Методические подходы к выводу формулы числа сочетаний с повторениями при изучении элементов комбинаторики Текст научной статьи по специальности «Математика»

GEOGRAPHICAL SCIENCES

УДК 510.34

Глушков А. И., Шенцева Л. Н. Воронежский филиал ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г.В. Плеханова» РР1: 10.24411/2520-6990-2019-10515 МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ВЫВОДУ ФОРМУЛЫ ЧИСЛА СОЧЕТАНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ КОМБИНАТОРИКИ

Glushkov A. I., Shentseva L.N.

Voronezh branch of the Plekhanov Russian University of Economics

METHODICAL APPROACHES TO THE DERIVATION OF THE FORMULA OF THE NUMBER OF COMBINATIONS WITH REPETITIONS IN THE STUDY OF ELEMENTS OF COMBINATORICS

Аннотация

В данной статье представлена методика изложения материла по теме «Сочетания с повторениями». Доказательство основных комбинаторных формул не представляет сложности, за исключением формулы для подсчёта числа сочетаний с повторениями. Анализируются различные подходы к выводу формулы числа сочетаний с повторениями, опирающиеся на единый алгоритм, несложный для понимания, как студентами высших и средних специальных учебных заведений, так и учащимися старших классов школ. Предложена авторская методика вывода формулы с использованием метода математической индукции.

Abstract

This article presents a method ofpresentation of the material on the topic "Combinations with repetitions". The proof of the basic combinatorial formulas is not difficult, except for the formula for counting the number of combinations with repetitions. Various approaches to the conclusion of the formula of the number of combinations with repetitions, based on a single algorithm, easy to understand, as students of higher and secondary special educational institutions, and high school students are analyzed. The author's method of derivation of the formula using the method of mathematical induction is proposed.

Ключевые слова: комбинаторика, сочетание с повторениями, правило произведения, сочетание без повторений, перестановка с повторениями, математическая индукция, рекуррентная формула

Keywords: combinatorics, combination with repetitions, rule of product, combination without repetitions, permutation with repetitions, mathematical induction, recurrence formula

Предмет «Теория вероятностей и математическая статистика» является важной частью математического образования выпускника любого учебного заведения. Многие науки развиваются на вероятностно-статистической базе. Изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно необходимо в современном перенасыщенном информацией мире.

При решении различных задач по теории вероятностей и математической статистике при определении вероятностей различных случайных событий и случайных величин наибольшую трудность представляет подсчёт общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае число исходов, как правило, находят по формулам комбинаторики.

С помощью комбинаторных формул определяют число элементарных исходов в опыте, состоящем в выборе т элементов из п элементов исходного множества. Для изучения элементов комбинаторики необходимы знания по теории множеств. Сложность изучения комбинаторики на сегодняшний день заключается в том, что в современной рос-

сийской школе в школьном курсе математики теоретико-множественный подход отсутствует. Поэтому элементы комбинаторики можно изучать на основе понятий соединения элементов, наборов объектов любой природы, количества таких наборов [1, с. 4]. И даже хорошее владение другими разделами математики не гарантирует развития вероятностного мышления и не избавляет от вероятностных заблуждений [2, с. 52].

Вывод в общем виде любой формулы комбинаторики, на наш взгляд, нужно начинать хотя бы с одной комбинаторной задачи по данной теме с конкретными числовыми данными и попытки нахождения алгоритма её решения. Алгоритм решения частной задачи будет служить основой для формирования комбинаторных понятий, поможет заметить и понять закономерности, что позволит вывести комбинаторную формулу для общего случая.

Вывод формул числа перестановок, размещений и сочетаний без возвращения и формул размещений и перестановок с повторениями достаточно прост, чего нельзя сказать о формуле сочетаний с повторениями С™ = С%+т-1.

<<ШУШетиМ~^©У©Ма1>#Щ4©)),2Ш9 / ОБООЯЛРШСЛЬ 8С1Б1ЧСБ8

Сочетание не меняется от перестановки элементов. Поэтому одинаковые элементы можно разместить рядом. Пусть в сочетании, состоящем из т элементов, первый элемент исходного множества, состоящего из п элементов, встречается к1 раз, второй элемент встречается к2 раз и т. д., где к1 + к2 + —+ кп = т.

Простой вывод формулы сочетаний с повторениями был предложен Л. И. Креером [5, с. 7]. По мнению авторов, этот метод представляет собой интерпретацию метода математической индукции, где из сочетаний, состоящих из двух элементов получают все сочетания из трёх элементов и т. д., располагая их в виде таблицы и ориентирован он на учащихся школ.

Существует несколько способов вывода формулы числа сочетаний с повторениями, которые являются разновидностями одного и того же алгоритма - замене сочетаний кодами. Они не являются сложными для понимания, как студентами, так и учащимися старших классов. Опишем кратно эти методы.

Наиболее часто встречается в различных учебниках способ, когда каждое сочетание с повторениями заменяется последовательностью, состоящей из нулей и единиц. В частности, такое доказательство приводится в учебнике для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень) «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 11 класс» [3, с. 248] или в [4, с. 38]. Сначала пишется столько единиц, сколько раз в сочетании встречается элемент первого вида, потом ноль. Затем столько единиц, сколько в сочетании встречается элемент второго вида, снова ноль и т. д.

Всего последовательность содержит т единиц и п — 1 нулей. Нулей и единиц в последовательности будет п + т — 1. Имеем дело с перестановками с повторениями, где повторяющихся элементов первого типа будет т, а второго типа п- 1. Число таких перестановок равно Рп+т-1(т,п — 1) =

(т+п-1)\ _ т _ п-1

т\(п-1)\ ^п+т-1 ^п+т-1-

Сочетания можно закодировать другим способом. Каждому т - сочетанию из п - элементного множества сопоставим набор (к1,к2,.,кп) из натуральных чисел, указывающих число повторений каждого элемента из исходного множества в выбранном сочетании. Каждому полученному набору (к1, к2,...,кп) сопоставим набор (Р1, Р2,.,Рп) где VI = к1 + 1,,1<-р1<т + 1,1 = 1,2,., п. Тогда р1+р2 +—+рп = к1 + к2 + —+кп + п = т + п. Заменим в наборе

(Р1, Р2,.,Рп) числа Р1,Р2,...,РП на Р1,Р2,.~,РП единиц, отделённых друг от друга нулями. Получим набор, состоящий из т + п последовательно записанных единиц, разделённых нулями на п частей, состоящих соответственно из единиц. Нули в каждом наборе могут стоять на любом месте, кроме первого и последнего. Так как нули не могут стоять рядом, то тогда их можно будет расставить на п + т — 1 местах. Задача свелась к нахождению числа сочетаний без повторений из п + т — 1 элементов

по т элементов. Следовательно, число сочетаний с повторениями равно С™ = С™+т-1.

Ещё один достаточно несложный для понимания метод, основанный на замене сочетаний последовательностью чисел, носит название доказательства Эйлера [6, с. 19]. Запишем порядковые номера элементов сочетания. К номерам элементов а1 прибавим 0, к номерам элементов а2 прибавим 1, к номерам элементов а3 прибавим 2 и т. д. В общем виде к номерам элементов а1 будем прибавлять число I — 1,0 < I < п — 1. Самое большое число в этом случае может быть равно т + п — 1, если в сочетании на последнем месте будет стоять элемент ап, а самый маленькое равно 1. Каждому сочетанию с повторениями, можно поставить в соответствие набор чисел, представляющий собой возрастающую последовательность чисел от 1 до т + п — 1, в которой ни одно число не повторяется. Общее число всех таких сочетаний будет равно числу всех возрастающих последовательностей. Это число представляет собой число всех неупорядоченных выборок из т + п — 1 элементов по т элементов,

т р Ст — гт т е., ^п ~ ип+т-1.

В учебниках по комбинаторике практически не встречается доказательство формулы методом математической индукции. Приведём авторскую методическую разработку данного доказательства.

Для удобства обозначим число сочетаний с повторениями С™ через [(п,т). Вставить один элемент в сочетание, состоящее из к элементов можно п + к способами, добавив к уже выбранным к элементам либо один из них, либо любой из множества (а1, а2,..., ап). Тогда по правилу произведения получим (п + 1) • [(п, к) сочетаний, причём в к + 1 случаях сочетание не изменится. Поэтому справедлива следующая рекуррентная фор-

Г(п,к + 1) = ^-г(п,к) =

мула С

ип.

Заметим, что [(п,0) =п и /(1,т) = 1. Зафиксируем какой-либо элемент в исходном множестве (а1, а2, ...,ап). Тогда, если любое сочетание с повторениями, состоящее из т элементов, содержит данный зафиксированный элемент, то остальные

т — 1 элементов можно выбрать [(п,т — 1) способами. Если в сочетании этого элемента нет, то сочетание составлено из п — 1 элементов исходного множества (а1, а2,... ,ап), за исключением данного зафиксированного элемента. Тогда число таких сочетаний будет равно [(п—1,т). По правилу суммы получаем /(п,т) = /(п,т — 1) + f(n — 1,т), т. е., справедлива ещё одна рекуррентная

формула: С,

т — гт—1

+ С

Так как = 1 и С® = 1, то С® = =

Г0

ип+0-1.

¡(п, 1) = ¡(п, 0) + [(п — 1,1) = 1 + п — 1 = п . Но С^ = С^+1-1, значит & = С^^.

Число сочетаний [(п, 2) можно получить следующим образом. К сочетанию, состоящему из элемента а1, последовательно добавим по одному элементу а1, а2,а3... ,ап из исходного множества. Таких сочетаний будет п. К сочетанию, состоящему

из элемента а2, последовательно добавим по одному элементу а2, а3,а4 ...,ап., так как сочетание (ах,а2) уже имеется и т. д. К сочетанию, состоящему из элемента ап добавим элемент ап. Получаем /(п,2) = с| = п + (п - 1) + (п - 2) + ••• +

(п+1>п _ (п+1>п<п-1)! _ (п+1)! _ „2

2!<n-1)!

2!<n-1)!

C2--

un+1

2 + 1 =■

Г2

Сп+2-1. _

Делаем предположение, что СП" = СП+т-1. Докажем это с помощью математической индукции.

Прежде, чем перейти к доказательству формулы проверим её справедливость с помощью электронных таблиц Excel, используя встроенную мате-

матическую функцию, которая возвращает количество комбинаций с повторами для заданного числа элементов. Пусть, например, п = 7. Найдём количество всех сочетаний с повторениями при т = 1,2,3,..., 11. Для этого в ячейку Л2 введём значение 7, в ячейки £2: £12 введём значения 1,2,3, .,11. В ячейку C2 введём формулу = ЧИСЛКОМБА(4$2;£2), указав на ячейку Л2 абсолютную ссылку по строкам, так как значение п = 7 не меняется. Скопировав введённую формулу в ячейки С3: С12 получим количество сочетаний с повторениями при т = 1,2,3,..., 11.

H ъ- Книга!-Excel m - 0 X

Главная | Вставка Разметка страницы Формулы Данные Рецензирование Вид Ç Что вы хс 1тите сделать? Александр Глушков fiy. Общий доступ

lew Roma -|ld - А"

Ч - ш - I 2ä ' А -

Шрифт г.

— = = ty- Щ? -|

- - g - № - % ООО *-öS 4°S

ЩШ

Условное

форматирован*.

Выравнивание

Форматировать Стили

и Вставить - 2 - Awr О

* Удалить - [Т] '

„ _ Сортировка Найти и

$с [I =ЧИСЛКОМБА(А$2;В2}

А в с D Е F Q H J к L , M N О P Q К S

1 11 m число сочетавпи

= 7 1

3 4 5 2 28

3 84

4 210

6 5 462

7 6 924

8 1 1716

9 8 3003

10 9 5005

11 10 8008

12 11 12376

13

14

15 16 17 ' S 14

□

% .,.ii Г' тй Ф> РУС

Далее можно проверить справедливость формулы, например, при т = 4:

С-4 = С>4+4-1 = С-|4П = —- =-= 210. Выдвигаем гипотезу, что формула верна и докажем её.

Справедливость формулы при т = 0, т = 1 и т = 2 была показана выше. Предположим, что формула верна для при т = к, то есть, справедливо

равенство = С,^^ = <п+га ^ Покажем, что при данном предположении формула будет верна и при т = к + 1: Сп^1 = С^1 = ■ (п+*)!

(fc + 1)!<n-1)!

Преобразуем выражение

(n+fc)!

(fc+1)!<n-1)!' (n+fc)! (n+fc-1)!<n+fc) (n+fc-1)! n+fc

fc!<n-1)! fc+1

(fc+1)!<n-1)! fc!<fc+1>(n-1)!

n+n=n+r• Но n+n ■ k) = /с«,k + 1).

Поэтому

(n+fc)! _ rfc+1

cn+1 = /(n,k + i) = cnfc-n^ =

№+1)! (п 1) Сп+1, что и требовалось доказать.

С методической точки зрения, как показывает практика такая модель доказательства позволяет увидеть комбинаторную зависимость, поможет обучающимся развить мышление, логику рассуждений, интуицию и сформировать прочные знания по теме «Элементы комбинаторики». Хотя такое доказательство больше ориентировано на сильных

студентов и учащихся школ с углублённым изучением математики. Преимущество индуктивного метода доказательства, несмотря на его некоторую сложность состоит в том, что для вывода формулы потребовалось сначала вывести некоторые рекуррентные формулы. После создания математической модели числа сочетаний с повторениями (рекуррентных формул /(п, ш) = /(п,ш — 1) + /(п — 1, ш), /(п, ш) = 1 • /(п, ш — 1), /(п, 0) = п, /(1,ш) = 1), можно предложить обучающимся провести компьютерный эксперимент, т. е. написать рекурсивную программу на одном из языков программирования. Например, используя формулы /(п, ш) = 1 • /(п, ш — 1), /(п, 0) = п и

/(1, ш) = 1, можно без труда написать программу на языке программирования Pascal, который знают многие старшеклассники: Program comb; var n, m: byte; c: longint; function f(a, b: byte): longint; begin

if (a<>1) and (b<>0) then f: =(a+b-1) *f (a, b-1) div b else begin

if b=0 then f: =1 else f: =a end;

<<ШУШетиМ~^©У©Ма1>#Щ4©)),2Ш9 / GEOGRAPHICAL sciences

end; begin

write ('введи n и m: '); readln(n, m); c: =f(n,m); writeln('c=', c); end.

Список литературы

1. Берник В. И., Пирютко О. Н. Элементы комбинаторики и бином Ньютона. Решение задач: пособие для учителей учреждений общего среднего образования. - Мозырь: Белый Ветер, 2016. —110 с.

2. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики. - //Математика в школе. -2002. - № 4. - с.52 -58.

3. Виленкин Н. Я, Ивашев -Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Математика: Алгебра и начала

математического анализа, геометрия. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень). - 18-е. изд., стер. - М.: Мнемозина, 2014. - 312 с.

4. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М.: «Просвещение», 1976. -48 с.

5. Креер Л. И. Простой вывод формулы сочетаний с повторениями. Сборник статей по элементарной и началам высшей математики, Математическое просвещение, серия 1, выпуск 13, 1938. -80 с.

6. П.А. Корнилов, Н.И. Никулина, Семенова О.Г. Элементы дискретной математики. Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушин-ского, 2005. - 91 с.