CC BY
13
УДК 517.977
М. С. Никольский1
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Б. В. БУЛГАКОВА*
В литературе, посвященной оптимизации динамики управляемых систем, уделяется значительное внимание известной задаче Б. В. Булгакова о накоплении возмущений в линейной возмущаемой системе. В статье рассматривается более общий случай этой задачи и излагается приближенный метод вычисления величины, характеризующей максимальный разброс.
Ключевые слова: задача Булгакова, оптимальное управление, выпуклый анализ, опорные функции, сеточный метод.
Рассмотрим управляемую систему (ср. с [1-6])
х = Ах + Ви, (1)
где х G Rn, и G U — непустому выпуклому компакту из Rr; А и В — постоянные матрицы размерности пхп, пхг соответственно, п ^ 1, г ^ 1. Символом i?fc, к ^ 1, условимся обозначать ^-мерное евклидово действительное арифметическое пространство, элементами которого являются упорядоченные наборы из к действительных чисел, записываемых в виде столбцов, Rk снабжено стандартным скалярным произведением векторов (•, •) и стандартной длиной вектора |-|. Норму прямоугольной (р х д)-матрицы F будем обозначать через ||F|| и определим ее формулой
||F|| = max|Fy|, Ii/Ii1
где у G R9.
Движение управляемого объекта (1) начинается в момент t = 0 и происходит под воздействием произвольного измеримого управления и = u(t) G U, t G [О, Т], где Т > 0 фиксировано, с начальным условием
ж(0) = 0. (2)
Обозначим А = [О, Т]. Используя известную формулу Коши, соответствующее произвольному допустимому управлению и(-) решение x(t,u(-)), t G А, уравнения (1) с начальным условием (2) можно записать в виде
t
x(t,u(-)) = J e{t~s)ABu(s) ds, (3)
о
где erA при гей1 означает экспоненциал матрицы г А (см., например, [3]). Фиксируем постоянную (т х п)-матрицу G, где m ^ 1. Нас будет интересовать совокупность векторов
г
21 =
о
при всевозможных допустимых управлениях и(-). Отметим, что множество векторов
о
1 Факультет ВМК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-mail: mniQmi.ras.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты № 11-01-12112-офи-м-2011, 12-01-00175, 12-0100506, 13-01-00685.
при всевозможных допустимых управлениях и(-) называют множеством достижимости управляемого объекта (1) в момент Т из начального состояния ж(0) = 0. Можно показать, что (см. (3)-(5))
21 = С1>(Т), (6)
где справа использована операция умножения матрицы на множество (см., например, [2, 3]). Для точек у е 21 С Кт ставится задача нахождения величины
7 = зир|у|. (7)
з/еа
Нетрудно видеть, что (см. (3), (4))
7= яир |£?ж(Т,«(•))!; (8)
и (-)еи
где Ы означает совокупность измеримых функций и(1) € и, í € А. Таким образом, 7 характеризует максимальный разброс величины |С?ж(Т,и(-))\ при всевозможных и(-) € Отметим, что если нас интересует максимальный разброс векторов х(Т, и(-)) по модулю первой координаты, то О = (1, 0,..., 0), где число нулей равно п — 1. Если нас интересует максимальный разброс величины \х(Т, и(-))|, где х(Т,и(-)) — двумерный вектор с компонентами х\(Т, «(•)), жг(Т, «(•)), то для элементов дц матрицы О размерности 2 х п выполняются соотношения дц = д22 = 1, а все остальные дц нулевые.
Наша ближайшая цель — дать аналитическое описание множества 21, используя аппарат опорных функций.
Для произвольного непустого компакта К С К"1 и произвольного ф € К"1 определим опорную функцию
Ш(К,ф) = тах{у,ф). уек
Свойства опорных функций хорошо изучены (см., например, [2, 3]). Отметим, что Ш(К, ф) при ф € Ет удовлетворяет условию Липшица вида
\Ш(К,ф')^Ш(К,ф")\ ^Цф'-ф'Ч, (9)
где ф', ф" — произвольные векторы из Дто, а константа Ь ^ 0 определяется формулой
Ь = тах|у|. (10)
уек
С помощью результатов из [2, 3] обосновывается следующий факт: множество 21 (см. (4), (6)) является непустым выпуклым компактом, причем \/ф € Дто
г
Ш(Ш,ф) = ! Ш(Ви,е(-Т~^А*0*ф)ё8, (И)
о
где * означает операцию транспонирования матрицы. Отметим, что в (11) подынтегральная функция непрерывна по я € А Уф € Ят и интеграл понимается в смысле Римана. Делая замену переменного Т-г = гв формуле (11) под знаком интеграла, ее можно переписать в виде
г
Ш(Ш,ф) = ! Ш(Ви,егА*0*ф)ёг. (12)
о
Обозначим при г € А, ф € Ш' тогда (см. (12)) при ф € Ят
¡(г,ф) = Ш(Ви,егА*0*ф), (13)
г
Ш(Ш,ф) = ! ¡(г,ф)ёг. (14)
о
С помощью результатов из [2, 3] устанавливается следующий важный для нас факт (см. (3)-(8), (12)-(14)):
7= шах Ш(%ф). (15)
Заметим, что 7 совпадает с радиусом минимального по объему и содержащего 21 шара с центром в 0. При нахождении максимума (15) можно применить сеточный метод. Для обоснования сеточного метода нам понадобятся приведенные ниже леммы. Обозначим
о={ф(евт-. м = 1}.
Отметим, что при г € А и ф',ф" £ и из соотношений (9), (10) и свойств матричной экспоненты (см. [3, 5]) для функции /(г,ф) (см. (13)) вытекает неравенство
где
1г(г) = тах|_Ви|ег"'4*" ||С?*||. (16)
и еи
Обозначим
г
I = ! ^(г) йг. (17)
о
Отметим, что интеграл (17) легко вычисляется. Теперь нетрудно доказать лемму.
Лемма 1. При ф € а функция И7(21,ф) (см. (11)-(14)) удовлетворяет условию Липшица вида
\Ш(%ф') - Ш(%ф")\ < 1\ф' - ф"\, (18)
где константа I определяется формулами (16), (17), ф\ф" € а.
Лемма 2. При произвольном ф € а функция /(г,ф) (см. (13)) на отрезке А удовлетворяет условию Липшица вида
11(гъФ) - 1(г2,Ф)\ ЫГ1 - Ы где константа 12 определяется формулой
12 = тах|В«| • ||А*||еТ"'4*" • ||С*||, (19)
и еи
г!,г2 € А.
Доказательство. Используя свойства матричной экспоненты (см., например, [3, 5]), можно показать, что при г!,г2 € А выполняется неравенство
||еГ1'4* - еГ2'4*|| < ||А*||ет"'4*"|г1 - г2|. (20)
Используя соотношения (9), (10), (13), (20), нетрудно показать, что при ф € а функция /(г,ф) удовлетворяет по г б А условию Липшица с константой 12. Отметим, что константа 12 не зависит от ф € а.
Далее изучим вопрос о приближенном вычислении римановского интеграла (см. (12)—(14))
г
/ /(г, ф) йг при фиксированном ф € о с помощью интегральных сумм вида о
N — 1
(21)
г=0
где ш = {гг}^ — произвольное разбиение отрезка А точками 0 = г0 < г\ < ... < гдг = Т, N ^ 1,
Аг = Гг_|_1 - г,. / 0.....— I. р, г, + %-./' 0.....— I. Произвольному разбиению ш отрезка А
сопоставим величину
6(ш) = тах Д». (22)
i=q,...,n — 1
Лемма 3. При произвольном ф € а и произвольном разбиении ш = {г^}^ отрезка А справедлива следующая оценка (см. (13), (21), (22)):
г
}(г,ф)йг " 2
< (23)
Доказательство. Фиксируем некоторые ф € а и разбиение ш. Рассмотрим некоторое число i
гг+1
из множества чисел {0,..., N — 1} и величины / /(г, ф) ёг, /(р*, ф) А*, где р, г, + • Справедливо неравенство
»"¿+1 Гг+1
I /(г,ф)йг - /(рг,ф)Аг < I \/(г,Ф) - ¡(Риф)\(1г. (24)
Г г
При г € [rj,rj+i] выполняется неравенство (см. (13), (19))
\f(r^)-f(Pi^)\<l2\r-Pi\. (25)
Из соотношений (24), (25) вытекает неравенство
¡(г,ф) dr - f(pi^)Ai
< (26)
JV-l
Используя формулы (21), (26) и равенство ^ Ai =Т, нетрудно обосновать оценку (23).
г=0
Перейдем теперь к непосредственному построению сеточного метода для приближенного нахождения искомой величины 7 с помощью формул (12)—(15). Известно, что для любого а > 0 существует такое конечное множество векторов (pj 6 a, j G 1,2,..., S(a), что для любого вектора ф € а наиближайший из векторов (p,j — вектор ф(ф) G {<Pj} — удовлетворяет неравенству
|ф - ф(ф) | < а.
Говорят, что векторы cpj образуют си-сеть на а. Обозначим
max W(% (p:j) = Мсет. (27)
j=l,...,s(a)
В силу леммы 1
|Мсет - 7К ¡а. (28)
Фиксируем произвольное разбиение ш = {г^}^ отрезка А и обозначим
n-1
Мприб11= max (29)
3 = 1 ,...,s(a) ^
В силу леммы 3 и формулы (27)
|Мсет - Мприбл| < (30)
Из соотношений (27)-(30) получаем неравенства
Мприб11 si Мсет + —5(ш) < 7 + —8(ш),
I гр
7 si Мсет + la < Мприбл + —5(ш) + /а.
Отсюда следует неравенство
I гр
|мприбл - 7| < —<5(w) + la. Таким образом, если фиксировать малое е > 0, то при
< la < | (31)
будет выполняться искомое неравенство |Мприбл — 7] ^ е. Заметим, что при заданном е > 0 неравенства (31) выполняются при достаточно малых 6(ш) и а, т.е. при достаточно густом разбиении ш отрезка А и достаточно густой а-сети на а.
Отметим, что если удалось каким-нибудь образом вычислить выпуклый компакт 21, то для нахождения величины 7 (см. (7)) можно рассмотреть задачу максимизации гладкой функции /(у) = |у|2 на 21.
Тогда тах/(у) = 72. Для нахождения максимума функции /(у) на 21 можно использовать различные з/еа
численные методы (см., например, [6]). В монографии [7, с. 208-210] содержатся интересные факты о максимизации выпуклой функции на выпуклом компакте.
Для того чтобы несколько прояснить вопрос о возможном расположении точек максимума выпуклой функции /(у) на границе выпуклого компакта 21, рассмотрим следующий пример общего вида. Пусть в (1) п = г = т, А — нулевая матрица, В — единичная матрица. Тогда уравнение (1) имеет вид
где ж(0) = 0, и € I/ — непустому выпуклому компакту из Ка. Пусть далее О — единичная матрица и Т = 1. Тогда (см. (5), (6)) 21 = 1?(1). С помощью результатов из [2, 3], нетрудно показать, что в нашем примере 1?(1) = II. Таким образом, в рассматриваемом примере для нахождения искомой величины 7 можно рассмотреть задачу максимизации функции /(у) = |у|2 на II. Заметим, что II — произвольный непустой выпуклый компакт. Уже при п = 2 можно построить интересные картинки расположения точек максимума функции |у|2 при различных II. Главный, пожалуй, вывод из анализа этого общего примера состоит в том, что точек максимума может быть "много" и их множество может иметь весьма сложный вид на сфере 7а (здесь умножение числа на множество понимается в алгебраическом смысле (см. [2, 3])).
Для нахождения величины 72 можно также использовать принцип максимума Л. С. Понтрягина (см. [4-6]) следующим образом. Рассмотрим задачу максимизации терминального функционала
<р(х(Т,и(-))) = |Сж(Т,и(-))|2
для управляемого объекта (1) на множестве допустимых управлений и(-) с начальным условием ж(0) = 0. Нетрудно видеть, что искомый максимум в этой задаче максимизации совпадает с у2. На основании принципа максимума для оптимального управления й(1) € II, I € А, и соответствующего решения х(Ь) почти всюду при ^ 6 Д выполняется условие максимума
{Вй(г),ф(г)) = та х(Ви,ф(1)),
и еи
где ф(1) — решение сопряженного уравнения
ф = -А*ф
(* означает транспонирование матрицы) с концевым условием
ф(Т) = &аЛф(Т)),
где grad означает градиент функции. Отметим, что в общем случае в рассматриваемой задаче принцип максимума не является достаточным (это видно на простых примерах при п = г = т = 2), что затрудняет применение принципа максимума при нахождении величины 72.
В заключение кратко остановимся на вычислении диаметра множества 21. Диаметр й(К) непустого компакта К С Дто определяется по формуле
й(К) = тах \а — Ь\.
аек,ьек
Представляется, что величина (¿(21) (см. (4)) может представлять интерес для приложений как некоторая характеристика "кучности" множества 21. Покажем, как с помощью выпуклого анализа (см. [2, 3]) можно развить сеточный метод для вычисления (¿(21) по аналогии с изложенным выше сеточным методом для вычисления величины 7. Согласно [2],
(¿(21) = тах[И^(21, ф) + -ф)]. (32)
ф£<т
Нетрудно видеть, что при ф б о
Щ21, -ф) = Ш(Щ,ф),
где 2li = (—1)21. Поэтому (см. (32)) величину (¿(21) можно представить в виде
d(2l) = maxW(2l + 2li,^),
ф£<т
(33)
где сложение множеств понимается в алгебраическом смысле (см. [2, 3]). Учитывая формулу (33), рассмотрим новый управляемый процесс (ср. с (1))
где управляющий вектор ад принадлежит выпуклому компакту П = 17 + (—1)1/. По аналогии с вышесказанным получаем формулу (ср. с (12))
о
где ф € Ет. Используя формулы (33), (34), можно развить сеточный метод для вычисления диаметра (¿(21), заменяя в наших прежних построениях множество II на О.
1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: Физматлит, 2005.
2. Б лагодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление// Труды МИАН. 1985. 169. С. 194-252.
3. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.: Высшая школа, 2001.
4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.
5. Ли Э.Б., Маркус Д. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.
6. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
7. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит,
х = Ах + Bw
т
(34)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2007.
Поступила в редакцию 25.12.12
SOME NUMERICAL METHOD FOR APPROXIMATE SOLUTION OF THE B.V. BULGAKOV'S PROBLEM
Nikolskiy M. S.
In literature, devoted to optimization of control systems, it is well known the B.V. Bulgakov's problem about accumulation of disturbances in linear perturbated systems. In this paper it is considered more general case of this Problem and it is presented some numerical method of computation of the value which characterizes the maximum scattering of the perturbated system.
Keywords: B.V. Bulgakov's problem, optimal control, convex analysis, support functions, grid method.
