Некоторые аспекты методики изучения решения иррациональных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

1 2 3

Останов К. , Файзуллаева Б. , Азизова Т.

1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики; 2Файзуллаева Буврозия - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, механико-математический факультет, Самаркандский государственный университет; 3Азизова Турсуной - преподаватель, лицей Самаркандского филиала Ташкентский университет информационных технологий, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье рассмотрены в общем случае некоторые аспекты методики изучения решения иррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств затрудняет учащихся тем, что здесь нет возможности проверять решение, поэтому все применяемые тождественные преобразования должны быть равносильными. Основным методом решения иррациональных неравенств является приведение неравенства к равносильной системе или совокупности рациональных

неравенств. Например, по схеме 2 неравенства вида ^/(X) > х) или

П/(х) > g(X), п £ N п > 2 если п - нечетное, то решается ему равносильное

неравенство /(х) > gn (х) или неравенство /(х) > gn (х) , поэтому решая их найдем все решения неравенства и аналогично решаются и другие методы решения в различных случаях в зависимости степени корня п.

Ключевые слова: неравенство, иррациональное, четное, нечетное, возведения в степень, система, совокупность, метод, равносильная система, тождественные преобразования, решение, выражение, случаи.

Решение иррациональных неравенств тем затрудняет учащихся, тем, что здесь нет возможности проверять решение, поэотму все применяемы тождественные преобразования должны быть равносильными. Основным методом решения иррациональных неравенств является приведение неравенства к равносильной системе или совокупности рациональных неравенств. При этом особый интерес представляет решение следующих неравенств, соответствующих аналогичным иррациональным уравнениям [1].

1. Неравенства вида (х) < g(х) или (х) < g(х), п £ N, п > 2

Если п - нечетное, то данное неравенство равносильно неравенству

I(х) < gn (х) или неравенству /(х) < gn (х) , поэтому решая их найдем все

решения неравенства[2].

Если п - четное, то тогда в силу неотрицательности выражения ^/(х) придем к

системе трех неравенств

I(х) < gn (х),

1(х) > 0, или пЦ-) < ё (х) ^

g (х) > 0

пЦЮ < g (х) »

I(х) < яп (х), I(х) > 0, (1)

Я(х) > 0.

Первый из них решается возведением неравенства в четную степень, второй является условием существования арифметического корня в данном неравенстве, третий обеспечивает возможности возведения в четную степень ( напомним, если по крайней мере один из двух частей неравенства является отрицательным, то их нельзя возвести в четную степень, так как при этом может измениться знак неравенства)

Пример 1. Решить неравенство: у/х +18 < 2 — х.

Решение. По схеме (1) найдем равносильную данному неравенству систем неравенств :

х +18 > 0, 2 — х > 0, х +18 <(2 — х )2

О <

х >—18, х < 2,

х2 — 5х —14 > 0

I —18 < х < 2, о <! О

х < —2, х > 7

4т > я (х)

о

или

цЩх) > я (х) О

(2)

—18 < х <—2.

2. Неравенства вида (х) > я(х) или (х) > я(х), п е Ы, п > 2.

Если п - нечетное, то данное неравенство равносильно неравенству /(х) > я" (х) или неравенству /(х) > я" (х) , поэтому решая их найдем все решения неравенства.

Если п - четное, то тогда в силу неотрицательности выражения " / (х)

[я(х) > 0, {/(х) > я" (х),, [я(х) < 0, {/(х) > 0

придем к совокупности систем двух неравенств. Рассмотрим первую систему совокупности (1). Первое неравенство этой системы есть условие возведения неравенства в четную степень, второй- результат возведения в эту степень. Из второй системы (1) получаем: первое неравенство означает, что отрицательность правой части данного неравенства, и поэтому нельзя возвести в четную степень. Однако для левой части определено арифметический корень, т.е. оно определено для всех неотрицательных х. Поэтому данное неравенство выполняеся при всех х, при которых определено левая часть данного неравенства. Второе неравенство выражает условие существования левой части неравенства[3].

Пример 2. Решить неравенство: у/х2 + х — 2 > х .

Решение. Использование схемы (2) позволяет привести неравенство к равносильной совокупности двух систем с двумя неравенствами:

Гх > 0,

я (х) > 0, Г(х) > я" (х), я (х) < 0, Г(х) > 0.

|х > 0,

[х2 + х — 2 > х2,

\х < 0,

I х2 + х — 2 > 0

о

|х > 0, [х — 2 > 0, \х < 0,

[(х + 2)(х — 1) > 0

о

х > 2,

х < 0, О х < —2, х > 1

х < —2, х > 2.

<

3. Неравенства вида (х) < "Iя(х) или (х) < "я(х)," е Ы,п > 2. Если п - нечетное, то данное неравенство равносильно неравенству /(х) < Я(х) или неравенству /(х) < х) поэтому решая их найдем все решения неравенства. Если п - четное, то тогда нужно перейти системе:

4лх <

о <

У(х) < я(хХ У (х) > 0, О я (х) > 0

У(х) < я(х), У (х) > 0

(3)

или

Ух) < "¡^х)

о <

У (х) < я(х),

У (х) > 0, О я (х) > 0

У (х) < я(х), У(х) > 0.

Пример 3. Решить неравенство — 1 < 4/2 — х.

Решение. По схеме 3 неравенство заменим двумя системами неравенств:

х — 1 < 2 — х, х — 1 > 0

о <

х <

3

2, о 1 < х < 1,5.

х > 1

4. Неравенства вида ^У(х) > ^я(х) или ^У(х) > "я(х)," е Ы," > 2 Если п - нечетное, то данное неравенство равносильно неравенству /(х) > Я(х) или неравенству /(х) > Я(х) поэтому решая их найдем все решения неравенства[4].

Если п - четное, то тогда нужно перейти системе:

У(х) > я(х), "Ух) >"[¿х О ¡У(х) > 0, я (х) > 0

[У(х) > я(х),

О

У(х) > я(х), я (х) > 0

или

(4)

Ух) > Ух) О ¡У(х) > 0,

я(х) > 0

о

\У(х) > я(х), 1я(х) > 0.

Пример 4. Решить неравенство (х + 1)л/х2 — х — 6 > 6х + 6.

Решение. Это неравенство решим методом разложения на множители.Тогда

(х +1)4х2 — х — 6 — (6х + 6) > 0. Отсюда (х +1)^х2 — х — 6 — 6) > 0.

получаем

Перейдем к совокупности систем :

х +1 > 0,

л/х2 — х — 6 — 6 > 0;

х +1 < 0,

о

IV

х2 — х — 6 — 6 < 0

х >—1,

л/х2 — х — 6 > 6;

х <—1,

о

л/х2 — х — 6 < 6

х >—1,

х2 — х — 6 > 36, х < —1, О

х2 — х — 6 > 0, х2 — х — 6 < 36

О

х >-1,

х2 - х - 42 > 0, х <-1, х <-2, х > 3,

х2 - х - 42 < 0

О

х >-1, х < -6, х > 7, х < -2, -6<х<7

О

х > 7,

- 6 < х < -2.

24т • я(х) > 0

В некоторых случаях левая часть неравенства имеет вид произведения двух функций ^/(х) • Я(х) > 0, п £ N. Тогда решение системы приводятся к решению совокупности систем

7/(х) = 0

о [я (х) определена (х) > 0 [/(х) > 0

Список литературы

1. Задачи по математике. Уравнения и неравенства / В.В. Вавилов и др. М.: Физматлит, 2007. 248 с.

2. Говоров Е.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. М: Наука, 1983.

3. Куланин Е.Д. и др. 3000 конкурсных задач по математике. М: Айрес-пресс, 1998.

4. Методы решения иррациональных неравенств: Методическое пособие М 34 для учащихся 9-11 классов /сост. Иванова Т.Д. с Сунтар Сунтарского улуса. РС(Я): ЦДО НИТ СРПТЛ, 2007. 56 с.

МЕНТАЛЬНЫЕ КАРТЫ КАК ОДИН ИЗ АКТИВНЫХ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ Аракчеева Е.С.

Аракчеева Екатерина Сергеевна - магистр, кафедра методики преподавания иностранных языков, факультет образовательных программ, Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московской области Академия социального управления, г. Москва

Аннотация: в данной статье рассматриваются активные методы обучения иностранному языку в учебном процессе, в частности метод применения ментальных карт, который способствует развитию креативного, нестандартного, творческого мышления и активизации учебной деятельности за счет высокой степени визуализации и структурирования изучаемого материала. Ключевые слова: активные методы обучения, пассивные методы, интерактивные методы, ментальная карта.

В настоящее время перед образовательными учреждениями основными задачами при обучении учащихся, помимо обучения необходимому набору знаний, умений и навыков, ставятся следующие: умение использовать полученные знания на практике и в жизненных