CC BY
32
1.10. НЕКОТОРЫЕ АНАЛОГИИ ПЛАЗМА - БИОЛОГИЯ
Минеев Анатолий Борисович, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, научно-исследовательского института электрофизической аппаратуры им. Д.В. Ефремова (АО «НИИЭФА»), доцент Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ), Санкт Петербург, Россия. E-mail: mineevab@sintez.niiefa.spb.su, min-anat@mail.ru
Аннотация. Данная работа является благодарностью старшему поколению ученых-плазменщиков НИЦ «Курчатовский институт», живущих и уже ушедших от нас. Часть из них, помимо успешной работы в области физики плазмы, занимались также и анализом биологических явлений (А.А. Веденов, Б.А. Трубников, Б.Б. Кадомцев). Кроме того, имеются и прямые аналогии в физике плазмы и в биологии (похожие зависимости, близкие методы решения проблем...). Такие параллели и легли в основу публикации.
Перечислим некоторые из них, затронутые в статье:
• монотонные зависимости с плато. В общей физике и физике плазмы такие зависимости, как правило, указывают на фазовый переход или изменение топологии. Объяснение биологического примера такой зависимости, относящейся к геометрическим параметрам деревьев, сложнее и определяется действием разных ограничений для небольших, средних и высоких деревьев, а также временной эволюцией;
• универсальные распределения, типа закона Парето или принципа 80 : 20 (распределения по массе малых космических тел или частиц вулканического пепла, числа землетрясений по мощности и т.д.). Прослеживание такой аналогии в биологии (на примере возобновляемых покрытий) приводит к тому, что большая часть энергии, поступающей в организм с пищей, тратится на обновление недолговечных клеток в организме;
• наличие минимального размера (меньше - сложное строение, больше - среда), В физике плазмы - это дебаевский радиус, в биологии - размер клеток;
• образование блистеров и вискеров при взаимодействии плазмы с поверхностью и ботанические аналогии;
• скейлинги, инварианты, фрактальные образования;
• предельные возможности теплоотвода.
Ключевые слова: плазма, биология, фазовые переходы, размер клеток, дебаевский радиус, ларморовский радиус, энергобаланс, скейлинг, канонический профиль, фрактал, инвариант, самоорганизация, возобновляющееся покрытие.
1.10. SOME ANALOGIES BETWEEN PLASMA AND BIOLOGY
Mineev Anatolij Borisovich, PhD, Leading scientist of JSC «D.V. Efremov Institute of Electrophysical Apparatus», associate professor of SPb State University, Saint-Petersburg, Russia
Annotation. This work is thanks to the order generation of plasma scientists from NRC «Kurchatov Institute», both living and gone. Some of them, hand in hand with successful work in the field of plasma physics, also engaged in the analysis of biological phenomena (A.A. Vedenov, B.A. Trubnikov, B.B. Kadomtsev). In addition, there are direct analogies between plasma physics and biology (similar dependencies, similar methods of problems solving...). Such parallels are formed the basis of publication.
Here are some of them touched in the article:
• monotonous dependencies with a plateau. In general physics and plasma physics such dependencies usually indicate a phase transition or a topology change. Explanation biological example of such dependency that is related to the geometrical parameters of trees, more complex and determined by different limitations for small, medium and tall trees, and temporal evolution;
• universal distributions, such as Pareto's law or 80 : 20 principle (mass distribution of celestial bodies or parts of volcanic aches, power distribution of number of earthquakes etc.). To follow such analogies in biology for renewable covers leads to the conclusion that the main part of energy from the food is spent on renewal short-lived cells in organism;
• presence of minimum size (if size is lower, than there is complex structure, for higher sizes - there is no structure). Samples are Debye radius in plasma physics and cell size in biology;
• formation of blisters and whiskers during plasma-wall interaction and botanical analogies;
• scaling, invariants, fractals;
• limits of heat removal in plasma devices and in biology.
Key words: plasma, biology, phase change, cell size, Debye radius, Larmor radius, energy balance, scalings, canonical profile, fractals, invariants, self-organization, regenerative cover.
Приведен ряд аналогий и сопоставлений между физикой плазмы и биологией. Это также дань благодарности некоторым ученым плазменного отделения НИЦ «Курчатовский институт», живущим и уже ушедшим от нас.
1. Похожие зависимости с плато
Пример фазового перехода из жидкости в пар при постоянной температуре приведен на рис. 1.
Жидкость
Газ
Рис. 1. Зависимость давления р от объема V (о) и от V-1 (б) при переходе из жидкого состояния в газообразное
Зависимость р(V_1) также имеет вид монотонных отрезков, между которыми имеется плато, описывающее фазовый переход.
Приведем пример подобной зависимости из области физики плазмы, связанной с удержанием плазмы магнитным полем в токамаках.
В тороидальной геометрии токамака из-за неоднородности магнитного поля появляется два сорта траекторий заряженных частиц - запертые (их траектория имеет вид банана с двумя точками отражения от областей с более сильным магнитным полем) и пролетные (с траекторией, ближе к круговой). При небольшой частоте соударений частиц (она наиболее интересна для реакторов термоядерного синтеза), уход энергии ионов из плазмы определяется запертыми частицами, а при очень большой частоте - пролетными. В результате зависимость коэффициента теплопроводности от частоты соударений имеет вид, изображенный на рис. 2 с характерным плато в области перехода от переноса на запертых частицах к переносу с помощью пролетных частиц.
Рис. 2. Зависимость коэффициента температуропроводности х плазмы от частоты соударений V в токамаке
Отметим, что время удержания энергии плазмы выражается через коэффициент температуропроводности простым соотношением
- о2/Х.
(1)
Как видим, кривая, изображенная на рис. 2, качественно напоминает зависимости, изображенные на рис. 1, соответствующие различным вариантам фазовых переходов.
Возьмем пример из биологии и воспроизведем рисунок из [1] зависимости безразмерной высоты дерева h/d от обратного диаметра d _1.
Она характеризуется наличием плато (максимальное значение отношения h/d при умеренном диаметре дерева примерно постоянно, (h/d )max ~ 50), а также растущей функцией h/d от обратного диаметра ствола как для невысоких деревьев c h < 10 м, так и для очень высоких деревьев c h ~ 100 м.
Это тот же вид зависимости, что и на рис. 2 (удержание в плазме токамака), и на рис. 1 (переход жидкость-пар).
2. А.А. Веденов
и проблема скорости роста растений
Один из наиболее авторитетных специалистов как по физике плазмы и лазерной физике, так и по биофизике, А.А. Веденов, взглянув как-то на показанный ему рис. 3, предложил поискать природу такого своеобразного «фазового перехода», намекнув, что она может оказаться, в конце концов, просто следствием влияния каких-то ограничений для небольших, средних и высоких деревьев. Так в итоге и получилось (см. подробнее [1]).
h/d 400
зоо 200
100 80 60
40 20
10
8 6
2 -
А.А. Веденов
_I_I_I......I_I_I_I.......
ОД 0,2 0,4
10 20 d~\ м"
Рис. 3. Зависимость относительной высоты дерева h/d от обратного диаметра d-1. Точки соответствуют литературным данным реальных деревьев
Действительно, ограничения на прочность дерева при сильном изгибе (для небольших деревьев) объяснили правую часть зависимости; сильный ветер - наличие плато h/d ~ 50 - для деревьев средней высоты. Для очень высоких деревьев некоторое уменьшение отношения h/d можно объяснить устойчивостью формы ствола дерева под действием собственного веса. А природа максимальной высоты дерева оказалась связанной с сильным замедлением скорости роста дерева по мере увеличения его массы h а Мд1/4 [2], так что в течение жизненного цикла оно просто не успевает дорасти до h > 150 м.
Возвращаясь к интересам А.А. Веденова, одного из немногих универсальных физиков современности, отметим, что мировую известность ему принесли классические работы в области физики плазмы и лазеров: по квазилинейной теории плазмы (совместно с Е.П. Велиховым и Р.З. Сагдее-вым) и процессам взаимодействия лазерного излучения с веществом (совместно с Г.Г. Гладушем). Александр Алексеевич успешно занимался анализом и интерпретацией данных эксперимента в различных областях науки, включая и биологию. В течение многих лет он преподавал в МФТИ на кафедре молекулярной биологии.
В мире растений А.А. Веденову удалось разобраться с проблемой описания скорости роста зеленых листьев (см. об этом [3, 4]). В частности, для злаков (например, пшеницы) показано, что масса отдельного растения, освещенного постоянным потоком света, увеличивается со временем экспоненциально, а масса растений пшеницы на единичной площади посева, растет линейно. Данные экспериментов показали, что каждый следующий лист начинает расти только после окончания роста предыдущего, что позволяет экономнее расходовать корневое питание растения, при этом фотосинтез уже выросшего листа помогает расти следующему листу.
В этих же работах сформулированы условия оптимального роста злаков, включающих динамику освещения, концентрации углекислого газа, минерального питания и содержания воды в почве. Попутно рассчитана продуктивность фотосинтеза у = 6 г/МДж (поглощение зеленым листом 1 МДж солнечной энергии приводит к образованию 6 грамм сухого вещества). Это позволило объяснить зрительный эффект быстрого (весной - практически ежедневного) изменения вида полей - от коричневой пашни к отдельным зеленым росткам и, затем, к сплошному зеленому ковру.
3. Б.А. Трубников и фазовые переходы
В статье [5] при анализе процессов роста деревьев, также нашлось место своеобразному фазовому переходу (появлению трещин на растущем стволе дерева), с которым удалось связать процесс образования коры.
Близкие вопросы (смена одного типа движения - другим) были затронуты ранее:
• в статье [6] перемещение кислорода по сосудам животных на большие расстояния оказалось более эффективным за счет направленного движения (конвекции) по сосудам, а на малые - за счет диффузии;
• в статье [7] обсуждался переход от анаэробного (безкис-лородного) к аэробному (за счет поступления кислорода в организм) механизму при увеличении дистанции бега.
В этой связи кратко упомянем еще одного классика плазменной науки - Бориса Андреевича Трубникова. В его книге [8] на огромном количестве примеров проанализирован единый подход к описанию механизма разделения сред на отдельные части (разбиение струи воды на капли, поведение капель на потолке, теория «девятого вала», появление перетяжек в разрядах, рождение галактик и др.).
Б.А. Трубников. Примеры явлений, сопровождающихся разбиением сред на части, которые могут быть описаны на основе единого подхода (справа)
Так, при протекании большого тока по плазме давление магнитного поля, создаваемого самим током, может привести к локальной перетяжке токового канала, появлению условий для ускорения ионов плазмы и генерации нейтронов.
Впоследствии этот механизм был использован для описания возникновения частиц сверхвысокой энергии в космосе.
Единое описание множества явлений (всего их в книге [8] около пятидесяти) с помощью одной и той же системы уравнений придает такому подходу универсальность.
Другой универсальный закон был открыт им в ходе обработки больших массивов информации, касающихся совершенно разных областей знаний. В качестве примера покажем одну из статистических кривых, изображенную на рис. 5, а: распределение числа городов США по числу их жителей с 1790 по 1930 г., построенное через каждые 10 лет. Как видно из рисунка, по мере увеличения статистики распределение все более приближается к гиперболическому закону
N (m) = A
m
(2)
Рис. 4. Иллюстрация образования перетяжек на токовом канале за счет сжатия канала магнитным полем и появления излучения из области перетяжки
т, годы
Рис. 5. Распределение числа М) городов США по числу их жителей (m) с 1790 по 1930 г., через каждые 10 лет (а).
Распределение N(m) малых космических тел по массе m (б).
N - их количество в 1 см3, по [9]
Это вид зависимости в работе [9] назван законом распределения конкурентов. Он применим к объектам, соревнующимся между собой за обладание неким ограниченным ресурсом (люди, конкурирующие по отношению к переездам
в более крупные города, как на рис. 5 (слева) или космических тел по массам, рис. 5, б, морских обитателей по размерам и т.д.).
О том же говорит и принцип Парето или, иначе, «принцип 80 : 20», о котором в применении к биологии рассказано в [10].
Упомянем несколько примеров из статьи Б.А. Трубникова и др. [9] гиперболического закона (2), относящимся к природным явлениям и биологии, а именно, распределения:
• малых космических тел по массе (см. рис. 5, б);
• частиц вулканического пепла по их массе;
• числа землетрясений по мощности очага;
• рыб Мирового Океана по их весу;
• сортов трав по занимаемой площади.
Данные для построения ряда зависимостей были получены Б.А. Трубниковым в ходе натурных экспериментов, в частности, в ходе экспедиции на Камчатку на действующий вулкан Толбачик.
Веселый рассказ о жизни и приключениях нашего героя -«Песнь о Борисе Трубникове» сочинил академик Виталий Дмитриевич Шафранов, основоположник теории равновесия плазмы в токамаках, автор критерия устойчивости плазмы в токамаке и многих других понятий в физике плазмы, ставших классическими. Он, как и его шеф, глава плазменных теоретиков, академик Михаил Александрович Леонтович, оставили о Трубникове добрые воспоминания. Помните, как там, в «Песне о Борисе Трубникове» ([11], С. 118):
По дороге к вулкану ль, к реактору, Все равно, Боря, нам по пути. Прокати нас на странном аттракторе, До Толбачика нас прокати.
В.Д. Шафранов в разные годы жизни
М.А. Леонтович
Трубников, один из активных авторов журнала «Природа», обладал редкой способностью просто изложить весьма сложные явления в самых разных областях. И в то время, как серьезный и ответственный Михаил Александрович Леонто-вич иногда строго наставлял редакцию журнала «Природа» по поводу некоторых запутанных статей: «...эта статья недоступна для понимания даже мне - простому советскому академику», Виталий Дмитриевич Шафранов в пику ему замечал: «.изучив работы Трубникова, даже рядовой академик в состоянии приобщиться к пониманию ключевых проблемы физики, биологии, социологии, экономики и других областей современной науки» [12].
4. Ограничения снизу на размеры: размер клеток в живых организмах и характерные длины в плазме
Характерный размер клетки, наименьшей единицы, из которой построены живые организмы, около dкл ~ 10-20 мк. Аргументы, в пользу именно такого значения размера клеток, приведены в [6]. На расстояниях, много больших dкл, организм можно представить в виде набора клеток, в то время как на масштабах, меньших dкл, видно сложное строение самих клеток, как на рис. 6, а.
Рис. 6. Клетки живого организма (а), электроны и ионы в плазме (б)
Такого типа характерный размер есть и у плазмы -газа заряженных частиц. При этом на масштабах длин г, существенно превышающих А0, плазма «выглядит» как в среднем нейтральный газ, а при г С становится заметным, что это газ, состоящий из отдельных (положительных и отрицательных) заряженных частиц. В плазме без примесей концентрации электронов и ионов одинаковы, пе ~ п. = п (рис. 6, б).
Это свойство плазмы - квазинейтральность, противоречие снимается тем, что заряд на больших расстояниях экранируется из-за присутствия расположенных рядом других заряженных частиц. В результате обычный кулоновский потенциал заряженной частицы
Ф =
в плазме приобретает вид
Ф =
е
-г/ ^
(3)
оставаясь кулоновским на малых расстояниях и экранируясь на масштабах / > А0, превышающих т.н. дебаевский радиус А0. Величину связана с концентрацией пе и температурой
Т плазмы соотношением
е
^ =
П е
1/2
¿2,4 • 10-
1/2
(4)
Дебаевский радиус должен быть существенно меньше размера самой плазменной области. Так, в плазме реактора-токамака ИТЭР с Т = 10 кэВ и пе = 1020 м-3 и метровыми размерами плазменной области, величина составляет всего 75 микрон. В плазме исследовательских токамаков ~ 10 мк, т.е. того же масштаба, что и размер клеток живых организмов.
Кроме радиуса экранирования электрического поля А0, в плазме много и других характерных размеров. Часть из них связана с электрическими свойствами плазмы, часть - с магнитными.
Параметры с размерностью длины, относящиеся к электрическим свойствам плазмы
Расстояние максимального сближения при столкновениях /
Заряженные частицы испытывают действие кулоновских сил. Расстояние максимального сближения / при кулоновских столкновениях ионов можно оценить, приравняв кинетическую энергию частиц кТ и их потенциальную энергию в кулоновском поле
= кТ (5)
откуда
4 Л8 0/
/=-
Среднее расстояние между частицами в плазме d
Концентрации в плазме п соответствует среднее расстояние между частицами
d ~ п "1/3. (6)
Длина пробега между соударениями £
Сечение соударения а (характерный размер площадки, на которой происходит кулоновское рассеяние) можно оценить как а ~ п/2, откуда для длины пробега £ между кулонов-скими столкновениями можно получить соотношение
L =
1
п/2 п'
Если ввести безразмерный параметр V = V1/3.
(7)
(8)
(у3 масштаба числа частиц в сфере с радиусом Хв), то соотношение между параметрами /, d, Х0 и /. можно записать в виде
1
1п1/3:1: п1/3: =
4 пу
-: 1: у:16 пу
(9)
В плазме токамаков значение параметра у велико, у ^ 1. Так, в базовом режиме ИТЭР ожидается у ~ 350. Наименьший из указанных размеров - расстояние максимального сближения при столкновениях /, наибольший - длина пробега При высокой температуре плазмы ионы могут сблизиться до расстояний масштаба радиуса ^пис| (для легких ядер Япис| ~ 10-14 м) действия ядерных сил притяжения, когда интенсивно протекают реакции синтеза с выделением энергии. При температуре Т ~ 10 кэВ значение / ~ 1,5 • 10-13 м, а £ > 100 км.
2
е
4пг0кТ
е
4 п 8 0 г
е
Б 0Те
[м, кэВ, 1020 м-3
П
е
Параметр с размерностью длины, относящийся к магнитным свойствам плазмы - ларморовский радиус
В плазме, помещенной в магнитное поле В, движение заряженных частиц становится анизотропным. Вдоль поля частица движется так, как если бы магнитное поле отсутствовало, поперек магнитного поля она движется по круговой траектории, отклоняясь от силовой линии магнитного поля на величину т.н. ларморовского радиуса р. Ларморовский радиус меняется обратно пропорционально величине магнитного поля. Для ионов дейтерия с энергией 10 кэВ он составляет сотни метров в магнитном поле Земли ^ ~ 400 м в поле В = 5 • 10-5 Тл). В плазме ИТЭР ларморовский радиус снижается до очень малых величин ^ ~ 4 мм при Т ~ 10 кэВ в поле В = 5 Тл), много меньших размеров самой плазмы. В этом случае, при соблюдении ряда дополнительных условий, можно эффективно удерживать заряженные частицы плазмы в тороидальной ловушке.
Настал черед упомянуть еще об одном из главных действующих лиц в теории магнитного удержания плазмы - Борисе Борисовиче Кадомцеве. Во многом ему удалось науку о поведении горячей плазмы, турбулентной, с множеством неустойчивостей, «загнать» в русло единого описания. При этом оказалось, что неустойчивости и возникающая на их основе турбулентность, могут быть не столь Б.Б. Кадомцев опасны, а основные пара-
метры энергетического реактора (размеры, удерживающее магнитное поле) - приемлемыми.
В течение многих лет он возглавлял Отделение плазменных исследований, продолжая, несмотря на множество административных обязанностей, заниматься высокой теорией плазмы. О том, насколько это было непросто, замечательно написал В.Д. Шафранов, пародируя стиль «Бориса Годунова» [12, С. 79]:
... Достиг я высшей власти.
Шестой уж год директор Отделенья.
Но счастья нет в моей измученной душе.
Напрасно мне сотрудники сулят
Безропотно сносить все перемены.
Ни дрейф, ни шир, ни плазмы пузыренье,
Ни критики мои
Меня не веселят...
В ЛТФП я мнил найти отраду,
Вернуться хоть на миг к теории родной -
Моей царевне, голубке чистой.
Как буря все тут налетели на меня...
... Слышится скрип витков магнитных!..
И все колышется. Столб плазменный кружится.
Магнитные поверхности трепещут,
И линии лохматые в глазах.
Кроме проблем, связанных с поведением плазмы в системах магнитного удержания, Борису Борисовичу удалось
продвинуться в решении ряда фундаментальных задач, весьма далеких от плазмы.
Одной из них стал анализ строения вещества в сверхсильном магнитном поле, таком, в котором ларморовский радиус становится меньше радиуса атома. Такие магнитные поля (масштаба 107-108 Тл) могут возникать в ходе эволюции звезд типа Солнца, при их превращении в нейтронные звезды, с которыми связывают необычные источники излучения - пульсары. На Земле регистрируется строго периодическое излучение этих пульсаров.
На конечной стадии эволюции типа Солнца, по мере уменьшения их размеров с ~ 106 км до 10 км, магнитные поля могут увеличиться с 10-3-10-2 Тл до 107-108 Тл. В таких магнитных полях сферическая оболочка атома становится эллиптической, кристаллы выстраиваются в полимерные цепочки ([13], рис. 7) и вещество приобретает совершенно необычные свойства.
Рис. 7. Вид атома и полимерной цепочки в сверхсильном магнитном поле [13]
Но еще более удивительными оказались его итоговые размышления, отраженные в книге «Динамика и информация» [14]. Они позволяют более тесно связать физику и биологию. Отметим некоторые важные моменты развитой им картины:
• представление о физике, как науке, занимающейся только точно решаемыми динамическими задачами не вполне оправдано. Задать действующие силы, точно поставить начальные условия и думать, что можно определить эволюцию системы удается только в очень редких случаях при сильном упрощении задачи. Оно справедливо только для устойчивых систем;
• более универсально хаотическое, случайное поведение динамических систем. Эти системы неустойчивы. В них небольшая неточность в задании начальных условий приводит к тому, что близкие траектории разбегаются, постепенно заполняя пространство: пучок траекторий, исходящих из небольшой области «превращается в вату»;
• еще более сложно поведение систем с подпиткой энергией извне. В ней появляются своеобразные точки притяжения - странные аттракторы. Если их несколько, то в системе развиваются процессы упорядочения и самоорганизации. В ходе самоорганизации могут появляться новые структуры. В чем-то их можно уподобить переходу от спокойного ламинарного течения жидкости к турбулентности с образованием набора вихрей различного масштаба. При этом мелкомасштабные моды подстраиваются под крупномасштабные;
• в неустойчивых системах оказывается возможным сильное изменение траекторий при действии малых сигналов. Для правильного управления нужна информация о системе. Иначе говоря, кроме указания сил взаимодействия (динамика) важным становится то, в каком состоянии находится система (информация);
• в отличие от простых механических систем, поведение которых строго определено, в живых организмах появляются признаки свободного поведения, возможность усложнения системы, использования накопленной информации. Это дает преимущества в борьбе за существование.
5. Ограничения на потребление и высвобождение энергии
В [15] проанализированы ограничения, связанные со скоростью потерь тепла животными и показано, что постоянство температуры тела (так у млекопитающих) приводит к ограничениям на их массу: сверху ~ 100-200 тонн (при большей массе организм перегревается при движении) и снизу ~ нескольких грамм (при меньшей массе тепло не удержать, организм очень быстро охлаждается, приходится все время «грызть пищу»). Условие постоянства температуры может быть выражено в виде
P=W,
т
(10)
где Р - мощность энерговыделения в организме; W - его тепловая энергия; т - скорость потерь тепла.
Подобные уравнения энергобаланса «работают» и в плазме, для которой Р - мощность энерговыделения в плазме, W - тепловая энергия плазмы, т - энергетическое время жизни плазмы. Имеющиеся экстраполяции времени жизни приводят к наличию минимального размера плазмы в энергетическом реакторе: если размеры будут меньше, то условие энергобаланса (10) не будет выполнено. Для систем с магнитным удержанием такие минимальные размеры составляют метры (так, в реакторе ИТЭР малый радиус тора 2 метра, а объем плазмы около 1000 м3).
6. Скейлинги и канонические профили в биологии
В биологии в качестве аргумента скейлинга часто используется масса тела Мт, саму зависимость называют алломе-трией и скейлинг зависимости от массы записывают в виде
Y ■■
YnM b.
0 т
(11)
где Ь и У - параметры масштабирования.
Примером скейлинга такого типа является зависимость интенсивности метаболизма (поглощаемой или выделяемой организмом мощности) от массы [16]
Р ~ 3М3/4 [Вт, кг],
М Т L ' lf
(12)
которая прослеживается для всех млекопитающих, различающихся по массе на много порядков. На рис. 8 приведен подробный вариант кривой «от мыши до слона».
Однородное тело - закон «третьих долей»
Если тело однородно (без внутренней структуры), то имеет место закон «третьих долей». Так для однородного тела ожидается, что интенсивность метаболизма Р, а с ним и теплоот-вод, пропорциональны площади тела 5, в то время как масса Мт - объему V. Отсюда получаем скейлинг для мощности метаболизма в виде Р ~ 5 ~ V2/3 ~ Мт2/3. В то же время реальная зависимость несколько отличается, Р ~ Мт3/4 (см. (12) и рис. 8). Особенность биологических объектов состоит в наличии внутренней структуры. Она связана с необходимостью распределения вдыхаемого кислорода по различным частям организма, в которых и протекают реакции окисления с выделением энергии. Попробуем выяснить - какой простейший тип структуры может привести к закону «четвертых долей»?
10° 101 102 Масса тела, кг
Рис. 8. Зависимость мощности метаболизма от массы тела для млекопитающих, по работе [16]
Примеры зависимостей
типа «четвертых долей»
Приведенное выше соотношение (12) является примером закона «четвертых долей», выполняющегося для большинства биологических явлений. В этом случае закон масштабирования можно представить в виде b = (целое число) х 1/4. Так, интенсивность метаболизма меняется с массой как Мт3/4, площадь сердечной аорты <хМт3/4, продолжительность жизни организма <хМт1/4, длительность сердечного цикла млекопитающих масштабируется как хМт"1/4 и т.д.
Разветвляющиеся структуры - фракталы
Примем, что подвод энергии внутри тела к клеткам осуществляется при помощи разветвляющихся структур. Такими структурами в организме животных являются дыхательная система (она отвечает, в частности, за поступление кислорода, основного поставщика энергии при реакциях окисления) и кровеносная система (в ней кислород связывается эритроцитами и разносится с кровью по организму).
Будем проводить оценки на примере кровеносной системы, следуя работам группы американских ученых (G.B. West, J.H. Brown, B.J. Enquist [17, 18]). В кровеносной системе происходит постепенное разветвление сети кровеносных сосудов - от аорты к капиллярам. Для простоты примем, что кровеносные сосуды являются жесткими трубочками, которые проходят N генераций разветвления, на n более мелких трубочек (рис. 9, для которого n = 2). Обозначим радиус сосуда на k-й генерации через rk, а длину - черезl .
Примем также, что как дыхательная, так и кровеносная система обладают фрактальными свойствами (подобием при разветвлении), а именно имеет место следующая связь между радиусами и длинами сосудов на соседних генерациях
-1/2.
„-1/3
(13)
(14)
r
n
r
k
l
l
k
Рис. 9. Процесс разветвления сосудистой системы (показаны первые три ветвления)
Соотношение (13) следует из закона сохранения площади сосудов
nrk = nnrk
k+1'
(15)
а (14) - из более сложного закона сохранения «зоны обслуживания» кровеносного сосуда, пропорциональной характерному объему (в [17, 18] это названо «пространственно заполненным фракталом»). В результате имеет место соотношение (обоснование этого приведено в работах [17, 18], см. также обсуждение этого закона в конце раздела)
lk+1-
(16)
r x M 0; l x M0; u x M0.
c T'c т ' c т
(17)
Приведем значения этих инвариантов. Согласно [19], несколько округляя, можно записать
r ~ 5 • 10-6 м = 5 мк; l ~ 10-3 м = 1 мм;
cc
u ~ 10-3 м/с = 1 мм/с.
Кроме того, инвариантом является также и перепад давления Ар по капилляру, который выражается через параметры г , / и и
8uur L Ap = , ~ 103 Па,
(19)
где ц = (4-5)10-3 Па • с -вязкость крови.
Примеры скейлингов для млекопитающих
1. Полный объем крови в организме
Полный объем крови Уь складывается из объема крови
во всех сосудах
V = Ё П IkNk,
(20)
где Ык - количество сосудов на к-м разветвлении. Легко показать, что Ык = пк, а для последнего, Ы-го разветвления количество таких самых тонких капилляров составляет N. = п Ы. Из соотношений (13) и (14) можно получить
k/2 ' 'k '
'0 k/3
(21)
(г0 и /0 - радиус и длина максимального сосуда (аорты)) и выразить полный объем крови через объем аорты V
Vb = V Ё ^
(22)
Конец и начало у фракталов
Соотношений (13) и (14) в принципе уже достаточно для того, чтобы сделать некоторые выводы. Однако в то время как для математика процесс разветвления может быть формально бесконечным, физик и биолог обязаны принять во внимание на то, что у этого процесса есть начало и конец. В частности, у биологических объектов имеется наименьший размер, до которого возможно ветвление, масштаба размера клетки dc ~ 10 микрон. Действительно, кровеносных сосудов с диаметром, существенно меньшим dc не существует, а диаметр наиболее мелких сосудов (капилляров) составляет 5-10 микрон. Подобная оценка минимальных размеров и в случае дыхательной системы.
Максимальный размер, естественно, также ограничен. В случае кровеносной системы, он связан с размерами сердца млекопитающего, для дыхательной системы - с размером горла.
Инварианты
Отметим важнейшим свойством всего живого - на последнем уровне ветвления параметры сосудистой системы являются инвариантами, т.е. не зависят от массы живого организма. Если обозначить радиус кровеносного сосуда с минимальным размером (капилляра) через гс, его длину через /с и скорость движения крови по этим сосудам через ис, то эти величины одинаковы как для мыши, так и для слона
где г0 и /0 - радиус и длина максимального сосуда (аорты); У0 = пг02/0 - объем аорты и 5 = п "1/3.
При суммировании, поскольку 5 < 1, а полное количество разветвлений N 1 (для человека N ~ 30), то из (22) можно получить
V
V
V
1-s 1-n
-1/3
i 4,85V0,
(23)
т.е. полный объем крови примерно в несколько раз превышает объем крови в аорте.
Если связать объем аорты с объемом капилляра
V = nr21 N4/3 = V N4/3,
0 с с c c c '
(24)
то можно получить, что полный объем крови меняется как количество капилляров в степени 4/3
Vb
1-n
-1/3
N4/3~5V Nc4/3.
(25)
2. Полный поток крови по сосудам Закон сохранения потока крови dQ/dt должен выполняться на каждом уровне ветвления, поэтому можно записать
dQ/dt = пг02 и0 = пг2 икЫк = ... = пгс2 ис Ыс. (26)
Поскольку снабжение организма энергией осуществляется за счет содержащегося в крови кислорода, то, опуская величину, не инвариант пгс2 ис, получим, что мощность метаболизма пропорциональна потоку крови, т.е. полному количеству капилляров,
Р X dQ/dt X N .
(27)
3. Связь между массой крови и объемом тела Масса (и объем) крови прямо пропорциональны мас-
V., X M .
b T
(28)
r
k = 0
r
k
k
k = 0
се тела
Это соотношение прямо следует из принципа минимума энергии, однако вывод его несколько сложен и поэтому здесь не приводится. Связь (28) хорошо соответствует данным наблюдений: для всех млекопитающих масса циркулирующей крови составляет 5 % от массы тела,
М /М
крови т
: 5 %.
(29)
Отметим, что подобная пропорциональность имеет место и для дыхательной системы: масса легких пропорциональна массе тела,
М /М = 1,1 %.
легких' т '
(30)
4. Мощность метаболизма
Получив соотношения (25), (27) и (28) мы вплотную приблизились к главной цели - определению связи между мощностью метаболизма и массой тела животных. Из этих соотношений и следует искомый закон «трех четвертых»
Р х N х V3/4 х М3/4.
м С Ь т
(31)
5. Давление, необходимое для прокачки крови Вязкость крови приводит к потерям давления при прокачке по сосудам. Сопротивление Як, связанное с вязкостью для отдельной трубочки может быть вычислено по формуле
Оказалось, что кроме предсказания верного закона для мощности метаболизма, постоянства перепада артериального давления у разных животных и пропорциональности массы крови и легких - массе тела, возможна формулировка и некоторых других законов масштабирования, выполняющихся в природе. Приведем примеры еще нескольких скей-лингов, которые естественно следуют из модели.
радиус аорты г0
Поскольку радиус аорты меняется как г0 х ^/2, а количе-
ство капилляров N х Мт3/4, ■
г0 х Мт3/8.
(36)
Скорость крови по аорте и„
Поскольку поток крови dQ/dt = пг02и0 пропорционален Мт3/4, а радиус аорты г0 х Мт3/8, то скорость крови по аорте у разных млекопитающих одинакова, и0 х Мт0.
Время циркуляции крови tb
Время циркуляции крови можно определить, поделив объем крови на поток
t„
V,,
1П
сЮ/с^ и0
Поскольку и0 не зависит от массы, то
th х ! • М1/4
Ь 0 т
(37)
а для сети кровеносных сосудов, включающей как последовательные, так и параллельные элементы (см. рис. 9) полное сопротивление Н можно записать в виде
N п
- у^Нк. =
8^
= у .
* = о < пк
(32)
После несложных преобразований при использовании соотношений
,,1/2 '
можно получить
— ,
2/3
'О
„1/3
Я
; 2,1—.
Nг
(33)
(34)
Видно, что потери давления на прокачку сквозь сеть кровеносных сосудов не зависят от массы тела, поскольку согласно (27) dQ/dt х N , что приводит к
Др0 = х Мт0.
(35)
И действительно, для всех млекопитающих артериальное давление крови масштаба 100 мм. рт. столба или 1,3 • 104 Па.
6. Сопутствующие скейлинги
Казалось бы, изложенная выше модель слишком проста. Так, кровеносные сосуды представлены в виде жестких трубок, в то время как кровь в реальных сосудах пульсирует, сосуды периодически расширяются и сужаются и т.д. Более подробный анализ показал, что более учет этих эффектов не изменяет конечных выводов. Можно сказать, что учитывались только ламинарные (спокойные) течения, для которых справедливы написанные выше соотношения. Но в сосудистой системе кровь и не должна переходить в хаотический турбулентный режим - это одно из основных условий нормальной работы сердца.
Количество капилляров nc Из (31) следует, что
N х М3/4.
С т
(38)
Результаты сопоставления модели с данными наблюдений приведены в табл. 1 (из [18]).
Таблица 1
Сопоставление модели с данными наблюдений для животных
Показатель степени при массе тела Мт
Модель Наблюдения
Кровеносная система
Аорта
Радиус г0 3/8 = 0,375 0,36
Длина 10 1/4 = 0,25 Не определялась
Перепад давления Др0 0 0,032
Скорость движения крови и0 0 0,07
Общие параметры
Количество капилляров Nc 3/4 = 0,75
Объем крови в организме VЬ 1 1,00
Время циркуляции крови tЬ 1/4 = 0,25 0,25
Мощность метаболизма Рм 3/4 = 0,75 0,74
Дыхательная система
Трахея
Радиус 3/8 = 0,375 0,39
Перепад давления 0 0,004
Скорость движения воздуха 0 0,02
Общие параметры
Количество альвеол 1/4 = 0,25 Нет данных
Диссипируемая мощность 3/4 = 0,75 0,78
Скорость потребления кислорода 3/4 = 0,75 0,76
н
г
Я
1
Я
Как видно из таблицы, для указанных параметров наблюдается довольно хорошее соответствие предсказаний модели с опытными данными.
А что для ДЕРЕВЬЕВ?
У животных диаметр сосудов уменьшается от аорты к капилляру (кровеносная система) и от трахеи к альвеоле (дыхательная). Основное отличие сосудистой системы деревьев (при некотором внешнем сходстве, рис. 10) состоит в том, что диаметр сосудов дерева от корней по стволу до листьев примерно одинаков. Действительно, водопроводящая система деревьев использует в качестве сосудов полые каналы, образованные из одревесневших клеток камбия. И от основания дерева до его вершины сосуд фактически образует единый тонкий канал. Поэтому, в частности, уровень давлений, необходимых для подъема воды к листьям, существенно больше, чем при прокачке крови в организме животных, и составляет десятки атмосфер.
Рис. 10. Отличие в строении сосудистой системы у млекопитающих (о) и деревьев (б) [2]
Оценки, подобные проведенным для кровеносной системы животных, дают для сосудистой системы деревьев следующую зависимость высоты дерева от его массы М :
h х M1/4.
(39)
Из этой зависимости следует, что если дерево достигло высоты 50 метров к 50 годам, то 100-метровый рубеж оно преодолеет уже к 800 годам, а 150-метровый - только через 4000 лет...
Обобщения модели
Модель авторов West, Brown & Enquist (сокращенно WBE модель) [17, 18, 2] получила распространение и была применена к описанию широкого круга биологических явлений. Основные положения модели неоднократно подвергались критике. Тем не менее, в целом она устояла. Оказалось, что модель сохраняет предсказательную силу и в существенно более общей постановке.
Первым подверглось критике представление о сосудах как набора жестких трубочек. Оказалось, что такие явления, как пульсации в кровеносных сосудах, не приводят к изменению вида скейлингов.
Далее пришел черед ревизии предположения о фрактальном характере ветвления (13):
r+1 = n-i/2 r.
с одинаковым для всех генераций ветвления показателем п. Фактически это был отказ от требования фрактальности и замена его просто на необходимость ветвления с переменным значением параметра ветвления nk.
В работах [20, 21] показано, что отказ от постоянства параметра п (переход к разным значениям количества разветвлений на разных генерациях nk * const (рис. 11), где ветвление происходит то на две, то на три ветви) также не приводит к изменению закона «трех четвертей».
Рис. 11. Вариант разбиения на две и три ветви по работе [20]
Но наибольшее количество «претензий» накопилось к принятому в WBE модели предположению о «пространственной заполненности» (14):
h+1 IT
-1/3
следующее из закона сохранения «зоны обслуживания» со суда (рис. 12).
Рис. 12. Иллюстрация «пространственной заполненности» по работе [20]: а - для уровня к; б - для уровня к + 1
Соотношение, подобное (14), очень важно с точки зрения связи сосудов с клетками: оно в итоге позволяет «донести» энергию до каждой клетки.
В WBE модели предположения (13) и (14) считались естественными: они минимизировали гидравлическое сопротивление при течении жидкости по разветвляющимся сосудам
n
и приводили к оптимуму энергетических затрат на прокачку. При дальнейших исследованиях [20, 21] оказалось, что и положение о «пространственной заполненности» также может быть смягчено без изменения основных результатов.
Единая зависимость массы тела животных от времени - «канонический профиль» Одно из самых интересных и необычных следствий WBE модели - получение единой зависимости массы тела животных во времени - от рождения до взрослого состояния, своеобразного «канонического профиля» для роста. Она имеет вид зависимости безразмерной массы тела от безразмерного времени, изображенной на рис. 13:
г = 1 - е-т,
(40)
где r - безразмерная масса тела,
r-
т - безразмерное время, at
т =
m(t) M
,1/4
4M
1/4
In
1 -
M
1/4
т0 = масса новорожденного; а - постоянная для данного животного. Значения т0 и а приведены в работе [22].
г
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
ФфДО
□ Свинья
О Землеройка
□ Кролик О Треска О Крыса
V Гвинейская свинья
□ Креветка О Лосось
□ Гуппи А Курица
□ Дрозд О Цапля А Корова
4 6
Л
10
Рис. 13. Зависимость массы тела млекопитающих от времени [22]
Неожиданно. Оказывается все животные, птицы и рыбы «взрослеют» в безразмерных единицах с одинаковой скоростью...
7. Скейлинги и самоорганизация в плазме
В данном разделе слово «самоорганизация» будем использовать в двух разных смыслах.
К первому можно отнести появление в коллективе, возглавляемом Л.А. Арцимовичем и М.А. Леонтовичем выдающейся плеяды уникальных теоретиков и экспериментаторов. Мощной подпиткой такой самоорганизации было происходившее в то время становление и быстрое развитие самой науки - физики высокотемпературной плазмы в системах с магнитным удержанием, создание новых установок, новые экспериментальные данные, а также развитие соответствующих методов вычислений (soft) и вычислительной техники (.hard).
Второй смысл относится к поведению самой плазмы. По мере того, как она становилась все более «послушной» экспериментаторам, в ней самой начали проявляться черты самоорганизации. Радиальные профили некоторых параметров плазмы (особенно давления плазмы р и плотности тока плазмы у, входящих в уравнения равновесия Грэда-Шафра-нова) проявили стремление к универсальной зависимости от безразмерного радиуса.
Плазма становилась более предсказуемой и иногда преподносила приятные неожиданные «подарки». Отметим, в частности, улучшение удержания при большой мощности нагрева плазмы (1-Н-переход) и бутстреп-ток, позволяющий увеличить длительность разряда.
Одновременно шла обработка и анализ экспериментальных данных с множества работающих в мире токамаков, которые позволили получить единый скейлинг для энергетического времени жизни плазмы т£, позволяющий масштабировать и предсказывать характер удержания плазмы в новых установках:
= 0,0562/°'93 B 0Д5 Л0'41 Д0Д9 R l.S7s0,58k>,78/p о
' pl t e I ' д
[с, MA, Тл, 1019 м-3, м, МВт].
,69 AUX
(41)
В качестве независимых параметров этой зависимости приняты т.н. «инженерные» величины: /р| - ток плазмы; Bt - тороидальное поле на оси; ne - концентрация плазмы; At - относительная масса ионов плазмы; R - большой радиус плазмы, s = o/R; k - вытянутость сечения плазмы; PAUX - мощность дополнительного нагрева плазмы.
Как следует из рис. 14, наблюдается хорошее согласие скейлинга Н-моды удержания (41) с экспериментальными данными на токамаках, что послужило весомым аргументом для экстраполяции параметров с существующих установок на параметры международного экспериментального термоядерного реактора ИТЭР.
10"2 10"1 10° Энергетическое время жизни плазмы (скейлинг ITER 1РВ(у,2))
Рис. 14. Сопоставление экспериментальных значений энергетического времени жизни т(И (ось ординат) со скейлингом ITER-IPB(y, 2) т£ |рв98(у 2) (ось абсцисс). Приведена экстраполяция данных
на параметры ИТЭР
те, h ~ e, IPB98(y, 2)
m
0
Появлению подобных скейлингов предшествовала огромная работа по анализу экспериментов и созданию расчетных кодов, переходу от нульмерных кодов к 1-1,5-мерным... Пионерские исследования на этом пути выполнены Ю.Н. Днестровским и Д.П. Костомаровым [23]. Было интересно и волнительно следить, как они из года в год на конференциях публиковали новые сообщения о все более детальном описании плазмы и развитии соответствующих численных методов. Так, сильное впечатление произвела в свое время модель, описывающая изменение топологии магнитных поверхностей в ходе развития разряда, которое связано с перезамыканием силовых линий магнитного поля внутри области плазмы и перемешиванием в этой области плазменных параметров.
Ю.Н. Днестровский
Д.П. Костомаров
Книга [23], в которой детально разобраны множество актуальных задач, описаны постановки, схемы решения и результаты, служила и служит учебником для многих исследователей. А сам Юрий Николаевич удостоился от Шафранова проникновенных слов:
Для решенья физпроблем Небом словно предназначен. Есть кому для ЭВМ Ставить новые задачи. Транспорт плазмы на большак Развернул он полным ходом, Обеспечил токамак Всем известным нынче кодом...
Описанный в стихотворении транспортный код модифицирован ныне в российские программы ASTRA и DINA, широко используемые в мире, в том числе для расчетов параметров плазмы ИТЭР, а центр интересов Юрия Николаевича переместился к изучению самоорганизации плазмы в то-
камаке. Этому посвящена выпущенная им недавно книга [24]: «Самоорганизация горячей плазмы». В ней обобщены его размышления о скейлингах и самоорганизации профилей в токамаках и стеллараторах, развивавшихся в работах Б.Б. Кадомцева (теория), Ю.В. Есипчука и К.А. Разумовой (эксперимент) и многих других, в том числе зарубежных, авторов.
В качестве примера такой самоорганизации приведем вид канонического профиля из книги [24], относящийся к нормированным радиальным профилям давления плазмы в токамаке Т-10 в режимах омического нагрева (OH) и с ЭЦР подогревом плазмы (EC) (рис. 15, а) и в стеллараторе TJ-II при центральном (on-axis) и нецентральном (off-axis) ЭЦР нагреве плазмы (рис. 15, б) из работ [25, 26].
Рис. 15. Канонические профили электронного давления плазмы в установке Т-10 (а) и стеллараторе Т1-М (б) [24-26]
Переход к идеологии самоорганизации плазмы с каноническими профилями, полученными из вариационного принципа, в корне меняет подход к моделированию энергобаланса плазмы. Для профилей, совпадающих с каноническими уход энергии минимален и увеличивается по мере отклонения профиля от канонического. Переход к такому описанию приводит к появлению особого языка с терминами: «жесткость» (степень ухудшения удержания при отклонении профиля от канонического) или «забывание» (релаксация).
Необычен сделанный вывод из такого подхода: «профили параметров плазмы и потоки энергии и частиц развязаны. Профили определяются магнитной конфигурацией плазмы, а потоки - турбулентностью и, в малой степени, парными соударениями» [24].
Подход, изложенный в книге позволил обобщить анализ на плазму произвольного сечения, получить канонические профили также для скорости тороидального вращения, сформулировать подход для анализа удержания плазмы как в 1-моде, так и в Н-моде удержания. Исследована специфика канонических профилей как в классических, так и сферических токамаках, а также в стеллараторах [26]. Отдельный интерес в книге [24] представляет анализ зависимостей экспериментальных скейлингов энергетического времени жизни плазмы от параметров, выбранных в качестве независимых переменных. В качестве последних используются три разных набора: «инженерные», «физические» и «безразмерные» переменные и описана процедура перехода от одного набора переменных к другому.
8. Ограничение на предельные возможности теплоотвода
В живых организмах, обитающих на Земле, уровень интенсивности циркулирующих тепловых потоков задается Солнцем. От Солнца до поверхности Земли доходит тепловой поток ~1 кВт/м2, из которых поглощается 200-300 Вт/м2.
В высоких деревьях поток тепла от Солнца запускает главный механизм подъема воды по стволу дерева наверх, связанный с испарением воды через устьица. При этом оказывается, что, хотя площадь, занимаемая устьицами, составляет всего около 1 % площади листа, испарение через них происходит с практически той же скоростью, что и с открытой поверхности (о природе этого парадокса рассказано в [27]).
Величина удельного теплового потока, отводимого через кожу животных при испарении в целом того же порядка. Так,
для человека в спокойном состоянии она составляет примерно 50 Вт/м2. При максимальных физических нагрузках (бег спринтера, об этом более подробно рассказано в [7], отношение выделяемой при беге тепловой мощности (~3 кВт) к поверхности тела бегуна (1,5 м2) может достичь 2 кВт/м2. Такую величину теплового потока человеческое тело уже не успевает отвести (через кожу отводится до 1 кВт/м2) и в ходе бега температура тела такого рекордсмена-спринтера должна расти (см., например, [28]).
Каких величин могут достигать тепловые потоки в плазменных устройствах? В энергетическом термоядерном реакторе плазму нужно догреть до температур ~100 млн градусов с помощью ввода извне мощности нагрева через специальные окна ввода. Достигнутые удельные тепловые потоки через «окно» ввода мощности (в виде пучков частиц или электромагнитных волн, рис. 16) составляют 10-50 МВт/м2.
Основная часть энергии синтеза при реакции дейтерия и трития приходится на нейтроны, для них удельный тепловой поток на окружающие плазму стенки в термоядерном реакторе масштаба 1-3 МВт/м2.
Наиболее энергонапряженным элементом в плазменных устройствах - токамаках является дивертор. Он отводит 10-20 % термоядерной энергии в виде тепла из плазмы, но, в силу особенностей конструкции этого элемента, потоки энергии на теплоприемные пластины дивертора могут достичь ~10 МВт/м2 (на такой тепловой поток рассчитана, в частности, конструкция дивертора в реакторе ИТЭР, см. положение дивертора на рис. 16).
Следует отметить, что параллельно с термоядерной установкой (ИТЭР) создается специальный стенд ^М^ для испытания материалов (рис. 17). Он представляет собой ускоритель, пучок дейтронов из которого попадает на литиевую мишень. В мишени по реакции
D + 6и ^ 8Ве + п
Окно ввода мощности
Рис. 16. Элементы реактора ИТЭР. Показаны: первая стенка вакуумной камеры, внутри которой плазма; один из портов («окон») ввода мощности и теплоприемное устройство - дивертор
образуются нейтроны со спектром, близким к термоядерному спектру D-T-реакции. Для того, чтобы достичь требуемой для испытания материалов нейтронной нагрузки ~1-2 МВт/м2, нужно, чтобы поток тепла (при взаимодействии дейтериевого пучка с литиевой мишенью) достигал 1000 МВт/м2! Такие огромные величины удельных тепловых потоков можно отвести только потоком жидкого металла, движущегося с большой скоростью (например, лития при скорости ~ 20 м/с).
Поток лития
Дейтериевый пучок
Рис. 17. Идеология стенда ^М^ для испытания материалов: показаны пучок дейтронов, литиевая мишень и область испытаний
9. Блистеры, вискеры и ботанические аналоги
Сталкиваясь с аналогиями между биологическими явлениями, с одной стороны, и физическими, имеющими отношение к плазменной науке, с другой, мы упоминали известных ученых, потрудившихся как на плазменной ниве, так и на биологической.
В данном разделе мы познакомимся с новыми терминами, блистерами и вискерами, имеющими отношение к взаимодействию плазмы с поверхностью, и приведем соответствующие аналогии из области ботаники.
Блистеры
Под блистерингом понимают вздутие поверхности и образование на ней пузырей. При взаимодействии плазмы с поверхностью ограничивающей плазму материальной стенки ионы основной (дейтериево-тритиевой) плазмы и ядра гелия от реакций синтеза внедряются в нее на некоторую глубину и, при определенных условиях, образуют газовые полости изотопов водорода и гелия - газовые пузыри. При накоплении достаточного количества такого газа, пузырь может лопнуть. В результате имеет место картина, изображенная на рис. 18.
А теперь посмотрим, как выглядят устьица на листе см. [27] (рис. 19). Не правда ли, похоже? За тем исключением, что газ из блистеров попадает внутрь вакуумной камеры в плазму, а через устьица на листе вода испаряется наружу в окружающую атмосферу.
Термин вискеры в переводе с английского означает «кошачьи усы». Образования, похожие на них обнаружены при исследовании взаимодействия плазмы с материальными поверхностями (рис. 20, 21).
Рис. 18. Вид блистеров при облучении лейкосапфира ионами водорода с энергией 10 кэВ. Доза облучения 1 • 1018 ион/см2. Температура поверхности 400 К [29]
Рис. 19. Фото устьиц на листе дерева
Вискеры
Рис. 20. Панорама покрытой вискерами грани медного образца после облучения ионами ртути с энергией 50 эВ [29]
Рис. 21. Динамика развития вискеров на поверхности вольфрама при бомбардировке ионами аргона с энергией 1000 эВ [29].
Доза облучения:
а - 3,4 • 1020 см-2; б - 4,2 • 1020 см-2; е - 5,1 • 1020 см-2; г - 6 • 1020 см-2
Как видно из рисунков, при взаимодействии плазмы с поверхностью материала практически перпендикулярно поверхности вырастает «лес» практически одномерных нитевидных кристаллов. Диаметр таких кристаллов 0к ~ 1 - 10 мк при большом отношении высоты ¿к к диаметру Ljd^ > 1. На рис. 20 приведен характерный вид «леса» вискеров. Динамика развития вискеров при увеличении дозы облучения показана на рис. 21, где можно проследить постепенное зарождение, рост и «угасание» вискеров.
Напрашивается аналогия вискеров с ростом травы в живой природе (рис. 22). Характеристики роста растений, в частности, максимальная скорость роста травы рассматривались [15] и в данной работе, в разд. 2 «А.А. Веденов и проблема скорости роста растений».
Рис. 22. Прорастание травы
10. Фрактальные образования
вблизи границы плазмы со стенкой
В токамаках при взаимодействии плазмы со стенкой вакуумной камеры, наряду с образованием блистеров и вискеров, происходит эрозия стенки. Это приводит к появлению пленок на поверхности стенки и пыли.
Пленки вблизи ограничивающих плазму диафрагм активно изучаются на многих токамаках. В качестве примера на рис. 23 приведены снимки полученные на российском то-камаке Т-10 [30].
Рис. 23. Пленки, осажденные при взаимодействии плазмы со стенкой в токамаке Т-10:
а - слоистые, вдали от диафрагмы; б - глобулярные, вблизи диафрагмы [30]
Глобулярные пленки оказались весьма похожими на капустные кочаны (рис. 24). В плазменной науке этот тип пленок по аналогии так и был назван - «цветной капустой».
Рис. 24. Вид образований типа «цветной капусты» при взаимодействии плазмы со стенкой (а) и в ботанике (б) [31]
Исследование глобул, возникающих при бомбардировке поверхностей пучками из плазменного ускорителя позволило обнаружить самоподобие таких структур - их фрактальные свойства (рис. 25 (плазма - вольфрам) и 26, 27 (плазма -графит)).
Рис. 25. Самомоподобие глобул в эксперименте по взаимодействию плазмы с поверхностью вольфрама с помощью плазменного ускорителя КСПУ при уровне выделяемой энергии 1,5 МДж/м2 [31]
обновления поверхности, которое может быть вынесено за пределы вакуумной камеры токамака, можно уподобить своеобразному «пульверизатору».
Рис. 26. Самомоподобие глобул в эксперименте по взаимодействию плазмы с поверхностью графита в токамаке Т-10 при уровне выделяемой энергии 2,5 МДж/м2 [31]
Рис. 27. Микроструктура глобулярной углеродной пленки, осажденной на внутренней поверхности вакуумной камеры токамака Т-10 вблизи лимитера и диафрагмы: а - вид сверху; б - вид сбоку при большем увеличении [32]
11. Возобновляемые покрытия
Клетки стенок ряда органов человека, находящихся в контакте с пищей и подвергающихся серьезному механическому и химическому воздействию, весьма недолговечны. Это относится в первую очередь к стенкам желудка и кишечника. Клетки, выстилающие стенки желудка, обновляются раз в 2-9 дней; клетки тонких кишок еще чаще, грубо - через день [33]. Отмечено, что на такое обновление тратится основная часть энергии, поступающей в организм с пищей (~80 %) [33, 10].
Первая стенка вакуумной камеры токамака, также подвергается разнообразным нагрузкам: тепловому воздействию, бомбардировке частицами плазмы и эрозии. На ней могут появляться пленки, блистеры, вискеры, происходить растрескивание, охрупчивание и т.д. Отрыв пленок и вискеров, раскрытие блистеров приводит к нежелательному воздействию на плазму и элементы установки. С другой стороны развитая поверхность глобулярных пленок способна активно «впитывать» частицы, летящие из плазмы, в частности, тритий, что нежелательно.
Как и в случае живых организмов, множество проблем, относящихся к живучести первой стенки токамака, может быть решено путем ее периодической или непрерывной замены с помощью так называемых возобновляемых покрытий. В развитии идеологии возобновляемых покрытий для первой стенки токамаков важную роль играют две группы российских ученых.
Первая из них (О.И. Бужинский, Л.Б. Беграмбеков и др., [34] (рис. 28) развивает подход, в котором первая стенка периодически покрывается тонким слоем кристаллического карбида бора В4С толщиной в десятки микрон (до 100 мкм). Такое покрытие опробованное на ряде токамаков, является прочным, с низкой проницаемостью по тритию из плазмы и со слабым воздействием на саму плазму. Устройство
Рис. 28. Фотография покрытия карбида бора на вольфраме [34]
Во втором подходе (С.В. Мирнов, И.Е. Люблинский и др. [35]) используются самовосстанавливающиеся поверхности на основе капиллярно-пористых структур. Если пропитать литием моток тонкой проволоки, уложенный с зазором в десятки микрон (типа войлока, рис. 29), то силы поверхностного натяжения будут удерживать литиевую пленку и обеспечивать постоянное смачивание поверхности. В сечении вид такой структуры показан на рис. 30.
Рис. 29. Фото литиевой пропитки вольфрамовой проволоки (а), молибденовой сетки с периодом сетки 75 микрон без пропитки (б) и с пропиткой литием (б) [35]
D, Т п+ т+
3-10 мкм
Mo, W, SS
Рис. 30. Сечение капиллярно-пористой структуры, обращенной к плазме. Заштрихована область литиевой пленки на сетке из молибдена (Мо), вольфрама или нержавеющей стали
Использование литиевых капиллярно-пористых структур в качестве элементов первой стенки токамаков показало их хорошую совместимость с плазмой и способность выдерживать большие тепловые нагрузки.
Похожий принцип используется в ботанике (испарение через устьица позволяет отвести тепло с листа) и в зоологии (в жару тепло отводится путем испарения через поры в коже организма).
Литература
1. Минеев А. О высоких деревьях // Квант. 1992. № 3. С. 13-17; № 4. С. 10-15; статья перепечатана в журнале Quantum. Jan/Feb, 1994. Р. 4-10 под названием «Trees Worthy of Paul Bunyan (physics and tree growth)».
2. West G.B., Brown J.H., Enquist B.J. A general model for the structure and allometry of plant vascular systems // Nature. 1999. V. 400. P. 664.
3. Веденов А., Иванов О. С какой скоростью растет зеленый лист? // Квант. 1990. № 4. С. 11.
4. Веденов А. Моделирование элементов мышления. Сер.: Современные проблемы физики. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. литературы, 1988. Раздел «Рост растений».
5. Минеев А. О камбии и рельефе коры на стволе дерева // Квант. 2004. № 3. С. 11-15.
6. Минеев А. От мыши до слона // Квант. 1993. № 6. С. 11-15.
7. Минеев А. Спринтеры и стайеры // Квант. 2017. № 11. С. 11-14.
8. Жданов С.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. литературы, 1991.
9. Трубников Б.А., Трубникова О.Б. Пять великих распределений вероятностей // Природа. 2004. № 11. С. 13.
10. Минеев А. Принцип 80 : 20 в биологии // Квант. 2017. № 11. С. 6-10.
11. Шафранов В.Д. Ненаучные труды. М.: РНЦ «Курчатовский институт», 2009.
12. Пастухов В.П., Арсенин В.В., Кукушкин А.Б., Курнаев В.А., Морозов Д.Х., Трубникова О.Б., Трубников А.С. В память о Борисе Андреевиче Трубникове // Доклад на 44-й конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу. Звенигород, 2017.
13. Кадомцев Б.Б. На пульсаре. М.: УФН, 2001.
14. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: УФН, 1999.
15. Минеев А. Фауна и флора // Квант. 2001. № 4. С. 13-15.
16. Шмидт-Ниельсен К. Размеры животных: почему они так важны? М.: Мир, 1987.
17. West G.R., Brown J.H. Life's Universal Scaling Laws // Physics Today. Sept. 2004, P. 36.
18. West G.B., Brown J.H., Enquist B.J. A General model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology // Science. 1997. V. 276. P. 122.
19. Бегун П.И., Шукейло Ю.А. Биомеханика. СПб.: Политехника, 2000. C. 331.
20. Etienne R.S., Apol M.E.F., Olff H. Demystifying the West, Brown & Enquist model of the allometry of metabolism // Functional Ecology. 2006. V. 20. P. 394.
21. Apol M.E.F., Etienne R.S., Olff H. Revisiting the evolutionary origin of allometric metabolic scaling in biology // Functional Ecology. 2008. V. 22. P. 1070.
22. West G.B., Brown J.H., Enquist B.J. A General model for ontogenetic growth // Nature. 2001. V. 413. P. 628.
23. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1982; 1993 (2-е изд.).
24. Днестровский Ю.Н. Самоорганизация горячей плазмы. М.: НИЦ «Курчатовский институт», 2013.
25. Dnestrovskij Yu.N., Melnikov A.V., Pustovitov V.D. Approach to canonical pressure profiles in stellarators // Plasma Phys. Control. Fusion. 2009. V. 51. P. 015010.
26. Melnikov A.V., Eliseev L.G., Pastor I., et al. Pressure profile shape constancy in L-mode stellarator plasmas // 34-th EPS Conf. on Plasma Phys. Warsaw. 2-6 July 2007. ECA, V. 31F, Rep. P-2.060.
27. Минеев А. Листья улыбаются // Квант. 2006. № 4. С. 37-39.
28. Проскурин И.К. Биохимия. М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2004. С. 177.
29. Беграмбеков Л.Б. Процессы в твердом теле под действием ионного и плазменного облучения. М.: МИФИ, 2008.
30. Крауз В.И., Мартыненко Ю.В., Свечников Н.Ю., Смирнов В.П., Станкевич В.Г., Химченко Л.Н. Наноструктуры в установках управляемого термоядерного синтеза // Успехи физических наук. 2010. Т. 180, № 10. С. 1055.
31. Житлухин А.М., Климов Н.С., Подковыров В.Л., Химченко Л.Н. Эрозия защитных покрытий первой стенки и дивертора ИТЭР и формирование пыли в условиях, имитирующих переменные нагрузки: ЭЛМы и срывы плазмы // Доклад на Звенигородской конференции по физике плазмы, 2009.
32. Колбасов Б.Н., Гусева М.И., Свечников Н.Ю., Станкевич В.Г., Хрипунов Б.И., Романов П.В., Зимин А.М. Исследования накопления изотопов водорода в контактирующих с плазмой материалах, проведенные в России в последние годы // Труды 8-го международного рабочего совещания по изотопам водорода в материалах термоядерных реакторов. Хуаншань, КНР. 29-30 мая 2006.
33. Иванов К.П. Основы энергетики организма: Теоретические и практические аспекты. В 5-и т. Л., СПб: Наука (РАН, Институт физиологии им. И.П. Павлова). 1990-2007; Т. 4. Энергоресурсы организма и физиология выживания, 2004.
34. Азизов Э.А., Айрапетов А.А., Беграмбеков Л.Б., Бужинский О.И., Вергазов С.В. и др. Установка для нанесения покрытия карбида бора и тестирования материалов и покрытий при интенсивном плазменном облучении // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Термоядерный синтез. 2014. Т. 37, вып. 4. С. 30.
35. Mirnov S.V., Azizov E.A., Evtikhin V.A., Lazarev V.B., Lyublinski I.E., Vertkov A.V., Prokhorov D.Yu. Experiments with lithium limiter on T-11M tokamak and applications of the lithium capillary-pore system in future fusion reactor devices // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2006. V. 48. P. 821.
