НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

В.Н. Самохин , Г. А. Чечкин

Неклассические задачи в математической гидродинамике возникают при изучении движения реологически сложных сред, а также при граничных условиях, отличных от классических. В работе установлены теоремы существования и единственности классического решения задачи о стационарном пограничном слое жидкости с реологическим законом О. А. Ладыженской вблизи твердой стенки с заданными условиями, характеризующими силу поверхностного натяжения и явление проскальзывания вблизи этой стенки.

Ключевые слова: условие проскальзывания, пограничный слой, переменные Мизеса. принцип максимума, вязкая жидкость, реологическое уравнение, модель вязкой среды О. А. Ладыженской.

Nonclassical problems in mathematical hydrodynamics arise when studying the motion of ideologically complex media, as well as under boundary conditions different from classical ones. In this paper, existence and uniqueness theorems are established for the classical solution to the problem of a stationary boundary layer of a liquid with the rheological law of O. A. Ladyzhenskaya near a solid wall with given conditions characterizing the force of surface tension and the phenomenon of slipping near this wall.

Key words: slip condition, boundary layer. Mises variables, maximum principle, viscous fluid, rheological equation, O. A. Ladyzhenskaya model of a viscous medium.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-2 1. Задача с условием проскальзывания.

1.1. Постановка задачи и формулировка основного результата. В области D = {0 < x < X, 0 < y < то} X > 0, рассматривается двумерный стационарный пограничный слой, который описывается системой уравнений

1 + 3k

du dy

2i

д2и ди ди ду2 дх ду

0,

dp dy

0,

dx dy dx

где функции U(x) и p(x) связаны равенством

U2 (x) + 2p(x) = const.

Наряду e уравнениями (1) рассматриваются граничные условия вида (см. [1|)

ди dv q dx dy

(1)

u|x=0 = uo (y), u|y=0 = ли (x),

du dy

a

y=o

v|y=o = vo(x), u(x,y) ^ U(x) при y ^ (2)

В задаче (1), (2) функции и(ж,у), -и(ж,у) — неизвестные компоненты скорости течения жидкости; X — длина обтекаемой области; V и ^ — кинематическая и динамическая вязкоети жидкости; Л (0 < Л < 1) — коэффициент проскальзывания вдоль границы {у = 0} а — коэффициент поверхностного натяжения; р(х) — давление; заданные ф ункции и (ж), Мо(у), ^о(ж) — скорость внешнего потока, исходный профиль скоростей и скорость отвода (инъекции) жидкости через границу {у = 0} соответственно.

1 Самохин Вячеслав Николаевич avt428212eyandex.ru.

доктор физ.-мат. паук. проф. каф. математики Моск. политехи, ун-та, e-mail: Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Moscow Polytechnic

Samokhin Vyacheslav Nikulaevich University, Chair of Mathematics.

J Чечкин Григорий Александрович доктор физ.-мат. паук, проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chechkinemech.math.msu.su.

Chechkin Gregory Aleksandrovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Differential Equations.

© Самохин B.H.. Чечкин Г. Л.. "2024 (о) Samokhin V. N.. Chechkin С. Л., 2024

Основной результат сформулируем в виде двух теорем.

Теорема 1 (существования). Пусть выполнены следующие условия: u0(y) > AU(0) при y > 0; Uo(0) = Aî7(0), u'q(O) = jpf > 0, Uo(y) U{0) ф 0 при y —> oo; ^ и Vo(x) непрерывно дифференцируемы при 0 ^ x ^ X; u0(y), u'0(y), u$(y) ограничены при 0 ^ y < ж и удовлетворяют условию Гёльдера. Также предполагается, что выполнено условие согласования в точке (0, 0)

1 + 3k

du0(y)Y dy )

d2up(y) dy'2

- vo(0)

duojy) dy

+ (1 - Л2)U(0)

dU( 0) dx

= O(y2) при y ^ 0.

Тогда, при некотором X > 0 в обласm,и D существует решение u(x,y), v(x, y) задачи (1), (2); обладающее следующими свойствалт: функция, и(х,у) непрерывна, и ограничена, в I). и(х,у) > AU(x)

при у > 0: щ > m > 0 при 0 < у ^ уо, где m и у о

рывны, и ограничены в I) : v, Щ. непрерывны, и ограничены в любой конечной части D. Если

dv

du д2 u

некоторые постоянные; -щ и -щр непре-

\и,

| ^ mi ехр (-7П22/), ть ni2 = const > 0, то и || ограничены в D. В случае, когда, ^ ^ 0

Vq(x) ^ 0 или -£: < 0, такое, решение задачи (1), (2) существует в D при любом X > 0.

u(x, y) v(x, y) (1) (2)

D

0 < и < M при ф > 0, Муу ^ и ^ М2У при 0 < у < уо, -7^2 ^ ^з npit (х, у) € D,

д2и ду2

где М, Ы\, М^ М3 и — некоторые положительные постояппые. Тогда, и(х,у), у(х,у) — единственное решение задачи (1), (2).

1.2. Переход к переменным Мизеса. Для доказательсва теоремы 1 произведем следующую замену неременных Мизеса:

х = х, ф = ф(х,у), w(x,tp) = it2(x,y), W{x) = U2(x), Êt „л _ — -St ф\у=0,

и(х> У) = âf ' г'(ж> У) ~ г'о(ж) =

дф дх >

при помощи которой задача (1), (2) в области Б переходит в задачу

(3)

v\w

Ъ i dm 4 \дф

2

d2w dw . . dw dW —¡2 ~ — ~ г'о(ж)— + — = 0,

дф2

дх

дф dx

(4)

т\х=0=т0(ф), т[ф=0 = А2ш(х), §f

= г>\ф=о=1>о{х),

ф=0

w(x^) ^ W(х) при ф ^

(5)

в области G = {0 < х < X, 0 < ф < 00}, X > 0, где wo(ф) =

Предположения теоремы 1 с учетом замены (3) принимают следующий вид: то(ф) > K2W(0) при ф > 0; Wo(0) = A2W(0); w'o(0) = > 0; то(ф) —> W{0) ф 0 при ф —> 00; ^ и i'o(x) непрерывно дифференцируемы при 0 ^ x ^ X; то(ф), т'0(ф), т$(ф) ограничены при 0 ^ ф < оо и удовлетворяют

(0, 0)

v\Jw о(ф)

4 V dф J

2i

d2w0(ip) _г,0(о)<й7Т°^

dф2

dф

к2\ dW(0)

= О(ф) при ф ^ 0.

1.3. Существование решения задачи в переменных Мизеса. Для доказательства существования решения т(х,ф) задачи (4), (5) произведем замену неизвестной функции

w(x, ф) = т(х, ф) - A2W(x), и>0(ф) = т0(ф) - Л2И^(0), которая сводит задачу (4), (5) в области G к задаче "прилипания"

(6)

vy/w + A2W(x)

31 ( дw

4 \&ф

д w dw dw Л2)^^

дф2 дх ' дф dx

0,

(7)

v

w\x=o = W о(ф), и>\ф=0 = О, dw

Щ = 1>\ф=о = Мх), (8)

■ш(х,ф) ^ (1 — A2)W(x) при ф ^

в области G.

С учетом замен (3), (6) предположения теоремы 1 принимают вид: -Шо(ф) > 0 при ф > 0; и>о(0) = 0, Wg(0) = 2jpç > 0, wo(ip) —> (1 — Л2)И^(0) ф 0 при ф —> оо; ^ и i'o(x) непрерывно дифференцируемы при 0 ^ x ^ X ; wo (ф) w'0 (ф), ^О'(ф) ограничены при 0 ^ ф < той удовлетворяют условию Гёльдера. Также предполагается, что выполнено условие согласования в точке (0, 0), т.е. при ф ^ 0 имеем

в(ф) = vy/wo(ip) + Л2И^(0)

1 + -к

Ъи(dwo2"| d2wo(^) ^dwo(ф) , ^ д2dW(0)

4 V dф /

w -«.«о-^ + а-лч-^ом.

Решение w(x^) задачи (7), (8) находится как предел при е ^ 0 последовательности решений w£(x,^) уравнения (7) с граничными условиями

■ш£(ж, 0) = w0(e) exp j, w£(0, ф) = «>0(ь + ф), «Цж,-J = w0^e + -J exp p^ryj (9)

в области

G£ = jo < x < X, 0 < ф < - }

с границей

Г£ = {0 < ж < X, 0 = 0} U {ж = 0, 0 < ф < -} U jo < ж < X, Ф = -}-

Доказательство теоремы базируется на следующих леммах, которые доказываются на основе утверждений из [2 4|. Кратко план доказательства приводится после каждой леммы.

Лемма 1. Если задача (7), (9) имеет положительное решение w£(x, ф) в области С£, то существуют т,акие значения X > 0 и е0 > 0, что для любого е < е0 в облас ти G£ выполнено неравенство

w£(x, ф) ^ w£(x, 0) + f (ф)(1 + e-ax), (10)

4

где а > 0. а функция, /(ф) такова, что /(ф) = А\фз + А2Ф при ф ^ 1 и /(1) ^ /(ф) ^ A3 при ф > 1; при этом |f'(^)| ^ A4; |f"(^)| ^ A5 при ф > 1. Здесь A — положительные постоянные. Если U '(x) ^ 0 u v0(x) ^ 0, то в облас ти G£ верна априорная оценка,

w£(x, ф) ^ w£(x, 0) + f (ф)е-ах

при любом X > 0 и достаточно малом е0 > 0.

-Белы U '(x) ^ в0 > 0, то в облас ти G£ имеет место неравенство

w£(x, ф) ^ w£(x, 0) + f (ф).

Доказательство леммы основано на следующем подходе. Выбираем функцию $£(x,ф) = w£(x, 0) + f (ф)(1 + е-ах), а = const > 0.

Далее получаем оценку Ф£^ж, ^ ^ К функции Ф£^ж, ^ применяем оператор из (7) без

последнего слагаемого (обозначенный L) и оцениваем выражение снизу. Получаем

dW

ДФ£) ^ (1 - Л2)

и, следов ательно,

dx

L(w£) - ¿(Ф£) < 0,

а на границе Г£ имеем

w£(ж,ф) - ФДж,ф) ^ 0.

Далее, но принципу максимума и>£(х, ф) — Ф£(х, ф) ^ 0 всюду в С£. Совершенно аналогично, выбирая в качестве функции Ф£ правую часть неравенства (10), доказываем саму оценку (10). Вторая оценка .леммы получается аналогично.

Лемма 2. Пусть г£(ж, ф) — решение задачи (7), (9). Тогда, существуют положительные, не зависящие от, е постоянные Ы4; Ы5; Ыб; т,а,кие, что

0 <ад£(ж,ф) <Ы4, (11)

< Ыб. (12)

дг

< Вф

гф=0

Доказательство. Пусть г(ж, ф) = еахг?(ж, ф), а > 0 — некоторая постоянная. Тогда

1У \/и> + К2Ш(х)еах (1 + ^гУе2ах) ^ - еах^ - суеахи>-\ 4 \дф/ ) дф2 дж

/ Л ах дг? ,, .2л ^

Пусть (жо,фо) — точка максимума функции гИ£ = -ш£в-ах. Если (жо, фо) лежит внутри области С£, то в точке (жо , фо)

дг?£ дг?£ д2г?£

—- = —- = 0, -А ^ 0.

дж дф ' дф2

Сдедовательно, в точке (жо, фо)

аеахи1£ = (1 - Л2)^ + 1/уЧ + К2Ш(х)еах^- < (1 - Л2)^.

(/»ж дф (/»ж

Отсюда следует, что функция г?£ ограничена то внутренности С£. Так как функция г?£ ограничена на границе Г£, то г?£ ограничена во всей о бласти С£, а значит, и фун кция г£ ограничена в об ласти С£. Неравенство (11) установлено. Справедливость неравенства (12) вытекает из условия на функцию щ при ф = 0 в (8). □

Лемма 3. Существует такая постоянная Ы7; что

дг

дф

< Ы7, (ж, ф) € С £.

Доказательство. Продифференцируем уравнение (7) по переменной ф и положим ге = Имеем

1/уЧ + Л2Ж( ж)(1 + + +Л2ТТ(ж)г£(||)2+

3, 2 \ д^£ д^£ д^£

+— = 1 + -кг; - тг1 -г'оИттт = (13)

С помощью принципа максимума и леммы 2 устанавливается, что решение г£ уравнения (13) ограничено равномерно по е во всей области С£. □ Лемма 4. Существуют т,а,кие положительные постоянные Ы8 и Ыд (не зависящие от, е); С

Эта лемма доказывается аналогично предыдущей, только мы дифференцируем уравнение (7) ж

Лемма 5. В области С£ при ф ^ ф* > 0 решения т£ задачи (7), (9) имеют производные удовлетворяющие условию Гёльдера, причем максимум модулей этих производных ограничен постоянной, не зависящей от, е, но зависящей от, ф*.

Доказательство. По лемме 1 при ф ^ ф* имеем т£ ^ а > 0, где параметр а не зависит от е и ф*. Поэтому при ф ^ ф* > 0 уравнение (7) является равномерно (относительно е) параболическим. По лемме 3 производные ^^ равномерно ограничены. Применяя к уравнению (7) лемму 6 из работы [2], получим, что т£ удовлетворяют условию Гёльдера по переменной х с показателем и постоянной, не зависящими от е. Поэтому на основании известной теоремы из работы [3] функции т£ при ф ^ ф* имеют производные ^^г, ^г, удовлетворяющие условию Гёльдера, причем максимум модулей этих производных ограничен постоянной, не зависящей от е. □

Лемма 6. Для, решения задачи (7), (9) в области Се существуют т,акие положительные постоянные Мю, Мц, Мц, не зависящие от е, что

_г} 7/J

y/we+A*W(x)-^ <; Мю,

дф2

dw£ дх

< Mu,

dw£ дф

> M12, 0 ^ ф ^ ф,

(14)

(15)

для некоторого ф > 0.

В силу леммы 5 для доказательства леммы 6 достаточно показать выполнение оценок (14) и (15) в области С£ П{ф ^ ф} для некоторого ф > 0. Используя леммы 1, 2 и 4, а также лемму 2.1.7 из [4|, получаем требуемые оценки.

Лемма 7. В области Се имеет место оценка

w

в-1

dwF

дх

< M13, 0 < в <

(16)

где значение постоянной M13 не зависит от е.

Из леммы 5 вытекает требуемая оценка при ф ^ ф*, поэтому остается проверить оценку (16) при 0 ^ ф ^ ф*. Это мы проделываем с помощью лемм 4 и 6.

Из лемм 1-7 следует, что из последовательности решений w£(х,ф) задачи (7), (9) можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся при ф ^ N в области G и такую, что ее частные производные ^г, ^щ-, ^щт сходятся равномерно при jj ^ ф ^ N, где N > 1 любое заданное число. Предельная функция этой подпоследовательности w(x, ф) является решением задачи (7), (8) в области G. Для частных производных функции w(x,^) справедливы неравенства, установленные в леммах 1 7. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть т0(ф) > 0 при ф > 0; гио(0) = 0, №¿(0) = > 0, т0(ф) ->■ (1-Л2)И^(0) ф 0

при ф —> оо; и i'o(x) непрерывно дифференцируемы при 0 ^ х ^ Л': гоо(ф), т'0(ф), и^(ф) ограничены при 0 ^ ф < ж и удовлетворяют условию Гёльдера. Также предполагается, что выполнено

(0, 0)

з(ф) = v-\J то(ф) + A2H^(0)

1 +

з^/ dwp(Ф) |

2

йф J

<Ри>о{ф) с!.ф

+(1-л2)^та = о(ф) при ф^о.

Тогда, задача, (7), (8) имеет в области G такое решение w(x^), что функция w(x, ф) ограничена в G, w(x, ф) > 0 щи ф > 0 и

dw

дф

< M14,

-д 2 w

' дф2

y/w + K2W{x)—~ <Mi4, (ж,ф)€С;

дw

c)x

<Г Миф1-13, ^ Mis > 0 при 0 < ф < ф2, 0 < ¡3 < -, дф 2

где положительные постоянные M14, M15 и ф2 зависят от заданных функций U(x), u0(y), v0(x) X

Если ^ 0 и i'o(x) < 0 либо ^ > 0, то решение w(x, ф) с указанными свойствами существует в G при любом X > 0.

Возвращаясь к исходным неременным в (6), из теоремы 3 получаем аналогичное утверждение о существовании решения w(x^) задачи (4), (5).

Теорема 4. Пусть гП0(ф) > Л2И^(0) при ф > 0; wo(0) = w'o(0) = > 0, wo(0) ->■

W(0) ф 0 при ф —>■ оо; ^г и i'o(x) непрерывно дифференцируелт, при 0 ^ ж ^ X; Шо(ф), Ш'0(ф), Wq (0) ограничены при 0 ^ ф < оо и удовлетворяют условию Гёльдера. Также предполагается, что

(0, 0)

1 + -k 4

3 ; (dwo(0) Y d0 )

d2wo (ф)

d-ф'2

- vo (0)

dW0 (0) , , M

+ +(1-Л2)-

dx

= O (ф) при ф ^ 0.

Тогда задача (4). (5) и,м,еет, в области G такое, решение и)(х, ф), что функция, и)(х, ф) ограничена в G, w(x, ф) > 0 при ф > 0 и

dw

дф

< Mie,

w-

cj2W дф2

< Mie, (x, ф) € G;

<9w

дх

^ Mi6'01_/3, ^ > M17 > 0 при 0 ^ 0 ^ 03, 0 < /3 < -, дф 2

gde положительные постоянные Mie; M17 м фз зависят, от, заданных функций U(х); u0(y) v0(x) и значения, X.

Если ^ 0 нл'о(х) ^ 0 ,/шбо > 0. то релиениелБ(х, ф) с указанны,лт свойствами существует в G при любом X > 0.

1-4- Единственность решения задачи в переменных Мизеса. Следующая теорема устанавливает единственность решения задачи (4), (5).

Теорема 5. Решение w(x, ф) задачи (4), (5), удовлетворяющее условиям теоремы 4; а т,акже для, некоторых постоянных k\, k¡2, 04 неравенствам к\ф < Ш(х, ф) < к2*ф при, ф < 04. лДПщр <

/гз, является, единственным, в G.

Доказательство. Предположим, что Wi(.t,0), п)2(х,ф) два решения задачи (4), (5). Тогда разность wi — TÏÏ2 удовлетворяет уравнению

- w2) _ + №i\2\ 92(wi - w2) + v

дх V 4 \ ) ) дф2 sfwî + n/!ïï2

3 , / dW2 \ 2\ d2W2 ,_ _

1 + 4k\ дф

дф2

;(«'i - w2)+

+

!3vk\[w{ ( dw\ dW2^ d2W2

V 4 \дф дф ) дф2

- vo(x)

d(w\ - иь2) дф

и условиям

{wi-w2)\x=o = 0, {wi-w2)

d(wi - w2)

гф=0

дф

= 0, W\ —W2—ï0 при ф —> оо.

ф=0

В силу условий теоремы имеем

1

1 + -к

3 ídw2\2\ d2w2

л/wï + Vw2 V 4 V 9ф

ihk^ 1+-

1

s/wï + y/w2 V 4 V дф

дф

где — некоторые положительные постоянные.

Далее введем вспомогательную функцию С(ж,ф), определяемую равенством

с(*.0) = * (1 + (■^

+ 4 V дФ ) ) дф2

(17)

(18)

Рассмотрим функцию

V(х, ф) = вах р(ф) + Л2W(х)

4

где а > 0 некоторая постоянная, <р(ф) = '2ф — фз при ф ^ 1, 1 ^ <р{ф) ^ 2 при ф > 1, причем производные ф'(ф) и ф"(ф) ограничены.

Принимая во внимание оценку (17), получаем

Определим функции

УУ±{х, ф) = е\У ± (Шг — гу2), ¿л > 0.

Пусть число N достаточно велико. Тогда Ш±{х,ф) ^ 0 при ф ^ Ы, поскольку «д —Ш2 —>■ 0 при ф ^

Справедливо следующее неравенство:

Ш+(х, ф) ^ 0 при 0 ^ ф ^ N.

Действительно, это неравенство выполняется на границе области С П{ф < N}. Функция (х,ф) может принимать отрицательные значения только внутри области С П{ф < N}, в тех точках (х, ф), в которых й>1(х,ф) — Ш-2{х, ф) < 0. Оценим Ь2{\¥+) именно в этих точках. Учитывая неравенство (18), имеем

- .«V, + - - .«V, - (, + ж < °

Таким образом, неравенство ) < 0 выполняется в тех точках (х,ф) области С П{ф < N},

1де Ш\(х, ф) —Ш2(х, ф) < 0. Перейдя от функции к функции по формуле = И/+е_/3'т, хде в — некоторая постоянная, получаем следующее неравенство:

,2-

е/3,т < 0. (19)

4 \ дф дф ) дф2 ) дф

Значение в в (19) выбирается так, чтобы в > тахС(х,ф). В этом случае С(х,ф) — в < 0.

(х,гФ)

Согласно принципу максимума неравенство (19) не может выполняться в точке отрицательного минимума функции Ш+(х, ф) в области С П{ф < N}. Значит, в области С П{ф < N} выполняется неравенство (х,ф) ^ 0.

Аналогично доказывается, что Ш-(х,ф) ^ 0 в области С П{ф < N}. Следовательно, при достаточно большом N в области С П {ф ^ -/V} выполняется неравенство |г(Д — г^г! ^ ¿л- Отсюда в силу произвольности £\ получаем |г(Д — г^г! =0, т.е. «д = 1=1

1.5. Доказательство основного результата. Из существования решения Ш(х, ф) зада-С

п(х,у), у(х, у) задачи (1), (2) в области Б, удовлетворяющего условиям теоремы 1. В самом деле,

ф

V дт ( 3 /дгП\2\ д2гП 3ик ^дШ /д2гП\'2 ^( 3 /дгП\2\ д3гП д2гП .д2гП

^Щдф{1 + Лдф) + + 4к{дф) )дф^дф^~МХ^ =

Обозначим 9(х, ф) = щ и рассмотрим уравнение относительно 9(х, ф)

ые) =

-^=(1 + -кв2 )0-г>о(ж) л/и) \ 4

дв гик Г-„(дв\2 З;л2\я2

дф+—^в{дф) +^{1 + 4кв)дф2 дх

з, „2\ д2е де

Далее, воспользуемся принципом максимума в неограниченной области. Положим

(3 \ о jy jç c)Q z/ f 3 \

1 + -кв2 ], b{x, ф) = -^-y/we— + —( 1 + -кв2)в- v0{x).

4 J 2 оф 2л/w V 4 /

Заметим, что функция a(x, ф) — неотрицательная и ограниченная; а функция b(x, ф) — ограниченная в силу свойств решения w(x, ф), указанных в теореме 4 при ф ^ ф5 для некоторой постоянной Ф5.

Пусть

S± = k6e-k7Ф+к8Х ± в(х,ф), где кб, kj, kg — постоянные. Тогда выполнено неравенство

+ f м») - ^ + + » _ ,,0) _

La(S±) = кбе-к7^+к8 Х

< 0

при достаточно больших значениях постоянной к% ш ф ^ ф$.

Согласно принципу максимума ^ 0 в области О П{ф ^ фъ}- Следовательно,

< kgе-к7^, ф > ф5,

для некоторой постоянной кд. Кроме того, функция охраничена в области D, поскольку при ф ^ ф5

du 1 dw

ду ~ 2 дф

du

дх

<

1 dw

m дх

+

1 дф

2лДЁ дх

dw дф

< kio +

'__з dw , .

w 2 —— йф дх

kge-k7ф < kio + kiiфе-к7Ф < ki2,

где кю, кц, к\2 — некоторые постоянные.

Ограниченность функции щ вытекает из ограниченности и уравнения + Щ = 0. Таким образом, доказана теорема 1.

Теперь установим справедливость теоремы 2. Замена неременных Мизееа

и2(х, у) = Ш{х, ф), ф{х, у) = - !(г>(£, у) - г>0(О) ^ + и{х0,у)

хо

осуществляет переход системы (1) к уравнению (4). Следовательно, производные ^ и Щ непре-

/-о2—

рывпы в И и из условий теоремы 2 следует, что имеет место оценка у®^ ^ 2М3. Поскольку у

ф = J и(х, () й^, второе неравенство из условий теоремы 2 влечет М1у2 ^ ф ^ М2у2 и М1 у2 ^ и2 =

w ^ М|у2. Поэтому

А/ г , М| ,

—— w ^ ипх,ф) ^ -ттФ-М> г v 'Л/, ^

(20)

Из неравенства (20) следут единственность решения и>(х, ф) задачи (4), (5), т.е. «д(ж, ф) = и>2(х, ф) для решений И>1(х,ф) и №2{х, ф). Пусть щ, и 11,2,1)2 два решения задачи (1), (2). Поскольку л/Ш\ = и л/^2, = ^т, получаем у = ((х, ф\) = ((х, ф2) и и2(х,у) = г/|(ж, у). Теорема 2 доказана.

2. Пограничный слой Марангони. В отличие от пограничного слоя Прандтля, который существует вблизи обтекаемой поверхности, слой Марангони возникает вблизи свободной границы раздела двух фаз. Если при этом наблюдается явление переноса массы из-за наличия градиента поверхностного натяжения, то оно называется конвекцией Марангони (или эффектом Марангони Гиббса). Движение жидкости вблизи свободной границы может вызывать также неравномерное распределение температуры (термоканиллярность). Далее приводятся результаты но вопросу однозначной разрешимости "в целом" уравнений пограничного слоя Марангони.

Ф

Рассматривается система уравнений вида

{V (1 + 3k(uy )2)uyy — uux — vuy + UUx = 0 в D,

Ux + Vy = 0,

где скорость внешнего течения U(ж) связана с давлением р(ж) уравнением Бернулли

U2 (ж) + 2р(ж) = const.

Здесь D = {0 < ж < X, 0 < y < то}. Предполагается также, что выполняются граничные условия

u(0,y) = uo(y), г(ж, 0) = vo(x), uy(ж, 0) = А(ж), и(ж, y) ^ U(ж^иy — +то,

где функции Uo(y), ^о(ж) А(ж) обозначают соответственно исходный профиль скоростей, скорость

y=0

У = 0

Если предположить, что А(ж), U(ж) г>0(ж) € C*[0,Х]; uo(y) € C2+e[0, то) в > 0 А(ж) ^ 0 U(ж) ^ 0 Уж € [0,X]; uo(y) > U(0) Vy € [0, то) u0(0) = A(0), Uo(y) — U(0) при y — то и существует такая постоянная C > 0, что выполнено неравенство

| vuo(1 + (3/4)k(2uoy)2)(2uoyy/u) — vo(2uoy) C[u2(y) — U2(0)],

то можно показать, что в области D = {0 < ж < X, 0 <y< +то} существует и единственно решение п(ж,у), г(ж,y) задачи (3), (4), обладающее следующими свойствами: функция и(ж,у) непрерывна и ограничена в D, м(ж,у) > 0 при y > 0 uy, uyy непрерывны и ограничены в D; ux, г, uy непрерывны

D

В области D = {0 < ж < X, 0 <y< то} рассмотрим систему уравнений

V(1 + 3k(uy)2)uyy — uux — vuy + UUx = 0, ux + vy = 0, aTyy — uTx — vTy = —(v/c)u?

(21)

yy U,J- Ж ^y - V/W "'y

с граничными условиями

(ж, 0) = А(ж), и(0,у) = «о(у), -и(ж, 0) = -ио(ж), (22)

и(ж,у) ^ и (ж) равномерно по ж € [0,Х] при у ^ +то, (23)

Т(ж, 0) = (ж), Т(ж, у) ^ равномерно по ж € [0,Х] при у ^ +то. (24)

В задаче (21)-(24) неизвестными являются компоненты скорости и(ж,у), -и(ж,у) и температура Т(ж, у) среды. Постоянные физические параметры среды к, а С где температура

внешнего потока, считаются заданными. Также заданными считаются функции и (ж) А(ж), ^о (ж) и (ж) где (ж) характеризует температуру среды вблизи границы у = 0.

Поскольку решение и(ж,у), V(ж, у) гидродинамической части системы не зависит от Т(ж, у), то эта задача может быть решена отдельно, как указано выше. Затем можно найти распределение температуры (см. [5]).

Работа в п. 1.2 поддержана КН МНиВО РК (проект АР14869553), в п. 1.3 поддержана РНФ (грант № 20 11 20272-П), а в п. 1.4 поддержана МОН РФ в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики (соглашение № 075 15 2022 284).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пеленко В.В., Арет В.А., Дайнеко К.Э., Верболоз Е.И., Иваненко В.П., Пеленко Ф.В., Крысий А.Г. Особенности точения тонких илеиок в условиях проскальзывания на обтекаемой поверхности // Науч. жури. НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2012. № 2.

2. Олейник O.A., Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи матом, наук. 1961. 16. № 5. 116 155.

3. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матом, наук. 1962. 17. № 3. 3 146.

4. Олейиик O.A., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997.

5. Kucamoe М.А., Самохип В.Н., Чечкип Г.А. О температурном пограничном слое в вязкой ноныотоновской среде // Докл. РАН. Сер. матом., информатика, процессы управления. 2022. 502. 28 33.

Поступила в редакцию 13.05^2023

УДК 517.518.126

ИДЕИ КОЛМОГОРОВА ПО ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА В СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Т.П. Лукашенко1, В. А. Скворцов2, А. П. Солодов3

Рассматриваются обобщения конструкции интеграла Колмогорова на случай функций, принимающих значения в пространствах Банаха. Показано, какое развитие получили идеи А.Н. Колмогорова по теории интеграла, в частности понятие дифференциальной эквивалентности, в теории интегралов типа Хенстока Курцвойля. В этой связи изучается вариационный вариант интеграла хеистоковского типа относительно весьма общего дифференциального базиса. Приведен пример применения этого интеграла в гармоническом анализе. Рассмотрены также некоторые результаты, связанные с применением А-интеграла Колмогорова.

Ключевые слова: интеграл Колмогорова, суммы Римана, дифференциальный базис, дифференциальная эквивалентность, интеграл Курцвейля-Хенстока, А-интеграл.

Generalizations of construction of Kolmogorov integral to the case of Banach space-valued functions are considered. We demonstrate how the Kolmogorov ideas on integration theory, in particular the notion of differential equivalence, have been developed in the theory of the Henstock Knrzwoil integral. In this connection, a variational version of a Henstock type integral with respect to a rather general derivation basis is studied. An example of an application of this integral in harmonic analysis is given. Some results related to Kolmogorov A-integral are also considered.

Key words: Kolmogorov integral, Riemarm snrns, differential basis, differential equivalence, Henstock-Kurzweil integral, A-integral.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-3

1. Введение. В работах А.Н. Колмогорова но общим проблемам теории интегрирования (см. [1, статьи № 5, 6, 14 и 16] и [2, гл. VI]) было высказано множество глубоких весьма сжато сформулированных идей, которые затем получили развитие в много численных исследованиях но теории интеграла.

Одним из интересных направлений такого развития является изучение возможности переноса конструкции Колмогорова на случай функций со значениями в банаховых пространствах. Этому направлению посвящен второй пункт настоящей работы.

1 Лукашенко Тарас Павлович доктор физ.-мат. паук. проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матем., e-mail: lukaslienkoOmail.ru.

Lukashenko Twins Pavlovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

2 Скворцов Валентин Анатольевич доктор физ.-мат. паук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матем., e-mail: vaskvor20000yalioo.com.

Skvortsov Valentin Anatol'evich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

л Солодов Алексей Петрович доктор физ.-мат. паук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ: Моск. центр фупд. и прикл. матем., e-mail: apsolodovOmail.ru.

Solodov Aleksei Petrovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis: Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics.

© Лукашенко Т.П.. Скворцов В. Л.. Солодов Л. П.. "2024 © Lukashenko T.R, Skvortsov V.A., Solodov Л. P., 2024

ш