CC BY
40
Развитие навыков быстрого решения через применение равносильных переходов
Маслова О. А.
Маслова Ольга Алексеевна /Maslova Olga Alekseevna - учитель математики,
Назарбаев Интеллектуальная школа химико-биологического направления, г. Караганда, Республика Казахстан
Аннотация: данная работа предлагает некоторые приемы нестандартного подхода к решению заданий традиционно «нелюбимых» учениками: решение показательных, логарифмических, иррациональных неравенств, задания с аркфункциями.
Annotation: the given article suggests some methods of unconventional approaches to solving the cases that are usually considered as «unpopular» among students such as: exponential, logarithm and irrational inequations, jobs with inverse trigonometrical functions.
Ключевые слова: равносильные преобразования, функция, неравенство, способ решения.
Keywords: equal transitions, function, inequations, the method of solutions.
Обратные тригонометрические функции
Значения обратных тригонометрических функций от положительных чисел - это углы, лежащие в первой четверти, то есть острые углы. Тогда при решении заданий с аркфункциями очень удобным приемом является применение прямоугольного треугольника. Достаточно найти недостающий элемент - катет или гипотенузу и задать тригонометрическую функцию через отношение элементов прямоугольного треугольника.
2
1) sin(2arkcos у)
2
Пусть arkcos — = а
7
d = 3j5
, тогда
2
cos а = — 7
sin(2arkcos у )= sin2 а
2sina- msa=n. hH.2
7 7
12 V5
49
Этот же прием с успехом применяется, если аргумент - отрицательный.
2) tg(arcos( --))
1 1
Положим, arccos — = а , тогда cos а = —
3 3
11 fn
tg(arcos( — — ))=tg( п — arccos у )=tg( ж — а )=4^а =- V 8 .
2 3
3) 2л/13 cos(arctg —) = 2л/1з cos а = 2л/13 • = 6.
3 V13
2
arctg— = а
Показательные и логарифмические неравенства с переменным основанием
Понятие «равносильный переход» учениками часто используется на уровне интуиции. Самое простое: перенос из одной части уравнения в другую, умножение или деление обеих частей уравнения или неравенства на одно и то же число - понятно, привычно и не вызывает сомнений. Отсутствие «сомнений» в равносильности преобразований при решении иррациональных уравнений, неравенств, уравнений и неравенств с модулем часто являются причинами, не позволяющими ученику справиться с заданием. А как пользоваться равносильными переходами именно с целью упрощения решения сложных заданий и, соответственно, экономии времени?
1. В показательных неравенствах с переменным основанием имеет место:
Знак разности a(x)f ( ) — a(x) g( ) совпадает со знаком произведения (a(x) — 1) • (f (x) — g(x)) в ОДЗ. [1]
Пример 1.
(x — 2) x2—5x > (x — 2)—6 .
В данном случае ученики вынуждены решать неравенство со сложной экспонентой, которая не рассматривается в школьном
/ \f (x)
курсе математики. Главный вопрос, что является ОДЗ? Функция вида у = a(x) называется сложной экспонентой, областью определения которой является множество Х, на котором a(x) > 0, а сама функция принимает только положительные значения. [1] Особенность в том, что эта функция не является ни показательной , ни степенной.
Решение:
(x - 2)x2 -5x - (x - 2) -6 > 0 о (x - 2-1) • (x2 - 5x + 6) > 0;
(x - 3) • (x - 2) > 0, решаем методом интервалов, учтем, что X - 2 > 0, получим: x Е (2; &) .
2. В логарифмических неравенствах с переменным основанием имеет место:
• Знак разности log f (x) - log ^ g(x) совпадает со знаком произведения (a(x) -1) • (f (x) - g(x)) в ОДЗ.
• Знак log f (x) совпадает со знаком произведения (a(x) - 1) • (f (x) -1) в ОДЗ. [l]
Пример 2.
, 3x -1 A
log x 2 7 >0 °
x2 +1
3x -1
> 0
x2 +1 x > 0, x ф1 ,
3x -1
(x -1) • (^x-1 -1) > 0
решив данную систему, получим
x
2 +1
<
x е ф1) и (1;2)
систему, получим x Е (-1; &)
Пример 3.
log x+1
x+7
0,7 > 0
о <
x +1 x + 7 x +1 x + 7 ^ x +1 (x + 7
> 0 ф 1
-1) • (0.7 -1) > 0
решив
Стоит заметить, что применять эти условия равносильных переходов можно при решении любых показательных и логарифмических неравенств.
Правила 1 и 2 позволяют избежать громоздких решений в виде совокупности двух систем. В таких примерах ученики часто путают объединение и пересечение. Решив две системы, берут в ответ не объединение промежутков, а пересечение и, естественно, получают неверный ответ.
Следующее правило равносильного перехода применяется в неравенствах, содержащих знак модуля.
3. Знак разности модулей |f (x)| - |g(x)| совпадает со знаком произведения
(f (x) - g(x)) • (f (x) + g(x)).[1]
Пример 4.
x2 - 5x < 6 ^ (x2 - 5x)2 < 62 ^ (x2 - 5x - 6) • (x2 - 5x + 6) < 0
(x - 6)(x + 1)(x - 2)(x - 3) < 0,
решим методом интервалов, получим x Е (-1;2) U (3;6) .
Пример 5.
< \х - 5
x2 - 5x
((х2 - 5х) - (х - 5)) • ((х2 - 5х) + (х - 5)) < 0
о (х2 - 6х+5) • (х2 - 4х - 5) < 0 о (х - 5) • (х+5) • (х-1)2 < 0
Решим методом интервалов, получим x Е (-5;1) U (1;5).
Графический способ решения неравенств
Графический способ решения уравнений и особенно неравенств - вот идеальное решение проблемы для тех, кто «не любит возиться» с ОДЗ, проверять равносильность преобразований!
Часто в заданиях, где ответ является целым числом , решить уравнение и неравенство можно практически устно, используя эскиз графика.
Пример: -\/x + 3 > x +1, рассмотрим y = ^x + 3 и y = x +1, найдем точки пересечения графиков и определим, где график функции y = Vx + 3 выше графика y = x +1.
у
Рассмотренные задания и способы их решений не только позволяют ускорить темп решения не самых простых заданий, эти знания способствуют развитию у ученика важных исследовательских качеств, любовь к поиску «красивых» способов решения. Ведь именно это качество приводит в дальнейшем к великим открытиям!
Литература
1. Колесникова С.И. «Математика», серия «Домашний репетитор», «Айрис Пресс», Москва, 2008г.
2. Ким Н.А. Элективный курс «Неравенства: через тернии к успеху», «Корифей», Волгоград, 2007г.
3. Ковалева Г.И. и др. Тренировочные задания «Математика», для учащихся 11 класса и поступающих в вузы, «Учитель», Волгоград.
4. ЗеленскийА.С. Сборник конкурсных задач по математике Москва, НТЦ «Университетский» «АСТ-ПРЕСС», 1996г.
