CC BY
63
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Международная деятельность вузов
№ 94(12)
УДК 378.1
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ КОМБИНАТОРИКЕ СТУДЕНТОВ - ИНОСТРАНЦЕВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ
Н.М. БАРАНОВА
Статья представлена доктором педагогических наук Жаровым В.К.
Рассмотрены некоторые особенности процесса обучения математике (тема « Комбинаторика») российских и иностранных студентов физико-математических специальностей подготовительного факультета РУДН. Даны методические рекомендации для преподавателей, проанализированы основные ошибки, допускаемые студентами из разных стран в процессе изучения «Комбинаторики».
Классиками отечественной психологии Рубинштейном Л. С, Талызиной Н.Ф., Выготским Л.С. и другими было отмечено, что для формирования познавательной деятельности учащихся необходимо научить их основным логическим операциям (анализу, синтезу, группировке, сравнению, обобщению и др.) [6, 9, 13]. Это наглядно можно продемонстрировать, изучая тему "Множества, операции над множествами".
Как известно, само понятие множества не определяется, а лишь иллюстрируется. Например, можно говорить о множестве книг в библиотеке, множестве студентов в аудитории, числовых множествах. При этом элементы множества могут отличаться друг от друга и от элементов другого множества. На практике часто приходится из конечного числа элементов некоторого множества составлять различные комбинации по некоторому правилу, например, находить подмножества, упорядоченные множества, кортежи, отображения и др. [5].
Первые математические занятия с иностранными студентами физико-математических, экономических и др. специальностей на русском языке мы также рекомендуем начинать с понятий числовых множеств [11]. Однако в связи с ограниченным словарным запасом и недостаточными математическими знаниями, они носят вначале лишь ознакомительный характер. Например: N=1 1,2,3,.. .,п,...} - множество натуральных чисел; 2={...,-п,...,-2,-
1,0,1,2,.. .,п,...} - множество целых чисел и т. д.
Во втором же семестре, когда частично снята лингвистическая проблема и повторены (изучены) основные темы математики (см. отраслевой стандарт [12]), целесообразно более подробно с иностранным учащимся остановиться на теме "Множества, операции над множествами, метод математической индукции...". Мы считаем, что к этому времени студенты уже готовы к строгому введению понятия натурального числа (т. е. используя аксиомы Пеано). Обычна это делается по следующей схеме: 1) 1 -натуральное число; 2) V nєN.З!n'=n+1єN (п' следует за п); 3) V пєД, п'^1 (1 не следует за любым другим натуральным числом); 4) если п'=т, п'є N т'є N п=т (никакое натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами); 5) аксиома индукции: Пусть множество М={т} с N а) 1єМ; в) если тєМ, т'єМ, тогда множество М содержит все натуральные числа: М=М (если множество М содержит 1 и вместе с каждым числом т содержит следующее за ним число т'=т+1, то М содержит все натуральные числа).
Данное определение на занятиях мы записываем с помощью символического языка математики (понятного иностранным учащимся) с пояснениями на русском языке. Применяя такую методику обучения, мы не только учим студентов формулировать строгие определения, умению записывать их математически, но и русскому языку. Аналогичным образом, на языке символов, следует вводить математические определения операций над множествами, с последующим приведением примера. Например,
Определение. А=В (А равно В): "аеА^"аеБ. При этом иностранные студенты, вслед за преподавателем, должны читать это определение так: "А равно В тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А есть элемент множества В и каждый элемент множества В есть элемент множества А". Пример: А={5,6,7}; В={7,5,6} => А=В.
Определение. АсВ:"ае А^аеВ (А подмножество В). Аналогично данное определение читают следующим образом: "А есть подмножество множества В тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А есть элемент множества В". Пример: А={2,4,6}; В={ 1,2,3,4,5,6} =>АсВ.
Также представляются понятия: объединение, пересечение множеств (а вместе с тем два основных закона комбинаторики - правило суммы и правило произведения множеств), разность множеств, дополнение множества до основного, разбиение множеств на непересекающиеся подмножества и др. Эти действия необходимы для дальнейшего изучения теории множеств, решения комбинаторных задач.
Вообще, комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств - "любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях" [4]. В комбинаторных задачах бывает часто необходимо подсчитать число всех подмножеств данного множества. Это можно сделать с помощью элементов соединений (размещения, перестановки, сочетания с повторениями и без повторений). Однако в одних задачах упорядоченные подмножества считаются различными, в других - порядок следования элементов неважен, и подмножества, отличающиеся только расположением элементов, не считаются различными.
Например, множество из п элементов можно разбить п!/т1!т2!...тк!: различными
способами на к попарно непересекающихся подмножеств, содержащих по т1,т2,...,тк элементов, где т1+т2+...+ тк=п (числа т[,т2,...,тк попарно не равны) или, скажем, п-элементное множество можно разбить на к-элементные подмножества (Ск )=
N
=2пспособами, т.е. ^ С1^ =2п и т. д.
К=0
Известно, что характерной чертой математического подхода к решению комбинаторных задач, является абстрагирование, т. е. выявление общей сути задач, внешне отличающихся друг от друга. Например, задачи:
«1) Сколькими способами можно поставить на черные поля доски 8 шашек? и 2) Сколькими способами можно выбрать делегатов из состава конференции, на которой присутствуют еще 64 человека?», - решаются одинаково (С64), хотя отличаются условиями.
При решении задач на соединения, преподавателю необходимо сначала оказать существенную помощь студентам, которая, опираясь на наблюдения, опыт и примеры, является мощным средством в подготовке учащихся к понятийному мышлению. Однако следует обратить внимание студентов на то, что примеры, наблюдение и опыт (как индуктивные методы в математике) не всегда дают верные результаты. Продемонстрировать это можно на опыте заключающемся в подбрасывании монеты. Здесь наблюдаются два исхода: либо монета упадет гербом вверх, либо - вниз. Тот или иной исход опыта зависит от многих причин, которые не учитываются и поэтому заранее предсказать результат нельзя. Но, если абстрагироваться от этого, то можно сказать, что оба исхода равновероятны и равны 1/2.
При составлении конспектов лекций и семинарских занятий по данной теме, было интересно отметить, что определения соединений без повторений иностранным студентам целесообразно сначала давать по Киселеву А.П. [7] (и то в упрощенной форме), как наиболее простых в языковом понимании, с последующим приведением примеров [2]. При внесении ясности в эти понятия, можно сформулировать данные определения, используя теорию мно-
жеств, например, как представлено у Виленкина Н.Я. [4] или Яковлева Г.Н. [8]. Рассмотрим, как это было сделано.
Определение. Размещениями из т элементов по п элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга порядком элементов или самими элементами.
Пример. Составим различные пятизначные числа из цифр 1,2,...,9, т. е. 34521, 12453, 98672, 98321 и т. д. Числа 34521 и 12453 отличаются порядком элементов, а числа 12453, 98672, 98321- хотя бы одним элементом. Таким образом, мы привели пример размещения элементов. И, если числа 1,2,...,9 составляют исходное множество, то числа 34521, 12453, 98672, 98321 и т. д. являются его упорядоченным подмножеством. То есть, данное определение можно сформулировать и по-другому.
Определение. Размещением из т элементов по п элементов называется каждое упорядоченное п-элементное подмножество т-элементного множества" [2].
В отличие от иностранных учащихся, российским студентам определения соединений без повторений следует давать по Виленкину Н.Я. или Яковлеву Г.Н., поясняя их, при необходимости, по Киселеву А.П. Например, определение. Сочетанием из т элементов по п элементов называется каждое п-элементное подмножество т-элементного множества (т. е. это соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом).
Выбирая активные методы работы с иностранными студентами, необходимо не только научить их решать задачи по данной теме, но и составлять. Составление текстов комбинаторных задач самими студентами, особенно иностранными, в процессе изучения этой темы является важной "индуктивной работой" каждого учащегося. Ни один вид работы, по мнению Эрдниева П.М. [14], не заставляет учащихся так активно мыслить, как составление задач. При этом студент должен суметь пройти все этапы пути составления задач: от начального до наиболее сложного (т. е. от нахождения хотя бы одного расположения объекта, обладающего заданными свойствами, до задач, содержащих несколько параметров). Например, если задачами первого уровня могут быть отыскание числа распределений семи учеников в одном ряду зрительного зала или нахождение такого расположения двух ладей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга, то уже задачами следующего уровня должны быть условия расположения на черных полях доски 12 белых и 12 черных шашек или нахождение количества способов обмена книгами двух друзей (по три экземпляра), у которых имеется по 30 и 40 книг соответственно и т. д. Тем самым каждый раз поднимаясь, как бы "по спирали", на более высокий уровень составления задач.
Многолетняя практика проведения аудиторных занятий у российских и иностранных студентов различных специальностей (физико-математических, химических, экономических) показывает, что различные типы задач у учащихся из многих стран мира, представляют разный интерес. Например, задачи из серии "азартных игр" вызывают любопытство у всех студентов без исключения. И уже по прошествии нескольких занятий по теме "Комбинаторика" можно предложить следующую задачу, сформулированную в учебнике Виленкина Н.Я. [5]:
"Сколькими способами можно заполнить карточки "Спортлото" (зачеркнуть 6 номеров из 49)? Во скольких случаях из выбранных шести номеров после тиража три (четыре, пять, шесть) окажутся угаданными правильно?" Решение данной задачи, по сути дела, разбивается на два этапа. Первый никогда не вызывает трудности у студентов. Очевидно, что заполнить карточки "Спортлото" можно столькими способами, сколько существует 6-элементных подмножеств у 49-элементного множества, т. е. используя формулу числа сочетаний без повторений С 49=49!/(49-6)!6! = 13983816.
Однако вторая же часть задачи, фактически, у многих учащихся (кроме, быть может, китайских, вьетнамских и некоторых российских), вызывает затруднение. Одни и те же ошибки студентов, как не странно, повторяются из года в год и заключаются в том, что истинное решение данной задачи подменяется следующим. Учащиеся показывают, что после тиража из выигранных шести номеров окажутся угаданными правильно три номера в С 6 случа-
ях, четыре номера - в С6 случаях, пять номеров - С6 случаях, шесть номеров - в С6 случаях, при этом забывая про остальные номера. При таком решении либо карточки "Спортлото" окажутся заполненными неправильно, либо сама карточка будет состоять из 6 номеров вместо 49. Представляя правильное решение, китайские студенты в интернациональной группе, могут лишь написать его (т. е. С43 • С| при условии выигрыша трех номеров, - С 23 • С 6 в случае выигрыша четырех номеров, С43- С6 - пяти номеров, С 3 • С6- шести номеров), но объяснить откуда взялись формулы числа сочетаний С 43 ,С 43 ,С 43 ,С 43 или почему имеет место произведение, они могут
лишь "на пальцах", возлагая работу "по расшифровке" на плечи преподавателя.
Российскими же студентами, при отсутствии языкового барьера, легче идет восприятие данной задачи, но понимание наличия произведения двух множеств также поддается с трудом. Лишь после подробного объяснения, а также решения некоторого числа "похожих" задач, они перестают воспринимать их как нечто сложное и неподдающееся пониманию.
Проведенный нами анализ учебной деятельности студентов показал, что при изучении комбинаторных задач на соединения с повторениями можно возбудить интерес студентов следующей задачей, сформулированной у Яковлева Г.Н. [8]: "Сейф запирается на замок, состоящий из пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры 0,1,2,...,9. Замок открывается, если на дисках набрана одна определенная комбинация цифр. Хватит ли 10 дней на открывание сейфа, если "рабочий день" продолжается 13 часов, а на оборот одной комбинации цифр уходит 5 секунд?". Уже сама формулировка таких задач вызывает азарт у студентов, хотя, по сути дела, сводится всего лишь к нахождению числа размещений с повторениями, а именно: А150 = 105 , т. е. количества комбинаций цифр сейфового замка. Причем
у студентов из разных стран на первых порах возникают свои проблемы. Например, африканские и латинские студенты с трудом переводят дни в секунды и наоборот, российские учащиеся путают, как правильно найти число размещений с повторениями (то ли А150 = 105 , то
ли А5° = 510). Китайские и вьетнамские студенты либо решают полностью правильно задачу,
либо не решают ее вообще. Наша же цель, на примере этой или какой другой задачи, научить их, абстрагируясь от условия, составлять алгоритмы (т. е. грамотно проводить анализ) и, используя аналитические или (и) синтетические методы, прийти к логическому завершению. Многолетний педагогический опыт показал, что данная методика обучения студентов-иностранцев будет иметь место, если в предшествующие уроки вводились базисные математические понятия и методы, а также лексико-грамматический минимум с перечнем основных речевых умений [12].
Другой активный метод стимулирования и мотивации учения, применяемый нами на практических занятиях, - игровой. Вербицкий А.А. в своей работе "Концепция знаковоконтекстного обучения в вузе" определил "деловую игру как форму создания предметного и социального содержания будущей профессиональной деятельности специалиста..." [3]. "Знаково-контекстное обучение" здесь проявляется в формировании условий будущей профессиональной деятельности учащегося. В качестве творческой деятельности студента-иностранца на неродном для него языке, может выступать педагогическая практика учащихся, сочетающая объяснения материала урока и преподавателем и студентом. Обучать творчеству -это "проектировать хороший процесс обучения с хорошим содержанием", с четким определением "конечной цели" [1].
Опыт показывает, что, выступая в роли преподавателя, китайские студенты предпочитают объяснять те темы, в которых больше формул и меньше русских слов (например, вывод формул бинома Ньютона), что связано с языковым барьером. Напротив, учащиеся из стран Африки, Латинской Америки, у которых так остро не стоит лингвистическая проблема, любят рассказывать своим товарищам вводные лекции, опираясь лишь на примеры и определения (например, теория соединений), что объясняется слабой математической базой. Смирнов С. Д.
писал, что "нельзя отрицать важного значения феноменов принятия и "исполнения" ролей в качестве одного из источников развития личности" [10].
Практикой доказано, что выступления студентов-иностранцев с подготовленными математическими докладами на русском языке также способствуют расширению их познавательных способностей сразу в двух направлениях: математическом и языковом. Темы выступлений можно варьировать в зависимости от учебного плана. Например, это могут быть следующие доклады: "Задачи теории соединений без повторений и методы их
решений", "Метод математической индукции и его использование в доказательстве теорем" и др. При правильном проведении занятия это может быть урок краткой и полной, связанной и последовательной речи, сочетающийся с единством математических знаний и умений.
Особое значение в обучении математике студентов-иностранцев приобретают задачи, активизирующие самостоятельную познавательную деятельность учащегося. "Не от знания к проблеме, а от проблемы к знаниям - таков характер проблемного обучения" по Смирнову С. Д. [10]. Внешне данный метод можно построить так: учитель ставит перед группой проблему (теорему, задачу и т. п.), а затем, путем целесообразных вопросов приводит учащихся к решению проблемы. Студенты постепенно преодолевают все этапы заданной проблемы, шаг за шагом, раскрывая таким путем необходимое доказательство (решение). Например, на занятиях решается следующая задача: "Сколько четырехзначных чисел, делящихся на пять, можно составить из цифр 0,1,3,5,7, если цифры в числе не повторяются?" Опишем процесс решения этой задачи в иностранной группе. Преподаватель ставит вопросы: «Какие числа делятся на 5?»; «Нарисуем схему таких чисел _ _ _0;_ _ _5.»; «Какое это соединение: размещение, сочетание, перестановка? Почему?»; «Сколько чисел, делятся на 5 и заканчиваются на 5?»;
«Может ли число начинаться с нуля, т. е. 0__5?»; «Сколько чисел, делятся на 5 и заканчиваются
на 0?».
Попутно с ответами студентов на вопросы решение фиксируется на доске и в тетрадях. Беседа заканчивается вопросами: «Что непонятно?»; «Как можно решить эту задачу по-другому?»; «Ле Тунг! Иди к доске и еще раз расскажи решение этой задачи».
Как показывает пример, преподаватель продуманно выбирает не только слова, понятные на данном этапе студентам - иностранцам, но и вопросы, необходимые для решения этой задачи. Каждый вопрос ставит перед учащимся новую проблему сразу в двух направлениях: языковом и понятийном. Причем, свои знания он раскрывает сам или при помощи преподавателя. Метод проблемных ситуаций отличается коллективной работой всей группы под руководством преподавателя над поставленной задачей. Но эта коллективность не мешает каждому студенту искать ответы на вопросы. Практика показывает, что этот метод вызывает активность подавляющего большинства учащихся. Вместе с тем, преподаватель имеет возможность наблюдать, кто из студентов не включился в общую работу и путем индивидуального обращения может втянуть их в обсуждение данной проблемы.
Опытом подтверждено, что при всем многообразии методов обучения иностранных студентов главный успех в достижении поставленных целей заключается в правильном и непосредственном общении преподавателя со своими учениками. Результаты, которых добивается педагог, связаны: с умением установить контакт с учащимися, со знанием правильной организации межличностных отношений студентов в группе, с возможностью "принять" каждого студента в отдельности, с развитием самостоятельности в обучении. Ведь только в сочетании педагогического опыта и высокой квалификации преподавателя, при установлении тесных двусторонних связей со студентами, можно осуществить обучение приемам и способам умственной деятельности, формированию мыслительных процессов обучаемых.
ЛИТЕРАТУРА
1. Амонашвили Ш.А. и др. Педагогический поиск. - М., Педагогика, 1987.
2. Баранова Н.М., Баринова Н.А., Громов А.И., Люлевич Г.М., Соколова Л.И. Элементы
комбинаторики (учебно-методическое пособие). - М.: РУДН, 1996.
3. Вербицкий А. А. Концепция знаково - контекстного обучения в вузе. //Вопросы психологии. 1987, №5.
4. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 1976.
5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Швацбурд С.И. Алгебра и математический анализ. -М.: Просвещение, 1984.
6. Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М., 1996.
7. Киселев А.П. Алгебра. - М.: Учпедгиз, 1947.
8. Пособие по математике для поступающих в вузы; Под ред. Яковлева Г.Н.-М.: Наука, 1982.
9. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. - Т. 1,2. - М., 1989.
10. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: От деятельности к личности. - М., 2001.
11. Соколова Л.И. Методические указания к изучению элементарной математики на русском языке при раннем введении предмета. - М.: РУДН, 2000.
12. Сурыгин А.И. Педагогическое проектирование системы предвузовской подготовки иностранных студентов. - С.-Пб., 2001.
13. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. -М., 1983.
14. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. - М.: Просвещение, 1970.
ASPECTS OF CYBERNETICS TEACHING METHODICS FOR FOREIGN STUDENTS STUDYING MATHEMATICS AND PHYSICS IN THE PREPARATORY COURSE PROGRAMME
Baranova N.M.
Features of teaching of mathematics for russian and foreign students studying mathematics and physics in the Russian People’s Friendship University’s preparatory course are considered. Common errors of foreign students are analyzed.
Сведение об авторе
Баранова Нина Михайловна, окончила МГУ ВМК(1985), старший преподаватель РУДН, автор более 10 научных работ, область научных интересов - проблемы преподавания иностранным студентам на неродном для них языке.
