CC BY
75
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОБ ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО
КОМБИНАТОРИКЕ Останов К.1, Шукруллоев Б.Х.2, Азимов А.А.3 Email: [email protected]
'Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, механико-математический факультет; 2Шукруллоев Бектош Хабибулло оглы - ассистент; 3Азимов Алижон Ахмадович - ассистент, кафедра алгебры и геометрии, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой статье раскрывается особенности обучении учащихся методам решения задач по комбинаторике при изучении школьного курса математики, коме того рассматривается методы решения исторических комбинаторных задач, задачи на правило умножения, развитие навыков решения задач на формирования комбинаторных понятий, дерева вариантов, факториала, применение к решению уравнений и упрощению выражений. При обсуждении формул фигурных чисел предлагается давать задания учащимся самостоятельно найти закономерность и убедиться их правильности при конкретных значениях натуральной переменной, а затем решать задачи на нахождение по формуле какого-то определенного числа по расположению и вида числа; обратные задачи по числу найти к какому виду относится данное число, при обсуждении решении задач аналогичной известной задаче, в котором требуется найти число возможных посадок мест людьми, количество которых равен числу мест указывается сначала нумеровать места, а затем найти количество перестановок посадки этих мест людьми.
Ключевые слова: комбинаторика, перестановки, размещения, сочетания, задачи, правило умножения, навыков, мышление, развитие, умения, понятия, дерево вариантов.
ON TRAINING OF STUDENTS TO THE METHODS OF SOLVING THE TASKS COMBINE Ostanov K.1, Shukrulloev B.Kh.2, Azimov A.A.3
'Ostanov Kurbon - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MECHANICS
AND MATHEMATICS, 2Shukrulloev Bektosh Khabibullo - assistant, 3Azimov Alizhon Akhmadovich - Assistant, DEPARTMENT OF ALGEBRA AND GEOMETRY,
SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article reveals the peculiarities of teaching students how to solve problems in combinatory when studying a school course in mathematics; solving equations and simplifying expressions. When discussing the formulas offigure numbers, it is proposed to assign tasks to students to independently find a pattern and make sure they are correct for specific values of the natural variable, and then solve the problem offinding a certain number by the location and type of number; inverse problems by number to find out what kind a given number belongs, when discussing solving problems of a similar well-known problem, which requires finding the number of possible places for people, whose number is equal to the number of places, first indicate the numbering of places, and then find the number ofpermutations ofpeople's landing.
Keywords: combinatory, permutations, placements, combinations, tasks, multiplication rule, skills, thinking, development, skills, concepts, tree of options.
УДК 3 72.851
При изучении комбинаторики надо сначала дать учащимся исторические аспекты возникновения этого раздела математики. Поэтому учащимся можно рассказать о том, что
первоначальные понятия развивалась в Древнем Китае, а потом в Европе, в период Римской империи. Окончательно как один из разделов математической науки возникло в XVIII в. Этому также содействовало исследования ученых методов решения задач, связанные с нахождением вероятности событий. В то время математиков заинтересовало проблемы поиска формул для вычисления так называемых фигурных чисел, т.е. чисел которые представляли какую-то определенную геометрическую фигуру. Например, квадратных чисел (1, 4, 16, 25, ...), можно было изобразить с помощью точек в виде квадрата. Так математики нашли формулу для вычисления таких чисел. Таким же образом были найдены формулы треугольных чисел (1, 3, 6, ,„к , гт п(п +1)
10,15, . . .) у ^ = —-- , а также пятиугольных
(1, 5, 12, 22, . . .) п = п + 3 п(п ~1) .
п 2
При обсуждении формул этих чисел целесообразно самим найти закономерность это числовой последовательности и убедиться их правильности при конкретных значениях натуральной переменной и затем предлагать учащимся решать следующих типов:
1. Нахождение по формуле какое-то определенное число по расположению и вида числа, здесь два параметра: место и вид числа.
2.Решить обратную задачу по числу найти, к какому виду относится данное число
Затем учащимся рассказывать о том, что в практической деятельности иногда встречаются такие моменты или ситуации, в которых человеку приходится найти правильный выбор из возможных вариантов. При этом ему нужно сделать такой выбор, чтобыэто способствовало решению предложенной задачи. В этом случае проверяется все возможные решения поставленной задачи.
Решая, например, задачу с учащимися, можно сосчитать сколько двузначных чисел используя 2, 3 и 5, они с помощью подбора найдут
Что таких чисел имеется ровно 9: 22, 23, 32, 33, 25, 35, 52, 53, 55. Поэтому учащимся важно понять, что для того чтобы найти число всех возможных вариантов в процессе осуществления двух независимых опытов необходимо найти произведения количества этих двух опытов.
Например, чтобы составить из нескольких различных цифр, четырехзначных нечетных чисел, в которых цифры может повторяться сначала подсчитываются все возможные варианты для цифры, стоящей на первом месте, а потом для цифры, стоящей на втором месте, и т.д. В конце все эти возможные варианты умножаются и получается решение задачи. Например, при нахождении количества двухзначных чисел, составленных из цифр 1,3,5,7,9, найдем: для цифры 1: 11, 13,15, 17,19, для цифры 3: 31,33,35, 37,39 , для цифры 5: 51,53,55,57,59, и т.д. т.е. для каждой цифры по 5 двухзначных чисел и всего таких чисел будет 25 штук. Такую закономерность можно увидеть 52=25. Поэтому для продолжения этой закономерности проверить, сколь трехзначных чисел можно составить из этих пяти цифр, цифры которых могут повторяться. Гипотеза 53=125. Будет ли верна? Теперь уже учащимся будет понятным, что проверка этой гипотезы вовлечет их к способу проверки правила умножения для любого числа опытов, которые находятся поиском различных вариантов решения задачи. При обсуждении решения известной задачи, в которой требуется найти число возможных посадок мест людьми, количество которых равно числу мест, сначала нумеруются места, затем найдется количество перестановок посадки этих мест людьми. С помощью вышеуказанного правила поиска различных вариантов найдем общее количество посадок в зависимости от числа посадки мест и людей, т.е. получается такая гипотеза: общее число перестановок равно произведению всех чисел от одного до общего количества посадки мест. Для проверки этой гипотезы учащимся предлагается решать задачи с конкретным содержанием. Например, раскладка некоторого количества различных писем по одному в конверты или число рукопожатий некоторого количества друзей и т.д.
Процесс изучения методов решения задач показывает, что фабула и сюжет задач различны, но полученные решения представляются по одинаковой закономерности. Так учащиеся приводятся к понятию факториал, т.е. произведению первых чисел натурального ряда
п! =1-2-3-. . .(п-2) ■ (п-1) п и обозначению п!. При этом важно подчеркнуть, что в математике принято, что 0! =1. Затем предлагается вычислить несколько первых значений 1!=1, 2! =12=2, 3! =1-2-3=6, 4! =1-2-3-4=24 .
Отсюда с учащимися можно обсудить следующий вопрос: если множество состоит из n различных элементов, то сколькими способами их можно нумеровать с помощью чисел от 1 до n [2].
При этом любой такой способ обозначения элементов с номерами нумерации от 1 до n является перестановками элементов данного множества, в котором имеется п элементов. Здесь основное внимание обратить на тот факт, что при выполнении каждого такого способа элементы данного множества будут находится в определенном порядке и таким образом в общем случае количество перестановок Pn выражается формулой P = n!, т.е.
равен факториалу от числа элементов данного множества. Для отработки умений воспользоваться формулой факториала можно дать задачи на вычисления конкретного значения факториала, задачи деления факториала на данное число, задачи на определение количества нулей в конце факториала.
При формулировке общего определения перестановок надо обращать внимание учащихся на две признака этих перестановок: во-первых, они составляется из всех элементов по одному разу, и, во- вторых, эти соединения отличаются порядком, с которыми размещаются элементы. Иногда их называют комбинациями, иногда соединениями, но смысл их одинаково выражает сущности данного понятия. Кроме того, с учащимися надо выяснить, что число перестановок обосновывается на основе правила умножения. При закреплении этого понятия с учащимися можно решать задачи жизненного характера, т.е. задачи которые встречаются в быту, при решении задач других предметов, например, задачи по определению количества очередей в ту или иную кассу для получения товара, билета или приему врачу,
Список литературы / References
1. ВиленкинН.Я. Индукция. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. М.: Просвещение, 1976. 46 с.
2. ЕжовИ.И., Скороход А.В., ЯдренкоМ.К. Элементы комбинаторики, перев. с укр. М.: Наука, 1977. 80 стр.
СОВРЕМЕННЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Амет-Уста З.Р.1, Вовк С.А.2 Email: [email protected]
'Амет-Уста Зарема Ремзиевна — кандидат педагогических наук, доцент; 2Вовк Светлана Александровна — студент, кафедра дошкольного образования и педагогики, Крымский инженерно-педагогический университет, г. Симферополь
Аннотация: в статье рассматривается проблема обучения студентов высших учебных заведений, посредством современных образовательных технологий, а именно: авторитарных, дидактоцентрических, личностно-ориентированных, гуманно-личностных, технологий сотрудничества, свободного воспитания, эзотерических. Показано, что обучение, с помощью образовательных технологий, обеспечивает и ускоряет процесс получения и усвоения новых знаний студентами, а значит, способствует улучшению качества образования. Ключевые слова: образовательные технологии, ВУЗ, педагогические технологии.
MODERN EDUCATIONAL TECHNOLOGIES Amet-Usta Z.R.1, Vovk S.A.2
'Amet-Usta Zarema Remzievna — PhD in Pedagogy, Associate Professor; 2Vovk Svetlana Aleksandrovna — Student, DEPARTMENT OF PRESCHOOL EDUCATION AND PEDAGOGY, CRIMEAN ENGINEERING-PEDAGOGICAL UNIVERSITY, SIMFEROPOL
Abstract: the article deals with the problem of teaching students of higher educational institutions, through modern educational technologies, namely: authoritarian, didactic, personal-oriented, humane-personal, cooperation technologies, free education, esoteric. It is shown that training with the
