что

ж0 € С, М С О. (35)

Мы будем рассматривать следующую задачу об е-управляемости. Пусть фиксировано число е > 0. Надо построить такое допустимое управление й(1), что для соответствующего решения ж(£, жо, й(-)) будут выполняться включения

ж(£, жо, й(-)) € О + <5£(0) при £ € Д, (36)

ж(Т,хо,й(-)) € М + Б£(0). (37)

Эту задачу можно рассматривать как некоторое приближение для более трудной задачи управляемости, в которой в соотношениях (36), (37) число е полагается равным 0. Наша цель — получить некоторые достаточные условия для разрешимости задачи об е-управляемости.

Фиксируем число Ъ б (О,Т) и определим числа 6^ при у — 0,..., N, как это было сделано в предыдущем пункте. Положим также 5дг+1 = Т. Фиксируем некоторое число /3 ^ 0 и рассмотрим для ж(£, жо,и(-)) вместо фазового ограничения (34) и терминального условия ж(Т) € М условия вида

х(Ь,х0,и(-)) ес + щ (38)

ж(Т, жо, и(-)) € М + <5/з(0), (39)

где = Sj, ] = 1,..., N. Пусть для некоторого допустимого управления и(1), I € А, для соответствующего решения выполняются условия (38), (39). По формуле Коши

г

(40)

о

где егА — экспоненциал матрицы М, интеграл понимается в смысле Лебега. Обозначим через 7 константу, ограничивающую |ж(£,жо,и(-))\ почти всюду на А при произвольном допустимом управлении и(-). Такую константу нетрудно получить, используя формулы (32), (40). С помощью (38) теперь имеем для х(1, хо,и(-)) включение

ж(£, жо, и(-)) € О + (/3 + 7/г)<71, (41)

где 01 — единичный шар в Ка с центром в точке 0. Из (39), (41) мы получаем решение рассматриваемой задачи об е-управляемости при е = /3 + 7/1. Сказанное открывает определенные перспективы для конструктивного решения задачи е-управляемости следующим образом. Пусть (ср. с (38), (39)) для некоторого допустимого управления и(-) выполняются соотношения

ж(^-,жо,и(-)) € С?, (42)

ж(Т, хо,и(-)) € М, (43)

где tj = Sj, ] = 1,..., N. Обозначим

Ф(8) = е~зЛВ. (44)

Из (40), (4.2) (М) получаем соотношения

Ь

! #(«)«(«) (¿5 € - ж0, (45)

о

г

J Ф(«)«(«) (¿5 € е~ТАМ - х0, (46)

о

где ] = 1,..., Ж. Используя формулы (23), (24), можно показать, что при произвольной измеримой функции и (в) £ Р, 5 6 А, выполняются включения

Ч

/ Ф(в)«(в) йв € ^ + ГаЛ, |Р| <71, (47)

о *=°

где ] = + 1, ¿дг+1 = Т, константа а > 0 такова, что для функции а(к), вычисленной для

матричной функции Ф(з) (см. (44)), при к € (О, Т) выполняется неравенство (см. приведенное выше замечание)

а(к) ^ ак.

Рассмотрим далее следующую систему линейных уравнений (см. (45)-(47)):

з-1

2 + ¿¿(/¿У"1 + иг'-1 = 0, (48)

г=0

N

^ + ф)'иМ += 0, (49)

г=0

где ] = 1,..., Ж, = к при '1 = 0,..., N — 1 и определено выше, /х(/г) = Так |Р|. Неизвестными в (48), (49) являются наборы векторов

(50)

где

е / '. г = 0,..., Ж,

при ./ I.....Л; + !.

— 1 — + А (Ы)

'из3 € ^е + при //' I...../V.

7ГД е -г /лЛ/+.г().

Из соотношений (45)-(47) вытекает разрешимость системы линейных уравнений (48), (49) относительно набора векторов (50) при ограничениях (51).

Теперь пойдем в обратном направлении: пусть система линейных уравнений (48), (49) разрешима относительно набора векторов (50) при ограничениях (51) (отметим, что из выполнения соотношений (42), (43) при некотором допустимом управлении и(-) следует такая разрешимость системы уравнений (48), (49)). Фиксируем один из таких наборов, снабдив его векторные компоненты символом "крышечка". Сопоставим этому набору кусочно-постоянную функцию й(«) е Р, 5 е А, по формуле (26). Нетрудно видеть, что при ] = 1,..., N

Ь

! е~8АВй(,з) йя € - ж0 + 2ц(К)аъ

о г

J е~зАВй{8) йя б е~ТАМ - ха + 2^{к)оъ (52)

Из соотношений (52) с помощью формулы Коши (40) мы получаем (ср. с (36), (37)) включения

ж0, й(-)) € С + 2р,(]г)е^Аа1 (53)

при ] = 1,... ш

ж(Т,ж0, «,(•)) € М + 2^{к)еТАо1. (54)

Обозначим

V = ет"'4", (55)

где ||А|| определяем по формуле (22), считая т = п, р = п. Из (53)-(55) для решения ж(£, жо, й(-)) вытекают включения (38), (39) при /3 = /Зх (Л.), где

01 (Л) = 2и/л(к).

Согласно вышеприведенному анализу (ср. с (41)), при £ € А

ж(£, ж0, й(-)) € О + (/01 (/г) + 7/1)0-1.

Таким образом, при заданном е > 0 и фиксированном Л. € (0,Т) для разрешимости задачи об е-управляемости достаточно выполнения двух условий: 1) справедливо неравенство /Зх (Л-) +7/1^6 (его можно обеспечить при достаточно малом к € (0,Т)); 2) имеет место разрешимость системы линейных уравнений (48), (49) относительно набора векторов (50) при выполнении условий (51).

Отметим, что при выполнении этих двух условий по конкретному решению системы уравнений

(48), (49) при условиях (51), если снабдить его векторные компоненты символом "крышечка", эффективно строится соответствующее управление й(1) по формуле вида (26), которое осуществляет е-управляемость в исходной задаче управления (см. (32)-(37)).

Аналогично тому, как в п. 1 задача поиска решения системы линейных уравнений (25) на множестве (см. (31)) сводилась к поиску минимизатора выпуклой функции / (см. (30)) и последующему применению проксимального метода, можно и при поиске решения системы линейных уравнений (48),

(49) при условиях (51) произвести переход к соответствующей задаче минимизации выпуклой функции на выпуклом компакте, а затем для поиска соответствующего минимизатора применить проксимальный метод (см. [11, гл. 5, § 6]).

Благодарю сотрудников кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ Ф.П. Васильева, Н.Л. Григоренко, Д.Г. Пивоварчука и М.М. Потапова за внимание к моей работе и полезные для меня обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Краеовекий H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

2. Понтрягин J1. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

3. Ли Э. Б., Маркус J1. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

4. Д'Анже л о Г. Линейные системы с переменными параметрами. М.: Машиностроение, 1974.

5. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

7. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 2002.

8. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

9. Половинкин Е. С. Элементы теории многозначных отображений. М.: Изд-во МФТИ, 1982.

10. По л овин кин Е. С. Теория многозначных отображений. М.: Изд-во МФТИ, 1983.

11. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал-Пресс, 2002.

12. Куржанский А. Б., Осипов Ю.С. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами // ПММ. 1968. 32. Вып. 2. С. 194-202.

Поступила в редакцию 17.06.09